SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 63
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




   Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva
   a distância entre pontos, isto é, a figura inicial e a sua
   transformada são congruentes.




     Figura inicial      Figura transformada   Figura inicial       Figura transformada
       (objecto)              (imagem)           (objecto)               (imagem)




               É uma isometria.                          Não é uma isometria.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


1. Translação
          Uma translação é uma isometria em que a imagem de um
          objecto se pode obter por um movimento horizontal e outro
          vertical.
          Estes movimentos podem ser descritos por números.

          Os números de unidade de medida podem ser substituídos por
          um vector que normalmente se representa por uma
                                                   
          letraminúscula com uma seta por cima ( u , v , w).


             F    E            F’   E’
                    u u


                  D     C
                                    D’   C’
                        u       u
             A         B       A’        B’
                      u         u
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt



 Propriedades da translação
     Um segmento de recta é
      transformado num segmento de
      recta paralelo e com o mesmo
      comprimento.

     Uma recta ou uma semi-recta é
      transformada numa recta ou
      numa semi-recta paralelas,
      respectivamente.

     Um ângulo é transformado num
      ângulo geometricamente igual e
      com o mesmo sentido.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


2. Reflexão
  Dada uma recta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à
  isometria que transforma os pontos de r ou eixo r em si próprios e que, a cada
  ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o eixo r é a
  mediatriz do segmento de recta [PP’].




           Q
                          r
                                       Q'



      O           P               P'        O'
                 [
                 [

                      d       d
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt



 Propriedades das reflexões
  Um segmento de recta é transformado
   num segmento de recta com o mesmo
   comprimento.

                                                  Q
                                                              r
                                                                           Q'
  Uma recta e uma semi-recta são
   transformadas numa recta e numa
   semi-recta respectivamente.                O       P               P'        O'




                                                      [
                                                      [
                                                          d       d
  Um ângulo orientado é transformado
   num ângulo orientado com a mesma
   amplitude mas com sentido inverso.

  Qualquer ponto do eixo de reflexão
   transforma-se em si próprio.

  A distância de um ponto original ao eixo
   de reflexão é igual à distância da
   imagem desse ponto ao eixo.
Maria Augusta Ferreira Neves
  augustaneves@portoeditora.pt


3. Rotação
                                                                                            P’
 Dado um ponto O, centro de rotação, e a amplitude α , chama-se rotação de centro
 O e amplitude α à isometria que a um ponto P faz corresponder um ponto P’, tal
 que:
                                                                                                  α
                                                                                                       P
 • a distância de O a P é igual à distância de O a P’ (imagem de P);                          O
 • a amplitude do ângulo orientado definido por P, O, P’ é igual a α , ou seja,
   OP = OP’ e PÔP = α .


               C               A’x                          Desenhar a figura transformada da
                                                            figura dada por uma rotação de centro
                                       C’x                  O e amplitude -900 .
         A            B
                                                            1.o Desenham-se [OA], [OB], e [OC] .
                               B’x
                                                            2. o Desenham-se os arcos de
                          Ox                                    circunferência ou circunferências
                                                                de centro O e raios OA , OC , e OB .
                                                            3. o Com a ajuda do transferidor
                                                                medem-se os ângulos de modo que :
                                                                A’ÔA=900 ; B’ÔB=900 ; C’ÔC=900 .
                                                            4. o Desenhar o triângulo [A’B’C’].
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Propriedades da rotação
   Um segmento de recta é
     transformado num segmento de
     recta com o mesmo comprimento.           C            A’

   Um ângulo é transformado num                                 C’x
    ângulo com a mesma amplitude e        A       B

    com o mesmo sentido.                                   B’x

                                                      Ox
   Uma recta ou uma semi-recta são
    transformadas numa recta ou numa
    semi-recta respectivamente.
   O centro de rotação é o único ponto
    que se mantém fixo se o ângulo da
    rotação não for um múltiplo de
    360o
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


4. Reflexão deslizante
    Reflexão deslizante é uma isometria resultante da composição de uma
    reflexão de eixo r com uma translação cujo o vector (não nulo) é paralelo a r .


                          r
           Q                            Q’’
                                        Q’

                                                    
      O           P               P’’
                                  P’          O’’
                                              O’
                                                    u
                 [
                 [
                      d       d
                                                                        A




                                                                            B

     O triângulo [O’P’Q’] é uma reflexão
     deslizante do triângulo [OPQ].
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Propriedades da reflexão deslizante
    Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do
     que pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer-
     lhe mas são deslocados pelo vector.

    Um segmento de recta é transformado noutro segmento
     de recta, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vector.    A


    Um ângulos orientado é transformado num ângulo
     orientado com a mesma amplitude mas com sentido
     inverso.
    Uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta        B
     e numa semi-recta respectivamente.

