Unambiguous Recognizable
Two-dimensional Languages
[M. Anselmo, D. Giammarresi, M. Madonia, A. Restivo]

          Davide ...
Concetti preliminari

  • Σ alfabeto finito
  • Una stringa bidimensionale (o picture) su Σ è un array
    rettangolare di ...
Concetti preliminari

Siano p e q picture sull’alfabeto Σ, di grandezza (m, n) e (m′ , n′ ),
m, n, m′ , n′ ≥ 0. Si definisc...
Linguaggio Locale

  • Tile: picture quadrata di dimensioni (2, 2)
  • Data una picture x, B2,2 (x) è l’insieme di tutti i...
Proiezione

  • Siano Γ e Σ alfabeti finiti
  • Si definisce proiezione un mapping π : Γ → Σ
  • La proiezione π(x) di x ∈ Σ...
Tiling system

Una quadrupla (Σ, Γ, Θ, π) è chiamata Tiling System se:
  • Σ e Γ sono alfabeti finiti
  • Θ è un insieme fin...
`
Tiling riconoscibilita

L ⊆ Σ∗∗ è tiling riconoscibile se esiste un Tiling System (Σ, Γ, Θ, π)
tale che L = π(L(Θ))
  • ...
Esempio 1

Lcol−1n ∈ REC è il linguaggio delle picture p nelle quali la prima
colonna è uguale all’ultima, definito tramite...
`
Proprieta di chiusura di REC

REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto
a:
  • concatenazione ori...
`
Proprieta di chiusura di REC

REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto
a:
  • concatenazione ori...
`
Proprieta di chiusura di REC

REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto
a:
  • concatenazione ori...
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Proprieta di chiusura di REC

REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto
a:
  • concatenazione ori...
`
Proprieta di chiusura di REC

REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto
a:
  • concatenazione ori...
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Proprieta di chiusura di REC

REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto
a:
  • concatenazione ori...
Automi 2D

  • Un modello interessante di automa bidimensionale per
    riconoscere i picture language è rappresentato dal...
Linguaggi di stringhe non ambigui

  • L ⊆ Σ∗
  • Un automa per L è non ambiguo se ha un solo percorso
    accettante per ...
Tiling system non ambigui

  • Definizione: una quadrupla (Σ, Γ, Θ, π) è un tiling system non
     ambiguo per un linguaggi...
Linguaggi tiling riconoscibili non ambigui

  • Definizione: Un linguaggio L ⊆ Σ∗∗ è non ambiguo se e solo
    se ammette u...
Linguaggi tiling riconoscibili non ambigui

  • Definizione: Un linguaggio L ⊆ Σ∗∗ è non ambiguo se e solo
    se ammette u...
Domande

 • U REC   REC ?




                   Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 13/2
Domande

 • U REC    REC ?
 • U REC chiuso rispetto a quali operazioni?




                                              ...
Domande

 • U REC    REC ?
 • U REC chiuso rispetto a quali operazioni?
 • Controparte di U REC in L(2OT A)?




         ...
Domande

 • U REC     REC ?
 • U REC chiuso rispetto a quali operazioni?
 • Controparte di U REC in L(2OT A)?
 • La non am...
Teorema di Hromkovic

Sia uns(L) la grandezza del minimo automa finito non
deterministico e non ambiguo che accetta L. Per ...
`
Condizione necessaria per la non ambiguita

   •   L ⊆ Σ∗∗ linguaggio di picture
   •   Per ogni m ≥ 1, consideriamo L(m...
`
Condizione necessaria per la non ambiguita

Teorema: Se L ∈ U REC, allora esiste un k tale che, per tutti gli
m ≥ 1, Ran...
`
Condizione necessaria per la non ambiguita

Teorema: Se L ∈ U REC, allora esiste un k tale che, per tutti gli
m ≥ 1, Ran...
`
Proprieta di UREC

Teorema: UREC è strettamente incluso in REC

Dimostrazione: Linguaggio L = Lcol−ij (Esempio 2)
  •   ...
Lemma

Lemma: Sia ∆ un alfabeto finito, e S ⊆ ∆∗ un insieme di stringhe
con almeno due occorrenze dello stesso simbolo. All...
Lemma

                         a1 a1   λ    a1   a2   a1 a2   a3   a1 a3        a2 a3        a1 a2 a3
               a1 a...
`
Proprieta di UREC

