1 Capítulo 1 Conjuntos Numéricos

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Conjuntos numericos

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1 Capítulo 1 Conjuntos Numéricos

  1. 1. Ing. Carlos Enrique Villa Arango Ing. Margarita Patiño Jaramillo Adscrita a al Alcaldía de Medellín
  2. 2. COMPETENCIA: Utiliza adecuadamente los conjuntos numéricos, sus operaciones y propiedades básicas para solucionar situaciones problema en diferentes contextos. INDICADORES DE LOGRO Resuelve expresiones aritméticas utilizando las propiedades y operaciones de los conjuntos numéricos. En una situación específica: Plantea la o las expresiones aritméticas a partir de enunciados o situaciones concretas. Resuelve una situación a partir de la o las expresiones aritméticas que la representan, utilizando las propiedades, operaciones y/o métodos desarrollados.
  3. 3. Qué son los CONJUNTOS NUMÉRICOS Cuando en nuestra infancia comenzábamos a contar, cromos, amigos que asistían a nuestro cumpleaños, pesos que nos daban de aguinaldo…, no utilizábamos mas que el conjunto N o conjunto de los números naturales, y con el nos bastaba; “definimos número natural como el que resulta de contar los elementos de cualquier conjunto”.
  4. 4. Números Naturales El ser humano desde sus inicios tuvo la necesidad de contar. De ahí nacieron los números y más precisamente el conjunto de los Números Naturales, ellos son: N = Conjunto de los Números Naturales N = { 1, 2, 3,... } Donde N, es el símbolo utilizado para su notación CARACTERÍTICAS DE LOS NÚMEROS NATURALES USOS DE LOS NÚMEROS NATURALES OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES: CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
  5. 5. •Empieza con el uno. •Tiene un número infinito de elementos consecutivos (un natural menos el anterior es igual a uno). • Cada elemento tiene un siguiente y todos, a excepción del 1 tienen un anterior • Los números naturales están ordenados. Esta ordenación permite indicar que, por ejemplo, 4 es menor que 7. Como los números naturales están ordenados, también se pueden utilizar para ordenar conjuntos, en este caso decimos que tienen función ordinal •Cuando los números naturales se utilizan para contar, decimos que tienen la función cardinal.
  6. 6. •USOS DE LOS NATURALES: •Para contar o cuantificar. Ejemplo: 1,2,3,4 personas. •Para identificar. Ejemplo: Aula número 213 •Para ordenar o jerarquizar. Ejemplo: 1 o, 2 o, 3 o, 4 o.
  7. 7. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES: Este conjunto numérico acepta operaciones aritméticas como la suma y la multiplicación con sus propiedades. SUMA O ADICIÓN MULTIPLICACIÓN RESTA
  8. 8. SUMA: Al sumar dos o más números naturales se obtendrá otro número natural y los términos que interviene n se llaman sumandos. La suma también recibe el nombre de adición PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN DE NATURALES
  9. 9. PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN DE NATURALES 1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA: Un natural más otro natural da un natural. Ejemplo: 5 Ν 8 Ν 5 8 13 Ν 2. Asociativa En una suma de números naturales pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía. Ejemplo 1: 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 12 Ejemplo 2: (2 + 3) + 8 = 2 + (3 + 8) = 13 3. CONMUTATIVA El orden que se le dé a los sumandos no altera el valor total de la suma. Ejemplo 1: 8 + 2 = 2 + 8 = 10 Ejemplo 2: 11+ 5 = 5 + 11 = 16
  10. 10. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES 1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA: Un natural multiplicado por otro natural da un natural. Ejemplo: 11 Ν 5 Ν 11 x 5 = 55 Ν 2. ASOCIATIVA: Si a, b y c N, entonces (a x b) x c = a x (b x c) Ejemplo: 2 x 4 x 8 = (2 x 4) x 8 = 2 X (4 x 8) = 64 3. CONMUTATIVA: Si a y b a N , entonces a x b = b x a Ejemplo: 4 x 3 = 3 x 4 = 12 4. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO CON RESPECTO A LA SUMA: La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos, así: a( b + c) = ab + ac Ejemplo1: 3(5 + 2) = 3 x 7 = 21 Ejemplo2: 3( 2 + 4) = 3 x 2 + 3 x 4 3 x 5 + 3 x 2 = 21 18 = 18
  11. 11. La resta en los naturales no siempre es posible porque no siempre da un natural. Ejemplo: 5 – 9 no puede efectuarse en los naturales ya que a éste conjunto no pertenecen números negativos.
