Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής

9,222 views

Published on

Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης (lisari team) για το 3ο ΓΕΛ Γαλατσίου αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

Published in: Education
  • Be the first to comment

Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής

  1. 1. Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης / 3ο Λύκειο Γαλατσίου Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ Α΄ Δύο θέματα από το σχολικό βοήθημα της lisari team ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΕΧΡΙ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Θέμα Α Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα  α,β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f διατηρεί πρόσημο στο    0 0α,x x ,β να αποδείξετε ότι το  0f x δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο  α,β . (Μονάδες 7) Α2. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A . Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x A τοπικό ελάχιστο; (Μονάδες 4) Α3. Αν f συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0x εσωτερικό σημείο του Δ για το οποίο ισχύει ότι  0 0f x  , τότε το 0x είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f . α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (Μονάδα 1) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (Μονάδες 3) Α4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμένες σημειώνοντας στο τετράδιό σας το αντίστοιχο γράμμα: (Μονάδες 10) α. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και σημείο x0[α,β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Tότε πάντα ισχύει ότι f΄(x0) = 0. β. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα . Αν οι f, g είναι συνεχείς στο  και    f x g x  για κάθε x , τότε ισχύει    f x g x για κάθε x . γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης λ της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο Α(xo , f(xo)) είναι ίσος με f΄(xo) δ. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : f R R με f  γνησίως αύξουσα στο R. Αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο με τετμημένη 0 1x  έχει εξίσωση 2 1y x  , τότε η ανισότητα
  2. 2. Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης / 3ο Λύκειο Γαλατσίου   2 1f x x  ισχύει για κάθε  1 x R ε. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει το Θεώρημα Rolle στο διάστημα  ,  , τότε η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σημείο οριζόντια εφαπτομένη. Θέμα B Δίνεται η συνάρτηση   4 2 2f x x x    ,  R B1. Αν   1 1,x f x ,   2 2,x f x και   3 3,x f x είναι τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της f και 1 2 3x x x  , να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΒΓ. (Μονάδες 13) B2. Αν 0 1  να αποδείξετε ότι η εξίσωση   0f x  έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα  1,0 (Μονάδες 12) Θέμα Γ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R και ισχύουν   f 0 0         2 x y x y f x f y x y e e       για κάθε x, yR Δίνεται επίσης η συνάρτηση     x x g x f x e   , xR Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή και (Mονάδες 7) Γ2. Να αποδείξετε ότι   x x f x e   , xR (Μονάδες 4) Γ3. Να βρείτε το σημείο καμπής της fC και να δείξετε ότι   1 f x e   για κάθε xR (Μονάδες 7) Γ4. Να δείξετε ότι       1 f β f α β α e    για κάθε α,β R με α β (Μονάδες 7) Θέμα Δ Δ1. Να αποδείξετε ότι 2 2 ln x x 1  για όλα τα x που μπορεί να οριστεί ο λογάριθμος. (Μονάδες 5) Δ2. Aν ισχύει 2 2 κln x x 1  για κάθε  x 0,  να αποδείξετε ότι κ 1 (Μονάδες 5) Δίνονται οι συναρτήσεις     2 f x x α ln x  και   3 2 g x x αx x α    με α 0 Δ3. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της   Α α,f α και να αποδείξετε ότι έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Β εκτός από το Α (Μονάδες 5) Δ4. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο  2 Β α, 2αln α  διαπερνά τη fC στο Β (Μονάδες 5) Δ5. Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g για κάθε αR. (Μονάδες 5)