  • Proposizione: UREC è chiuso rispetto alle operazioni di
    intersezione e rotazione
      ◦ dim:...
2OTA non ambigui

  • REC = L(2OT A)
  • U REC ?
  • Definizione: un 2OTA è non ambiguo (2U OT A) se ogni picture
    ha al...
2OTA non ambigui

Dimostrazione:
  •   L(2U OT A) ⊂ L(2OT A) può essere dedotta dal fatto che U REC ⊂ REC e che
      REC ...
2OTA non ambigui

Dimostrazione:

                       b   b    a   a    a             1b
                              ...
2OTA non ambigui

Dimostrazione:

                      b   b   a   a   a            1b
                                  ...
Un problema indecidibile

Problema di Unica Decifrabilità 2D:
  • Σ alfabeto finito, S = {(u1 , v1 ), . . . , (uk , vk )} s...
Un problema indecidibile

Teorema: Dato un tiling system (Σ, ∆, Θ, π) è indecidibile se esso è
non ambiguo

Dimostrazione:...
Un problema indecidibile


                         c0       u′
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        ...
Conclusioni

  • U REC     REC
  • U REC è chiuso rispetto a intersezione e rotazione
  • U REC non è chiuso rispetto a co...
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  1. 1. Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages [M. Anselmo, D. Giammarresi, M. Madonia, A. Restivo] Davide Eynard, Antonino Tumeo eynard@elet.polimi.it, tumeo@elet.polimi.it Department of Electronics and Information Politecnico di Milano Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 1/2
  2. 2. Concetti preliminari • Σ alfabeto finito • Una stringa bidimensionale (o picture) su Σ è un array rettangolare di elementi di Σ • L’insieme di tutte le stringhe bidimensionali su Σ è denotato da Σ∗∗ e un linguaggio bidimensionale su Σ è un sottoinsieme di Σ∗∗ . • Data una picture p ∈ Σ∗∗ : ◦ pi,j simbolo in p con coordinate (i, j) ◦ ℓ1 (p) numero di righe di p ◦ ℓ2 (p) numero di colonne di p ◦ (ℓ1 (p), ℓ2 (p)) dimensione della picture p • Σm,n insieme di tutte le stringhe bidimensionali su Σ di dimensioni (m, n) Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 2/2
  3. 3. Concetti preliminari Siano p e q picture sull’alfabeto Σ, di grandezza (m, n) e (m′ , n′ ), m, n, m′ , n′ ≥ 0. Si definiscono i seguenti operatori: • Concatenazione orizzontale di p e q (p q ): solo se m = m′ ⊖ • Concatenazione verticale di p e q (p ⊖ q ): solo se n = n′ p p q= p q p⊖q = ⊖ q Iterando le operazioni di concatenazione si ottiene la chiusura (o star ) orizzontale e verticale. Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 2/2
  4. 4. Linguaggio Locale • Tile: picture quadrata di dimensioni (2, 2) • Data una picture x, B2,2 (x) è l’insieme di tutti i blocchi di x di grandezza (2, 2) • Un linguaggio 2D L ⊆ Γ∗∗ è locale se esiste un insieme finito Θ di tile sull’alfabeto Γ ∪ {#} tale che L = {x ∈ Γ∗∗ |B2,2 (x) ⊆ Θ}. In questo caso si scrive L = L(Θ) Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 3/2
  5. 5. Proiezione • Siano Γ e Σ alfabeti finiti • Si definisce proiezione un mapping π : Γ → Σ • La proiezione π(x) di x ∈ Σ∗∗ è la picture x′ ∈ Σ∗∗ tale che x′ (i, j) = π(x(i, j)) per tutti gli 1 ≤ i ≤ ℓ1 (x), 1 ≤ j ≤ ℓ2 (x) • Se L ⊆ Γ∗∗ è un linguaggio di picture su Γ, π(L) = {x′ |x′ = π(x)∀x ∈ L} ⊆ Σ∗∗ Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 4/2
  6. 6. Tiling system Una quadrupla (Σ, Γ, Θ, π) è chiamata Tiling System se: • Σ e Γ sono alfabeti finiti • Θ è un insieme finito di tile su Γ ∪ {#} • π : Γ → Σ è una proiezione (Un Tiling System è composto da un linguaggio locale su Γ (definito dall’insieme Θ) e da una proiezione) Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 5/2
