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角錐や円錐が、角柱や円柱の体積の3分の1であることを積分・極限抜きで証明してみる

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角錐や円錐が、角柱や円柱の体積の3分の1であることを積分・極限抜きで証明してみる

  1. 1. 角錐や円錐が 角柱や円柱の体積の 3分の1であることを 積分・極限抜きで証明してみる H.Hiro http://hhiro.net/ Twitter: http://twitter.com/h_hiro_
  2. 2. 角錐や円錐の体積は、 • [底面積]×[高さ]÷3 で、 • 底面積と高さが同一である角錐や円錐の3分の1 • なんだけど、何で「3分の1」なのか 小学生のとき疑問に思いませんでした?
  3. 3. 証明方法 • 積分を使えばすぐ • なんだけど、あまり面白くない • 図形の変形として証明したい 今回の証明方法 • 微分積分、極限は使わない • ただし、カヴァリエリの原理は使う (そもそもそれがないと、「同じ高さの角柱で頂点の 位置が違うもの」が同一の体積だと証明するのも難しい)
  4. 4. 補足:カヴァリエリの原理(1) • Wikipediaの説明がわかりやすい https://ja.wikipedia.org/wiki/カヴァリエリの原理 • 体積の場合だと、「高さが同じで、高さkでの 切り口の面積が任意のkについて同じである 二つの立体は、体積も同一である」
  5. 5. 補足:カヴァリエリの原理(2) • ちなみにWikipediaの記事には、球の体積を 経由して円錐の体積を算出する方法が載って いるものの、そもそも球の体積の計算方法を 証明するのに積分ないし極限が必要なので除外。 下図:Wikipedia (Wikimedia commons) より、Pajs氏作 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cavalieriho_princip.svg
  6. 6. 証明手順1:上半分を反転する • 底面積S、高さhの角錐や円錐を考える • 高さにして半分のところで切り、反転する h S h/2 S S/4
  7. 7. 証明手順1:上半分を反転する • このとき、元の錐体の体積をVとすると、 反転した部分の体積は、V/8 (相似比1/2であり、体積比はその3乗となる) h S h/2 S S/4
  8. 8. 証明手順1:上半分を反転する • さらに、元の錐体から反転した部分を削った 残り(右図の青い部分)の体積は (7/8)V-(1/8)V = (3/4)V h S h/2 S S/4
  9. 9. 証明手順2:高さごとの面積計算 • いま作った立体において、底面から高さkの 断面の面積は S S/4 k [補足] 最初の行における 1-k/h や k/(h/2) は、切断面が錐体の頂点から どれだけ離れたかの比率(頂点が0、底面が1)である。 また、その比率を2乗しているのは、錐体の切断面の面積なので 頂点から離れるにつれて2乗で拡大していくためである。
  10. 10. 証明手順3: カヴァリエリの原理を適用 • カヴァリエリの原理を使えば、いまの立体の 体積を求める代わりに、「高さが h/2、 高さ k での断面積が である別の立体」の体積を求めてもよい。
  11. 11. 証明手順3: カヴァリエリの原理を適用 • 「高さが h/2、高さ k での断面積が である別の立体」としては、以下のようなものが 考えられる。 なぜなら、「k/(h/2)」は「断面の高さ k に比例して面積が小さく なる」ことだからである。 h/2 S S/4 h/2 S
  12. 12. 証明手順3: カヴァリエリの原理を適用 さらに、このように変形できることから、 求めたい体積は角柱(円柱)の半分、 つまり [S×(h/2)]÷2 = Sh/4 となる。 なお、上図のように貼り合わせられるのは角柱の場合のみであるが、 そうでなくても逆さまに二つ並べれば「どの高さkでも面積がSになる立体」 となるので、カヴァリエリの原理により角柱(円柱)の体積に一致する。 h/2 S h/2 S
  13. 13. まとめると • 証明手順1により、角錐(円錐)の上半分を 反転させて削ったものの体積は、(3/4)V (V:もとの角錐(円錐) の体積) • 証明手順3により、その体積は Sh/4 • ゆえに、(3/4)V = Sh/4 ∴ V = Sh/3

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