  3. 3. Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης / 3ο Λύκειο Γαλατσίου Ενδεικτικές Λύσεις Θέμα Γ Γ1. Για τυχαίο 0y x R, και 0x x έχουμε                   0 22 00 0 0 0 0 0xx 0 0 0 0 0 g x g xxx f x f x x x g x g x x x x x e e x x g x g x x x x x x x                       Ισχύει    0 0 0 0 x x x x lim x x lim x x 0        , οπότε από κριτήριο παρεμβολής είναι     0 0 x x 0 g x g x lim 0 x x    συνεπώς η g είναι παραγωγίσιμη στο 0x με  0g x 0  . Άρα η g είναι παραγωγίσιμη για κάθε xR με  g x 0  , οπότε από συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής είναι σταθερή στο R, δηλαδή  g x c για κάθε xR . Γ2. Από προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι για κάθε xR ισχύει:      x x g x c f x c 1 e     Για x 0 έχουμε:     0 0 1 f 0 c c 0 e      , οπότε   x x f x e   , xR Γ3. Έχουμε      x x x x 2x 2x x x e x e e xe 1 x f x e e e        και  f x 0 1 x 0 x 1         x e 0 f x 0 1 x 0 x 1          f x 0 x 1    Tο πρόσημο της  f x και η κυρτότητα της f φαίνονται στον επόμενο πίνακα: Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, συνεπώς η fC έχει εφαπτομένη στο σημείο   M 1,f 1 , άρα το σημείο αυτό είναι σημείο καμπής της fC . Από τον παραπάνω πίνακα συμπεραίνουμε επίσης ότι f παρουσιάζει ολικό μέγιστο το   1 f 1 e   , οπότε       1 f x f 1 f x e      , xR Γ4. Για α β η σχέση       1 f β f α β α e    ισχύει ως ισότητα.
  4. 4. Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης / 3ο Λύκειο Γαλατσίου Για α β έχουμε: Η συνάρτηση f είναι: συνεχής στο  α,β και παραγωγίσιμη στο  α,β οπότε από Θεώρημα Μέση Τιμής έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ α,β τέτοιο, ώστε      f β f α f ξ β α           f β f α f ξ β α          1 f β f α β α e    αφού από γ΄ ερώτημα έχουμε ότι   1 f x e   για κάθε xR Θέμα Δ Δ1. Για να ορίζεται ο λογάριθμος θα πρέπει: 2 x 0 x 0   Άρα ο λογάριθμος ορίζεται για * x R . Γνωρίζουμε ότι ισχύει ln x x 1  για κάθε x 0 και επειδή 2 x 0 για κάθε * x R έχουμε ότι: 2 2 ln x x 1  για κάθε * x R Παρατήρηση: Η ιδιότητα 2 ln x 2ln x ισχύει μόνο για  x 0,  . Αν * x R είναι   22 2ln x , x 0 ln x ln x 2ln x 2ln x , x 0        β΄ τρόπος: Θέτουμε   2 2 f x ln x x 1   , * x R και μελετάμε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Βρίσκουμε ότι η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 1 και στο 1 , το    f 1 f 1 0   , άρα     2 2 f x f 1 ln x x 1 0     για κάθε * x R Δ2. Θέτουμε   2 2 h x κln x x 1   ,  x 0,  Από τη δεδομένη ανισότητα έχουμε    2 2 2 2 κln x x 1 κln x x 1 0 h x h 1        για κάθε  x 0,  άρα η συνάρτηση h παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 1. Η h είναι παραγωγίσιμη στο  0, με   2 1 κ h x κ 2x 2x 2 x x x          άρα είναι παραγωγίσιμη στο 1. Το 1 είναι εσωτερικό σημείο του  0, , συνεπώς σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει    h 1 0 2 κ 1 0 κ 1       Δ3. Η f ορίζεται όταν
  5. 5. Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης / 3ο Λύκειο Γαλατσίου 2 x 0 x 0   άρα * fΑ  R Επίσης gΑ  R Για την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο Α έχουμε:     2 f α α α lnα 0   Η f είναι παραγωγίσιμη στο * R με      2 2 2 2 1 2 2α f x ln x x α 2x ln x x α ln x 2 x x x           άρα   2 22α f α ln α 2 ln α α      Η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο  Α α,0 είναι        2 y f α f α x α y x α lnα      Για να βρούμε τα κοινά σημεία της fC και της εφαπτομένης της στο Α λύνουμε το σύστημα:         2 2 2 y f x y x α ln x y x α ln α y x α ln α                           2 2 2 2 2 2 y x α ln x y x α ln x x α ln x x α ln α x α ln x x α ln α 0                          2 2 2 2 2 2 y x α ln x y x α ln x x α ln x lnα 0 x α 0 ή ln x lnα 0                     2 2ln x:"1 1" 2 2 2 2 y x α ln x y x α ln x x α ή ln x ln α x α ή x α                   2 2 y x α ln x y x α ln x x α ή x α ή x α x α ή x α                   2 x αx α ή y 0 y 2αlnα                 Συνεπώς η εφαπτομένη της fC στο  Α α,0 έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο, το  2 Β α, 2αln α  Δ4. Αρκεί να δείξουμε ότι το Β είναι σημείο καμπής της fC .Από το Δ3 ερώτημα έχουμε   2 2α f x ln x 2 x     , x 0 οπότε
  6. 6. Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης / 3ο Λύκειο Γαλατσίου     2 2 2 2 x α1 2α f x 2x x x x      , x 0  f x 0 x α 0 x α          2 x 0 f x 0 x α         2 x 0 f x 0 x α       Συνεπώς η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του α και προφανώς ορίζεται εφαπτομένη στη fC στο  2 Β α, 2αln α  , άρα το σημείο Β είναι σημείο καμπής της fC και η εφαπτομένη στη fC στο Β διαπερνά τη fC . Δ5. Είναι         2 2 g x x x α x α x 1 x α       Επίσης            2 2 2 2 f x g x x α ln x x 1 x α ln x x 1 x α          Από το Δ1 ερώτημα έχουμε ότι 2 2 ln x x 1 0   για κάθε * xR Άρα έχουμε:        2 2 lnx x 1 0 2 2 f x g x 0 ln x x 1 x α 0 x α 0 x α                Άρα η fC βρίσκεται κάτω από τη gC στο διάστημα  ,  και πάνω από τη gC στο  , εκτός από το σημείο 0 στο οποίο η f δεν ορίζεται. Το παρακάτω σχήμα δεν απαιτείται για την επίλυση της άσκησης, δίνεται όμως για εκπαιδευτικούς λόγους.
  7. 7. Επιμέλεια: Ανδρέας Κουλούρης / 3ο Λύκειο Γαλατσίου

×