    A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da
     imagem desse ponto ao eixo.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Propriedades das isometrias
 Em qualquer isometria:
  Uma isometria do plano é
     necessariamente uma translação, uma
     reflexão, uma rotação ou uma reflexão
     deslizante
    Uma recta é transformada numa recta.
  Uma semi-recta é transformada numa
     semi-recta.
  Um segmento de recta é transformado
     num segmento de recta com o mesmo
     comprimento.
  Um ângulo é transformado num ângulo
     com a mesma amplitude.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Simetrias
   Quando a imagem de uma figura, através de uma
   isometria diferente da identidade, coincide com a figura
   original, então a figura tem simetria.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


1. Simetrias de reflexão
                                Uma figura tem simetria de reflexão se a sua
                                transfromada por uma reflexão é a própria figura.




                                                e1
                                 e5



                                                            Esta figura tem cinco
                                                      e2    simetrias de reflexão.
                                e4

                                         e3
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


2. Simetrias de rotação
                          Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua
        Ox
                          transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a
                          própria figura




         Ox                      Ox                      Ox                      Ox



  Rotação de centro O e   Rotação de centro O e   Rotação de centro O e   Rotação de centro O e
  medida de amplitude     medida de amplitude     medida de amplitude     medida de amplitude
           900.                   1800 .                  2700 .                  3600 .


               A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de
                              amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 .
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


3. Simetrias de translação



                                                        
                u               u     u          u          u




                                                              
    Uma figura tem uma simetria de translação de vector u se o transformado da
                                               
    figura pela translação associada ao vector u é a própria figura.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


4. Simetrias de reflexão deslizante




     Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da
     figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Rosáceas
     Uma rosácea e uma figura plana com as seguintes características:
      Possui um numero finito de simetrias de rotação ou de reflexão.
      Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num mesmo
     ponto O.
      Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma recta que contem o
     ponto O.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Simetrias de rotação e simetrias de reflexão




    7 simetrias de rotação      6 simetrias de rotação    12 simetrias de rotação
    7 simetrias de reflexão     0 simetrias de reflexão   12 simetrias de reflexão




    5 simetrias de rotação      8 simetrias de rotação    3 simetrias de rotação
    0 simetrias de reflexão     0 simetrias de reflexão   3 simetrias de reflexão
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Frisos
   Um friso e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação. Os
   vectores associados a essas translações possuem todos a mesma direcção e são múltiplos
                              
   inteiros de um dado vector u não nulo.
   Nota: As restantes simetrias da figura podem ser rotações de ângulo 180⁰, reflexões ou
                                                              
   reflexões deslizantes relativamente a uma recta paralela a u




         …                                                                       …
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Fluxograma de Washburn e Crowe
                                Existe uma reflexão de eixo
                                         vertical?


                   Sim                                              Não


            Existe uma reflexão                Existe uma reflexão de eixo horizontal ou
            de eixo horizontal?                        uma reflexão deslizante?


             Sim          Não                        Sim                         Não

            pmm2
                    Existe rotação?          Existe uma reflexão          Existe uma rotação?
                     (meia-volta)            de eixo horizontal?              (meia-volta)


                   Sim            Não         Sim             Não          Sim         Não

                   pma2         pm11          p1m1         p1a1           p112         p111
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Simbologia
(para frisos cuja recta fixa para todas as simetrias é horizontal)

      (A) O primeiro símbolo é sempre um p ;
      (B) O segundo símbolo é:
          a) 1 – o friso não tem reflexão de eixo vertical
          b) m – o friso tem reflexão de eixo vertical
      (C) O terceiro símbolo é:
          a) m – o friso tem reflexão de eixo horizontal
          b) a – o friso tem reflexão deslizante
          c) 1 - não se verifica nem a) nem b).
      (D) O quarto símbolo é:
          a) 2 – existe rotação (meia-volta)
          b) 1 – não existe rotação
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




                                   Existe uma reflexão de eixo vertical?




                                                   Sim



                                       Existe uma reflexão de eixo
                                               horizontal?



                                                   Sim


                                pmm2 – Reflexão de eixo vertical
                                      Reflexão de eixo horizontal
                                      Rotação
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




                                           Existe uma reflexão de
                                                eixo vertical?

                                                    Sim

                                           Existe uma reflexão de
                                              eixo horizontal?

                                                    Não


                                           Existe uma meia-volta?


                                                    Sim




                                pma2 – Reflexão deslizante
                                       Reflexão de eixo vertical
                                       Rotação
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




                                          Existe uma reflexão de
                                               eixo vertical?