  12. 12. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Todo número entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos excepto por el orden. Ejemplo: 4 1 6 1 6 = 2 4 × 32 × 1 72 1 0 8 0 0 = 25 × 33 × 52 No existe otra forma de factorización de 41616 y 10800 en números primos y puesto que la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no influye; por esta razón, habitualmente se expresa el teorema como factorización única exceptuando el orden de los factores. El teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores, ya que por definición, un producto vacío tiene por resultado 1.
  13. 13. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (“m.c.m.” o “mcm”) de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. USO MÁS COMÚN PARA EL mcm CÁLCULO DEL mcm MANERA TEÓRICA DEL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) MÉTODO ABREVIADO PARA EL CÁLCULO DEL mcm EJEMPLO
  14. 14. Cálculo del m.c.m de varios números El mcm se emplea para 1. Descomponer los números en factores sumar o restar fracciones primos. de distinto denominador, lo que veremos en el 2. Para cada factor común, elegir entre conjunto de los racionales. todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente. 3. Multiplicar todos los factores elegidos. PROCESO PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) La teoría es la siguiente: - Factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. EJEMPLO
  15. 15. Ejemplo: mcm de los siguientes números 24, 36 y 40 1.Descomponemos los números en factores primos. 24 2 36 2 40 2 12 2 18 2 20 2 6 2 9 3 10 2 3 3 3 3 5 5 1 1 1 2. Para cada número, elegir entre todas las descomposiciones aquellos factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente, así: Observe que: para 24 = 23 x 3 , para 36 = 22 x 32 para 40 = 23 x 5 3. Multiplicar todos los factores elegidos. m.c.m (24, 12, 36) = 23 x 32 x 5 = 8 x 9 x 5 = 360, esto nos permite
  16. 16. concluir que 360 es el menor múltiplo de 24, 12 y 36 y que además, es divisible exactamente por cualquiera de ellos. EJEMPLO: Hallar el MCM entre 30, 60, y 90 por el método abreviado. 30 60 190 2 15 30 95 2 15 15 95 3 5 5 95 5 1 1 19 19 1 1 1 Estos resultados nos permite concluir que el mínimo común múltiplo para 30, 60, 190 corresponde a 22 x 3 x 5 x 19 = 1140
  17. 17. MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor («m.c.d.» o «mcd») de dos o más números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos. PROPIEDADES CÁLCULO DEL MCD EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 EJEMPLO 3 MÉTODO ABREVIADO
  18. 18. Propiedades El máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente. En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.
  19. 19. CÁLCULO DEL MCD El método más utilizado para el cálculo del máximo común divisor de dos números es: Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el MCD. El MCD de tres números se puede calcular como sigue: M.C.D. (a, b, c) = M.C.D. (a, M.C.D. (b, c)).
  20. 20. •EJEMPLO1 Calcular el MCD de 48 y 60. Solución: Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60, o sea: ( los números que dividen exactamente a 48 y 60) son: 48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48} 60= {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} Por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Veámoslo utilizando los dos métodos descritos anteriormente: De la descomposición en factores primos de 48 y 60, obtenemos: 48 = 24 x 3 y 60 = 22 x 3 x 5 podemos inferir que su MCD. es 22.3 = 12 o comúnmente expresado como MCD (60,48) = 12.
  21. 21. EJEMPLO 2: Calcular el MCD para (6936,1200): Solución: 1. Descomponiendo en sus factores primos a 6936, se tiene: 6936 = 23 x 3 x 289 2. Descomponiendo en sus factores primos a 1200, se tiene: 1200 = 24 x 3 x 52 Por lo tanto el MCD para 6936 y 1200 es 24 x 3 = 48
  22. 22. •EJEMPLO 3: Calcula el MCD para los números (7000000 y 7000002) Tras un sencillo cálculo obtenemos los factores de ambos números: (cuál es ese calculo?) 7000000 = 26 x 56 x 7 7000002 = 21 x 32 x 157 x 2477 Por lo que su MCD es 2 (Se trata del único factor común elevado al mínimo exponente, 1)
  23. 23. MÉTODO ABREVIADO PARA HALLAR EL MCD: El MCD entre varios números, por descomposición en factores primos puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor común; los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre sí. Ejemplo: Hallar el MCD entre 3430, 2450, 980 y 4410 por el método abreviado. Solución: 3430 2450 980 4410 10 343 245 98 441 7 49 35 14 63 7 7 5 2 9 El MCD para los cuatro números 3430, 2450, 980 y 4410 es: 10 x 72 = 490
  24. 24. EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS (NÚMEROS NATURALES) Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el eje temático de los números naturales, practicarás cada una de los conceptos estudiados.
