Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

"Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f άρτιου βαθμού λαμβάνει μέγιστο ή ελάχιστο"

8,747 views

Published on

Επιμέλεια: Γιώργος Χασάπης για το lisari.blogspot.com

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

"Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f άρτιου βαθμού λαμβάνει μέγιστο ή ελάχιστο"

  1. 1. Επιμέλεια πρότασης + απόδειξης: Γιώργος Χασάπης Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f άρτιου βαθμού λαμβάνει μέγιστο ή ελάχιστο. Συγκεκριμένα,  αν ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου της f είναι θετικός, τότε η f λαμβάνει ελάχιστο στο R.  αν ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου της f είναι αρνητικός, τότε η f λαμβάνει μέγιστο στο R. Απόδειξη Έστω ότι ο βαθμός της f είναι 2ν, όπου ο ν είναι φυσικός μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και έστω ότι:   2ν 2ν 1 2ν 2ν 1 0f x α x α x α ,    για κάθε xR όπου οι iα R και 2να 0 . Έχουμε:      2ν x x lim f x lim f x α        ή  .  Αν 2να 0 , τότε τα παραπάνω όρια είναι και τα δύο  , άρα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 1 2m ,m με 1 2m m τέτοιοι, ώστε    f 0 f x , για κάθε  1x ,m  και    f 0 f x , για κάθε  2x m ,  . Η f είναι συνεχής και μη σταθερή στο 1 2[m ,m ], άρα λαμβάνει σε αυτό ελάχιστο, δηλαδή υπάρχει  0 1 2x m ,m τέτοιο, ώστε:    0f x f x , για κάθε  1 2x m ,m . To     0m min f 0 ,f x είναι το ελάχιστο της f στο R.  Αν 2να 0 , τότε τα παραπάνω όρια είναι και τα δύο  , άρα υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 1 2Μ ,Μ με 1 2Μ Μ τέτοιοι, ώστε    f x f 0 , για κάθε  1x ,Μ  και    f x f 0 , για κάθε  2x Μ ,  Η f είναι συνεχής και μη σταθερή στο 1 2[Μ ,Μ ], άρα λαμβάνει σε αυτό μέγιστο, δηλαδή υπάρχει  0 1 2x m ,m  τέτοιο, ώστε:    0f x f x , για κάθε  1 2x M ,M . To     0Μ max f 0 ,f x είναι το μέγιστο της f στο R.
  2. 2. Επιμέλεια πρότασης + απόδειξης: Γιώργος Χασάπης Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Σημείωση: 1) Αν η πολυωνυμική συνάρτηση είναι περιττού βαθμού, τότε το σύνολο τιμών της είναι το R (γιατί;), άρα δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα. 2) Η παραπάνω πρόταση αποτελεί γενίκευση των όσων γνωρίζουμε για το σύνολο τιμών της συνάρτησης   2 f x αx βx γ   με α,β,γR και α 0 .

×