Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b

10,471 views

Published on

Οι νέες σημειώσεις (σχ. έτος 2015-16) του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το lisari

Published in: Education
  • Be the first to comment

Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b

  1. 1. Γ Λυκείου 4Ο ΓΛΧ 2015 - 2016 M .Ι .Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών Β ΜΕΡΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
  2. 2. Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός Έκδοση 15.07 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά 2015 Ιστοσελίδα: http:users.sch.gr/mipapagr
  3. 3. Γ Λυκείου –Μ 2 ΠΑ 2.01 Να 2 f(x) x -5 2.02 Να 0 η συνάρτ 2.03 Αν βρείτε τα α παραγωγίσι 2.04 Αν στο 0x 3 ν παραγωγίσι 2.05 Έστ και ισχύει ό Να αποδείξ ox 0 2.06 Αν 2 f(x) x  η f είναι πα 2.07 Έστ παραγωγίσι Υπολογίσετ Α) x α f(x) lim x   Γ) 2 x α α f( lim  Μαθηματικά Θ ΑΡΑΓΩΓΟΣ αποδείξετε ό 5x 6 δεν είν εξεταστεί αν τηση f(x)      αx f(x) x x        ,β R ώστε η ιμη στο 2 x 3 f(x) lim x 3    να αποδείξετ ιμη στο 3 τω συνάρτησ ότι ημx f(x) ξετε ότι η f ε για την συνά 2 (x 1) για κ αραγωγίσιμη τω f,g : R  ιμες στο α  τε τα: f(α) α   Β 2 x) x f(α) x α   Δ Θετικών Σπουδ Σ- ΟΡΙΣΜ ότι η συνάρτ ναι παραγωγ ν είναι παραγ 1 xxe αν 1 συνx αν β αν x 2 2 αν x 2    η f να είναι 7 και η f εί τε ότι η f είν ση f ορισμέν ) x x ημx  είναι παραγω άρτηση f : R κάθε x R , ν η στο ox 1 R συναρτήσ R με  f α  Β) x α (f(x)) lim x Δ) x α g(α)f lim  δών ΜΟΣ ηση γίσιμη στο 2 γωγίσιμη στο x 0 x 0   x 2 x 2   να ίναι συνεχής ναι νη στο 0.  x , για x 0 . ωγίσιμη στο R ισχύει να δείξετε ότι σεις  g α 3  . 2 2 (f(α)) x α   f(x) f(α)g(x) x α   2 ο ς  ι ) 2. πα απ πα 2. x 2. κα 2. πα f x l  2. πα g πα 2. πα f ότ 2. πα .08 Έστω αραγωγίσιμη ποδείξετε ότι αραγωγίσιμη .09 Η συν o με of(x )  .10 Έστω αι x 0 f(2x) lim x  .11 Δίνετα αραγωγίσιμη (1) 2 . Να α im (x 1) f(      .12 Η συν αραγωγίσιμη   ο x f (x )     αραγωγίσιμη .13 Έστω αραγωγίσιμη    x y f x  τι η f είναι π .14 Δίνετα αραγωγίσιμη 2 x 0 f lim  η συνάρτηση η στο 0 και σ ι η f g(x) f(       η στο 1 2 αν κ νάρτηση f εί 3 , of (x ) 2  f : R R πα f(x) 3 x   . Απ αι η συνάρτη η στο 1 για τη αποδείξετε ότ x 1) f x 1        νάρτηση f : R η στο ox R ο ο f(x) )(x-x ) f(x η στο ox η συνάρτηση η στο 0 και ι   f y xy  παραγωγίσιμ αι η συνάρτη η στο 0 . Να 2 2 (3x) f (2x) x  η f : R R στο 1 με f(0 f(2x) αν (2x-1) αν και μόνο αν ίναι παραγω . Bρείτε το x l αραγωγίσιμη ποδείξτε ότι ηση f : R R ην οποία ισχ τι 2    R R είναι . Δείξτε ότι η αν x x ) αν x x   η f : R R ισχύει για κάθε x,y μη στο R . ηση f : R R αποδείξετε ό ) 2f(0)f (0) 41 0) f(1) . Να 1 x 2 1 x 2   είναι f (0) f (1)  ωγίσιμη στο ο x ο 2f(x)-6 lim x-x η στο ox 0  f 0 3  R χύει ότι η ο ο x x είναι y R , δείξτε R , ότι 1 ε
