Cálculo diferencial

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Material para estudiar y hacer ejercicios con sus repuestas incluidas, excelente para estudiantes de secundaria y universidad.

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  • En el ultimo cuadro de las respuestas te equivocaste.. es (-1,4), segun la grafica de la recta es ABIERTO.. Y -1.. NO CERRADO a la izquierda y positivo.. ;)
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  • Hola!! Podras explicarme como desarrollaste los ejercicios de la pagina 19... el 2-k) 2-i) el 3, el 4 y el 5 que te da como resultado k=2.. ?? Estoy justo en este tema y con este libro!! es excelente... Pero quiero saber desarrollarlo. Exitos!! te dejo mi mail... chechabell_80@hotmail.com Besos!! Jez
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Cálculo diferencial

  1. 1. CÁLCULO DIFERENCIAL.DESIGUALDFADES.Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) ya ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llamandesigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad decomparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Lasdesigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debetener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.Ejemplos.· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30En los diferentes ejemplos se observa que:· al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, elsentido de la misma se mantiene· al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, elsentido de la misma se mantiene· la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de ladesigualdad,· la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de ladesigualdad.Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades.Sean a, b y c números reales cualesquiera:· Si a < b entonces a + c < b + c· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
  2. 2. Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendidoentre a y c. En símbolos a < b < c.Todas las definiciones y propiedades son también válidas para lasdesigualdades >, £ y ³ .InecuacionesUna inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valoresdesconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números realespara los cuales es verdadera.Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades yde los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Estosignifica que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que ladada.Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjuntosolución.Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicandopropiedades hasta obtener el conjunto solución.· se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)2x < 1· se multiplican ambos miembros por : x <La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que . Porlo tanto, el conjunto solución es S = . Gráficamente:Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3.La solución se obtiene de la siguiente manera:
  3. 3. · se suma - 8 a ambos miembros: - 5x + 8 + (- 8) ³ 3 + (- 8)- 5x ³ - 5· se multiplican ambos miembros por . Como el número es negativo seinvierte el sentido de la desigualdad: .(- 5x) £ .(- 5) Þ x £ 1Gráficamente:El conjunto solución es S = {x / x £ 1}Nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es:x ³ ax £ aesto indica que el extremo a está incluido en el mismo.Si la representación gráfica del conjunto solución es:x > ax < aesto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos. Se analizana continuación qué tipo de intervalos pueden definirse sobre la recta real.IntervaloUn subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos losnúmeros reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de suselementos.Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta,semirrectas o la misma recta real.
  4. 4. Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta sonintervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta realson intervalos infinitos.Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.Sean a y b dos números reales tales que a < b.Intervalo cerradoEs el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidosentre ambos.[a, b] = { x / a £ x £ b}Intervalo abiertoEs el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.(a, b) = {x / a < x < b}Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidosentre a y b.(a, b] = {x / a < x £ b}Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidosentre a y b.[a, b) = { x / a £ x < b}Intervalos infinitos[a, +¥) = { x / x ³ a} (a, +¥) = { x / x > a}
  5. 5. (-¥ , b] = { x / x £ b} (-¥ , b) = { x / x < b}(-¥ , +¥ ) = REjemplo. Interprete gráficamente los intervalos: a) [-2, 3] b) (1,4) c) (0, 5] d) [1, +¥ ) e) (-¥ , 3)a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Comoes cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Esabierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o biensemicerrado a derecha. Su gráfica es:d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números realesmayores o iguales a 1. Gráficamente:e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los números realesmenores que 3. Su gráfica es:A modo de resumen:Nombre delintervaloNotaciónconjuntistaNotacióndeintervalosRepresentación gráfica
  6. 6. Abierto{x /a < x < b}(a, b)Semicerradoa derecha{x /a < x £ b}(a, b]Semicerradoa izquierda{ x /a £ x < b}[a, b)Cerrado{ x /a £ x £ b}[a, b]Infinitoabierto aizquierda{ x / x > a} (a, +¥ )Infinitocerrado aizquierda{ x / x ³ a} [a, +¥ )Infinitoabierto aderecha{ x / x < b} (-¥ , b)Infinitocerrado aderecha{ x / x £ b} (-¥ , b]Infinito R (-¥ , +¥ )Valor absolutoEn la siguiente gráfica, los números -3 y 3 representan las coordenadas de dospuntos distintos en la recta numérica. Sin embargo, ambos están situados a lamisma distancia del 0.El punto correspondiente a - 3 estásituado a la izquierda del 0 a lamisma distancia que el puntocorrespondiente a 3 que seencuentra situado a la derecha.
