Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια

23,613 views

Published on

Aποκλειστικά από το lisari

Published in: Education
  • Be the first to comment

Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια

  1. 1. Σελίδα 1 από 9 Β΄ ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΣΟ΢ΙΣ΢ΕΙΟ ΓΕΛ ΕΚΑΛΗ΢ ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟ΢ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ΢ ΠΑΡΑ΢ΚΕΤΗ 20 – 11 – 2015 Ονοματεπώνυμο: …………………………………………… ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμένες. 1. Αν f (x) 5 για κάθε    o ox α,x x ,β  τότε είναι βέβαιο ότι 0x x lim f(x) 5   . 2. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής    0 0α,χ χ ,β και  , τότε ισχύει η ισοδυναμία:  0 0x χ x χ lim f(x) lim f(x) 0       3. Αν x 0 lim f(x) 1   τότε x 0 limf(x) 1   ή x 0 limf(x) 1    . 4. Αν για τις συναρτήσεις f , g ισχύει ότι f gA A  και x x lim f(x) lim g(x)    τότε είναι βέβαιο ότι f (x) g(x) για κάθε x κοντά στο . 5. Αν f, g, h είναι συναρτήσεις τέτοιες ώστε 0 1 x x lim f(x)   , 0 2 x x lim h(x)   , f(x) g(x) h(x)  για κάθε    0 0x ,x x ,    και το όριο 0x x lim g(x)  δεν υπάρχει, τότε είναι βέβαιο ότι 1 2 . Μονάδες 10 Α2. Στις ακόλουθες προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. 1. Το x 0 x x lim x    Α. ισούται με  Β. ισούται με 0 Γ. ισούται με 1 Δ. ισούται με  Ε. δεν υπάρχει 2. Το 2 x 2 2x x xlim 1 3x    ισούται με Α. –1 Β. 1 3 Γ. 0 Δ. 1 3  Ε. 1
  2. 2. Σελίδα 2 από 9 3. Το x 1 x 2 2x xx 4 3 lim 2 3      ισούται με Α. 4 Β.  Γ. – 9 Δ.  Ε. –1 4. Το x 0 ln x lim x       Α. ισούται με  Β. ισούται με 0 Γ. ισούται με e Δ. ισούται με  Ε. δεν υπάρχει 5. Το   x x lim x ln 1 3    ισούται με Α.  Β. 0 Γ. ln3 Δ. ln3 Ε.  Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Β Β1. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να υπολογίσετε το όριο  2 2 2 x lim x 2x 1 x 1       . Μονάδες 10 Β2. Να βρείτε τις τιμές των ,  έτσι ώστε 2x 1 2 x 1 lim 1 x x        . Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Θεωρούμε συναρτήσεις f,g :  τέτοιες ώστε 3 f (x) x 1 x   για κάθε x  και x 0 g(x) 2 lim 1 x    . α. Να αποδείξετε ότι x 0 f(x) 1 lim 1 x   και x 0 limg(x) 2    . Μονάδες 8 β. Να υπολογίσετε το όριο 3 3x 0 f(x)g (x) 8 lim x x 1 1     . Μονάδες 5
  3. 3. Σελίδα 3 από 9 Γ2. Στο διάγραμμα που ακολουθεί φαίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού 1 . Να υπολογίσετε τα ακόλουθα όρια : α. x 0 1 lim f(x) β. x 1 f (x) lim f (x) 2         γ. x 2 1 lim (x 2) f (x)        Μονάδες 12 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν  3 2 3 f (x) xf (x) 2 x   για κάθε x  ,  x 0 f(x) lim x   και x x f(x) f(x) lim lim x x     με ,  και 0    . Δ1. Να αποδείξετε ότι 1  και 0  . Μονάδες 8                x y
  4. 4. Σελίδα 4 από 9 Δ2. Να υπολογίσετε τα όρια α. x f (x) x 2015 lim f ( x) x 2016      β.   x 0 f x lim x x   Μονάδες 10 Δ3. Να αποδείξετε ότι το όριο x 0 2 3 x f (x) lim x x    είναι καλώς ορισμένο και στη συνέχεια να το υπολογίσετε. Μονάδες 7
  5. 5. Σελίδα 5 από 9 ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΕ΢ ΑΠΑΝΣΗ΢ΕΙ΢ ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑΣΟ΢ ΟΡΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. ( δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει το 0x x lim f (x)  ) 3 ( δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει το x 0 limf(x)  . Για παράδειγμα , αν x 1 , x 0 f(x) x 1 , x 0        τότε x 0 x 0 lim f (x) lim x 1 1      αλλά το x 0x 0 x 0 lim f (x) lim f (x) limf (x)      δεν υπάρχει). ( Είναι  x x x x x lim f(x) lim g(x) lim f(x) lim g(x) 0 lim f(x) g(x) 0             άρα f(x) g(x) 0 f(x) g(x)    κοντά στο  ). ( Αν ήταν 1 2 τότε από το κριτήριο παρεμβολής θα είχαμε 0 1 2 x x lim g(x)    ΑΤΟΠΟ διότι το 0x x lim g(x)  δεν υπάρχει). Α2. 1. Σωστή απάντηση το Α Λόγω της ρίζας είναι 0x οπότε  x 0 x 0 x x 1 lim lim x x x x               , διότι κοντά στο 0 είναι x 0  άρα x 0 1 lim x     και  x 0 lim x x 1     . 2. Σωστή απάντηση το Α Είναι 2 x x x x 22 2 xx xx 4 14x x 4 1 22 2 2 2x x xx x xlim lim lim lim 1 111 3x 1 3x 3x 3 xx                                 , διότι x 2 u x x lim u 0 u 0 2 uxlim lim 1 2 u x          και x 1 lim 0 x  . 3. Σωστή απάντηση το Γ Είναι x x 1 x 2 x x 2x x x xx x x 3 4 3 4 4 9 3 lim lim lim 2 3 4 3              x x 4 4 9 3 3          x x 4 1 3 x 4 lim 0 3 9 4 1 3                    . 4. Σωστή απάντηση το Α Λόγω του ln x είναι 0x οπότε x 0 x 0 ln x 1 lim lim ln x x x           , αφού x 0 1 lim x    και  x 0 lim ln x    .
  6. 6. Σελίδα 6 από 9 5. Σωστή απάντηση το Ε Είναι       x x x x xx x x e lim x ln 1 3 lim lne ln 1 3 lim ln 1 3                  και αφού e 0 1xx x 3 xx x xx xx e e e 1 lim lim lim 0 1 0 11 31 3 13 1 33                              , αν θέσουμε x x e u 0 1 3    τότε   x xx u 0 e lim ln lim ln u 1 3               . ΘΕΜΑ Β Β1. Έστω 2 2 2 f(x) x 2x 1 x 1      , τότε πρέπει και αρκεί 2 x 1 0 x    και 2 2 x 2x 1 0    για το οποίο έχουμε:  αν 0  τότε 2 4 4 0     άρα    2 2 1 2x 2x 1 0 x , ,           όπου 1 2   οι ρίζες του τριωνύμου.  Αν 0  τότε 1 2x 1 0 x 2     , συνεπώς    1 2 f , , , 0 A 1 , , 0 2                   που σημαίνει ότι Αν 0  το όριο x lim f(x)  δεν είναι καλώς ορισμένο. Αν 0  , τότε                                   x 0 2 2 2 2 2 2x x x 2 1 1 2 1 1 lim f(x) lim x λ x 1 lim x λ 1 x xx x x x με    x lim x και               2 2 2x 2 1 1 lim λ 1 1 λ x x x . Αν     0 1 0 1 1 0 0 1          λ λ λ λ , , τότε    x lim f(x) . Αν 1 0 1 1 1       λ λ λ ή λ τότε    x lim f(x) . Αν 1 0 1 1      λ λ λ , τότε                                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x x x x 2x 1 x 1 x 2x 1 x 1 x 2x 1 x 1 lim f(x) lim x 2x 1 x 1 lim lim x 2x 1 x 1 x 2x 1 x 1 0 2 22 2 2 22 2 2 1 22 1 12 1 1 1 11 1                              x x x x x xlim lim x x x xx x x .
  7. 7. Σελίδα 7 από 9 Β2. Αφού  x 1 lim 2 x 1 0     και  2 x 1 lim x αx β 1 α β       , τότε :  Αν 1 α β 0   τότε 2x 1 2 x 1 lim 0 1 x αx β       , απορρίπτεται.  Αν 1 α β 0 β α 1       (1) , τότε               2x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 lim lim lim lim x αx α 1 x 1 x 1 α x 1 x 1 x 1 α x 1 x 1 α 2 x 1                                          x 1 x 1 1 x 1 lim lim 1 x 1 x x 1 α 2 x 1 1 x x 1 α 2 x 1                   με      x 1 lim 1 x x 1 2 x 1 4 2                  . Αν  4 2 0 2        τότε    x 1 1 lim 1 x x 1 α 2 x 1         , απορρίπτεται Έτσι 2   , οπότε      x 1 1 1 lim 4 2 α1 x x 1 α 2 x 1          συνεπώς ,   1 1 9 1 α 2 α 4 2 α 4 4           και 9 5 (1) β 1 β 4 4       . ΘΕΜΑ Γ Γ1. α. Είναι                  x 0 3 2 2 2 f(x) 1 x f(x) 1 x f(x) 1 f(x) x 1 x x x 1 x x x x 2 2 2 2f(x) 1 f(x) 1 x 1 x 1 x 1 x x x             και αφού      2 2 x 0 x 0 lim(1 x ) lim(1 x ) 1, τότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι    x 0 f(x) 1 lim 1 x . Επίσης, αν g(x) 2 h(x) x   , x 0 τότε ( ) ( ) 2 g x xh x με x 0 limh(x) 1    . Έτσι    x 0 x 0 limg(x) lim xh(x) 2 0 1 2 2           . β. Είναι  3 x 0 lim x x 1 1 0       , άρα 3 x x 1 0   κοντά στο 0. Έτσι                            3 3 3 3 3 3 33 2 2x 0 x 0 x 0 x 0 f(x)g (x) 8 f(x)g (x) 8 f(x)g (x) 8 f(x)g (x) g (x) g (x) 8 lim lim lim lim x x 1 1x x 1 1 x x 1 x x 1              3 3 3 2 2 2x 0 x 0 g (x) f (x) 1 g (x) 8 g (x) f (x) 1 g(x) 2 g (x) 2g(x) 4 lim lim x x 1 x x 1                   3 2 2 2x 0 f(x) 1 g (x) g(x) 2 g (x) 2g(x) 4 8 12 lim 1 1 4 x x 1 x x 1 1 1                          
  8. 8. Σελίδα 8 από 9 Γ2. α. αφού x 0 limf(x) 0   και f(x) 0 κοντά στο 0, τότε x 0 1 lim f (x)   . β. Είναι 1 ( ) 0 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 3 ( ) 2 1 1 ( ) 3 ( ) 2 3 ( ) 2                         κοντά στο f x f x f x συνf x συνf x f x συνf x συνf x και αφού x 1 lim f(x)    τότε  1 1 ( ) lim lim ( ) 3             x x f x f x οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται x 1 f (x) lim συνf (x) 2     . γ. Αφού   x 2 0 , f(x) 0 κοντά στο 2 x 2 f(x) 0 κοντά στο 2 x 2 0 , f(x) 0 κοντά στο 2                και  x 2 lim x 2 f(x) 0       τότε x 2 1 lim (x 2) f(x)         . ΘΕΜΑ Δ Δ1. Αν x 0 τότε 3 3 2 33 2 3x 0 3 2 3 3 3 f (x) xf (x) 2 x f(x) f(x) x f (x) xf (x) 2 x 2 x x x x x                             και αφού x 0 f(x) lim x    και x 0 x lim 1 x    τότε 3 2 3 3 2 x 0 x 0 f(x) f(x) x lim lim 2 2 x x x                                        (1) Ομοίως, αν x 0 προκύπτει ότι 3 2 2    (2). Από τις (1), (2) προκύπτει ότι    Horner 3 2 3 2 2 2 2 0 1 2 2 0 1                     . Επιπλέον, x f(x) lim x   και x x lim 0 x   οπότε 3 2 3 3 2 3 3 2 x x f(x) f(x) x f(x) f(x) x 2 lim lim 2 0 x x x x x x                                                           (3) Ανάλογα, για x 0 είναι 3 2 3 3 2 3 3 2 x x f(x) f(x) x f(x) f(x) x 2 lim lim 2 0 x x x x x x                                                           (4) Από τις (3), (4) προκύπτει ότι  3 2 2 0 1 0 0           ή 1   , απορρίπτεται διότι 0 1 0 1          . Δ2. x x x f (x) x 2015 f (x) 2015 1 f (x) x 2015 0 1 0x x xlim lim lim 1 f ( x) x 2016 f ( x) 2016f ( x) x 2016 0 1 01 x x x                          διότι x u x x lim ( x) u f( x) f(u) lim lim 0 x u               .
  9. 9. Σελίδα 9 από 9 Επίσης,         x 0 x 0 x 0 x 0 f x f x f x f xx x 1 lim lim lim lim xxx x x x x x x 1x 1 xx                                         διότι για x 0 είναι x x x x x 1 1 1 1 x x x              άρα x 1 0 x    οπότε x 0 1 lim x 1 x      . Δ3. Αφού x 0 f(x) lim 1 x  τότε x 0 f (x) lim 1 0 x    οπότε f(x) 0 κοντά στο 0 . Έτσι, αν 2 3 x f(x) g(x) x x    τότε πρέπει και αρκεί x 0 και f(x) 0 που ισχύει κοντά στο 0 συνεπώς η g ορίζεται σε διάστημα της μορφής  0, . Ακόμα, x 0 x 0 f(x) limf(x) lim x 1 0 0 x            ( βγαίνει και με θέτω συνάρτηση ), οπότε x 0 x 02 3 2 3 x f(x) x f(x) x f(x) lim lim 1 x f(x)x x x x              διότι x 0 u x f (x) x 0 u 0lim x f (x) 0 x f (x) u lim lim 1 ux f (x)               και  2x 0 x 0 x 0 x 0 x 02 3 x f(x) x f(x) f(x) f(x) f(x) 1 lim lim lim lim lim 1 xx x x x x x 1x x 1x x                      .

×