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Integración por partesŠa integración por partes es muy util para integrar ciertos productos, inte-grales que contienen log...
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Ejercicios Propuestos                                      x(3 − 2x)11 (3 − 2x)12 1.   x(3 − 2x)10 dx         resp:       ...
Integración Tabular   Una alternativa interesante a la integración por partes es la forma tabularveamos algunos ejemplos  ...
Integración por Fracciones Parciales    En algunas ocasiones nos encontramos con integrales de difícil soluciónpor métodos...
La idea es descomponer en integrales mas simples             2x + 3           A   B                        dx =    +      ...
igualando los coecientes de ambos lados tenemos el siguiente sistema deecuaciones.   0=A+B+C1 = 5A + 4B + 3C0 = 6A + 3B + ...
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Integral por partes

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  • segun la existencia del hombre en que inventos ha necesitado del conocimiento de las integrales por partes ?
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Integral por partes

  1. 1. Integración por partesŠa integración por partes es muy util para integrar ciertos productos, inte-grales que contienen logaritmos y aquellas que contienen funciones trigono-metricas inversas. Para aplicar este metodo primero descomponemos la integral en dos fac-tores u y dv, donde es muy importante que dv incluya dx. La fórmula de la integracion por partes es la siguiente: udv = uv − vdu Ejemplos:1.- Calcular x cos(x)dx Solución:Sea u=x du = dx dv = cos(x)dx v = (x) x cos(x)dx = x sen(x) - sen(x)dx = x sen(x) − cos(x) + c 2.- Calcular x2 ex Solución:Sea u = x2 du = 2x dx dv = ex dx v = ex x2 ex dx = x2 ex - 2xex dx (1) Aunque xex dx no es inmediata, hemos logrado disminuir el grado de lapotencia.
  2. 2. para evaluar esta integral,(antes hemos sacado la constante fuera de laintegral) aplicamos una vez más la formula de la integración por partes a: 2 xex dx sea u=x du = dx dv = ex v = ex Luego: 2 xex dx = xex − ex dx = 2(xex − ex ) + c Por lo tanto reemplazando en (1) x2 ex = x2 ex − 2(xex − ex ) = ex (x2 − 2x + 2) + c 3.- ln(x)dx bueno aca no hay mucho que elegir asi que tomamos el logaritmo completo 1 u = ln(x) du = dx x dv = dx v=x 1 luego ln(x)dx = xln(x) − x ∗ dx = xln(x) − xdx = xln(x) − x + c x 4.- arctan(x)dx 1 u = (x) du = dx 1 + x2 dv = dx v=x x entonces tenemos: arctan(x) = x arctan(x) − dx 1 + x2
  3. 3. En la integracion se pueden combinar diferentes tecnicas para llegar al re-sultado nal, en este caso usaremos integracion por sustitución para resolver: x dx 1 + x2 u = 1 + x2 du = 2xdx como resultado de esta sustitución tenemos: x 1 du 1 1 2 dx = = ln|u| + c = ln|1 + x2 | + c 1+x 2 u 2 2 Una integral interesante de resolver es: ex sen(x)dx u = ex du = ex dx dv = sen(x) v = -cos(x) entonces tenemos: ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex cos(x)dx (1) Por lo visto la integración por partes no ha cumplido su objetivo, dadoque la integral que tenemos no es mas simple que la original, sin embargopodemos volver a aplicarla para ver que pasa, es ta vez a ex cos(x)dx. u = ex du = ex dx dv = cos(x) v = sen(x) ex cos(x)dx = −ex cos(x) − ex sen(x) Ahora reemplazando en (1), tenemos. ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x) − ex sen(x)dx
