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集合基礎

大人のための数学教室大人塾の「立式の基本」講座の「集合」入門スライドです。立式の基本講座では、文章から式を立てられるようになることを目的としています。集合、鶴亀算、年齢算、平均、精算を学びます。ビジネスにも必須の分野です。 https://otona-juku.com

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集合基礎

  1. 1. 集合 「集合」はベン図で解くより 表を書いて考えたほうが早く解けます。 大人塾 1
  2. 2. 成分表とは? 成分表を使った集合の解き方は 2軸の集合の問題の時にのみ使います。 大人塾 2
  3. 3. 成分表とは? 「成分」とは、そのグループを分類する軸のことです。 大人塾 3 男性 女性 男性という「成分」 女性という「成分」
  4. 4. 成分表とは? このようにグループに分類して「成分」によって表にまとめた ものを「成分表」と呼びます。 大人塾 4 男性 女性 男性という「成分」 女性という「成分」
  5. 5. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色いまるが2つ、赤い星型が1つ、赤いま るが1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 大人塾 5
  6. 6. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 下の絵を「色」という観点からながめると、この絵では色は黄色 と黄色ではない色が使われていることが分かります。 大人塾 6 黄色 黄色ではない
  7. 7. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 黄色ではない、としたのは、「もれ」を無くすためです。 大人塾 7 黄色 黄色ではない
  8. 8. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 次に、下の絵を「形」の観点からながめてみると、 星形と円形の2タイプに分けられることが分かります。 大人塾 8 星ではない☆星
  9. 9. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 ここでももれをなくすために星の反対軸を「星ではない」に設定 しました。 大人塾 9 星ではない☆星
  10. 10. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 この成分を利用して表にします。 この作成した表のことを「成分表」といいます。 大人塾 10 星ではない☆星 黄色 黄色ではない
  11. 11. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 今回の場合、2つの軸は 「色」と「形」にあたります。 表にすると右のように 書くことができます。 大人塾 11 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計
  12. 12. 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 「黄色かつ星型」の 個数を書き入れます。 大人塾 12 1
  13. 13. 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 青い丸の部分を考えます。 大人塾 13 1 青い丸には何が入るでしょうか?
  14. 14. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 「黄色でない」かつ「星型」 なので「1」がはいります。 大人塾 14 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1
  15. 15. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 この青丸はどうですか? 大人塾 15 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1
  16. 16. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 「黄色」かつ「星型ではない」 には2が入ります。 大人塾 16 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1 2
  17. 17. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 「黄色ではない」かつ 「星型ではない」 には1が入ります。 大人塾 17 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1 2 1
  18. 18. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 ○の中を埋めます。 この欄には、 上の2つの数を足したものを 書き入れます。 大人塾 18 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1 2 1 3
  19. 19. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 同様に右の列も埋めましょう。 大人塾 19 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1 2 1 3 2
  20. 20. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 横は、行の数字を足して 求めます。 大人塾 20 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1 2 1 3 2 2
  21. 21. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 同様に下の行も 合計を求めましょう。 大人塾 21 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1 2 1 3 2 2 3
  22. 22. 例題1)成分表の概念 黄色い星型が1つ、黄色い円形が2つ、赤い星型が1つ、赤い円 形が1つあるとき、これらを「色」と「形」に分類し、それぞれ の個数を書き込む表を作ってみましょう。 右下は合計数が入ります。 縦の合計、横の合計が同じに なることを確認して くださいね。 これで完成です。 大人塾 22 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 1 1 2 1 3 2 2 3 5
  23. 23. 黄色 黄色でない 合計 星 星で ない 合計 例題1)成分表の概念 表の見方を覚えましょう。 大人塾 23 1 1 2 1 3 2 2 3 5 何個の図形が あるかを表し ています。こ の例でいえば 5個です。 星形の図形は 全部で2個 黄色で星型 ではない形の 図形は2個
  24. 24. 練習 •成分表を作る時のお約束 成分表の同一軸は必ず「反対」の意味を持たなくてはいけませ ん。「である」と「でない」と考えると良いでしょう。 同一軸は、1つの成分のみを表記します。 大人塾 24