  7. 7. ` Tiling riconoscibilita L ⊆ Σ∗∗ è tiling riconoscibile se esiste un Tiling System (Σ, Γ, Θ, π) tale che L = π(L(Θ)) • L′ = L(Θ) è il linguaggio locale sottostante per L • Γ è alfabeto locale per L • Sia x ∈ L. Se x′ ∈ L′ è tale che π(x′ ) = x, allora x′ è controimmagine di x nel linguaggio locale L′ La famiglia di linguaggi 2D che sono tiling riconoscibili si chiama REC Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 6/2
  8. 8. Esempio 1 Lcol−1n ∈ REC è il linguaggio delle picture p nelle quali la prima colonna è uguale all’ultima, definito tramite: • alfabeto locale Γ = {xy } con x, y ∈ Σ • la proiezione π(xy ) = x • un insieme di tile tali che se p′ = xy allora pi,j = x e pi,1 = y i,j Il pedice y viene usato per trasportare l’informazione dalla prima all’ultima colonna. b b a b b bb bb ab bb bb a a b a a aa aa ba aa aa p= b a a a b p′ = bb ab ab ab bb a b b b a aa ba ba ba aa a b b b a aa ba ba ba aa Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 7/2
  9. 9. ` Proprieta di chiusura di REC REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto a: • concatenazione orizzontale e verticale Esempio 2: • Lcol−ij linguaggio di picture p di grandezza (m, n) con la proprietà che ∃1 ≤ i, j ≤ n tale che l’i-esima colonna di p è uguale alla j-esima colonna di p • Lcol−ij = Σ∗∗ Lcol−1n Σ∗∗ ⊖ ⊖ • Lcol−1n ∈ REC, REC chiuso a : Lcol−ij ∈ REC ⊖ Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 8/2
  10. 10. ` Proprieta di chiusura di REC REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto a: • concatenazione orizzontale e verticale • star orizzontale e verticale Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 8/2
  11. 11. ` Proprieta di chiusura di REC REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto a: • concatenazione orizzontale e verticale • star orizzontale e verticale • unione Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 8/2
  12. 12. ` Proprieta di chiusura di REC REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto a: • concatenazione orizzontale e verticale • star orizzontale e verticale • unione • intersezione Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 8/2
  13. 13. ` Proprieta di chiusura di REC REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto a: • concatenazione orizzontale e verticale • star orizzontale e verticale • unione • intersezione • rotazione Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 8/2
  14. 14. ` Proprieta di chiusura di REC REC (in analogia con il caso monodimensionale) è chiuso rispetto a: • concatenazione orizzontale e verticale • star orizzontale e verticale • unione • intersezione • rotazione Tuttavia, REC NON è chiuso rispetto al complemento! Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 8/2
  15. 15. Automi 2D • Un modello interessante di automa bidimensionale per riconoscere i picture language è rappresentato dal two-dimensional on-line tessellation acceptor (2OTA) ◦ Può essere visto come un array infinito di automi a stati finiti identici in uno spazio 2D (la computazione va in diagonale) • Deterministici (2DOTA) vs. non-deterministici • L(2DOT A) L(2OT A) • REC = L(2OT A) Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 9/2
  16. 16. Linguaggi di stringhe non ambigui • L ⊆ Σ∗ • Un automa per L è non ambiguo se ha un solo percorso accettante per ogni parola w ∈ L • L è non ambiguo se è accettato da un automa non ambiguo • Nota: un automa deterministico è non ambiguo, ma non viceversa • Linguaggi di stringhe: determinismo, non-determinismo e non ambiguità coincidono • Teorema: È decidibile se un dato automa è non ambiguo Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 10/2
  17. 17. Tiling system non ambigui • Definizione: una quadrupla (Σ, Γ, Θ, π) è un tiling system non ambiguo per un linguaggio bidimensionale L ⊆ Σ∗∗ se e solo se per ogni picture x ∈ L esiste un’unica picture locale y ∈ L(Θ) tale che x = π(y). • Alternativamente: la funzione π estesa a Γ∗∗ → Σ∗∗ è iniettiva Informalmente, un tiling system è non ambiguo se ogni picture ha un’unica controimmagine nel suo corrispondente linguaggio locale. Nota: generalizzazione in 2D della definizione di un automa che riconosce un linguaggio di stringhe Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 11/2