  4. 4. Aqui sucede una situación interesante, como la integral se repite en lasegunda parte de la igualdad, podemos pasarla al otro lado respetando loscambios de signos. pasa al otro lado ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x) - ex sen(x)dx ← como esta con signo negativo pasa con signo positivo: 2 ex sen(x)dx = −ex cos(x) + ex sen(x)dx Finalmente al estar multiplicando el 2 pasa dividiendo al otro lado. ex ex sen(x)dx = [cos(x) − sen(x)] + c 2
  5. 5. Ejercicios Propuestos x(3 − 2x)11 (3 − 2x)12 1. x(3 − 2x)10 dx resp: − +c −22 44 ∗ 12 3 − 2x 2. resp: 2(3 − 2x)(x − 1) −1 1 3 dx 2 − 8(x − 1) 2 + c (1 − x) 2 3. x2 sen(x)dx resp: −x2 cos(x) + 2xsen(x) + 2cos(x) + c 4. x2 ex dx resp: x2 ex − 2xex + 2ex + c 5. ln(x2 + 1)dx resp: xln(x2 + 1) − 2x + arctan x + c ln(x) −ln(x) 6. dx resp: − x−1 + c x2 x ln(x2 + 1) 7. arctan xdx resp: x arctan x − +c 2 2 x 2 x2 e x 8. 3 x2 x e dx resp: e − +c 2 2 1+x x2 1+x 1+x 9. xln( )dx resp: ln( ) + x − ln( )+c 1−x 2 1−x 1−x xex −xex10. dx resp: + ex + c (x + 1)2 x+1
  6. 6. Integración Tabular Una alternativa interesante a la integración por partes es la forma tabularveamos algunos ejemplos x2 cos(x)dx u = x2 dv = cos(x) u - du dv - v x2 + cos(x) 2x − sen(x) 2 + − cos(x) 0 -sen(x) Luego de realizar la tabla se multiplica cruzado siguiendo las echas ycon el signo correspondiente. el resultado de la integral sería: x2 cos(x)dx = x2 sen(x) + 2xcos(x) − sen(x) + c
  7. 7. Integración por Fracciones Parciales En algunas ocasiones nos encontramos con integrales de difícil soluciónpor métodos ya conocido, ya sea por sustitución o por partes, sobre todo deltipo fraccionario, la idea de este método de integración es descomponer unafracción en varias fracciones parciales, es decir temporales, que simpliquenla integración, para ello se deben cumplir que el polinomio del denominadorsea de mayor grado que el polinomio del numerador. Caso 1 : Factores lineales P (x) A B Z dx = + + ··· + dx (x − a)(x − b) . . . (x − z) x−a x−b x−z Caso 2 : Factores lineales repetidos P (x) A B C M dx = + + + ··· dx (x − a)(x − b)m x − a x − b (x − b)2 (x − b)m Caso 3 : Factores Irreductibles P (x) Ax + B Cx + D dx = + 2 dx (x2 + bx + c)(x2 + dx + e) (x2 + bx + c) (x + dx + e) Caso 4 : Factores Irreductibles repetidos P (x) Ax + B Cx + D Mx + N dx = + 2 + ··· + 2 dx (x2 + bx + c)m (x2 + bx + c) (x + bx + c)2 (x + bx + c)m En resumen donde halla: un factor lineal colocar A,B,C,...un factor cuadratico irreductible colocar Ax+B, Cx+D... Ejemplos:1.- 2x + 3 dx (x − 2)(x + 5)
  8. 8. La idea es descomponer en integrales mas simples 2x + 3 A B dx = + (x − 2)(x + 5) x−2 x+5 resolver para encontrar A y B multiplicando por el denominador del ladoizquierdo de la igualdad 2x + 3 = A(x + 5) + B(x − 2)2x + 3 = Ax + 5A + Bx − 2B2x + 3 = (A + B)x + 5A − 2B igualando los coecientes de ambos lados tenemos el siguiente sistema deecuaciones 2=A+B3 = 5A − 2B Resolviendolo, obtenemos A = 1, B = 1 por lo tanto al integral originalse transforma en 1 1 dx dx + dx = + x−2 x+5 x−2 x+5 = ln |x − 2| + ln |x + 5| + c 2.- x dx (x + 1)(x + 2)(x + 3) descompongamos el integrando resolvamos para encontrar los valores de A, B y C multiplicando por eldenominador del lado izquierdo de la igualdad x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 2)(x + 1)x = A(x2 + 5x + 6) + B(x2 + 4x + 3) + C(x2 + 3x + 2)x = (A + B + C)x2 + (5A + 4B + 3C)x + (6A + 3B + 2C)
  9. 9. igualando los coecientes de ambos lados tenemos el siguiente sistema deecuaciones. 0=A+B+C1 = 5A + 4B + 3C0 = 6A + 3B + 2C −1 −3 resolviendolo, obtenemos A = , B = 2, C = por lo tanto la inte- 2 2gral original se transforma en: −1 −3 2 −1 dx dx −3 dx 2 + + 2 dx = +2 − x+1 x+2 x+3 2 x+1 x+2 2 x+3 −1 −3 = 2 ln |x + 1| + 2 ln |x + 2| − 2 ln |x + 3| + c

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