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角錐や円錐が、角柱や円柱の体積の3分の1であることを積分・極限抜きで証明してみる

Hiro H.
Hiro H.

相似関係とカヴァリエリの原理だけで証明します。

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角錐や円錐が
角柱や円柱の体積の
3分の1であることを
積分・極限抜きで証明してみる
H.Hiro
http://hhiro.net/
Twitter: http://twitter.com/h_hiro_
角錐や円錐の体積は、
• [底面積]×[高さ]÷3 で、
• 底面積と高さが同一である角錐や円錐の3分の1
• なんだけど、何で「3分の1」なのか
小学生のとき疑問に思いませんでした?
証明方法
• 積分を使えばすぐ
• なんだけど、あまり面白くない
• 図形の変形として証明したい
今回の証明方法
• 微分積分、極限は使わない
• ただし、カヴァリエリの原理は使う
(そもそもそれがないと、「同じ高さの角柱で頂点の
位置が違うもの」が同一の体積だと証明するのも難しい)
補足:カヴァリエリの原理(1)
• Wikipediaの説明がわかりやすい
https://ja.wikipedia.org/wiki/カヴァリエリの原理
• 体積の場合だと、「高さが同じで、高さkでの
切り口の面積が任意のkについて同じである
二つの立体は、体積も同一である」
補足:カヴァリエリの原理(2)
• ちなみにWikipediaの記事には、球の体積を
経由して円錐の体積を算出する方法が載って
いるものの、そもそも球の体積の計算方法を
証明するのに積分ないし極限が必要なので除外。
下図:Wikipedia (Wikimedia commons) より、Pajs氏作
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cavalieriho_princip.svg
証明手順1:上半分を反転する
• 底面積S、高さhの角錐や円錐を考える
• 高さにして半分のところで切り、反転する
h
S
h/2
S
S/4

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