                                                    Sim


                                           Existe uma reflexão de
                                              eixo horizontal?


                                                    Não


                                           Existe uma meia-volta?


                                                    Não




                                pm11 – Reflexão de eixo vertical
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




                                          Existe uma reflexão de
                                               eixo vertical?


                                                   Não


                                   Existe uma reflexão de eixo horizontal
                                        ou uma reflexão deslizante?


                                                   Sim


                                         Existe uma reflexão de
                                            eixo horizontal?


                                                   Sim




                                p1m1 – Reflexão de eixo horizontal
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




                                       Existe uma reflexão de
                                            eixo vertical?


                                                Não


                                Existe uma reflexão de eixo horizontal
                                     ou uma reflexão deslizante?


                                                Sim


                                       Existe uma reflexão de
                                          eixo horizontal?


                                                Não




                                       p1a1 – Reflexão deslizante
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




                                        Existe uma reflexão de
                                             eixo vertical?


                                                 Não


                                Existe uma reflexão de eixo horizontal
                                     ou uma reflexão deslizante?


                                                 Não


                                       Existe uma meia-volta?


                                                 Não




                                            p111 – Translação
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




                                       Existe uma reflexão de
                                            eixo vertical?


                                                Não


                                Existe uma reflexão de eixo horizontal
                                     ou uma reflexão deslizante?


                                                Não


                                       Existe uma meia-volta?


                                                Sim



                                        p112 – Rotação (meia-volta)
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Sete tipos de frisos


 …                                                           …

                                1 - Gerado por translações
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Sete tipos de frisos


 …                                                                        …


                2 - Gerado por translação e reflexão de eixo horizontal
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Sete tipos de frisos


…                                                                          …

                 3 - Gerado por translação e   reflexão de eixo vertical
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Sete tipos de frisos

      …                                                                     …


          4 - Gerado por translação, reflexão de eixo horizontal, reflexão de
                    eixo vertical e rotação de ordem 2 (meia-volta)
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Sete tipos de frisos


…                                                                   …

                      5 - Gerado por translação e rotação de 1800
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Sete tipos de frisos


…                                                                      …


                     6 - Gerado por translação e reflexão deslizante
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Sete tipos de frisos


…                                                                            …


                      7 - Gerado por translação, reflexão de eixo vertical
                                 reflexão deslizante e rotação.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




…                               …

…                               …

…                               …

…                               …
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Padrão
      Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de
      translação em mais do que uma direcção.
     Nota: Para alem de translações, um padrão pode ser invariante por reflexões,
      rotações e reflexões deslizantes.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões


                                Gerado por translações
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações
                                     e reflexões
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações
                                e reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 reflexões e reflexões
                                      deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações
                                     e rotações
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 rotações, reflexões e
                                 reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 rotações e reflexões
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões


                                Gerado por translações
                                 rotações e reflexões
                                     deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 rotações, reflexões e
                                 reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações
                                     e rotações
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 rotações, reflexões e
                                 reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 rotações, reflexões e
                                 reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações
                                     e rotações
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões




                                Gerado por translações,
                                 rotações, reflexões e
                                 reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 rotações, reflexões e
                                 reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões




                                Gerado por translações
                                     e rotações
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões



                                Gerado por translações,
                                 rotações, reflexões e
                                 reflexões deslizantes
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


Tipos de padrões
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Proporcionalidade direta
Proporcionalidade diretaProporcionalidade direta
Proporcionalidade diretaHelena Borralho
 
Casos notaveis
Casos notaveisCasos notaveis
Casos notaveismarilia65
 
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaGráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
 
Translações
TranslaçõesTranslações
Translaçõesaldaalves
 
Trigonometria – 9° ano
Trigonometria – 9° anoTrigonometria – 9° ano
Trigonometria – 9° anoManuela Avelar
 
Rosáceas, frisos e padrões
Rosáceas, frisos e padrõesRosáceas, frisos e padrões
Rosáceas, frisos e padrõesppaisaec
 
Critérios de paralelismo e perpendicularidade
Critérios de paralelismo e perpendicularidadeCritérios de paralelismo e perpendicularidade
Critérios de paralelismo e perpendicularidadeJoana Ferreira
 
Tipos de movimento e aceleração
Tipos de movimento e aceleraçãoTipos de movimento e aceleração
Tipos de movimento e aceleraçãoPiedade Alves
 
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...3zamar
 
Simetrias: Axial e Rotacional
Simetrias: Axial e RotacionalSimetrias: Axial e Rotacional
Simetrias: Axial e RotacionalLisa Santos
 
