Demostraciones teorema de Euclides

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Demostraciones teorema de Euclides

  1. 1. Demostración Teorema de Euclides referente a la altura En todo triángulo rectángulo de altura y proyecciones p y q, la altura es la media proporcional geométrica entre las proyecciones determinadas por los catetos sobre la hipotenusa, es decir: Demostración: Aplicando el teorema particular de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC puedes obtener las siguientes igualdades: Sumando miembro a miembro observas que: Siendo ABC un triángulo rectángulo, sabemos que , por el teorema de Pitágoras, por lo tanto:
  2. 2. Y como , tienes que: De donde, finalmente, deduces la igualdad requerida, es decir: Queda entonces demostrado el teorema.
  3. 3. Demostración Teorema de Euclides referente a los catetos En todo triángulo rectángulo ABC de lados a, b y c con proyecciones q y p sobre la hipotenusa, el cuadrado de un cateto es la media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección que determina este cateto sobre la misma, es decir: Demostración de Si aplicas el teorema de Pitágoras al triangulo DBC tienes que: Y del teorema de Euclides referente a la altura , podemos escribir: Si ahora sacas factor común p, puedes escribir la igualdad anterior como sigue: Teniendo en cuenta que deduces la igualdad deseada, es decir:
  4. 4. Queda entonces demostrado el teorema. Actividad Mediante un razonamiento completamente análogo, prueba que

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