  25. 25. Para los siguientes enunciados debes haber estudiado atentamente cada uno de los conceptos para poder dar las respuestas correctas: 1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) Verdadera(s)? PREGUNTA I) Cero es un número Natural II) Entre dos números naturales existe al menos un número natural. III) Todo número natural tiene un siguiente. IV) Todo número natural tiene un antecesor v. El conjunto de los números naturales es infinito Continúa resolviendo tu taller, presentado en el siguiente documento
  26. 26. CONTINÚA ESTUDIANDO LOS NÚMEROS ENTEROS ÉXITOS
  27. 27. LOS NÚMEROS ENTEROS
  28. 28. INTRODUCCIÓN En algún momento los números naturales no sirvieron para el cálculo de algunas situaciones, por ejemplo: quedar debiendo 500000 pesos o hasta millones o tan pocos como $5000, o medir la temperaturas bajo cero, fue por eso que nacieron los números enteros, los cuales son una generalización del conjunto de los números naturales, que incluye números negativos. A continuación se presentará una breve recuento de la necesidad de otro conjunto numérico, es decir, el por qué aparecieron, se definirá el conjunto de los números enteros, también se presentarán una serie de situaciones de la vida diaria donde están presentes los números enteros. Luego conoceremos como representarlos en una línea recta, como ordenarlos de mayor a menor o de menor a mayor. También conoceremos el valor absoluto de un número entero y además las cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación y división. Para luego presentar actividades donde aplicar lo aprendido.
  29. 29. POR QUÉ HA SURGIDO EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS? Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C. Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m.
  30. 30. Inicia, entonces, la pregunta cómo solucionar expresiones de la forma X + 1 = 0, la que no tiene solución en los naturales, así como otras situaciones de la vida real como, deudas, depresiones en los terrenos, temperaturas bajo cero, lo que tampoco es posible representarlas con tales números. Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible. Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los números enteros y que se simboliza por la letra Z STIFEL: Michael Stifel (Esslingen, Alemania 1487 - Jena, Alemania 19 de abril de 1567) fue un matemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una primigenia forma de tablas logarítmicas antes que John Napier. Su trabajo más importante es Arithmetica integra, publicado en 1544. Contiene importantes innovaciones en anotación matemática, entre ellas el primer uso de multiplicación por la yuxtaposición (sin el símbolo entre las condiciones) en Europa. También fue el primero en usar el término “exponente”, así como exponentes negativos (aunque estos últimos no los consideraba correctos)
  31. 31. Y … ¿Qué es un número entero? Ahora, ya conoces bien el sistema de los números naturales, que denotamos con la letra N y en el cual se definen dos operaciones llamadas suma y producto cuyas propiedades ya son bien conocidas para todos ustedes. Por lo tanto, podemos preguntarnos: ¿Qué es un número entero? El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z y está compuesto por: Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…} EJEMPLO CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 32 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  32. 32. Ejemplos : + 4, + 2, + 63 serían positivos y – 4, - 2 y – 63 serían negativos. Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llama Conjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números { ........, - 4, -3, - 2, - 1, 0, +1, + 2, + 3, + 4, .....} LOS NÚMEROS ENTEROS, se representan con la letra Z PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS REPRESENTACIÓN OPERACIONES: SUMA DE NÚMEROSENTEROS PROPIEDADES SUMAS CONSIGNOS DE AGRUPACIÓN MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES POTENCIACIÓN EJERCICIOS CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO MARGARITA PATIÑO JARAMILLO 33
  33. 33. PROPIEDADES 1.Todo número natural es entero, esto quiere decir que el conjunto de los números naturales está contenido en el de los enteros. z … -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … N 2. El conjunto de los números enteros no tiene primer elemento, es decir todo número entero tiene anterior. 3.Todo número entero tiene siguiente. 4. Todo número entero es menor que su siguiente y mayor que su anterior; es decir el conjunto de los números enteros está ordenado. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO Sigue 34 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  34. 34. 5. Se llama valor absoluto de un número, y se designa por | |, a dicho número si este es positivo y a su opuesto si este es negativo. (El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo) Ejemplo: |+4|= |-4|= 4 |-5| = |+5| = 5 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 35 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  35. 35. Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos el cero, los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Los números enteros crecen en valor según nos movemos de izquierda a derecha en la recta numérica Crecen en este sentido -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 36 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  36. 36. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos: 1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números y al resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números. EJEMPLOS: a) Sumar 52+34 Sabemos que 52 = 52 y │34│= 34, y que el signo de los sumandos es igual (+). Luego, 52 + 34 = +86 = 86. b) Sumar ─138 + (─25) Sabemos que │─138│= 138 y │─25│= 25. por lo cual, la suma de sus valores absolutos es 138 + 25 = 163. Como los sumandos tienen igual signo (─), entonces ─138 + (─25) = ─163 es la solución. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 37 Continúa MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  37. 37. 2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y al resultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto. EJEMPLOS: Sumar: 5 + (- 8) = - 3 y (- 5) + 8 = + 3 En conclusión lo que se debe hacer es lo siguiente: Cuando vamos a sumar dos números enteros con diferente signo, realizamos una resta del número mayor menos el número menor y el signo del resultado es el mismo signo que tiene el número mayor. Usted puede apreciar este hecho en los ejemplos anteriores CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 38 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  38. 38. PROPIEDADES DELA SUMA A continuación estudiaremos estas propiedades, las cuales quedaran explicadas en la siguiente tabla y las comprobaremos mediante la interpretación del concepto y lenguaje matemático. Se verificaran por medio de ejemplos y ejercicios. PROPIEDADES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 39 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  39. 39. PROPIEDADES DE LA SUMA: La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: 1.CLAUSURATIVA: Si a y b Z, entonces: a + b Z La suma de dos números enteros es otro número entero EJEMPLO: 2 + 3 = 5; 2 Z, 3 Z entonces la suma que es igual a 5 aZ 2. CONMUTATIVA: Sí a y b Z, entonces: a + b = b + a Si se invierte el orden de los sumandos el resultado no se altera. EJEMPLO: 3 + 4 = 7 y 4 + 3 = 7 sigue CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 40 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  40. 40. 3. ASOCIATIVA: Sí a, b, c Z, entonces: (a + b) + c = a + (b + c) El resultado de sumar más de dos números enteros no dependen de la forma como se asocian. EJEMPLO: 5 + 4 + 6 = 11, aplicando la propiedad asociativa: 5 + (4 + 6) = (5 + 4) + 6 = 11 4. MODULATIVA: Sí a Z, entonces: a+ 0 = 0 + a = a Al sumar un entero con el cero, el resultado es el entero sumando. EJEMPLO: 4 + 0 = 4 y 0 + 4 = 4 Continúa CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 41 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  41. 41. EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO: Si a Z, entonces: a + (-a) = 0 Todo numero entero sumado con su opuesto da como resultado cero. EJEMPLO: 4 + ( -4) = 0; 67 + ( -67) = 0; 23 + (-23) = 0 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 42 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  42. 42. SUMAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los signos de agrupación más utilizados son: Las llaves: { } Los corchetes: [ ] Los paréntesis: ( ) • Cuando en una operación existen estos signos, deben tenerse en cuenta ciertas reglas para poder resolver la operación indicada: 1.Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debe ser como sigue: • Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el paréntesis lleva delante un signo – se escribe el resultado opuesto. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 43 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  43. 43. 2. Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchete lleva delante un signo – se escribe el resultado opuesto. Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + adelante, es decir +5 y 5 es lo mismo. EJEMPLO: Realizar las siguientes operaciones: 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)] 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)] -1 5 – [2 +6 – 1] 7 5- 7 -2 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 44 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  44. 44. EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS ( SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS ENTEROS) Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta. Realiza las siguientes operaciones, aplicando los conceptos relacionados con los números enteros: Calcula: a) 5 – (6 – 7) + (4 – 9) g) 5 – 12 + (3 – 7) – ( - 3 – 6) b) – [5 + 3 – (6 – 5 + 8)] h) – [(6 – 5) + 8] – [(1+ 3) + 6] c) 9 – (3 – 5) + (6 + 4 – 7) i) – 5 + [3 + (6 – 5) + 8] - 2 d) – (4 – 7) – [8 + (9 – 2)] e) – 8 + ( 3 – 5) – (- 3 + 6) f) – [8 - ( 3 – 5)] – (- 3 + 6) CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 45 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  45. 45. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros hay que distinguir dos casos: 1. Si tienen el mismo signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será positivo. 2. Si tienen distinto signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será negativo. 3. Los numerales 1y dos, hacen referencia a la regla de los signos: Regla de los signos: + POR + = +; - POR - = + + POR - = -; - POR + = - EJEMPLO: 3 x 2 = 6; 1 x (- 4) = - 4; ( - 3) x (- 5) = + 15; ( - 2) x 4 = - 8 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 46 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  46. 