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Trigonometria. una herramienta_para_medir_alturas_

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Excelente material para estudiantes de secundaria para entender mejor sobre esta materia

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Trigonometria. una herramienta_para_medir_alturas_

  1. 1. TRIGONOMETRÍA, UNA HERRAMIENTA PARA MEDIR ALTURAS Experiencia de aula Autor: Daniel Hernández Cárceles 1
  2. 2. INDICE:1. Introducción ........................................................................................... 32. Video de la Experiencia .......................................................................... 33. Construcción de un aparato medidor de ángulos ..................................... 44. Desarrollo de la experiencia. Ficha entregada a los alumnos. ................. 65. Algunas aplicaciones de la Trigonometría a la vida real. ...................... 156. Material de ampliación ......................................................................... 18 2
  3. 3. 1. IntroducciónEste documento resume una experiencia llevada a cabo en clase de Matemáticas conalumnos de 4º de ESO y 1º de Bachillerato.La experiencia se desarrolló en 4 sesiones: Sesión 1 Construcción en clase de medidores de ángulos manuales y organización del trabajo a realizar en las siguientes sesiones Sesión 2 Salida al patio del instituto para llevar a cabo las tareas recogidas en una ficha que poseía cada alumno. Se realizaron distintos tipos de mediciones. Sesión 3 Se acabó de recopilar los distintos datos de mediciones en el patio y una vez obtenidos todos los datos se completaron las fichas en el aula. Sesión 4 Se visualizó un video elaborado con la información recogida de la experiencia y se plantearon distintos problemas de situaciones de la vida real de resolución similar a las llevadas a cabo en la experiencia fuera del aula.2. Video de la ExperienciaEn este apartado se incluye un enlace al video que se elaboró de la experiencia. Enlace: http://www.youtube.com/watch?v=jzst7SKqcCoEste video tiene una duración de 25 minutos y consta de 3 partes:  Un pequeña introducción histórica a la Trigonometría.  Proceso de creación de un medidor de ángulos artesano  Distintas actividades realizadas en el patio con los alumnos 3
  4. 4. 3. Construcción de un aparato medidor de ángulosSe llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con ellugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal delobservador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuandoel observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión. 4
  5. 5. Veamos una forma práctica y rápida de obtener un medidor de ángulos.I. Necesitamos un trozo de madera, una fotocopia de un porta-ángulos, una pajita, hilo, una tuerca, un tornillo y cinta de pegar.II. Pegamos la pajita en la parte superior de la madera con la cinta tal y como se aprecia en la fotografíaIII. Pegamos también la fotocopia del porta-ángulos a la madera.IV. Clavamos el tornillo como se ve en la fotografía sujetándolo el hilo con la tuerca que hará de contrapesoV. Y ya tenemos nuestro fantástico medidor de ángulos 5
  6. 6. 4.- Desarrollo de la experiencia. Ficha entregada a losalumnos. “Práctica realizada con los alumnos de 4ºESO y 1º Bachillerato del I.E.S. Beneche (Yeste).”1.- Vamos a calcular la altura de la bandera de la entrada del Instituto. Suponiendo quehaya sol, emplea tu propia sombra y la de la bandera para calcular su altura. Dibuja elesquema que sigues y escribe los cálculos que hayas utilizado. 6
  7. 7. Solución al problema:A continuación, calcula la altura midiendo tu distancia a la bandera y el ángulo queformas con ella, usando las razones trigonométricas y comprueba que te sale la mismaaltura. 7
  8. 8. 2.-Pasamos ahora a medir la altura de la farola que se encuentra frente a la puerta deentrada al instituto. En este caso calcular la altura usando las razones trigonométricas.Solución al problema: 8
  9. 9. 3.-Queremos medir la pendiente de la carretera que pasa por la puerta del instituto. Laspendientes se miden en K % donde cada 100 metros de movimiento horizontal suponenK metros de movimiento vertical.Hacemos una medición con dos de vosotros colocados a bastante distancia (al menos 20metros) en dos puntos de la cuesta. Calculáis la distancia entre vosotros y el ángulo queformáis con la vertical.Usando las razones trigonométricas, calcular la pendiente de la cuesta. 9
  10. 10. 4.-Ahora vais a calcular la altura de la cruz que se encuentra en lo alto del monte. Paraello nos vamos a situar cerca del pabellón de deportes. Tenéis que realizar lasmediciones de acuerdo al dibujo y calcular lo que mide la cruz usando las tangentes.Alumnos realizando la práctica. 10
  11. 11. Solución al problema: 11
  12. 12. 5.-Medir la altura del pabellon. Podeis usar el método que querais.Solución al problema: 12
  13. 13. 6.- En la entrada del pabellón, medir la distancia entre la columna y la cañería blancadeacuerdo al siguiente esquema: 13
  14. 14. Solución al problema: 14
  15. 15. 5.- Algunas aplicaciones de la Trigonometría a la vidareal.1) Estimación de la distancia Tierra-LunaYa conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamosla Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radioobtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km..(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de laLuna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia mediahasta la superficie lunar es de 384403 km)2) Estimación de la distancia Tierra-SolAristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas vecesera mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos 15
  16. 16. la Luna en cuarto creciente las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º.Aristarco midió el ángulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valoren 87º.De esta forma:Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayorque hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemosuna distancia solar de 7344920 Km.Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error almedir el ángulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50. Esta pequeña diferenciaen la medida del ángulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdaderaseparación Tierra-SolCon mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km.Como recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA).3) MedicionesSe desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera quequede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan unainclinación de 20E. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del caucese situará el comienzo de la rampa? 16