  4. 4. 42 2.15 Αν στο 0x 1 μ   f xy xf y δειχθεί ότι f 2.16 ** Δ τέτοια ώστε Να δείξετε ό 0x 0 και ό 2.17 Έστ παραγωγίσι h 0 lim  2.18 Αν   x 0 f x 2 lim x  A) Να στο 2 και ό B) Να i) x 2 lim  ΚΑΝΟΝΕΣ ΒΑΣΙΚΩΝ 2.19 Βρε Α) e f(x) 1   Γ) g(x) x Ε). η g(x)  Ζ)   2 f x 1  Θ) 2x h(x)  η συνάρτηση με f (1) α  κ   y yf x γ  0 f( f x α+  Δίνεται η συν 3 4 f (x) 2x f( ότι η f είνα ότι f (0) 0  τω η συνάρτη ιμη στο x R 0 f(x 3h) f( m h   για την συνε 3 τότε: δείξετε ότι η ότι f (2) 3  βρεθούν τα 2 22 f (x) f(x) m x 4   Σ ΠΑΡΑΓΩΓ Ν ΣΥΝΑΡΤΗ είτε τις παράγ x e x ln x xημx x 1   μx συνx 1 εφx   2 ημx ημx   x x 1 e  η f είναι πα και ισχύει: για κάθε x,y 0 0 (x ) x για κάθ νάρτηση f : R (x) 8 , για κ αι συνεχής στ ηση f ορισμέ R , να δείξετε (x 2h) 5f   εχή συνάρτη η f είναι παρ όρια: ii) x lim η     ΓΙΣΗΣ-ΠΑΡ ΗΣΕΩΝ γώγους των Β) f Δ) f Στ) Η) f Ι) f( ραγωγίσιμη  0,  . Ν θε 00 x 1  R (0, )  κάθε x R ο σημείο ένη στο R κ ε ότι  x ση f ισχύει ραγωγισιμη 2x 1 μx f x 2      ΡΑΓΩΓΟΙ συναρτήσεω   2 1 f x x 4     x ln x f x e  ln x g(x) x 2   2 x f(x) ln x  1 ημx (x) 1 συνx    Να και    ων x x 2. P 2. πα x li  2. 2. A 2. R f 2. f x A Γ) ότ Δ) εί f 2. πα απ Α Β) .20 Να βρ    P x P x    .21 Έστω αραγωγίσιμη x 1 f(e ) xf( im x 1   .22 Να υπ .23 Να απ A) x x 0 e lim  .24 Η συν R , με  g e     2 x x g x .25 Έστω   x x y e f  ,y R Να απ A)  f 0  ) Αν είν τι   of x f  ) Αν η ίναι παραγω    o ox f x .26 Αν μι αραγωγίσιμη ποδείξετε ότι Α) x α f( lim  ) x α αf lim  htt ρείτε όλα τα π 2  για κάθε συνάρτηση η στο ox e e) ef (e) f  πολογίσετε το ποδείξετε ότι x 1 1 x   B) νάρτηση g εί 1 και  g e  2 x ln x  να βρ συνάρτηση    y y e f x  ποδείξετε ότι α  B) η ναι παραγωγ    x ox f 0 e f είναι παρα γίσιμη στο R   ox f 0 e x  α συνάρτηση η στο σημείο ι: (x)ln x f(α)l x α   2 f(x) xf(α) x αx    ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch πολυώνυμα x R . f : R R . δείξτε ότι f(e) ο ημ π h h 0 e lim h   ι 5 5 x 2 x 2 lim x 2   είναι παραγω 2 . Αν ρείτε τον f e f για την οπ xy α  για κ ι: η  f 0 0 γίσιμη στο R ox ox , ox  αγωγίσιμη στ R και ισχύει ox για κάθε η f : R R ε ο 0x α,α 0  lnα f(α) α   f(α) f (α) α   ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr P με h 1 80 ωγίσιμη στο e ποία ισχύει: κάθε τότε ισχύει R . το 0 τότε ox R είναι 0 , να f (α)lnα Σ r
