Solidos de revolución

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Solidos de revolución

  1. 1. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN 1. MARCO TEORICO: SUPERFICIE DE REVOLUCIONSuperficie de revolución es la que genera una línea cualquiera, plana o de doble curvatura algirar alrededor de un eje recto, llamado por ello eje de la superficie.-Algunos ejemplos comunes de una superficie de revolución son: • Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta,paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumendenominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la rectase denomina radio. • Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor deun eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo elque la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumendenominado cono. • Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculoalrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera. • Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferenciaalrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIONLos sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de uneje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de unode sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Calculo de volúmenesMétodo del disco.Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. Elvolumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = πR 2 wPara ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolucióngeneral, se hacen n particiones en la graficaEstas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen delmismo. Teniendo en cuenta que el volumende un disco es πR 2 w , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumenaproximado del sólido es: Fórmula del volumen por discosPor tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
  2. 2. si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunaspautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.Como hallar volúmenes por el método del disco1.Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una seccióntransversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios internoy externo.3.Establecer los límites de integración.4.Por último integrar para hallar el volumen deseado.Método de las arandelasObjetivo: Analizar los sólidos de revolución de sección hueca y deducir la expresión quepermite calcular su volumen.Como vimos en el apartado anterior, un volumen de revolución se genera cuando una secciónrota alrededor de un eje. En las siguientes escenas la sección está conformada por dosfunciones y un segmento vertical (x = b). Cambia la posición de este segmento con la barra dedesplazamiento al lugar que desees, luego genera el sólido utilizando la otra barra llamada"desarrollo". ¿Qué observas? El volumen generado es un sólido de sección hueca.Similar al método de los discos, el volumen de un sólido de revolución de sección hueca esigual a la suma de n arandelas. A mayor número de arandelas, el sólido se parece más aloriginal. Es decir, cuando n tiende a un número muy grande el volumen de nuestro sólido serácercano a la suma de todas las arandelas conformadas. El volumen de una arandela está dadopor la fórmula del prisma: Área de la base por la altura. Como el área de la base es una coronacircular cuyos radios son las funciones que delimitan la sección rotada y sí suponemos que f(x)es el radio mayor y g(x) el menor, podemos decir que el volumen es:Esta aproximación mejora si n tiende a infinito, lo cual nos regresa a la definición de integral;es decir, en la que los límites a y b son los extremos sobre el eje x de nuestro sólido derevolución.Otra forma, que nos llevaría a la misma expresión, es calcular el volumen del sólido sin hueco yrestarle el volumen del hueco.

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