  7. 7. Esto se indica con la notación valorabsoluto:½ - 3½ = 3: valor absoluto de -3 es3.½ 3½ = 3: valor absoluto de 3 es3.Si a es un número real entonces a es lacoordenada o abscisa del punto A sobre larecta real o numérica. Elsímbolo ½ a½ indica el número deunidades entre el punto A y el origen. Elnúmero ½ a½ , no negativo, se llamavalor absoluto de a.Para un número positivo a resulta que su valor absoluto coincide con élmientras que si el número es negativo su valor absoluto es el opuesto de a.Además como 0 es el origen es evidente que ½ 0½ = 0.Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número es ladistancia entre el punto y el origen.Desde el punto de vista algebraico, se define el valor absoluto de un número dela siguiente manera:½ a½ =El valor absoluto de todo número real es un número no negativo.En símbolos:Propiedades del valor absoluto½ a.b½ = ½ a½ .½ b½ , " a, " b, " a, " b ¹ 0½ a + b½ £ ½ a½ +½ b½ , donde a, b Î R (desigualdad triangular)" a : ½ a½ = ½ -a½
  8. 8. Distancia entre dos puntosEl concepto de valor absoluto permite definir la distancia entre dos puntoscualesquiera de la recta real. Por ejemplo, la distancia entre los puntos deabscisas 3 y 8, es 5.Esta distancia se obtiene al restar las coordenadas de los puntos: 8 - 3 = 5.Utilizando valor absoluto ½ 8 - 3½ = 5. Como ½ 3 - 8½ también es 5, seconcluye que no importa el orden en el que se realice la resta.De la misma manera si se desea determinar la distancia entre los puntos deabscisas -2 y 5:½ 5 - (-2)½ = ½ 5 +2½ = ½ 7½ = 7½ - 2 - 5 ½ = ½ -7½ = 7Para calcular la distancia entre dos puntos ubicados a la izquierda del origen, seobtiene:½ - 3- (-2)½ = ½ - 3 + 2½ = ½ -1½ = 1½ - 2- (-3)½ = ½ - 2 +3½ = ½ 1½ = 1Definición. Sean a y b las coordenadas o abscisas de los puntos A y B sobre larecta real. La distancia entre ellos está dada por:d(A, B) = ½ a - b½ = ½ b - a½Se puede observar que la distancia entre el origen O y el punto A está dadapor:d(A, 0) = ½ a - 0½ = ½ 0 - a½ = ½ a½
  9. 9. El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definicionesimportantes en el estudio del Cálculo. Se resolverán ecuaciones e inecuacionesen las que interviene dicho concepto.Ejemplos. Determine él o los valores de x que verifican cada igualdad odesigualdad:· ½ x½ = 3Desde el punto de vista geométrico ½ x½ = 3 significa que la distancia del olos valores de x al cero debe ser tres. De aquí resulta que las soluciones de estaecuación son x = 3 y x =-3.S = { 3 ; –3}· ½ x½ < 3En este ejemplo se deben considerar todos los números que distan del origenmenos de tres unidades. La solución de la inecuación son todos los númerosreales entre - 3 y 3, es decir, - 3 < x < 3. Resulta el intervalo abierto (-3, 3).S = { x / -3 < x < 3} = (-3, 3)· ½ x½ £ 3Los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos los que se encuentrana una distancia del cero menor o igual a tres. Por lo tanto el conjunto soluciónestá formado por –3, 3 y todos los números reales comprendidos entre ellos.Resulta el intervalo cerrado [-3, 3].S = { x / -3 £ x £ 3} = [-3, 3]· ½ x½ > 3Realizando el mismo análisis que en los ejemplos anteriores, resulta que losvalores de x que verifican la desigualdad son aquellos que están a más de 3unidades del origen. La solución es el conjunto de los números reales mayoresque 3 o menores que -3. La solución se puede escribir como unión de dosintervalos abiertos: (-¥ , -3) È (3, +¥ ).S = { x / x £ -3 óx ³ 3} = (-¥ , -3) È (3,+¥ )
  10. 10. · ½ x½ ³ 3La solución es el conjunto de números reales mayores o iguales que 3 omenores o iguales que - 3. Por lo tanto,½ x½ ³ 3 Û x £ -3 ó x ³ 3. Utilizandola notación de intervalos podemos escribir (-¥ , - 3] È [3, +¥ ).S = { x / x £ -3 ó x ³ 3} = (-¥ , - 3] È [3, +¥ )Resumiendo todas las situaciones en un mismo gráfico resulta:De estos ejemplos se deducen las siguientes propiedades:Propiedad 1. Sea k Î R tal que k >0, ½ a½ = k Û a = k ó a = -kPropiedad 2. ½ a½ < k Û -k < a < kEsta propiedad también es válida alconsiderar la desigualdad "£ "½ a½ £ k Û -k £ a £ kPropiedad 3. ½ a½ > k Û a < -k óa > kTambién vale para "³ "½ a½ ³ k Û a £ -k ó a ³ k.Ejemplos. Resuelva las siguientes igualdades y desigualdades.· ½ x - 2½ = 8Por propiedad 1 puede ocurrir que x - 2 = 8 ó x - 2 = - 8 y resulta que x = 10 óx = - 6Desde el punto de vista geométrico lospuntos de abscisas 10 y -6 están