  5. 5. Γ Λυκείου –Μ ΠΑΡΑΓΩΓ 2.27 Βρε 2 f(x) ημ x 2 f(x) εφ (4   3 f x ln x  f x συν   f x ημ 2    2 f x x  2.28 Βρε Α) f x Β) f x Γ) f x 2.29 Βρε Α) f x Β) f x Γ) f x Δ) f x Ε) f x 2.30 Δίν Α) Απο βρείτε το πε Β) Αν να δείξετε ό 2.31 Αν στο 0x 0 κ κάθε x R Μαθηματικά Θ ΓΟΣ ΣΥΝΘΕ είτε τις παραγ 2 συν 3x , 3 4x 1) 2 x 3x ln 3   3 ln 2x 2 x x 2 3 ημt     4 33 3 x 5  είτε τις παραγ x συν ln x   x x log 2      42 x x 3  είτε τις παραγ  2 1 x ημ x x 0       2 x x x 3    log x x x , x    x x ημx , x  x x 2  εται η  f x  οδείξτε ότι η εδίο ορισμού η 1 f είναι π ότι    1 f 1   η συνάρτηση και ισχύει: f να βρεθεί η Θετικών Σπουδ ΕΤΗΣ ΣΥΝΑ γώγους των 3 2 t , t R 2 y , y R γώγους των x , x 1 x 3   33 2x 5 γώγους των αν x 0 αν x 0   3 2 0 π x 0, 2       x 3 e x x   , f είναι αντισ ύ της 1 f παραγωγίσιμ 1 2  . η f είναι πα 3 2 (x) x f(x)  f 0 . δών ΑΡΤΗΣΗΣ συναρτήσεω R συναρτήσεω συναρτήσεω x R . στρέψιμη κα μη στο 1 f D  , ραγωγίσιμη 2 2x ημx , γ ων: ων: ων: ι , για 2. c, f f  Β) 2. R Α εί Β) απ 2. R f 2. πα απ Α Β) 2. R Α Β) 2. Α Β) πα f .32 Α) Α ,α,β,γ R κ (x) 1 f(x) x α     ) Να βρεθεί η .33 Η συν R με  f x 0 γ Α) Να απ ίναι παραγω ) Αν ισχ ποδείξετε ότι .34 Η συν R και για κάθ   2 2x 3 x  .35 Αν μι αραγωγίσιμη ποδείξετε ότι Α) x α f( lim  ) x α αf lim  .36 Έστω R . Να αποδει Α) η f εί ) η f εί .37 Έστω Α) Να δε ) Αν θεω αραγωγίσιμη 1 f (x)    Αν f(x) c(x και x α,β,γ 1 1 x β x γ    η f αν f(x)  νάρτηση f είν για κάθε x ποδείξετε ότι γίσιμη στο R χύει ότι f 2 ι  f 2 4   νάρτηση f εί θε x R ισχύ 3x 5  να β α συνάρτηση η στο σημείο ι: (x)ln x f(α)l x α   2 f(x) xf(α) x αx    η συνάρτηση ιχτεί ότι αν: ίναι άρτια τό ίναι περιττή τ η συνάρτηση είξετε ότι υπά ωρήσουμε γν η, να δείξετε 2 1 , x ( 1 x   α)(x β)(x  γ τότε να απ 2 3 (x 5) (1 1 x    ίναι παραγω R . ι η συνάρτησ R . 2 5  και f ίναι παραγω ύει βρεθεί το f η f : R R ε ο 0x α,α 0  lnα f(α) α   f(α) f (α) α   η f παραγω ότε η f είναι τότε η f είν η f(x) συνx άρχει η συνά νωστό ότι f ότι ( 1,1) 43 γ) με ποδείξετε ότι: 4 2 2 x ) x  γίσιμη στο ση  y f x  2 4  να ωγίσιμη στο 3 είναι 0 , να f (α)lnα γίσιμη στο ι περιττή ναι άρτια x,x (0,π) άρτηση 1 f 1 είναι 3