46. 1. Regla del producto a. El producto de dos números positivos es otro número positivo. b. El producto de dos números negativos es otro positivo. c. El producto de dos números de diferente signo es otro número negativo. 2. Asociativa. El agrupamiento de los factores no altera el producto. 3. Elemento unidad: el 1 es el elemento neutro o unidad, porque al multiplicar por cualquier número da dicho número. 4. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto 5. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: el producto de un número por una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los productos de dicho número por cada sumando. 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 47 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  47. 47. POTENCIACIÓN Una potencia es una multiplicación de factores iguales, el factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente, se representa como: a x a x a x a = a4 • Para calcular una potencia de base entera hay que tener en cuenta lo siguiente: a) Si la base es positiva entonces el resultado siempre es positivo b) Si la base es negativa y el exponente es un número par entonces la respuesta es positiva. c) Si la base es negativa y el exponente es un número impar entonces la respuesta es negativa. EJEMPLO: 23 =8; (-3)2 = 9; (-3)3 = -27; 43 = 64 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 48 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  48. 48. EJERCICIOS: Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta. 1. Realiza las siguientes operaciones: 1) 3 x (2 + 5) + (- 6 x 5 + 2) x (3 – 4) – (6 – 8) = 2) 1 – [6 x (2 + 3) – (4 + 1) x 2] x 2 = 3) (4 + 7) x (4 + 5) – 8 x (9 – 7) + (–7 – 2) = 4) 3 + 2 x 3 x ( - 4 x 2) – ( 6 – 7) – 2 x 4 x (–1) = 5) 1 + (3 + 4 x 2 – 6) x 2 – (5 – 7) x 2 = 6) 3 – 4 x (2 – 3) x 2 + ( 4 + 3 + 2) x (–1) x 2 = 7) 2 – [3 – (2 – 5) x 3 + 2 x (1 – 3) x (–2)] + 5 = 8) 4 – 5 x {2 – 3 x [– 4 + 2 x (5 – 4) x (–1)] x (–1)} x (–1) = 9) 8 – [4 + (2 – 5) x 2 – 6 x 3 + (6 – 2)] x (–1) + 5 x (–3 – 2) = 10) 1 – {2 – [3 x (4 – 5) x 2 – 3] x 2} x (–2) = CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 49 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  49. 49. EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA NÚMEROS ENTEROS Para que continúes practicando, realiza los ejercicios siguientes: CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 50 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  50. 50. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 51 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  51. 51. NÚMEROS PRIMOS Un número entero P es primo si es un número mayor que 1 y los únicos enteros que lo dividen son 1, -1, P y –P. A los números de la forma –P donde es un primo les llamaremos primos negativos. Por ejemplo: 5, es divisible por (1, -1, 5, -5), primo positivo. La sucesión de los números -5, es divisible por (1, -1, 5, -5), primos, (positivos), comienza con: primo negativo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Hay infinitos números primos, es decir, existen números primos tan grandes como se quiera. La distribución de los números primos es muy irregular. Hay algunos que son números impares consecutivos, como 3 y 5; estos se llaman primos gemelos. VILLA ARANGO CARLOS ENRIQUE 52 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  52. 52. NÚMEROS RACIONALES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 53 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  53. 53. NÚMEROS RACIONALES El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones que se presentaban en la división en el conjunto de los Números Naturales y Números Enteros. Al encontrar que la división entre dos números, naturales o enteros, no siempre daba exacta y que en muchísimos casos los decimales eran infinitos no periódicos, se inventaron los racionales o fraccionarios, el a cual está formado por todos los números de la forma b El conjunto de los Números Racionales (Q ) se expresa por comprensión como: a Q= / a ,b Z, b 0 b Lease: El conjunto de los números racionales es el conjunto de los números tal que a y b pertenecen a los enteros con b diferente de cero. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 54 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  54. 54. Operaciones con números racionales Suma y resta • Fracciones de igual denominador. Sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Ejemplo: 2 8 2+8 10 7 5 7 -5 2 + = = = 2 y - = = 5 5 5 5 3 3 3 3 •Fracciones de distinto denominador. Primero calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y ese valor es el denominador común de todas las fracciones, luego se divide ese mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador correspondiente. Ejemplo: 2 + 5 + 1 3 8 12 Solución: El mcm (3, 8, 12) = 24, entonces 2 5 1 1 6 +1 5 +1 4 45 15 + + = = = 3 8 12 24 24 8 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 55 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  55. 55. Análogamente para la resta. Ejemplo: 5 1 7 - - = ? 6 4 12 Solución: El mcm (6, 4, 12) = 12, entonces 5 1 7 1 0 -3 -7 0 - - = = = 0 6 4 12 12 12 Multiplicación de Fracciones Para multiplicar dos o más fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Ejemplo: 4 8 4×8 32 × = = 3 9 3×9 27 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 56 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  56. 