  11. 11. ubicados a 8 unidades de 2.· ½ x - 3½ £ 7Teniendo en cuenta la propiedad 2:-7 £ x - 3 £ 7 Þ -7 + 3 £ x £ 7+3 Þ -4 £ x £ 10La solución es el intervalo cerrado [-4,10]. Geométricamente representa elconjunto de puntos de la recta cuyadistancia a 3 es menor o igual que 7.· ½ x + 4½ > 5Según la propiedad 3 resulta: x + 4 > 5 ó x + 4 < -5x > 1 ó x < -9Geométricamente representa elconjunto de puntos de la rectacuya distancia a - 4 es mayor que5. La solución está representadapor la unión de los intervalosabiertos: (-¥ , -9) È (1,+¥).· 0 <½ x - 5½ < 3Debemos encontrar los valores de x que verifican ½ x - 5½ < 3 y 0 < ½ x -5½La primera desigualdad implica:-3 < x - 5 < 3 Þ -3 + 5 < x < 3 + 5 Þ 2 < x < 8Además se debe verificar que 0 < ½ x - 5½ . Como el valor absoluto essiempre positivo o nulo, los únicos valores de x que no verifican la desigualdadanterior son los que anulan ½x - 5½.Resolver ½ x - 5½ > 0 es equivalente a resolver ½ x - 5½ ¹ 0, de donde,x ¹ 5.La solución es la unión de dos intervalos (2, 5) È (5, 8). Geométricamenterepresenta el conjunto de puntos de la recta cuya distancia al 5 es menor que 3pero distinta a 0.
  12. 12. Ejemplo. Sea el conjunto C = {x / x Î R Ù ½ 3x - (x - 6)½ £ 5}. Grafíquelo eindique el intervalo que determina.Aplicando la propiedad ½ a½ < k Û -k < a < k y resolviendo se obtiene:-5 £ 3x - (x - 6) £ 5 Þ -5 £ 3x - x + 6 £ 5 Þ -5 £ 2x + 6 £ 5 Þ-5 - 6 £ 2x £ 5 - 6 Þ - 11 £ 2x £ - 1 ÞLa solución es el conjunto de todos los números reales comprendidosentre y , incluidos los extremos que representa el intervalocerrado .Su gráfica es:Ejemplo. Sea el conjunto F = {x / x Î R Ù ½ 3x - (m - x)½ < 3}. Determine elvalor de m para que resulte el conjunto de todos los números reales que estána menos de unidades de distancia de - .Representando gráficamente todos los valores de x que están a menos deunidades de distancia de - resulta el intervalo , o sea .Para encontrar el valor de m, se resuelve la desigualdad: ½ 3x - m + x½ <3 Þ ½ 4x - m½ < 3Sacando factor común 4 y aplicando las propiedades del valor absoluto: 4ÞPor lo tanto Þ m = -2.
  13. 13. O también: ½ 3x - m + x½ < 3 Þ ½ 4x - m½ < 3 Þ - 3 < 4x - m <3 ÞPor lo tanto debe verificarse = y = .Resolviendo la primera se obtiene:= Þ -3 + m = -5 Þ m = -5 + 3 Þ m = -2Este valor de m verifica la otra igualdad, por lo tanto para que el conjunto Frepresente el conjunto pedido, m = -2.Ejemplo. Sea el conjunto D = {x / x Î R Ù 0 <½ (x - 1).2 - x½ < 4}.Grafíquelo e indique el o los intervalos que determina.Si 0 <½ (x - 1).2 - x½ < 4 Þ 0 <½ 2x – 2 – x½ < 4 Þ 0 <½ x – 2½ < 4.Para resolver esta desigualdad se debe tener en cuenta que ½ x - 2½ < 4 y ala vez ½ x - 2½ > 0. De acuerdo a la propiedad 2 de valor absoluto resulta:½ x - 2½ < 4 Þ - 4 < x - 2 < 4 Þ - 4 + 2 < x < 4 + 2 Þ - 2 < x < 6La desigualdad ½ x - 2½ > 0 se verifica para todo valor real de x excepto parael que la diferencia x - 2 es nula.La inecuación ½ x - 2½ > 0 es equivalente a x - 2 ¹ 0.La solución es el conjunto de los números reales excepto el valor 2 (x ¹ 2).Teniendo en cuenta las soluciones obtenidas de ambas desigualdades, se puededecir que el conjunto solución está formado por todos los números realescomprendidos entre –2 y 6 excepto 2 que se puede expresar como la unión dedos intervalos, (-2, 2) È (2, 6).Ejemplo. Encuentre el valor de m de manera tal que la desigualdad 0 < ½ x +2m½ < - 8m tenga como solución a (–3,1) È (1,5).Los números reales pertenecientes a (–3,1) È (1,5) son los que verifican -3 < x< 5 y x ¹ 1.