  6. 6. 44 2.38 Έστ 0 τέτοια ώσ   f f(x) f x 2.39 Δίν είναι f(x y x,y R . Α αποδειχτεί ό 2.40 Οι σ στο R και γ με  f 1 0  2.41 Να οποία ισχύε 2.42 Έστ   x x f x 0      Να εξετάστε 2.43 Έστ R . Να απο Α) Αν Β) Αν Γ) Αν και περιττή α) β) γ) Δ) Αν 2 g(x) (x  τω η συνάρτη στε για κάθε x 2x .Δείξτ εται η συνάρ y) f(x)f(y) κ Αν ισχύει ότι ότι η f είναι συναρτήσεις για κάθε x , να αποδειχ βρείτε όλα τ ει ότι  P x   τω η συνάρτη 2 2 x ημ , x x 0, x   ε αν η  f x τω η συνάρτη δείξετε ότι η f είναι άρτ η f είναι περ η f είναι δύ τότε: Η fC διέρχ  f x f     f 0 0  η f είναι άρ 1)f(x) 3x τό ηση f παραγ x R να ισχ τε ότι  f 0  ρτηση f για και f(x) 0 γ x 0 f(x) 1 lim x   ι παραγωγίσ f,g είναι πα R ισχύει ότι χτεί ότι  g΄ 1 τα πολυώνυμ   2 P x   ηση 0 0 είναι συνεχ ηση f παραγ τια τότε η f ριττή τότε η ύο φορές παρ χεται από το  f x ρτια και ότε g (0) 3  γωγίσιμη στο χύει 1 ή  f 0  την οποία για κάθε R  να σιμη στο R αραγωγίσιμε ι   2 f(x g x e   2g(1)f΄ 1 μα  P x για τ χής στο ox  γωγίσιμη στο είναι περιττή f είναι άρτια ραγωγίσιμη  0,0 ο 2 ες ) , τα 0 ο ή α 2. f πα να υπ Π 2. στ να 2. πα Α Β) Γ) κά 2. A B) x 2. πα f 2. Α Β) .44 Έστω  x xημ αραγωγίσιμη α δείξετε ότι πολογίσετε τ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ .45 Θεωρο το R με παρά α δείξετε ότι .46 Έστω αραγωγίσιμη Α) h 0 f (x 2 lim    ) h 0 f (x h lim    ) h 0 4f (x 2 lim    άθε x R .47 Να απ A) Αν y ln ) Αν y ημ 2 y xy y   .48 Αν η σ αραγωγίσιμη    2 x xf x .49 Να α Α) Αν  f x  ) Αν  f x  htt η συνάρτησ x μ x e , x η στο  0, ι / f (x) ημx ο 2x 0 f(x) lim x   Σ ΑΝΩΤΕΡ ούμε συνάρτ άγωγο συνεχή  f 3 5   μια συνάρτη η στο R. Να α 2h) f (x) 2 h   h) f (x) f h    2h) 6f (x h) h    ποδειχτεί ότι  2x e 1 x  τ   ln x συν 0 συνάρτηση f η στο R και , να αποδείξε ποδείξετε ότι συνx , τότε f x xe τότε (ν f ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch ση  f : 0,  x 0 . Αν f  τότε xσυνx 2x  1 ΡΗΣ ΤΑΞΗΣ τηση f παρα χή. Αν x 1 f lim   ηση f δύο φο αποδείξετε ό 2f (x) , xR f (x) , xR 10f (x) 2f   ι: τότε y 1  ln x τότε f είναι δύο φ ι για κάθε x ξετε ότι  f 1 ι:  (ν) f x συν   ν) x x e x  ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr R ώστε είναι 2 x xe και να Σ αγωγίσιμη (4 x) 5 x 1    ορές ότι: (x) για  y 1 y   φορές R ισχύει  0 . νπ ν x 2       ν Σ r
  7. 7. Γ Λυκείου –Μ ΕΦΑΠΤΟΜ 2.50 Βρε 0x 0 αν f 2.51 Μια ox 1 και ι ότι η εφαπτ είναι κάθετη 2.52 Δίν τις εφαπτόμ M( 2, 8)  2.53 Έστ ότι: xln x  αποδείξετε ό να βρείτε τη στο σημείο 2.54 Αν να αποδειχτ σχηματίζου εφαπτομένη ανεξάρτητο 2.55 Να όταν f(x)  τέμνονται σ 2.56 Αν α,β R ώσ εφαπτόμενη Μαθηματικά Θ ΜΕΝΗ ΚΑΜ είτε την εφαπ 2 3 1 x ημ xf(x) x       α συνάρτηση ισχύει x 1 f( lim  ομένη της C η στην ευθεία εται η συνάρ μενες της fC τω συνάρτησ   2 f x x x  ότι είναι παρ ην εξίσωση τη  Μ 1,f(1) .  