Trabalho de matematica sobre as isometrias 8ªano
Trabalho de matematica sobre as isometrias 8ªanoTrabalho de matematica sobre as isometrias 8ªano
Trabalho de matematica sobre as isometrias 8ªanonelsoncampos11
 
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão)
Isometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão)Isometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão)
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão)Ana Tapadinhas
 
Areas volumes
Areas volumesAreas volumes
Areas volumesProfessor
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficosmarmorei
 

Mais procurados (20)

Proporcionalidade direta
Proporcionalidade diretaProporcionalidade direta
Proporcionalidade direta
 
Casos notaveis
Casos notaveisCasos notaveis
Casos notaveis
 
Trabalho de matemática (3)
Trabalho de matemática (3)Trabalho de matemática (3)
Trabalho de matemática (3)
 
Isometrias
IsometriasIsometrias
Isometrias
 
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaGráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matéria
 
Translações
TranslaçõesTranslações
Translações
 
Isometrias
IsometriasIsometrias
Isometrias
 
Trigonometria – 9° ano
Trigonometria – 9° anoTrigonometria – 9° ano
Trigonometria – 9° ano
 
Rosáceas, frisos e padrões
Rosáceas, frisos e padrõesRosáceas, frisos e padrões
Rosáceas, frisos e padrões
 
Critérios de paralelismo e perpendicularidade
Critérios de paralelismo e perpendicularidadeCritérios de paralelismo e perpendicularidade
Critérios de paralelismo e perpendicularidade
 
Isometrias
IsometriasIsometrias
Isometrias
 
Isometrias
IsometriasIsometrias
Isometrias
 
Tipos de movimento e aceleração
Tipos de movimento e aceleraçãoTipos de movimento e aceleração
Tipos de movimento e aceleração
 
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...
 
Simetrias: Axial e Rotacional
Simetrias: Axial e RotacionalSimetrias: Axial e Rotacional
Simetrias: Axial e Rotacional
 
Trabalho de matematica sobre as isometrias 8ªano
Trabalho de matematica sobre as isometrias 8ªanoTrabalho de matematica sobre as isometrias 8ªano
Trabalho de matematica sobre as isometrias 8ªano
 
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão)
Isometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão)Isometrias   6º ano (translação, rotação, reflexão)
Isometrias 6º ano (translação, rotação, reflexão)
 
Areas volumes
Areas volumesAreas volumes
Areas volumes
 
Circunferências
CircunferênciasCircunferências
Circunferências
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficos
 

Semelhante a Isometrias e simetrias geométricas

Isometrias augusta neves
Isometrias augusta nevesIsometrias augusta neves
Isometrias augusta nevesPedro279
 
Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.joao feniasse
 
ISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizante
ISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizanteISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizante
ISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizanteSniaAlmeida37
 
Matemática 6º Ano
Matemática 6º AnoMatemática 6º Ano
Matemática 6º AnoDavidPaivaPT
 
Isometrias e Volumes
Isometrias e VolumesIsometrias e Volumes
Isometrias e VolumesJorge
 
Rotaçoes isometrias
Rotaçoes isometriasRotaçoes isometrias
Rotaçoes isometriasJorge
 
Rotaçoes isometrias
Rotaçoes isometriasRotaçoes isometrias
Rotaçoes isometriasJorge
 
Circunferência
CircunferênciaCircunferência
Circunferênciamarmorei
 
ângulos na circunferência
ângulos na circunferênciaângulos na circunferência
ângulos na circunferênciaLuiza Meneses
 
Circunferência trigonometrica apresentacao.ppt
Circunferência trigonometrica apresentacao.pptCircunferência trigonometrica apresentacao.ppt
Circunferência trigonometrica apresentacao.pptAntonioAdelmo1
 
Ciclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráfica
Ciclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráficaCiclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráfica
Ciclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráficaFabioFarias29
 
Apresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferênciaApresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferênciaLuis
 
Apresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferênciaApresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferênciaLuis
 
Aula.05 b des. geom. pontos e retas
Aula.05 b des. geom. pontos e retasAula.05 b des. geom. pontos e retas
Aula.05 b des. geom. pontos e retasLucas Barbosa
 
A trigonometria do triangulo retangulo
A trigonometria do triangulo retanguloA trigonometria do triangulo retangulo
A trigonometria do triangulo retangulotrigono_metria
 
RelaçõEs Trigonometricas
RelaçõEs TrigonometricasRelaçõEs Trigonometricas
RelaçõEs Trigonometricasguest0eac51
 

Semelhante a Isometrias e simetrias geométricas (20)

Isometrias augusta neves
Isometrias augusta nevesIsometrias augusta neves
Isometrias augusta neves
 
isometrias.pptx
isometrias.pptxisometrias.pptx
isometrias.pptx
 
Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.
 
ISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizante
ISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizanteISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizante
ISOMETRIAS: reflexão, translação, rotação e reflexão deslizante
 
Matemática 6º Ano
Matemática 6º AnoMatemática 6º Ano
Matemática 6º Ano
 
Preparação para exame - circunferência e isometriass
Preparação para exame - circunferência e isometriassPreparação para exame - circunferência e isometriass
Preparação para exame - circunferência e isometriass
 
Isometrias e Volumes
Isometrias e VolumesIsometrias e Volumes
Isometrias e Volumes
 
Rotaçoes isometrias
Rotaçoes isometriasRotaçoes isometrias
Rotaçoes isometrias
 
Rotaçoes isometrias
Rotaçoes isometriasRotaçoes isometrias
Rotaçoes isometrias
 
Circunferência
CircunferênciaCircunferência
Circunferência
 
ângulos na circunferência
ângulos na circunferênciaângulos na circunferência
ângulos na circunferência
 
Circunferência trigonometrica apresentacao.ppt
Circunferência trigonometrica apresentacao.pptCircunferência trigonometrica apresentacao.ppt
Circunferência trigonometrica apresentacao.ppt
 
Ciclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráfica
Ciclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráficaCiclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráfica
Ciclo trigonometrico apresentacao e sua representação gráfica
 
Sólidos de revolução
Sólidos de revoluçãoSólidos de revolução
Sólidos de revolução
 
Sólidos de revolução
Sólidos de revoluçãoSólidos de revolução
Sólidos de revolução
 
Apresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferênciaApresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferência
 
Apresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferênciaApresentação circulo e circunferência
Apresentação circulo e circunferência
 
Aula.05 b des. geom. pontos e retas
Aula.05 b des. geom. pontos e retasAula.05 b des. geom. pontos e retas
Aula.05 b des. geom. pontos e retas
 
A trigonometria do triangulo retangulo
A trigonometria do triangulo retanguloA trigonometria do triangulo retangulo
A trigonometria do triangulo retangulo
 
RelaçõEs Trigonometricas
RelaçõEs TrigonometricasRelaçõEs Trigonometricas
RelaçõEs Trigonometricas
 

Mais de mariacferreira

Ficha mat.6. ficha global
Ficha mat.6.   ficha globalFicha mat.6.   ficha global
Ficha mat.6. ficha globalmariacferreira
 
Ficha mat.6. ficha global
Ficha mat.6.   ficha globalFicha mat.6.   ficha global
Ficha mat.6. ficha globalmariacferreira
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)mariacferreira
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)mariacferreira
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)mariacferreira
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)mariacferreira
 
Medidas de comprimento e área
Medidas de comprimento e áreaMedidas de comprimento e área
Medidas de comprimento e áreamariacferreira
 
Os bicos e_as_patas_das_aves
Os bicos e_as_patas_das_avesOs bicos e_as_patas_das_aves
Os bicos e_as_patas_das_avesmariacferreira
 
Alimentação nos animais
Alimentação nos animaisAlimentação nos animais
Alimentação nos animaismariacferreira
 
Círculo e circunferência
Círculo e circunferênciaCírculo e circunferência
Círculo e circunferênciamariacferreira
 
Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10 100 - 1000
Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10   100 - 1000Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10   100 - 1000
Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10 100 - 1000mariacferreira
 
Curiosidades de los numeros
Curiosidades de los numerosCuriosidades de los numeros
Curiosidades de los numerosmariacferreira
 

Mais de mariacferreira (20)

Ficha mat.6. ficha global
Ficha mat.6.   ficha globalFicha mat.6.   ficha global
Ficha mat.6. ficha global
 
Ficha mat.6. ficha global
Ficha mat.6.   ficha globalFicha mat.6.   ficha global
Ficha mat.6. ficha global
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)
 
Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)Como resolver problemas (1)
Como resolver problemas (1)
 
Quadrado mágico
Quadrado mágicoQuadrado mágico
Quadrado mágico
 
Quadrado mágico
Quadrado mágicoQuadrado mágico
Quadrado mágico
 
Jogo 24
Jogo 24Jogo 24
Jogo 24
 
Agua
AguaAgua
Agua
 
Medidas de comprimento e área
Medidas de comprimento e áreaMedidas de comprimento e área
Medidas de comprimento e área
 
Os bicos e_as_patas_das_aves
Os bicos e_as_patas_das_avesOs bicos e_as_patas_das_aves
Os bicos e_as_patas_das_aves
 