56. División de Fracciones Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz los términos de las fracciones. Ejemplo: 8 4 8×3 24 6 ÷ = = = 5 3 5×4 20 5 FRACCIONES EQUIVALENTES DECIMALES CONVERTIBLES EN CLASES DE FRACCIONES FRACCIONES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 57 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  57. 57. FRACCIONES EQUIVALENTES Toda fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes las cuales se pueden obtener multiplicando el numerador y denominador de la fracción por el mismo número. Ejemplo: 3 9 y Las fracciones 5 15 son fracciones equivalentes ya que 3 m ultiplicado por 3 9 = 5 m ultiplicado por x 3 15 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 58 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  58. 58. DECIMALES CONVERTIBLES EN FRACCIONES: Al conjunto de los racionales pertenecen los números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción (Consultar y estudiar procedimientos). CLASES DE FRACCIONES: Según sean numerador y denominador las fracciones se clasifican como: - FACCIONES PROPIAS: Cuando el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 1 , 3 , 1 1 7 8 50 - FRACCIONES IMPROPIAS: Cuando el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: 1 1 , 3 , 1 1 7 2 3 USOS DE LOS RACIONALES PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS RACIONALES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 59 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  59. 59. USOS DE LOS RACIONALES: , •Para expresar una o varias de las partes en que se ha dividido la unidad. Ejemplo: una de tres partes de la unidad: 1 3 , • Para expresar la distribución de una cantidad en varias partes iguales: . Ejemplo: siete unidades distribuidas en dos: 7 2 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE RACIONALES Asociativa En una suma de números racionales pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía. . 2 1 7 2 1 7 + + = + + Ejemplo: 3 5 15 3 5 15 13 7 2 10 + = + 15 15 3 15 20 20 2 1 7 2 1 7 = 15 15 3 5 15 3 5 15 13 7 2 10 15 15 3 15 20 20 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 15 15 60sigue MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  60. 60. Conmutativa El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total de la suma. Ejemplo: 2 1 7 1 7 2 + + = + + 3 5 15 5 15 3 20 20 = 15 15 Elemento neutro En el conjunto de los números racionales existe un número que sumado a cualquier otro da siempre este último. Este número se llama elemento neutro de la suma y es el cero. Ejemplo: 3 0 9+0 9 3 + = = = 4 6 12 12 4 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 61 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  61. 61. Existencia del opuesto El opuesto del número 3 e s - 3 7 7 La suma de dos números opuestos pertenece a la clase del numerador cero. Ejemplo: 3 -3 0 + = = 0 7 7 7 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES Asociativa En un producto de números racionales pueden sustituirse dos o más de los factores por el producto efectuado. 3 5 7 11 1155 77 × × × = = Ejemplo: 2 3 5 2 60 4 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 62 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  62. 62. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: 2 7 7 2 14 × = × = 5 3 3 5 15 Elemento neutro En el conjunto de los números racionales existe un número que, multiplicado por cualquier otro, da siempre este último. A tal número se le llama elemento neutro respecto del producto. Es el representado por las fracciones del tipo a = 1 (numerador y denominador iguales). a Elemento inverso o inverso multiplicativo Es el que, multiplicado por un número racional, hace que su producto sea el elemento neutro. 2 5 10 Ejemplo: × = = 1 5 2 10 2 5 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 63 Para 5 el inverso es 2 porque : MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  63. 63. RAZONES Y PROPORCIONES Una razón es la comparación de dos números por medio de un cociente. Este cociente se interpreta como el número de veces que uno de ellos es mayor que el otro, esto se expresa como: a , b 0 b Al término a se le llama antecedente y al término b, consecuente. Las razones y proporciones tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean las escalas para realizar planos y maquetas, en las área estadística y financiera para realizar cálculos de índices y, en la vida diaria, para distribuciones y desarrollar ciertas operaciones aritméticas. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 64 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  64. 64. Ejemplo de razones: Una persona, al comprar una caja que contiene 30 huevos, observó que seis salieron quebrados; la razón que se obtiene es: 6 H u e vo s q u e b ra d o s 30 T o ta l d e h u e vo s Simplificando la razón, se tiene: 6 1 = o 1÷ 5 30 5 lo cual se interpreta como: un huevo de cada cinco está quebrado. PROPORCIONES Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones y, se expresa como: a c = , donde b y d ≠ 0 b d en las proporciones, los términos a y d se denominan extremos y b y c, medios. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 65 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  65. 65. Una proporción está formada por dos razones igualadas. De este modo, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Propiedad fundamental de las proporciones: a c = , si y sólo si a × d = b × c donde b y d ≠ 0 b d Ejemplo: Un albañil compró 3.5 m. de tubería y pagó por ella $ 14000. Si necesita 8 m. de la misma tubería, ¿cuánto deberá pagar? Solución: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las operaciones se tiene: 3 .5 m 8m = ; 8 m $ 1 4 0 0 0 = 3 .5 m x $ 14000 x 8m $ 14000 x = = $ 32000 3 .5 m L o s 8 m d e tu b e ría c u e s ta n $ 3 2 0 0 0 Recuerde: Dos razones forman una proporción, solamente cuando el producto de sus extremos es igual alARANGO CARLOS ENRIQUE VILLA producto de sus medios. MARGARITA PATIÑO JARAMILLO 66