f : 0,  τεί ότι το εμβ υν οι ημιάξον η της καμπύλ ο του α . βρεθούν οι ε 2 x 2 και g στον y y και  f x αln x στε η ευθεία ε η της fC στο Θετικών Σπουδ ΜΠΥΛΗΣ πτομένης της 1 αν x 0 x αν x 0   η f είναι συν 2 x) x 7 x 1    . Ν fC στο σημείο α x 9y 5   ρτηση f(x)  που διέρχον ση f για την x για κάθε x ραγωγίσιμη σ ης εφαπτομέ R με  f x  βαδόν του τρ νες Ox,Oy κ λης στο ox  εφαπτόμενες 21 g(x) x 8    ι είναι κάθετε 2 βx 3  , να ε: 2x y 4   ο σημείο της δών fC στο 0 0 νεχής στο Να αποδείξε ο   A 1,f 1 0 3 x . Να βρείτ νται από το ν οποία ισχύε Δ . Να στο ox 1 κ ένης της fC 1 x  και α 0 ριγώνου που και η α είναι ς των f gC , C 1 2  που ες μεταξύ του α βρείτε τα 0 να είναι   A 1,f 1 . ετε τε ει και 0 , g υς. 2. ισ απ πα στ 2. βρ στ 2 2. Ν 2. f g 2. f( κο 2. συ κά το στ γω 2. f εί f .57 Για τη σχύει ότι f 2 ποδείξετε ότι αράστασης σ την y x . .58 Αν f ρεθούν τα α, το A(2,f(2)) x y 1 0   .59 Αν f Να βρείτε τις .60 Για πο   2 x x 3x    α x x  .61 Δείξτ x x e e 2 (x)    οινή εφαπτομ .62 Θεωρο υνεχή πρώτη άθε x R . Α ον άξονα x x το σημείο τομ ωνία o 45 .63 ** Δίν   4 2 x x 4x  ίναι εφαπτομ σε δύο διαφ ην παραγωγί  x f 2 x   ι η εφαπτομέ στο σημείο 2  2 αx 2 x x        ,β,γ R ώστ να είναι πα  2 x 4 x  κ κοινές εφαπτ οια τιμή του στο  1,f(1) ε ότι οι γραφ και g( )x  μένη σε κάθε ούμε την συν η παράγωγο σ Αν η gC της g x , να αποδειχ μής , σχηματ εται η συνάρ 2 3x . Να β μένη της γρα φορετικά σημ ίσιμη συνάρτ x 2x  , x ένη της γραφ 2,f(2) είναι 2αx β α x γ x x 1    τε η εφαπτομ αράλληλη πρ και  g x x  τόμένες των α 0 η εφαπ  είναι εφαπ φικές παραστ x x e e xμη 2   ε κοινό τους νάρτηση f π στο R με f ( g με g(x)  ιχτεί ότι η εφ τίζει με τον ά ρτηση ρεθεί ευθεία αφικής παράσ μεία της. (ma 45 τηση f R . Να φικής ι κάθετη x 2 x 2   , να μένη της Cf ος την 2 x 8x 20  . fC και gC . πτόμενη της τόμενη της τάσεις των έχουν σημείο. που έχει (x) 0 για f(x) f (x) τέμνει απτομένη άξονα x x που να στασης της athematica) 5
  8. 8. 46 2.64 Μία ιδιότητα: f x R  . Έστ από το M    διαφορετικά της f και να fC στα Α κ 2.65 Δίν x 0 , όπου εφαπτόμενη και αποδείξ Ρ για κάθε α 2.66 Αν εφαπτομένη σημείο της μ στη gC της 2.67 * Αν ότι οι fC κα 2.68 Δείξ x g(x) e κα 2.69 Να με x f(x) α 2.70 Έστ συνάρτηση  3f x 1 2  Α) Να Β) Απο άγονται απ α συνάρτηση   2 x 2 x   τω μεταβλητ 1 ,0 2     και τ ά σημεία Α κ α αποδείξετε και Β τέμνοντ εται η συνάρ υ α R . Να