Alimentação nos animais
Alimentação nos animaisAlimentação nos animais
Alimentação nos animais
 
Círculo e circunferência
Círculo e circunferênciaCírculo e circunferência
Círculo e circunferência
 
Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10 100 - 1000
Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10   100 - 1000Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10   100 - 1000
Dividir numeros inteiros e nmeros decimais por 10 100 - 1000
 
Curiosidades de los numeros
Curiosidades de los numerosCuriosidades de los numeros
Curiosidades de los numeros
 
Problemas 5 6 ano-pa
Problemas 5 6 ano-paProblemas 5 6 ano-pa
Problemas 5 6 ano-pa
 
Is ogame
Is ogameIs ogame
Is ogame
 
Sequências 2
Sequências 2Sequências 2
Sequências 2
 
Sequencias[1]
Sequencias[1]Sequencias[1]
Sequencias[1]
 

Último

Época Realista y la obra de Madame Bovary.
Época Realista y la obra de Madame Bovary.Época Realista y la obra de Madame Bovary.
Época Realista y la obra de Madame Bovary.keislayyovera123
 
Slides 1 - O gênero textual entrevista.pptx
Slides 1 - O gênero textual entrevista.pptxSlides 1 - O gênero textual entrevista.pptx
Slides 1 - O gênero textual entrevista.pptxSilvana Silva
 
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfSimulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfEditoraEnovus
 
Música Meu Abrigo - Texto e atividade
Música   Meu   Abrigo  -   Texto e atividadeMúsica   Meu   Abrigo  -   Texto e atividade
Música Meu Abrigo - Texto e atividadeMary Alvarenga
 
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADOactivIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADOcarolinacespedes23
 
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024Jeanoliveira597523
 
D9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptx
D9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptxD9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptx
D9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptxRonys4
 
GÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - Cartum
GÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - CartumGÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - Cartum
GÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - CartumAugusto Costa
 
Slides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptx
Slides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptxSlides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptx
Slides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
ALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolares
ALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolaresALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolares
ALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolaresLilianPiola
 
Universidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comum
Universidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comumUniversidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comum
Universidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comumPatrícia de Sá Freire, PhD. Eng.
 
A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.
A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.
A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.silves15
 
Orações subordinadas substantivas (andamento).pptx
Orações subordinadas substantivas (andamento).pptxOrações subordinadas substantivas (andamento).pptx
Orações subordinadas substantivas (andamento).pptxKtiaOliveira68
 
ANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma Antiga
ANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma AntigaANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma Antiga
ANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma AntigaJúlio Sandes
 
CRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASB
CRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASBCRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASB
CRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASBAline Santana
 
E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?
E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?
E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?Rosalina Simão Nunes
 

Último (20)

Época Realista y la obra de Madame Bovary.
Época Realista y la obra de Madame Bovary.Época Realista y la obra de Madame Bovary.
Época Realista y la obra de Madame Bovary.
 
CINEMATICA DE LOS MATERIALES Y PARTICULA
CINEMATICA DE LOS MATERIALES Y PARTICULACINEMATICA DE LOS MATERIALES Y PARTICULA
CINEMATICA DE LOS MATERIALES Y PARTICULA
 
Slides 1 - O gênero textual entrevista.pptx
Slides 1 - O gênero textual entrevista.pptxSlides 1 - O gênero textual entrevista.pptx
Slides 1 - O gênero textual entrevista.pptx
 
Em tempo de Quaresma .
Em tempo de Quaresma                            .Em tempo de Quaresma                            .
Em tempo de Quaresma .
 
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfSimulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
 
Música Meu Abrigo - Texto e atividade
Música   Meu   Abrigo  -   Texto e atividadeMúsica   Meu   Abrigo  -   Texto e atividade
Música Meu Abrigo - Texto e atividade
 
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADOactivIDADES CUENTO  lobo esta  CUENTO CUARTO GRADO
activIDADES CUENTO lobo esta CUENTO CUARTO GRADO
 
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
 
D9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptx
D9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptxD9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptx
D9 RECONHECER GENERO DISCURSIVO SPA.pptx
 
GÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - Cartum
GÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - CartumGÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - Cartum
GÊNERO TEXTUAL - TIRINHAS - Charges - Cartum
 
XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA -
XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA      -XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA      -
XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA -
 
Slides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptx
Slides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptxSlides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptx
Slides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptx
 
ALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolares
ALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolaresALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolares
ALMANANHE DE BRINCADEIRAS - 500 atividades escolares
 
Universidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comum
Universidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comumUniversidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comum
Universidade Empreendedora como uma Plataforma para o Bem comum
 
A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.
A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.
A horta do Senhor Lobo que protege a sua horta.
 