  18. 18. Linguaggi tiling riconoscibili non ambigui • Definizione: Un linguaggio L ⊆ Σ∗∗ è non ambiguo se e solo se ammette un tiling system non ambiguo (Σ, Γ, Θ, π) • U REC è la famiglia di tutti i linguaggi 2D riconoscibili non ambigui Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 12/2
  19. 19. Linguaggi tiling riconoscibili non ambigui • Definizione: Un linguaggio L ⊆ Σ∗∗ è non ambiguo se e solo se ammette un tiling system non ambiguo (Σ, Γ, Θ, π) • U REC è la famiglia di tutti i linguaggi 2D riconoscibili non ambigui Esempio: Il linguaggio Lcol−1n è in U REC . • Il suo tiling system è non ambiguo: c’è una sola possibile controimmagine per la prima colonna, un solo modo per costruire da essa la controimmagine della seconda colonna e cosi via. Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 12/2
  20. 20. Domande • U REC REC ? Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 13/2
  21. 21. Domande • U REC REC ? • U REC chiuso rispetto a quali operazioni? Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 13/2
  22. 22. Domande • U REC REC ? • U REC chiuso rispetto a quali operazioni? • Controparte di U REC in L(2OT A)? Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 13/2
  23. 23. Domande • U REC REC ? • U REC chiuso rispetto a quali operazioni? • Controparte di U REC in L(2OT A)? • La non ambiguità di un tiling system è decidibile? Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 13/2
  24. 24. Teorema di Hromkovic Sia uns(L) la grandezza del minimo automa finito non deterministico e non ambiguo che accetta L. Per ogni L ⊆ Σ∗ , linguaggio regolare di stringhe: • definiamo ML = aαβ α∈Σ∗ ,β∈Σ∗ dove aαβ = 1 se e solo se αβ ∈ L. ◦ Th. di Myhill-Nerode: il numero di righe differenti di ML è finito • Sia RankQ (M ) il rango di M nell’insieme dei razionali Q Teorema (Hromkovic et al.): Per ogni linguaggio regolare L ⊆ Σ∗ , uns(L) ≥ RankQ (ML ) (Dà un limite minimo per il numero di stati di un automa che riconosce un linguaggio L) Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 14/2
  25. 25. ` Condizione necessaria per la non ambiguita • L ⊆ Σ∗∗ linguaggio di picture • Per ogni m ≥ 1, consideriamo L(m) ⊆ L (sottoinsieme di tutte le picture di m righe) L(m) è visto come linguaggio di stringhe sull’alfabeto Σm,1 delle colonne. Ad es: 2 32 32 32 32 3 a b b a a a b b a a 6 76 76 76 76 7 a a b b a 6 a 76 a 76 76 b 76 a 7 b 76 se p = ∈ L, allora la parola w = 6 6 76 76 76 7 76 76 76 76 7 b b a b a 6 b 76 b 76 a 76 b 76 a 7 4 54 54 54 54 5 a a a a b a a a a b 82 3 9 > > >6 x > > > > 7 > y 7 >6 < > = appartiene al linguaggio di stringhe L(4) sull′ alf abeto Σ4,1 = 6 7 |x, y, s, t ∈ Σ 6 7 >6 >4 > s 7 5 > > > > > > > : t ; • Si può definire ML = aαβ α∈Σ∗ ,β∈Σ∗ dove aαβ = 1 se e solo se αβ ∈ L Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 15/2
  26. 26. ` Condizione necessaria per la non ambiguita Teorema: Se L ∈ U REC, allora esiste un k tale che, per tutti gli m ≥ 1, RankQ (ML (m)) ≤ k m Dimostrazione: • Supponiamo L ⊆ Σ∗∗ riconoscibile. (Σ, Γ, Θ, π) è il tiling system per L • Esiste un k tale che per tutti gli m ≥ 1 c’è un automa (riconoscitore di stringhe) a stati finiti con km stati che accetta L(m) ◦ Caso 1D: Se abbiamo una rappresentazione di un linguaggio di stringhe riconoscibile S su ∆, nella forma di un linguaggio locale (costituito da un insieme di stringhe Z di lunghezza 2 su Γ ∪ {#}) e una proiezione π : Γ → ∆, possiamo definire un automa corrispondente ◦ Stati: lettere dell’alfabeto locale Γ più uno stato iniziale (corrispondente a #) ◦ Per ogni stringa xy ∈ Z aggiungiamo una transizione x −→ y con etichetta π(y) Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 15/2