  14. 14. La expresión ½ x + 2m½ < -8m se verifica para todos los valores de x queestán a una distancia menor que -8m de -2m. Por lo tanto -2m = 1 y -8m = 4,de donde resulta m = .También se puede encontrar el valor de m resolviendo la desigualdad dada.A partir de½ x + 2m½ < -8m se obtiene:8m < x + 2m < -8m Þ 8m - 2m < x < -8m - 2m Þ 6m < x < - 10mAdemás, de la expresión ½ x + 2m½ > 0, se deduce: x + 2m ¹ 0 Þ x ¹ -2mComparando las desigualdades, se debe cumplir que: 6m = -3 y -10m = 5, dedonde m = .Se verifica además que para m = el valor de x resulta distinto de 1.Si ya leyó todo el tema, creemos que es momento de resolveralgunos ejercicios:EJERCICIOS1) Escriba como intervalo el conjunto definido sobre la recta real.a) b)c) d)e) f)2) Escriba, si es posible, como intervalo o unión de intervalos lossiguientes conjuntos de números reales:a) A { x / 5 x 9}b) B { x / 1 x 3}c) C { x / x 2 x 2}d) D { x / 4 x 2 x 1}3) Escriba en notación conjuntista los siguientes intervalos de númerosreales:
  15. 15. a)b) ( , 1] c) ( 7, 2]d) e)f) [4, 9]RESPUESTAS1)a) [ 3, 2] b) [4, 8) c) ( , 2) d) ( 5, 2) e) [1, + ) f) ( 2, 4]2)a) (5 , 9)b) [–1,3] c) ( , 2) (2, + ) d) (–4, –1) (–1, 2)3)a)b) { x /x 1}c) { x/ 7 x 2} d)e)f) { x /4 x 9}EJERCICIOS INTEGRADORES1) Use el concepto de valor absoluto para definir cada intervalo (o parde intervalos) sobre la recta real.a) b)c) d)e) Todos los números que distan por lo menos 8 unidades del 5.f) Todos los números que distan a lo sumo 5 unidades del 11.2) Complete el siguiente cuadro:NotaciónConjuntistaIntervalo Gráficaa)b) ( 2, 1]c)d)3) Escriba como intervalo los conjuntos:
  16. 16. a) b)4) Encuentre el valor de m para que los valores de x que verifican 2(x +m) 5 pertenezcan al intervalo ( 4, 1).5) Halle el valor positivo de a de manera tal que los valores de x queverifican a*x 8 2 representen todos los números que se encuentran amenos de una unidad de distancia de 4.SOLUCIONES:1)a) | x | 3 b) | x | > 2c) | x 4| 2d) | x + 4 | <3e) | x 5| 8f) | x 11| 52)NotaciónConjuntistaIntervalo Gráficaa)b) ( 2, 1]c)d) [ 3,2)3)a) ( 1, 4) b) ( 2 U (4 , )4)5) a = 2PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE1) La notación conjuntista del intervalo (–2, 1] es:a) {x / x > –2 x 1}b) {x / x –2 x <1}c) {x / x > –2 x 1}d) {x / –2 < x < 1}2) El intervalo real (–2, + ) puede escribirse:a) {x / x < –2} b) {x / x > –2} c) {x / x –2} d) {x / x > –2}3) El conjunto {x/ x < 5} corresponde al intervalo:a) [–5, 5] b) (–5, 5)c) (– , –5) (5,+ )d) (– , –5] [5,+ )