Orações subordinadas substantivas (andamento).pptx
Orações subordinadas substantivas (andamento).pptxOrações subordinadas substantivas (andamento).pptx
Orações subordinadas substantivas (andamento).pptx
 
ANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma Antiga
ANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma AntigaANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma Antiga
ANTIGUIDADE CLÁSSICA - Grécia e Roma Antiga
 
CRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASB
CRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASBCRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASB
CRÔNICAS DE UMA TURMA - TURMA DE 9ºANO - EASB
 
E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?
E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?
E agora?! Já não avalio as atitudes e valores?
 
Orientação Técnico-Pedagógica EMBcae Nº 001, de 16 de abril de 2024
Orientação Técnico-Pedagógica EMBcae Nº 001, de 16 de abril de 2024Orientação Técnico-Pedagógica EMBcae Nº 001, de 16 de abril de 2024
Orientação Técnico-Pedagógica EMBcae Nº 001, de 16 de abril de 2024
 

Isometrias e simetrias geométricas

  • 1. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 2. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva a distância entre pontos, isto é, a figura inicial e a sua transformada são congruentes. Figura inicial Figura transformada Figura inicial Figura transformada (objecto) (imagem) (objecto) (imagem) É uma isometria. Não é uma isometria.
  • 3. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 1. Translação Uma translação é uma isometria em que a imagem de um objecto se pode obter por um movimento horizontal e outro vertical. Estes movimentos podem ser descritos por números. Os números de unidade de medida podem ser substituídos por um vector que normalmente se representa por uma    letraminúscula com uma seta por cima ( u , v , w). F E   F’ E’ u u D C   D’ C’ u u A  B A’ B’ u u
  • 4. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades da translação  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta paralelo e com o mesmo comprimento.  Uma recta ou uma semi-recta é transformada numa recta ou numa semi-recta paralelas, respectivamente.  Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o mesmo sentido.
  • 5. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 2. Reflexão Dada uma recta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à isometria que transforma os pontos de r ou eixo r em si próprios e que, a cada ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o eixo r é a mediatriz do segmento de recta [PP’]. Q r Q' O P P' O' [ [ d d
  • 6. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades das reflexões  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento. Q r Q'  Uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta e numa semi-recta respectivamente. O P P' O' [ [ d d  Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.  Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio.  A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.
  • 7. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 3. Rotação P’ Dado um ponto O, centro de rotação, e a amplitude α , chama-se rotação de centro O e amplitude α à isometria que a um ponto P faz corresponder um ponto P’, tal que: α P • a distância de O a P é igual à distância de O a P’ (imagem de P); O • a amplitude do ângulo orientado definido por P, O, P’ é igual a α , ou seja, OP = OP’ e PÔP = α . C A’x Desenhar a figura transformada da figura dada por uma rotação de centro C’x O e amplitude -900 . A B 1.o Desenham-se [OA], [OB], e [OC] . B’x 2. o Desenham-se os arcos de Ox circunferência ou circunferências de centro O e raios OA , OC , e OB . 3. o Com a ajuda do transferidor medem-se os ângulos de modo que : A’ÔA=900 ; B’ÔB=900 ; C’ÔC=900 . 4. o Desenhar o triângulo [A’B’C’].
  • 8. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades da rotação  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento. C A’  Um ângulo é transformado num C’x ângulo com a mesma amplitude e A B com o mesmo sentido. B’x Ox  Uma recta ou uma semi-recta são transformadas numa recta ou numa semi-recta respectivamente.  O centro de rotação é o único ponto que se mantém fixo se o ângulo da rotação não for um múltiplo de 360o
  • 9. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 4. Reflexão deslizante Reflexão deslizante é uma isometria resultante da composição de uma reflexão de eixo r com uma translação cujo o vector (não nulo) é paralelo a r . r Q Q’’ Q’  O P P’’ P’ O’’ O’ u [ [ d d A B O triângulo [O’P’Q’] é uma reflexão deslizante do triângulo [OPQ].
  • 10. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades da reflexão deslizante  Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer- lhe mas são deslocados pelo vector.  Um segmento de recta é transformado noutro segmento de recta, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vector. A  Um ângulos orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.  Uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta B e numa semi-recta respectivamente.  A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.
  • 11. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades das isometrias Em qualquer isometria:  Uma isometria do plano é necessariamente uma translação, uma reflexão, uma rotação ou uma reflexão deslizante  Uma recta é transformada numa recta.  Uma semi-recta é transformada numa semi-recta.  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento.  Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude.
  • 12. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 13. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Simetrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria.
  • 14. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 1. Simetrias de reflexão Uma figura tem simetria de reflexão se a sua transfromada por uma reflexão é a própria figura. e1 e5 Esta figura tem cinco e2 simetrias de reflexão. e4 e3
  • 15. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 2. Simetrias de rotação Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua Ox transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a própria figura Ox Ox Ox Ox Rotação de centro O e Rotação de centro O e Rotação de centro O e Rotação de centro O e medida de amplitude medida de amplitude medida de amplitude medida de amplitude 900. 1800 . 2700 . 3600 . A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 .