  27. 27. ` Condizione necessaria per la non ambiguita Teorema: Se L ∈ U REC, allora esiste un k tale che, per tutti gli m ≥ 1, RankQ (ML (m)) ≤ k m Dimostrazione: • Tornando a L(m): alfabeti locali sono i corrispondenti insiemi di colonne locali • k numero di simboli in Γ, allora l’alfabeto per L(m) ha al massimo km simboli (Nota: se il tiling system per L è non ambiguo, allora anche gli automi per L(m) sono non ambigui) • Quindi: se L è in U REC, allora esiste un k tale che per ogni m ≥ 1 il linguaggio di stringhe L(m) è accettato da un automa di stringhe non ambiguo con km stati. Combinandolo con i risultati del teorema di Hromkovic si ottiene la prova. Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 15/2
  28. 28. ` Proprieta di UREC Teorema: UREC è strettamente incluso in REC Dimostrazione: Linguaggio L = Lcol−ij (Esempio 2) • Per ogni m > 1, L(m): linguaggio di stringhe su Σm,1 con almeno due occorrenze dello stesso simbolo • σ: cardinalità di Σ • σ m : cardinalità di Σm,1 • Ora è un problema su stringhe: calcolare il rango di tutte le matrici ML (m). • Dal lemma dimostrato in seguito si ottiene che RankQ (ML (m)) = 2σ m+1 , dunque L non è in UREC. Dato un linguaggio 2D riconoscibile L, L è inerentemente non ambiguo se non ci sono tiling system non ambigui per L. Teorema: Esistono linguaggi 2D riconoscibili che sono inerentemente non ambigui Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 16/2
  29. 29. Lemma Lemma: Sia ∆ un alfabeto finito, e S ⊆ ∆∗ un insieme di stringhe con almeno due occorrenze dello stesso simbolo. Allora RankQ (MS ) = 2Card(∆) + 1 Dimostrazione: • Card(∆) = c • ∆ = {a1 , a2 , . . . , ac } • Il massimo numero di righe differenti in MS è 2c + 1 (ad esempio, righe indicizzate da a1 a1 , λ e da tutti gli α = ai1 ai2 . . . aih con 1 ≤ h ≤ c e i1 < i2 < . . . < ih ) • Consideriamo la matrice Mc composta da tutte queste diverse righe e colonne, riarrangiate come mostrato nella prossima slide Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 17/2
  30. 30. Lemma a1 a1 λ a1 a2 a1 a2 a3 a1 a3 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 a2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Mc = a1 a2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 a3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 a1 a3 1 0 1 0 1 1 1 1 1 a2 a3 1 0 0 1 1 1 1 1 1 a1 a2 a3 1 0 1 1 1 1 1 1 1 • La matrice Mc ha ordine 2c + 1 • ′ det(Mc ) = 0 (prova per induzione sulla matrice Mc , con m′ = 1 ∀1 ≤ i, j ≤ k con ij ′ = 0 ∀1 ≤ i, j ≤ k con i + j = k) i + j ≥ k + 1 e mij • Allora RankQ (MS ) = 2c + 1 Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 17/2
  31. 31. ` Proprieta di UREC • Proposizione: UREC è chiuso rispetto alle operazioni di intersezione e rotazione ◦ dim: se L1 , L2 ∈ REC si può costruire un tiling system per L1 ∩ L2 seguendo la prova che REC è chiuso rispetto all’intersezione. La chiusura rispetto alla rotazione consegue dalla definizione. • Proposizione:UREC non è chiuso rispetto alla concatenazione orizzontale e verticale e alla loro chiusura ◦ dim: Lcol−1n ∈ U REC , mentre Lcol−ij ∈ U REC . Ma: / Lcol−ij = Σ∗∗ Lcol−1n Σ∗∗ ⊖ ⊖ ◦ Con tecniche simili (rotazioni) si dimostra che UREC non è chiuso rispetto alla concatenazione orizzontale e alla chiusura verticale e orizzontale Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 18/2
  32. 32. 2OTA non ambigui • REC = L(2OT A) • U REC ? • Definizione: un 2OTA è non ambiguo (2U OT A) se ogni picture ha al massimo una sola computazione accettante • Proposizione: L(2U OT A) = U REC • Ogni 2DOT A è in particolare un 2U OT A • L(2DOT A) L(2OT A) • L(2DOT A) ⊆ L(2U OT A) ⊆ L(2OT A) • . . . le inclusioni sono strette? Teorema: le inclusioni L(2DOT A) ⊂ L(2U OT A) ⊂ L(2OT A) sono tutte strette Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 19/2
  33. 33. 2OTA non ambigui Dimostrazione: • L(2U OT A) ⊂ L(2OT A) può essere dedotta dal fatto che U REC ⊂ REC e che REC = L(2OT A) e U REC = L(2U OT A) • L(2DOT A) ⊂ L(2U OT A): ◦ L linguaggio di quadrati su Σ = {a, b} con l’ultima riga uguale all’ultima colonna. ◦ L ∈ U REC perchè possiamo definire un tiling system dove l’informazione su ogni lettera dell’ultima riga può essere portata fino alla diagonale e da lì all’ultima colonna Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 19/2
  34. 34. 2OTA non ambigui Dimostrazione: b b a a a 1b a 2b a 2a a 2a a 2a a a a a b b 0a a 1a b 2a b 2b b 2b b p= b a a b b p′ = 0b a 0a b 1a b 2b b 2b b a b b b a 0a a 0b b 0b b 1b a 2a a a b b a a 0a a 0b b 0b b 0a a 1a a • Γ = {0y , 1y , 2y } con x, y ∈ {a, b} alfabeto locale x x x • 0: solo sotto la diagonale • 1: solo sulla diagonale • 2: solo sopra la diagonale • Apici: valore reale del simbolo • Pedici: informazione trasportata Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 19/2
  35. 35. 2OTA non ambigui Dimostrazione: b b a a a 1b a 2b a 2a a 2a a 2a a a a a b b 0a a 1a b 2a b 2b b 2b b p= b a a b b p′ = 0b a 0a b 1a b 2b b 2b b a b b b a 0a a 0b b 0b b 1b a 2a a a b b a a 0a a 0b b 0b b 0a a 1a a Ogni picture in L ha una unica controimmagine in questo linguaggio locale: quindi, visto che L ∈ L(2U OT A) e L ∈ L(2DOT A) (dimostrato) l’inclusione L(2DOT A) ⊂ L(2U OT A) è / stretta. Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 19/2
  36. 36. Un problema indecidibile Problema di Unica Decifrabilità 2D: • Σ alfabeto finito, S = {(u1 , v1 ), . . . , (uk , vk )} sistema dove ui , vi ∈ Σ∗ per tutte le i = 1, . . . , k • S è unicamente decifrabile solo se ui1 . . . uip = uj1 . . . ujq e vi1 . . . vip = vj1 . . . vjq implicano che p = q e (i1 , . . . , ip ) = (j1 , . . . , jp ) Il Problema di Unica Decifrabilità 2D è indecidibile [Chrobak, Ritter] Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 20/2
  37. 37. Un problema indecidibile Teorema: Dato un tiling system (Σ, ∆, Θ, π) è indecidibile se esso è non ambiguo Dimostrazione: si riconduce il problema a quello di Unica Decifrabilità 2D • S = (u1 , v1 ), . . . , (uk , vk ) sistema dove ui , vi ∈ Σ∗ per tutti gli i = 1, . . . , k • c∈Σ / • Definiamo L(S) su Σ ∪ {c} come insieme di rettangoli tali che: ◦ per ogni combinazione (i1 , . . . , ip ) di 1, . . . , k c’è un rettangolo in L(S) tale che la prima riga è la stringa cui1 . . . uip e la prima colonna è la stringa cvi1 . . . vip e tutte le altre lettere sono c ◦ È facile dimostrare che L(S) ∈ REC (si può costruire un tiling system per esso) Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 20/2
  38. 38. Un problema indecidibile c0 u′ i1 u′ i2 ... u′ ip ′ vi1 ci1 ′ vi2 ci2 . . . ′ vip cip • Alfabeto locale: Γ = Σ′ ∪ {c0 , c1 , . . . , ck } dove Σ′ è l’alfabeto locale per le stringhe ′ u′ , vj per tutti gli i, j = 1, . . . , k i • ′ La proiezione π mette in corrispondenza ogni stringa u′ , vj su ui , vj e ci su c i • (Σ, ∆, Θ, π) è non ambiguo se e solo se S è unicamente decifrabile Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 20/2
  39. 39. Conclusioni • U REC REC • U REC è chiuso rispetto a intersezione e rotazione • U REC non è chiuso rispetto a concatenazione orizzontale e verticale e loro chiusura • U REC = L(2U OT A) • La non ambiguità di un tiling system non è decidibile Problemi aperti: • chiusura rispetto al complemento • decidibilità della non ambiguità di un picture language Unambiguous Recognizable Two-dimensional Languages – p. 21/2

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