ης της fC στο ξετε ότι διέρχ αR. η ευθεία y  η του διαγρά με ox 1  , ν g(x) f x     ν 1 f(x) x  κα αι gC έχουν κ ξτε ότι οι γρα αι 2 f(x) 2x βρείτε τον α , να έχει εφα τω f δευτερο για την οποί   2 2f x 2 x  βρεθεί ο τύπ οδείξτε ότι οι ό το σημείο η f : R R έχ 3x 2 f x   τή ευθεία η οπ τέμνει τη fC και Β. Να βρ ε ότι οι εφαπτ ται κάθετα. ρτηση  f x  βρείτε την εξ ο σημείο της χεται από στα 2x 0  είναι άμματος της να βρεθεί η ε 2 1 x    στο σημ αι x g(x) e  κοινή εφαπτο αφικές παρα , έχουν κοιν α R ώστε η απτομένη την οβάθμια πολ ία ισχύει ότι 2 14x 5  ,  πος της f . ι εφαπτόμενε 1 A 1, 4       , εί χει την 3 2x 4   , ποία διέρχετ σε δύο είτε τον τύπο τόμενες της 2α lnx , ξίσωση της   M 1,f 1 αθερό σημείο ι η y f(x) , στο εφαπτομένη είο με 1x 1 , αποδείξετε ομένη. στάσεις των νή εφαπτομέν συνάρτηση ν y x . υωνυμική : x R  ες της fC πο ίναι κάθετες. , ται ο ο ο 1 ε νη f ου . 2. R υπ σχ ση 2. Α C Β) στ δι 2. f Α τη Β) 2. Α εφ Β) ση 2. f( A πα B) τα άξ Γ) ση κά .71 ** Έστ R , και ισχύει πολογίσετε τ χηματίζεται ημείο της με .72 ** Έστ Α) Να βρ fC στο σημείο ) Aποδε το σημείο x ιέρχονται απ .73 Έστω : (0, ) R  Α) Να βρ ης γραφικής ) Υπολο .74 Έστω Α) Bρείτε φαπτόµενη δ ) Να βρ ηµείου M ότ .75 Θεωρο 21 (x) x 2 2   A) Να απ αραβολές έχο ) Να απ α οποία οι εφ ξονα x x , βρ ) Αν λ ημείων του ε άθετες εφαπτ htt τω συνάρτησ ι  f ln x xl ο εμβαδόν το από την εφα ox 1 και τ τω η   ln f x  ρεθεί η εξίσω ο  ο οx ,f(x ) . είξτε ότι οι π ο ο,f(x ) , καθ πό το ίδιο σημ μία παραγω , με 2 f(x ) f ρείτε την εξίσ παράστασης ογίστε το όρι η συνάρτησ ε το σηµείο M ιέρχεται από ρείτε τον γεω ταν το α δια ούμε τις παρ λx - 2λ(1- λ), ποδείξετε ότι ουν μία κοιν ποδείξετε ότι φαπτόμενες ε ρίσκονται στη 0 , να βρείτ πιπέδου από τόμενες τη συ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch ση f παραγω lnx x , x 0 ου τριγώνου απτομένη της τους άξονες x n (αx) x με α, ωση της εφαπ . παραπάνω εφ θώς μεταβάλ μείο. ωγίσιμη συνά f(x) 3 ln x   σωση της εφα ς της f στο  ιο: 2x 1 x f(x lim x -  ση   αx f x e M της fC σ ό την αρχή τω ωµετρικό τόπ ατρέχει το R ραβολές , λ R ι οι παραπάν νή εφαπτομέν ι τα σημεία τ είναι παράλλ την ευθεία y τε το σύνολο ό τα οποία άγ υνάρτηση f ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr ωγίσιμη στο 0 . Να υ το οποίο ς fC στο x x και y y . x 0 τομένης της φαπτόμενες λλεται το α , άρτηση 4 απτόμενης  1,f(1) )- 2 - 1 . * x, α R  το οποίο η ων αξόνων. ο του νω νη. ων fC για ληλες στον x . ο των γονται Σ r .