  25. 25. 練習 •下の水色に塗られた部分の言葉を考えましょう。 •また、表の空いている部分に数値を入れて完成させましょう。 大人塾 25 ラーメン 合計 辛い 5 3 4 2 合計
  26. 26. 練習 下のようになりましたか?さてここで問題です。 1. 辛くないラーメンは何皿ですか? 2. 辛い食べ物は何皿ありますか? 大人塾 26 ラーメン ラーメン でない 合計 辛い 5 3 8 辛くない 4 2 6 合計 9 5 14
  27. 27. 練習 下のようになりましたか?さてここで問題です。 1. 辛くないラーメンは何皿ですか? 4皿 2. 辛い食べ物は何皿ありますか? 8皿 大人塾 27 ラーメン ラーメン でない 合計 辛い 5 3 8 辛くない 4 2 6 合計 9 5 14
  28. 28. 象が好き 合計 キリンが 好き 12 3 25 4 合計 練習 •下の水色に塗られた部分の言葉を考えましょう。 •また、表の空いている部分に数値を入れて完成させましょう。 大人塾 28
  29. 29. 練習 下のようになりましたか?さてここで問題です。 1. 象が好きでキリンが好きではない人は何人ですか? 2. 象もキリンも好きではない人は何人ですか? 大人塾 29 象が好き 象が好き ではない 合計 キリンが 好き 12 3 15 キリンが 好きでは ない 25 4 29 合計 37 7 44
  30. 30. 練習 下のようになりましたか?さてここで問題です。 1. 象が好きでキリンが好きではない人は何人ですか?25人 2. 象もキリンも好きではない人は何人ですか?4人 大人塾 30 できましたか? 象が好き 象が好き ではない 合計 キリンが 好き 12 3 15 キリンが 好きでは ない 25 4 29 合計 37 7 44
  31. 31. 文章から成分表を作る 成分表を読めるようになったら今度は文章から成分表を作る練習 をしましょう。 文章をよく読み、まず成分を考え、そして数値を入れていきます。 早速練習に入りましょう。 大人塾 31
  32. 32. 集合 10人のクラスで、みんなが同じ算数の問題を2問解きました。 1番の問題ができた人は5人、2番の問題ができた人は6人、両 方できた人は2人いました。このとき、両方できなかった人は何 人ですか? 大人塾 32
  33. 33. 集合 10人のクラスで、みんなが同じ算数の問題を2問解きました。 1番の問題ができた人は5人、2番の問題ができた人は6人、両 方できた人は2人いました。このとき、両方できなかった人は何 人ですか? この問題の成分は・・・・・ •1番の問題ができたか、できなかったか •2番の問題ができたか、できなかったか の二つの成分です。 大人塾 33
  34. 34. 集合 2つの成分を用いて成分表を書くと以下のようになります。 ここに具体的に値を入れていきましょう。 大人塾 34 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2番が できなかった 合計
  35. 35. 集合 10人のクラス、1番の問題ができた人は5人、2番の問題がで きた人は6人、両方できた人は2人。このとき、両方できなかっ た人は? 全体の合計人数は10人なので、右下に10を入れましょう。 大人塾 35 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2番が できなかった 合計 10
  36. 36. 集合 10人のクラス、1番の問題ができた人は5人、2番の問題がで きた人は6人、両方できた人は2人。このとき、両方できなかっ た人は? 1番と2番の両方ができた人の人数を埋めます。 大人塾 36 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2番が できなかった 合計 10
  37. 37. 集合 10人のクラス、1番の問題ができた人は5人、2番の問題がで きた人は6人、両方できた人は2人。このとき、両方できなかっ た人は? 大人塾 37 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 2番が できなかった 合計 10
  38. 38. 集合 10人のクラス、1番の問題ができた人は5人、2番の問題がで きた人は6人、両方できた人は2人。このとき、両方できなかっ た人は? 次に1番ができた人を考えます。「1番ができた人」とは「1番 ができた人全員=合計」です。 大人塾 38 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 2番が できなかった 合計 10
  39. 39. 集合 10人のクラス、1番の問題ができた人は5人、2番の問題がで きた人は6人、両方できた人は2人。このとき、両方できなかっ た人は? 大人塾 39 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 2番が できなかった 合計 5 10
  40. 40. 集合 10人のクラス、1番の問題ができた人は5人、2番の問題がで きた人は6人、両方できた人は2人。このとき、両方できなかっ た人は? 同様に2番ができた人6人は右上の部分に埋めましょう。 大人塾 40 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 6 2番が できなかった 合計 5 10
  41. 41. 集合 さぁこれで、準備は整いました。ここからは計算です。 各行・列の並びは足し算になっています。具体的に示せば下の表 にようになりますね。では、この“?”の部分の答えは・・・ 大人塾 41 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 6 2番が できなかった ? 合計 5 10 + =
  42. 42. 集合 2+?=5 → ?=5-2=3 となります。 他の部分も同様に計算していきましょう。 下の赤で囲んだ部分を求めてください。 大人塾 42 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 6 2番が できなかった 3 合計 5 10
  43. 43. 集合 各行・列に関して足し算・引き算をします。 大人塾 43 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 4 6 2番が できなかった 3 4 合計 5 5 10
  44. 44. 集合 質問は“1番も2番もできなかった人”だったので、 求める部分は表の1番ができなかった人と2番ができなかった人 の交差する場所です。 大人塾 44 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 4 6 2番が できなかった 3 4 合計 5 5 10
  45. 45. 集合 5-4=1 4-3=1 で答えは 1 になります。 大人塾 45 1番が できた 1番が できなかった 合計 2番が できた 2 4 6 2番が できなかった 3 1 4 合計 5 5 10
  46. 46. 確認 •成分表を作る時のお約束 成分表の同一軸は必ず「反対」の意味を持たなくてはいけませ ん。「である」と「でない」と考えると良いでしょう。 同一軸は、1つの成分のみを表記します。 •素早く表を書いていきましょう 大人塾 46
  47. 47. 趣味の数学からSPI対策、ビジネス基礎数学も 大人向け算数・数学教室「大人塾」 https://otona-juku.com 大人塾 47

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