  17. 17. la baranda es de unos 21 m y 70 cm.La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.4) Cálculo de alturasSe desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desdelos puntos A y B. Con los datos de la figura tenemos que:Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos:(10+x)·0839=196·x; 839+0839·x=196·x; 839=1121·x; x=7484 m,aproximadamente.h=7484·196=14668. La torre mide unos 14 metros y medio de alto.  Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo. 17
  18. 18. 6.- Material de ampliación Construir un goniómetro y usarlo para determinar la altura Tarea 1: de un edificio Explicar y valorar el trabajo realizado por Thales de Mileto Tarea 2: para determinar la altura de las pirámides de Egipto. Explicar cómo un pequeño error en la medición de un Tarea 3 ángulo, puede conducir a resultados muy lejanos de la realidad. Exponer el trabajo realizado por Eratóstenes para medir el radio de la Tierra y explicar los métodos trigonométricos Tarea 4 que pueden utilizarse en la actualidad para realizar esa tarea. Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura Tarea 5: por métodos fotográficos. 1 ProcesoTarea 1: Construir un goniómetro y usarlo para determinar la altura de unedificio.El goniómetro es un instrumento muy antiguo utilizado para medir ángulos. Susaplicaciones llevan implícito los conceptos matemáticos desarrollados por losantiguos griegos. Para construirlo debes consultar los sitios recomendados yseleccionar el material necesario y distribuir las tareas. Una vez lo construyasdeberás utilizarlo para medir la altura de un edificio importante de la ciudad. Tesugerimos que midas la altura de un edificio o monumento importante de tuciudad.En la exposición debes describir el proceso de construcción, presentar lasmediciones realizadas, explicar su significado y comentar los procedimientos 18
  19. 19. actuales de medición.Tarea 2: Valorar y explicar el trabajo realizado por Thales de Mileto paradeterminar la altura de las pirámides de Egipto.Para esta tarea debes consultar los sitios recomendados y seleccionar de allí elmaterial necesario. En la exposición, además de presentar la experiencia realizadapor el sabio griego y destacar el fundamento matemático empleado en esamedición, debes presentar una breve biografía. Sería importante que en estaexposición hagas una breve exposición del momento histórico que se vivía en eseentonces.Tarea 3: Explicar cómo un pequeño error en la medición de un ángulo, puedeconducir a resultados muy lejanos a la realidad:En esta tarea debes aprovechar el trabajo realizado por Aristarco de Samos(precursor de la teoría Heliocéntrica) en el siglo III a.c. cuando estimó lasdimensiones del Sol y la Luna, así como sus respectivas distancias a la tierra.En la exposición usted debe desarrollar el método utilizado por Aristarco paramedir las distancias relativas de la tierra y la luna al sol y explicar como unapequeña falla en la medición puede generar errores garrafales.Tarea 4: Exponer el trabajo realizado por Eratóstenes para medir el radio de laTierra y explicar como podría utilizarse en la actualidad nuevos métodos parahallar ese radio.La primera referencia de las mediciones de la circunferencia terrestre aparecen enlos obras de Aristóteles y al parecer fueron llevados a cabo a mediados del siglo IIIa.c. Sea como fuere de estos primeras mediciones sólo se conocen sus resultados,no los método empleados para llevarlas a cabo. Sobre el trabajo de Eratóstenes esla primera medición de la cual se posee información casi completa.Investiga el trabajo realizado por él y cómo puede enfocarse hoy por métodostrigonométricos. También debes determinar los procedimientos que hoy puedenutilizarse para determinar el radio y el perímetro de la Tierra.Tarea 5: Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura a través deuna fotografía.Para esta tarea debes tomarte una fotografía en el mismo edificio usado en la tarea 19
  20. 20. 1. La persona que sirve de modelo debe estar en posición erguida y el fotógrafodebe asegurarse por enfocar todo el edificio. Si bien esta técnica de medición estábasada en las propiedades de las escalas, es importante que los estudiantes laconozcan. Ejercicios Propuestos. 1º Sabiendo que sen A = 4/5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante. 2º Sabiendo que cos A = -raiz(3)/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y el ángulo A, sabiendo que está en el segundo cuadrante. 3º Sabiendo que cos A = -1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y A, sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante. 4º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º. 5º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 240º. 6º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 300º. 7º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º. 8º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la calculadora. 9º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve 20
  21. 21. el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.10º Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo unángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la alturadel edificio.11º Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.12º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve 21
  22. 22. el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.13º Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 135º.14º Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árboljusto enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hastallegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestraorilla?Resolver las siguientes cuestiones:A. Sin utilizar la calculadora, expresa en radianes 150º, 315º, 120º, 210º, 75º y 330ºB. Sin utilizar la calculadora, expresa en grados: 3pi/2, pi/6, pi/3, pi/5, 2pi/5, 5pi/2C. Si un ángulo es el doble que otro, ¿su seno también lo es?. En cualquier caso poner un ejemplo parailustrar la respuesta. 22

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