  9. 9. Γ Λυκείου –Μ Η ΠΑΡΑΓΩ 2.76 Μια λάμπα βρίσ προχωράει A) να α απόστασης B) να β βρίσκεται σ 2.77 Ενα της τετμημέ 2.78 Ένα κατευθύνον ισούται με τ Το αυτοκίνη Α) Με Β) Να του από τον Γ) Πόσ απομακρυν 2.79 Σε ο συνάρτησης προβολές το 1 m /sec . Τ Α) του Γ) της 2.80 ***Τ της ευθείας των ευθειών ( ),( )  και δ μεταβολής τ γίνεται ορθο Μαθηματικά Θ ΩΓΟΣ ΩΣ Ρ α κολόνα ύψ σκεται 1m κά προς τον τοί αποδείξετε ό του από την βρείτε τον ρυ σε απόσταση α σημείο Μ ένης του είνα α αυτοκίνητο νται προς τα το τετράγωνο ητο A απομ ποια ταχύτη βρείτε την α ν δρόμο Oy σο γρήγορα νθεί 3 km πρ ορθοκανονικ ς   x f x e , x ου M στους Τη χρονική σ εμβαδού του γωνίας που Το κινητό O (ε). Κυκλικό ν ( ),( )  , έχε δημιουργεί τ του μήκους A ογώνιο για π Θετικών Σπουδ ΡΥΘΜΟΣ Μ ψους 4m φωτ άτω από την ίχο με ταχύτη τι το ύψος y ν κολόνα είνα υθμό με τον ο 2m από τον x,y κινείτα αι ίσος με το ο A απομακ ανατολικά κ ο της απόστα μακρύνεται π ητα απομακρ απόσταση του . απομακρύνε ρος τα βόρεια κό σύστημα α x 0 . Έστω άξονες Ox στιγμή ot πο υ τριγώνου σχηματίζει η κινείται με σ ό εμπόδιο έχε ι διάμετρο 2 την «σκιά» A AB την στιγ πρώτη φορά δών ΜΕΤΑΒΟΛΗ τίζει ένα στεν ν κορυφή της ητα 1m /sec  y t της σκιά αι  y t 3  οποίο αυξάν ν τοίχο. αι στην fC , μ ρυθμό μετα κρύνεται από και βόρεια αν ασής του από προς τα ανατ ρύνεται το αυ υ αυτοκινήτο εται το A απ α; αναφοράς O M η θέση το και Oy αντί ου το κινητό β OAM η εφαπτομένη σταθερή ταχ ει το κέντρο 2m ίση με το AB . Να βρεθ γμή κατά την (Άσκηση απ ΗΣ νό δρομάκι, ς κολόνας. Έν c . Αν η κολό άς που ρίχνει 6 x(t) ,  2 x t νει το ύψος τη με f(x) x αβολής της τε ό τη διασταύρ ντίστοιχα. Η ό το δρόμο O τολικά με ρυθ υτοκίνητο πρ ου A από το πό το σημείο Oxy ένα κινη ου κινητού σ ίστοιχα. Η τε βρίσκεται στ Β) νη της fC στο χύτητα 2m / του στην μεσ ο μισό της απ θεί ο στιγμιαί ν οποία το τρ πό www.mat το οποίο κατ νας παίχτης να απέχει 6m ι ο άνδρας στ  6 ης σκιάς που . Να βρείτε τ εταγμένης το ρωση δύο κά Η απόσταση τ Ox θμό v 10 ρος τα Βόρεια ο σημείο O 0  O 0,0 τη χ τό κινείται π στο επίπεδο κ ετμημένη του το σημείο 1, της από ο σημείο M , sec κατά μή σοπαράλληλ πόστασης των ίος ρυθμός ρίγωνο OAB thematica.gr ταλήγει κάθε του μπάσκετ m από τον τ τον τοίχο ως υ ρίχνει ο άνδ τη θέση όπου ου. άθετων δρόμω του αυτοκινή km/min . α; (συναρτήσ 0,0 ως συνά χρονική στιγ πάνω στη γρα κάθε στιγμή κ υ σημείου M e , βρείτε το όστασης AB , με τον άξον κος η ν ) ετα σε έναν τ τ με ύψος 2m τοίχο, τότε: συνάρτηση δρας στον το υ ο ρυθμός μ ων Ox και O ήτου από το δ σει της θέσης άρτηση της α γμή που έχει αφική παράσ και έστω A, M μεταβάλετ ο ρυθμό μετα B να x x 47 τοίχο. Η m της οίχο όταν μεταβολής Oy , που δρόμο Oy ς του) απόστασής σταση της B οι αι με ρυθμό αβολής: 7