  17. 17. 4) Un intervalo semiabierto a izquierda es:a) (–2, 3] b) (–2, 3) c) [–2, 3) d) [–2, 3]5) La interpretación gráfica del intervalo real {x/ 1 x < 3} es:a) b)c) d)6) La solución de la inecuación x – 2 3 es el conjunto de los númerosreales x tales que:a) –5 x 1 b) x –1 x 5 c) –1 x 5 d) –1 x 57) La expresión x 2 < 3 indica todos lo números reales que seencuentran a:a) más de 3 unidades del 2 en la rectanuméricab) menos de 2 unidades del 3 en larecta numéricac) menos de 3 unidades del 2 en larecta numéricad) más de 2 unidades del 3 en la rectanumérica8) La expresión x + 5 > 2 indica todos lo números reales que seencuentran a:a) menos de 2 unidades del 5 en larecta numéricab) más de 2 unidades del 5 en larecta numéricac) más de 5 unidades del 2 en la rectanuméricad) menos de 5 unidades del 2 en larecta numérica9) El conjunto A {x / 2 < x < 6 x 4} se puede escribir como:a) x 4 < 2 b) 0 < x 4 < 2 c) 0 < x 2 < 4 d) x 2 < 410) El conjunto B {x/ 1 < x 5} se puede expresar:a) [1, 5] b) (1, 5) c) [1, 5) d) (1, 5]11) La gráfica representa:a) ( 2, 4) b) [ 2, 4] c) ( 2, 1) (1, 4) d) 2, 1) (1, 4]
  18. 18. 12) Para que la expresión x + a < m represente el intervalo ( 2, 8)debe ser:a) a 3 ; m 5 b) a 3 ; m 5 c) a 5 ; m 3 d) a 5 ; m 313) La gráfica representa:a) ( 2, 1) (1, 4] b) ( 2, 1] (1, 4) c) ( 2, 1) (1, 4) d) [ 2, 1) (1, 4]14) La gráfica del conjunto solución de la desigualdad 4x + 2 10es:a) b)c) d)15) La notación conjuntista de x b < k es:a) {x / b k x b+ k}b) {x / b k < x < b+ k}c) {x / b k < x b+ k }d) {x / k b x k+ b}16) La gráfica representa:a) todos los números reales que se encuentran a menos de 3unidades del 1.b) todos los números reales que se encuentran a más de 3 unidadesdel 1.c) todos los números reales que se encuentran a 3 o menos de 3unidades del 1.d) todos los números reales que se encuentran a 3 o más de 3unidades del 1.RESPUESTAS1) c 2) b 3) b 4) a 5) b 6) c 7) c 8) b9) b 10) d 11) a 12) b 13) c 14) c 15) b 16) a
  19. 19. EJERCICIOS DE REPASO1) Exprese en notación conjuntista e interprete gráficamente sobre larecta real los siguientes intervalos:a) b)c) ( 4, 1) d) [2, + ) e) ( , 4)2) Escriba como intervalo o unión de intervalos los siguientesconjuntos de números reales:a) A {x / 2 x 4} b) B {x / x 1 x 3}c) C {x / 7 x 2} d) D {x / 1 x 3}e) F {x / 3 x 1 x 1} f) G {x / 3 x 1}g) H {x / x 2 5} h) M {x / x + 2 3}i) N { x / 0 x 3 1} j) P {x / 0 x + 4 2}k) O {x / x24x + 2 2} l) Q {x / x24x + 2 2}3) Halle los valores de x que verifican 0 2(x 3 6. Escriba elresultado como intervalo.4) Determine los valores de x que satisfacen 0 2(x + 1) 1.5) Calcule el valor de k de manera tal que 3 + (2kx + 1) kx 3resulte el conjunto de todos los números reales que están a menos deunidades de –2.6) Complete:NotaciónConjuntistaIntervalo Gráficaa) {x / 1 x 4}b) (5, 9)c)d) ( 2, 1) (1, 4)e)
  20. 20. RESPUESTAS1) a) b)c)d)e)2)a) [2,4]b) ( 1,3]c) [ 7, 2) d) ( 1, 3) e) ( 3, 1)U( 1,1) f) ( 3, 1)g) ( 3,7)h) [ 5,1]i) (2,3)U(3, 4)j) ( 6, 4)U( 4, 2) k) (0, 4)l) ( ,0)U(4, )3) S = (0, 3) U (3, 6)4)5) k = 26)NotaciónConjuntistaIntervalo Gráficaa) {x / 1 x 4} [ 1, 4)b) {x / 5 < x < 9} (5, 9)c)d){x / 0 < | x 1 | <3}( 2, 1) U (1,4)e){x / 0 < | x + 2 | <3}( 5, 2) U( 2, 1)

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