Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre geometria riemanniana e grupos de Lie. Os exercícios incluem mostrar que o fibrado tangente é orientável, que a projeção do fibrado tangente é um fibrado vetorial e que campos vetoriais são iguais se produzem a mesma derivada de funções.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 2 - Revisão de Variedades
Geometria Riemanniana
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Mostre que não existe imersão de S1
em R.
2. Prove que o brado tangente TM é sempre orientável (mesmo que M não seja).
3. Mostre que π : TM → M é um brado vetorial de rank = n onde dimM = n.
4. Mostre que f : M → N é um difeomorsmo local se, e somente se, dfp : TpM → Tf(p)N é um
isomorsmo. (Dica: Use o Teor. da Aplicação Inversa em Rn
)
5. (Igualdade de Campos Vetoriais) Mostre que dois campos vetoriais suaves X e Y em uma
variedade M são iguais se e somente se para toda função suave f em M, temos Xf = Y f.
6. Seja X um campo vetorial em Sn
. Estenda X a Rn+1
por ¯X(x) = |x|.X x
|x|
e seja Y o campo
vetorial em Rn+1
/{0} denido por Y (x) = x
|x|
. Calcule [ ¯X, Y ] e [X1, Y ], onde X1(x) = X x
|x|
.
7. (Naturalidade dos Colchetes de Lie) Seja φ : M → N um difeomorsmo, e X e Y dois
campos vetoriais suaves em M. Então
[φ∗X, φ∗Y ] = φ∗[X, Y ].
8. A denição de grupo de Lie requer que ambas as operações de multiplicação e inversão são
suaves. Prove que a suavidade da aplicação inversão é redundante: Se (G, ·) é uma variedade
suave com estrutura de grupo tal que a aplicação multiplicação é suave então a aplicação
inversão é suave.
9. Exercícios do Cap. 0 do Manfredo