2. INTRODUCCIÓN
Las funciones de Bessel fueron definida en primer lugar por el
matemático Daniel Bernoulli y después generalizadas por el
matemático Friedrich Bessel, son soluciones para la ecuación
diferencial de Bessel.
La ecuación de Bessel tiene gran importancia al momento de
determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a
través de un cilindro circular, y para la solución de problemas
relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la
hidrodinámica.
3. BIOGRAFÍA
Daniel Bernoulli ( 8 de febrero de 1700 -17 de marzo de 1782) fue
un matemático, estadístico, físico y médico holandés –suizo, que
hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.
4. Friedrich Bessel (22 de julio, 1784 - 17 de marzo, 1846) fue un matemático
alemán, astrónomo y sistematizador de las funciones de Bessel. Se hizo famoso
por elaborar el método estelar PARALLAX, el primero método exacto para medir
distancias estelares. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad de
la Tierra.
5. PRERREQUISITOS
Método de Frobenius
𝑦 = 𝑛=0
∞
𝐶 𝑛(𝑥 − 𝑎) 𝑛+𝑟
En donde:
x = a es un punto singular regular
r es una raíz de la ecuación indicial
6. PRERREQUISITOS
Función Gamma
La función Γ n para n>0, se define como:
Γ n =
0
∞
𝑡 𝑛−1
𝑒−𝑡
𝑑𝑡
Γ n + 1 = 𝑛Γ n
Γ 1 = 1
Γ
1
2
= 𝜋
7. DEFINICIÓN
Una ecuación de Bessel tiene la forma:
𝒙 𝟐
𝒚′′
+ 𝒙𝒚′
+ 𝒙 𝟐
− 𝒗 𝟐
𝒚 = 𝟎
Donde v≥0 es un parámetro real y x=0 es un punto singular regular
10. DESARROLLO POR MÉTODO DE
FROBENIUS
𝐶0 no puede ser cero, por tanto
𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 − 𝑣2
= 0
(𝑟 + 𝑣)(𝑟 − 𝑣) = 0
Entonces, las raíces son:
𝑟1 = 𝑣
𝑟2 = −𝑣
11. Cuando 𝑟1 = 𝑣 la ecuación anteriormente mencionada se transforma en cuando :
= 𝑥 𝑣
𝑛=1
𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛
+ 𝑥 𝑣
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2
Para que el exponente de x empiece elevada a la misma potencia en ambas sumatorias se
saca el primer contador de la primera sumatoria.
𝑥 𝑣
1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 +
𝑛=2
∞
𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛
+
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2
Entonces:
Para 𝑛=2
∞
𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛
Se hace que 𝑘 = 𝑛 − 2 entonces 𝑛 = 𝑘 + 2 reemplazamos en la sumatoria.
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘+2(𝑘 + 2) 𝑘 + 2 + 2𝑣 𝑥 𝑘+2
Para 𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2
se hace 𝑘 = 𝑛 reemplazamos.
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘 𝑥 𝑘+2
12. = 𝑥 𝑣 1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 +
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘+2(𝑘 + 2) 𝑘 + 2 + 2𝑣 𝑥 𝑘+2 +
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘 𝑥 𝑘+2
=𝑥 𝑣
1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 + 𝑘=0
∞
[𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘]𝑥 𝑘+2
Por lo tanto se debe cumplir que 1 + 2𝑣 𝐶1=0 y
𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘=0
𝐶 𝑘+2 = −
𝐶 𝑘
𝑘+2 𝑘+2+2𝑣
para k=0,1,2,3,…
Cuando 𝐶1=0 trae como consecuencia que 𝐶1=𝐶3 = 𝐶5 = 𝐶7 = ⋯ = 0
Así que cuando k=0,2,4,6,… 𝑘 + 2 = 2𝑛 , n=1,2,3,…
𝐶2𝑛 = −
𝐶2𝑛−2
22 𝑛 𝑛 + 𝑣
16. LOS VALORES ENTEROS DE V SE DENOTAN POR N. ESTA ES LA NORMA.
PARA V = N LA RELACIÓN ANTERIOR QUEDA COMO:
𝒂 𝟐𝒎 =
−𝟏 𝒎
𝒂 𝟎
𝟐 𝟐𝒎 𝒎! 𝒏 + 𝟏 𝒏 + 𝟐 … 𝒏 + 𝒎
, 𝑚 = 1,2, … .