  66. 66. Fracción mixta Una fracción es mixta cuando está compuesta por un entero y un fraccionario. co rre sp o n d e a : 1 + 1 + 1 4 D o s e n te ro s y u n cu a rto . E je m p lo : R e d u c ir 6 a u n a fra c c ió n e q u iv a le n te d e d e n o m in a d o r 7 . 6×7 42 S o lu c ió n : 6 = = 1× 7 7 E je m p lo : R e d u c ir 1 7 a n o v e n o s 17 9 153 S o lu c ió n : 17 = = 1 9 9 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 67 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  67. 67. Si a > b entonces: a >1 y tenemos por lo tanto una fracción impropia en la que si dividimos: b nos da: Ejemplo: por lo tanto: CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 68 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  68. 68. La fracción 2 Puede expresarse también como: 1 3 2 1× 3 + 2 5 y: 1 = = 3 3 3 Ejemplos: E je m p lo 1 : 1 C o n v e rtir 3 e n fra ccio n a rio . 5 S o lu ció n : 1 3×5 +1 16 3 = = 5 3 3 E je m p lo 2 : 16 C o n v e rtir e n m ixto 5 S o lu ció n : D iv id im o s nos queda por lo tanto: CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 69 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  69. 69. NÚMEROS IRRACIONALES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 70 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  70. 70. El conjunto de los números irracionales, Q’, está constituido por todos los números decimales infinitos y no periódicos, es decir, son aquellos números que no pueden transformarse en una fracción . Los siguientes son números irracionales: 0.12345678910111213... 12.101001000100001... 126.122333444455555... PROPIEDADES Son también números irracionales aquellos USOS DELOS Q’ que tienen raíces inexactas, como: SUMA Y SUS 3 7, 3, 2, PROPIEDADES MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 71 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  71. 71. Los números irracionales Q’, tienen la importante propiedad de poder ser aproximados con el grado de precisión que se necesite. USOS DE LOS IRRACIONALES: El número ,es una constante y el número e = 2.718281828… también considerado constante, ellos están en los cálculos de áreas y volúmenes y en los exponenciales y logaritmos. 3 Las raíces inexactas como 2, 5 ,tienen que ver con cálculos comunes en las 7, asignaturas con base matemática. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 72 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  72. 72. ADICIÓN O SUMA DE NÚMEROS IRRACIONALES: Es la combinación interna de unidades decimales que se originan de una suma algebraica de dos o mas sumandos 23 2 e 1 3 .7 9 7 2 9 9 ... PROPIEDADES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 73 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  73. 73. PROPIEDADESDE LA SUMA 1. Asociativa En una suma de números irracionales pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía. 2 5 7 ( 2 5) 7 6 .2 9 6 0 3 ... 2 ( 5 7) 6 .2 9 6 0 3 ... 6 .2 9 6 0 3 2. Conmutativa El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total de la suma. 2 5 7 5) 2 7 6 .2 9 6 0 3 ... 7 2 5 6 .2 9 6 0 3 ... 6 .2 9 6 0 3 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 74 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  74. 74. Elemento neutro En el conjunto de los números irracionales existe un número que sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama elemento neutro de la suma y es el cero. 33 0 33 5 .7 4 4 5 6 ... CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 75 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  75. 75. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican como enteros y en el producto se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores, escribiendo ceros a la izquierda si son necesarios para separar las cifras decimales. Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre la coma decimal tantos lugares como ceros tengan el multiplicando, añadiendo a la derecha del numero decimal los ceros que sean precisos para poder recorrer el punto decimal 3 11 x 1 7 = 8 .5 2 7 9 7 3 e 1 4 .7 9 1 2 5 ... CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 76 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  76. 76. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN 1. Asociativa En un producto de números irracionales pueden agruparse dos o más de los factores en una forma cualquiera. 13 x ( 5 x 17 ) ( 13 x 5 ) x 17 3 .6 0 5 5 ... x 9 .2 1 9 5 ... 8 .0 6 2 2 6 ... x 4 .1 2 3 1 3 3 .2 4 1 3 3 .2 4 1 2. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. 17 x 2 2 x 17 4 .1 2 3 1 x 1 .4 1 4 2 1 3 1 .4 1 4 2 1 3 x 4 .1 2 3 1 5 .8 3 1 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 77 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  77. 77. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 78 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  78. 78. NÚMEROS REALES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 79 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  79. 79. Números Reales Se le denominan números reales cualquier número que pertenezca a los racionales (Q) o a los irracionales (Q’) . Pueden expresarse de forma decimal, como número entero, decimal exacto, decimal periódico o no periódico. Números Reales (R) R = {Q Q'} Las propiedades de los reales están separadamente en los números naturales, enteros, racionales e irracionales. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS REALES PORCENTAJES CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 80 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  80. 80. Conmutativa para la adición: La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo. Por ejemplo: 4.2 + 2.3 = 2.3 + 4.2 Conmutativa de multiplicación Ejemplo: 1.4 × 2.5 = 2.5 × 1.4 Asociativa de adición La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo. Por ejemplo: 4 × 2 .7 × 9 .1 = 4 .3 × 2 × 9 .1 = 9 8 .2 8 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 81 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  81. 81. Distributiva de multiplicación sobre adición Por ejemplo: 3 3×2+3×9 33 × 2 + 9 = = 2 2 2 Ejemplo: Realizar las sigientes operaciones del polinomio aritmético: 1 7 2 3 -2 - + - 3 .5 - 0 .5 5 5 3 1 7 2 3 -2 - + - 3 .5 - 0 .5 Solución: 5 5 3 6 2 3 -2 - 3 5 3 - 12 3 -2 5 - 12 - 10 - 22 -6 6 3 =3 = 5 CARLOS ENRIQUE5 5 VILLA ARANGO 82 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  82. 82. PORCENTAJE: Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica esta cantidad por el tanto por ciento y se divide por cien. Ejemplo: Calcular el 13% de 45 Solución: 45 ×13 585 13 % de 45 = = = 5 .8 5 100 100 Para saber qué porcentaje es una cantidad con respecto a una base se divide la cantidad por la base y se multiplica por cien. Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 22 de 88? Solución: 22 100 %: × 100 = = 25% 88 4 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 83 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  83. 83. Ejemplo: Juan tiene un sueldo de $527.000 y se gasta el 32% en arriendo. ¿Cuánto dinero le queda después de pagar el arriendo? 32 Solución: El 32% de $ 527000 es : × $ 527000 = $168640 100 32 Observemos que: 32% es = 0 .3 2 100 A Juan le quedan: $ 527000 - $ 168640 = $ 358360 En muchos ejercicios el empleo de la regla de tres es indispensable para hallar la solución. En la próxima diapositiva se describe el procedimiento para la regla de tres simple directa. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 84 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  84. 84. REGLA DE TRES La Regla de Tres simple directa La Regla de Tres simple relaciona tres magnitudes para obtener una cuarta. Ejemplo: Si 12 naranjas cuestan $ 72, ¿cuál será el precio de 20 naranjas? La relación entre 12 y 72 determinará la relación entre 20 y el valor desconocido. Más naranjas cuestan más dinero. D IR E C T A Menos naranjas cuestan menos dinero. Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA 12 naranjas ------ $72 $72 20 20 naranjas ------ x donde x = $120 12 Es decir que se multiplican los valores que están en la diagonal que no contiene a X y se divide ese resultado por el valor que está en la diagonal que contiene a X. SIEMPRE LOS DATOS QUE CORRESPONDEN A LA MISMA MAGNITUD DEBEN QUEDAR EN LA MISMAENRIQUE VILLA ARANGO CARLOS COLUMNA. 85 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  85. 85. La Regla de Tres simple inversa Ejemplo: Si 6 obreros tardan 12 días en realizar un trabajo, ¿cuánto tardarán 8 obreros? La relación entre 6 y 12 nos permitirá averiguar la relación entre 8 y el valor desconocido. Más obreros tardarán menos tiempo. Menos obreros tardarán más tiempo. A MÁS CORRESPONDE MENOS - - - - A MENOS CORRESPONDE MÁS Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA 6 Obreros --- 12 días 8 Obreros ------ x días 12 días 6 obreros donde x = 9 días 8 obreros es decir que se multiplican entre sí los dos valores de la primera línea horizontal que no contiene a X y se divide el resultado por el valor de la segunda línea horizontal que contiene a X. CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 86 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  86. 86. Ejemplo: De qué número es 52 el 15%? Solución: El 15% del número que se busca es 52, el 100% será X Se trabaja una regla de tres simple: 15% …….. 52 100% ……. X 52 × 100% = 3 4 6 .6 6 c o n d o s d e c im a le s Entonces: X = 15% Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo 25% es 425? Solución: Diremos que el 25% del número que se busca es 425; el 100%, o sea el número buscado será x? La regla de tres sería 425 … … … … … … 25% … … … … . . … 100% 425×100% Entonces: = 25% = 1700 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 87 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO
  87. 87. Números Complejos Números Complejos (C) = + / a b ∈ R, = − 1 Un número complejo se define como = + (forma binómica) donde a y b son reales y bi es la parte imaginaria. Llamaremos = −1 a la unidad imaginaria. Con a y b reales. La letra i representa la raíz cuadrada de –1 Ejemplos: 7 + 5, −8 + 4, −20 − 6 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO 88 MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

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