  • 16. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 3. Simetrias de translação      u u u u u  Uma figura tem uma simetria de translação de vector u se o transformado da  figura pela translação associada ao vector u é a própria figura.
  • 17. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 4. Simetrias de reflexão deslizante Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura.
  • 18. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 19. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 20. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Rosáceas Uma rosácea e uma figura plana com as seguintes características:  Possui um numero finito de simetrias de rotação ou de reflexão.  Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num mesmo ponto O.  Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma recta que contem o ponto O.
  • 21. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Simetrias de rotação e simetrias de reflexão 7 simetrias de rotação 6 simetrias de rotação 12 simetrias de rotação 7 simetrias de reflexão 0 simetrias de reflexão 12 simetrias de reflexão 5 simetrias de rotação 8 simetrias de rotação 3 simetrias de rotação 0 simetrias de reflexão 0 simetrias de reflexão 3 simetrias de reflexão
  • 22. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 23. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Frisos Um friso e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação. Os vectores associados a essas translações possuem todos a mesma direcção e são múltiplos  inteiros de um dado vector u não nulo. Nota: As restantes simetrias da figura podem ser rotações de ângulo 180⁰, reflexões ou  reflexões deslizantes relativamente a uma recta paralela a u … …
  • 24. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 25. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Fluxograma de Washburn e Crowe Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Não Existe uma reflexão Existe uma reflexão de eixo horizontal ou de eixo horizontal? uma reflexão deslizante? Sim Não Sim Não pmm2 Existe rotação? Existe uma reflexão Existe uma rotação? (meia-volta) de eixo horizontal? (meia-volta) Sim Não Sim Não Sim Não pma2 pm11 p1m1 p1a1 p112 p111
  • 26. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Simbologia (para frisos cuja recta fixa para todas as simetrias é horizontal) (A) O primeiro símbolo é sempre um p ; (B) O segundo símbolo é: a) 1 – o friso não tem reflexão de eixo vertical b) m – o friso tem reflexão de eixo vertical (C) O terceiro símbolo é: a) m – o friso tem reflexão de eixo horizontal b) a – o friso tem reflexão deslizante c) 1 - não se verifica nem a) nem b). (D) O quarto símbolo é: a) 2 – existe rotação (meia-volta) b) 1 – não existe rotação
  • 27. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Sim pmm2 – Reflexão de eixo vertical Reflexão de eixo horizontal Rotação
  • 28. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Não Existe uma meia-volta? Sim pma2 – Reflexão deslizante Reflexão de eixo vertical Rotação
  • 29. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Não Existe uma meia-volta? Não pm11 – Reflexão de eixo vertical
  • 30. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Sim p1m1 – Reflexão de eixo horizontal
  • 31. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Não p1a1 – Reflexão deslizante
  • 32. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Não Existe uma meia-volta? Não p111 – Translação
  • 33. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Não Existe uma meia-volta? Sim p112 – Rotação (meia-volta)
  • 34. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 1 - Gerado por translações
  • 35. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 2 - Gerado por translação e reflexão de eixo horizontal
  • 36. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 3 - Gerado por translação e reflexão de eixo vertical
  • 37. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 4 - Gerado por translação, reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e rotação de ordem 2 (meia-volta)
  • 38. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 5 - Gerado por translação e rotação de 1800
  • 39. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 6 - Gerado por translação e reflexão deslizante
  • 40. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 7 - Gerado por translação, reflexão de eixo vertical reflexão deslizante e rotação.
  • 41. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt … … … … … … … …
  • 42. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 43. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Padrão Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação em mais do que uma direcção.  Nota: Para alem de translações, um padrão pode ser invariante por reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
  • 44. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações
  • 45. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e reflexões
  • 46. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e reflexões deslizantes
  • 47. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 48. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 49. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 50. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações e reflexões
  • 51. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações rotações e reflexões deslizantes
  • 52. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 53. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 54. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 55. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 56. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 57. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 58. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 59. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 60. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 61. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões
  • 62. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões
  • 63. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt