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ベータ分布 #とは
平川 真
ベータ分布の特徴
> 連続型確率分布
> 2つの形状パラメタ (> 0) をもつ beta(p, q)
> 範囲は0から1
> 尤度がベルヌーイ分布や2項分布である場合の
自然共役事前分布
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どんな分布か
“この分布の意味は,余り適当な例がありませんが(比較的
用いられない),次のように考えて下さい。独立に一様分布
U(0,1) に従う p+q-1 個の確率変数を大きさの順に並べ替
えたとき,小さい方から p 番め(大きい方からは ...
ベータ分布の形
とりあえず、パラメタを変えてかたちをみてみる
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ベータ分布の形
0から1の範囲で、
いろんなかたちになる
5http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Beta.pdf
ベータ分布の確率密度関数
𝑓 𝑥 𝑝, 𝑞 = 𝐵(𝑝, 𝑞)−1
𝑥 𝑝−1
(1 − 𝑥) 𝑞−1
ベータ関数
𝐵(𝑝, 𝑞) =
0
1
𝑥 𝑝−1
(1 − 𝑥) 𝑞−1
𝑑𝑥
6
カーネル正規化定数
ベータ分布の平均と分散
𝐸[𝑋] =
𝑝
𝑝 + 𝑞
𝑉[𝑋] =
𝑝𝑞
(𝑝 + 𝑞)2 (𝑝 + 𝑞 + 1)
パラメタを平均と分散であらわすと…
𝑝 = 𝑟𝐸 𝑋 𝑞 = 𝑟(1 − 𝐸 𝑋 )
∗ 𝑟 =
𝐸[𝑋](1−𝐸 𝑋 )
𝑉[...
平均を0.5として、分散を変えてみる
平均 = 0.5, 分散 = 0.05 の場合 (r = 4)
⇒ p = 2, q = 2
平均 = 0.5, 分散 = 0.005 の場合 (r = 49)
⇒ p = 24.5, q=24.5
8
他の分布との関係
p=qで∞にすると正規分布になる
9
他の分布との関係
p=q=1で、標準一様分布
p=q=0.5で、アークサイン分布
10
いつ使うの?
> 成功確率θの事前分布としてよくつかう
とくに無情報事前分布であるBeta(1,1)
11
おまけ)自然共役事前分布
尤度に2項分布のカーネル、事前分布にベータ分布のカーネルをいれる
⇒
したがって事後分布はパラメタ(p’,q’) のベータ分布になる
12
p’ = x + p
q‘ = n – x + q
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ベータ分布

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魁!!広島ベイズ塾の分布お勉強会の資料です。ベータ分布についてです。

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ベータ分布

  1. 1. ベータ分布 #とは 平川 真
  2. 2. ベータ分布の特徴 > 連続型確率分布 > 2つの形状パラメタ (> 0) をもつ beta(p, q) > 範囲は0から1 > 尤度がベルヌーイ分布や2項分布である場合の 自然共役事前分布 2
  3. 3. どんな分布か “この分布の意味は,余り適当な例がありませんが(比較的 用いられない),次のように考えて下さい。独立に一様分布 U(0,1) に従う p+q-1 個の確率変数を大きさの順に並べ替 えたとき,小さい方から p 番め(大きい方からは q 番目)の 確率変数 X の分布がベータ分布 B(p,q) となります。” http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/beta/beta.htm 3
  4. 4. ベータ分布の形 とりあえず、パラメタを変えてかたちをみてみる 4
  5. 5. ベータ分布の形 0から1の範囲で、 いろんなかたちになる 5http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Beta.pdf
  6. 6. ベータ分布の確率密度関数 𝑓 𝑥 𝑝, 𝑞 = 𝐵(𝑝, 𝑞)−1 𝑥 𝑝−1 (1 − 𝑥) 𝑞−1 ベータ関数 𝐵(𝑝, 𝑞) = 0 1 𝑥 𝑝−1 (1 − 𝑥) 𝑞−1 𝑑𝑥 6 カーネル正規化定数
  7. 7. ベータ分布の平均と分散 𝐸[𝑋] = 𝑝 𝑝 + 𝑞 𝑉[𝑋] = 𝑝𝑞 (𝑝 + 𝑞)2 (𝑝 + 𝑞 + 1) パラメタを平均と分散であらわすと… 𝑝 = 𝑟𝐸 𝑋 𝑞 = 𝑟(1 − 𝐸 𝑋 ) ∗ 𝑟 = 𝐸[𝑋](1−𝐸 𝑋 ) 𝑉[𝑋] − 1 7
  8. 8. 平均を0.5として、分散を変えてみる 平均 = 0.5, 分散 = 0.05 の場合 (r = 4) ⇒ p = 2, q = 2 平均 = 0.5, 分散 = 0.005 の場合 (r = 49) ⇒ p = 24.5, q=24.5 8
  9. 9. 他の分布との関係 p=qで∞にすると正規分布になる 9
  10. 10. 他の分布との関係 p=q=1で、標準一様分布 p=q=0.5で、アークサイン分布 10
  11. 11. いつ使うの? > 成功確率θの事前分布としてよくつかう とくに無情報事前分布であるBeta(1,1) 11
  12. 12. おまけ)自然共役事前分布 尤度に2項分布のカーネル、事前分布にベータ分布のカーネルをいれる ⇒ したがって事後分布はパラメタ(p’,q’) のベータ分布になる 12 p’ = x + p q‘ = n – x + q

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