DONDE 𝑎0 SIGUE SIENDO ARBITRARIA. ES NECESARIO HACER UNA
ELECCIÓN 𝑎0 = 1, PERO MAS PRACTICO ES:
𝑎0 =
1
2 𝑛 𝑛!
PORQUE ENTONCES 𝑛! 𝑛 + 1 … 𝑛 + 𝑚 = (𝑚 + 𝑛)!, DE DONDE:
𝒂 𝟐𝒎 =
−𝟏 𝒎
𝟐 𝟐𝒎+𝒏 𝒎! 𝒏 + 𝒎 !
, 𝑚 = 1,2, … .
CON ESTOS COEFICIENTES Y 𝑟1 = 𝑣 = 𝑛 SE OBTIENE UNA SOLUCIÓN
PARTICULAR, DENOTADA POR 𝐽 𝑛 𝑥 , LLAMADA LA FUNCIÓN DE BESSEL
DE PRIMERA CLASE DE ORDEN N:
𝑱 𝒏 𝒙 = 𝒙 𝒏
𝒎=𝟎
∞
−𝟏 𝒎 𝒙 𝟐𝒎
𝟐 𝟐𝒎+𝒏 𝒎! 𝒏 + 𝒎 !
17. Esta serie converge para toda x, con mucha rapidez debido
a los factoriales del denominador.
EJEMPLO: Funciones de Bessel 𝐽 𝑛 𝑥 𝑦 𝐽1 𝑥
Para n = 0 se obtiene la función de Bessel de orden 0
𝐽0 𝑥 = 𝑥 𝑛
𝑚=0
∞
−1 𝑚
𝑥2𝑚
22𝑚(𝑚!)2 = 1 −
𝑥2
22 1! 2 +
𝑥4
24 2! 2 −
𝑥6
26 3! 2 + − ⋯ ,
Que es similar al coseno. Para n = 1 se obtiene la función de
Bessel de orden 1
𝐽1 𝑥 = 𝑥 𝑛
𝑚=0
∞
−1 𝑚 𝑥2𝑚+1
22𝑚+1 𝑚! (𝑚 + 1)!
=
𝑥
2
−
𝑥3
231! 2!
+
𝑥5
252! 3!
−
𝑥7
273! 4!
+ − ⋯ ,
Que es similar al seno.
19. Observando la función de Bessel con
v = n entero se observa
𝐽 𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑛
𝑚=0
∞
(−1) 𝑚 𝑥2𝑚
22𝑚+𝑛 𝑚! (𝑛 + 𝑚)!
El problema al plantear para cualquier 𝑣 ≥ 0 es que no hay factorial de números racionales por esto
recurrimos a la función Gamma Γ
DEFINICION DE LA FUNCION GAMMA
Γ 𝛼 =
0
∞
𝑒−𝑡
𝑡 𝛼−1
𝑑𝑡
PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA
Γ 𝛼 + 1 = 𝛼Γ 𝛼 Propiedad 1
Γ 𝑛 + 1 = 𝑛! Propiedad 2
La segunda propiedad de Gamma generaliza la función factorial para cualquier 𝑣 ≥ 0
20. Se conoce que para 𝑣 = 𝑛 ∈ 𝐼 𝑎0 =
1
2 𝑛 𝑛!
entonces con Γ 𝑛 + 1 = 𝑛! tenemos
𝑎0 =
1
2 𝑛Γ 𝑛 + 1
Reemplazando n por v se tiene
𝑎0 =
1
2 𝑣Γ 𝑣 + 1
Luego
𝑎2𝑚 =
(−1) 𝑚
22𝑚 𝑚! 𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . (𝑣 + 𝑚)
. 𝑎0
𝑎2𝑚 =
(−1) 𝑚
22𝑚+𝑣 𝑚! 𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . (𝑣 + 𝑚)Γ 𝑣 + 1
21. En el denominador se tiene que:
𝑣 + 1 Γ 𝑣 + 1 = Γ 𝑣 + 1 + 1 = Γ 𝑣 + 2 para m=1
𝑣 + 2 Γ 𝑣 + 2 = Γ 𝑣 + 3 ,etc. Para m=2
De modo que para cualquier m
𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . 𝑣 + 𝑚 Γ 𝑣 + 1 = 𝑣 + 𝑚 Γ 𝑣 + 𝑚 = Γ 𝑣 + 𝑚 + 1
Entonces la expresión para 𝑎2𝑚 se reduce a:
𝑎2𝑚 =
(−1) 𝑚
22𝑚+𝑣 𝑚!Γ 𝑣+𝑚+1
Finalmente con 𝑟 = 𝑟1 = 𝑣 ≥ 0 obtenemos
𝑱 𝒗 𝒙 = 𝒙 𝒗
𝒎=𝟎
∞
(−𝟏) 𝒎 𝒙 𝟐𝒎
𝟐 𝟐𝒎+𝒗 𝒎! 𝜞 𝒗 + 𝒎 + 𝟏
Denominada Función de Bessel de primera clase de orden v
26. DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL(TEOREMA 2)
Y(x)= c1Jv(x)+c2J-v (x)
Con v = n (entero):
Por definición:
y(x)= c1Jn (x)+c2J-n(x)
Jn (x) = xn (-1)m
x2m
22m+n
m!(m+n)!m=0
¥
å
27. DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
J-n (x) =
(-1)m
x2m-n
22m-n
m!(m-n)!m=n
¥
å =
(-1)n+s
x2s+n
22s+n
s!(s+n)!m=n
¥
å
m = n+ ss = m-n
G(m-n+1) = (m-n)!
(-1)n+s
x2s+n
22s+n
s!(s+n)!m=n
¥
å = (-1)s (-1)n
x2s+n
22s+n
s!(s+n)!m=n
¥
å = (-1)s
Jn (x)
(-1)n
Jn (x) = J-n(x)
28. DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
y(x)= c1Jn (x)+c2J-n(x)
y(x)= c1Jn (x)+c2(-1)n
Jn(x)
y(x)= Jn (x)(c1 +c2 (-1)n
)
por lo tanto son linealmente dependientes, y no es una solución a la ecuación diferencial
Pudo ser comprobada directamente con las propiedades, pero aquí se demostró dicha propiedad
30. 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐀𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝑱 𝒗 𝒙
Las funciones de Bessel 𝐽𝑣 𝑥 satisfacen un número alto de
relaciones, estas son posibles descubrir por propiedades de
las funciones especiales a partir de sus series.
A continuación se discuten cuatro de las más elementales:
37. 𝑱 𝒗 𝒙 𝒄𝒐𝒏 𝒗 = ±
𝟏
𝟐
, ±
𝟑
𝟐
, … … 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔
Para explicar esto definiremos primero:
𝐽1
2
𝑥 =
2
𝑥
𝑚=0
∞
(−1) 𝑚
𝑥2𝑚+1
22𝑚+1 𝑚! Г 𝑚 +
3
2
Sabemos que:
Г
1
2
= 𝜋
Luego definimos que:
Г 𝑚 +
3
2
= 𝑚 +
1
2
𝑚 −
1
2
∗ ⋯ ∗
3
2
∗. .∗
1
2
Г
1
2
Г 𝑚 +
3
2
= 2− 𝑚+1
2𝑚 + 1 2𝑚 − 1 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗. .∗ 1 𝜋
22𝑚+1
𝑚! = 2 𝑚+1
2𝑚 2𝑚 − 2 ∗ ⋯ .∗ 4 ∗. .∗ 2
Con estas dos definiciones llegamos a determinar que:
𝐽1
2
𝑥 =
2
𝑥𝜋
𝑚=0
∞
(−1) 𝑚
𝑥2𝑚+1
2𝑚 + 1 !
Esta serie que obtenemos se denomina como serie de Maclaurin de sen(x):
𝐽1
2
𝑥 =
2
𝑥𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
38. Teorema
Las funciones de Bessel Jv de órdenes v = ±
𝟏
𝟐
, ±
𝟑
𝟐
, … son elementales; pueden
expresarse por un número finito de cosenos y senos y potencias de x.
𝐽3/2 𝑥 =
2
𝜋𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
− cos(𝑥)
𝐽−3/2 𝑥 = −
2
𝜋𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
+ sen(𝑥)