  10. 10. 48 Θ. R 2.81 Εφα   f x x 1  2.82 Αν οι α,β,γ R Rolle στο   f ξ 0  . 2.83 θεω συνεχής και παραγωγίσι υπάρχει 0x 2.84 Δίν και παραγω δείξτε ότι υπ 2.85 Δίν  α,β και π αποδείξετε ό  2 3 f β f 3ξ β α   2.86 Έστ παραγωγίσι  g(x)g x  υπάρχει ξ  Rolle αρμόστε το θ  1 x ημx σ 2 x f(x) 3 (γ      R ώστε να εφ 1,1 και να ωρούμε μια συ ι μη μηδενικ ιμη στο π , 2    π 3π , 2 2       ώ εται ότι η f σ ωγίσιμη στο ( πάρχει ξ α εται η συνάρ παραγωγίσιμ ότι υπάρχει    3 α f ξ α  τω f,g συνεχ ιμες στο α,β 0 για κάθε  α,β ώστε e –Θ θ. Rolle για τη στο διάστημα αx β x 0 γ α)x x 0     φαρμόζεται τ βρεθεί ξ   υνάρτηση f κή στο π 3π , 2 2    3π 2    . Αποδε ώστε of (x )  συνεχής στο  (α, β) με f α α α,β ώστε ξf ρτηση f συν μη στο (α, β).  ξ α, β ώσ χείς συναρτή β με f(α) g(α)  x (α,β) . Να ε να ισχύει f g .Μ.Τ η συνάρτηση α  0,1 0 0 να βρεθούν το θεώρημα 1,1 ώστε η οποία είνα π 2    και είξτε ότι o of(x )εφx .  α,β , α > 0   f β β  . Να    f ξ f ξ  εχής στο Να στε ήσεις στο α, f(β) g(β)  και α δείξετε ότι f (ξ) f(ξ) g (ξ) g(ξ)    Τ. η ν αι α β 2. στ Ν το 2. 2 f ξ 2. στ ώ 2. συ f ln υπ 2. πα f υπ 2. γι Β) τη 2. πα g βρ .87 Έστω το R με f(x) Να αποδείξετε ουλάχιστον ρ .88 Έστω 2 2 (α) f (β)   α,β έτσι .89 Αν η το  1,1 , να στε  2f ξ 5  .90 Θεωρο υνεχείς στο [  x 0 για κ n f(α) ln f(β πάρχει ξ (α .91 Έστω αραγωγίσιμη    1 f 0 f  πάρχει x 0 .92 Α) Δ ια κάθε x R ) Να δε η συνάρτηση .93 Να απ αραστάσεις τ x 3 g(x) e x   ρίσκεται στο htt f μια παραγ ) 0 για κάθ ε ότι η εξίσωσ ρίζα στο 1,2 η f :[α,β]  2 2 α β  . Να ι ώστε:  f ξ f συνάρτηση α αποδείξετε 4 5ξ f(1) f(  ούμε τις συνα [α,β] παραγ κάθε x [α,β ) g(β) g(α  α,β) ώστε f ( f : R R τρ η. Υποθέτουμ    f 0 f 0   0,1 ώστε 3 f Δείξτε ότι η f R με λ R δ είξετε ότι εφα    f x g x e ποδείξετε ότι των συναρτή 3 έχουν ένα μ ν y y ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch γωγίσιμη συ θε x R και ση f (x) f(x  2 . R παραγωγ α αποδείξετε ό  ξ ξ  f είναι παρ ότι υπάρχει 1) . αρτήσεις f,g γωγίσιμες στο β] και α) . Να αποδε (ξ) f(ξ) g (ξ  ρεις φορές με ότι 0 . Nα απο   3 x 0 .   3 f x x λx  δεν είναι 1 αρμόζεται το 2 x λx 3   ι οι γραφικές ήσεων f(x)  μόνο κοινό ση ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr νάρτηση f(2) e f(1)  . x) έχει μια γίσιμη, ώστε: ότι υπάρχει ραγωγίσιμη  ξ 1,1  , g που είναι ο (α,β) με είξετε ότι ξ) 0 δείξετε ότι 2 x 3x 1  1. θ. Rolle για ς x e 2x και ημείο που Σ r
  11. 11. Γ Λυκείου –Μ 2.94 Nα 2.95 Να 2.96 Να 2.97 Να 2.98 Να 2.99 Να 2.100 Να 2.101 Λύσ 2.102 Να 5 x 3x α   2.103 Να 2012 2013x  τουλάχιστον …---------- 2.110 Η α με ευθεία σι Μια αμαξο απόσταση σ κάποια χρο ταχύτητα 85 2.111 Αν  f x 2  ,  2.112 Έστ    f 5 f 0   κ, λ 0,5 Μαθηματικά Θ ΕΞΙΣ λύσετε την ε λύσετε την ε λύσετε την ε λύσετε την ε λύσετε την ε λύσετε την ε λύσετε την ε στε την εξίσω αποδείξετε ό 0 έχει μον δειχθεί ότι η  2012 λ 1 x ν μία ρίζα στ ------------- απόσταση δύ ιδηροδρομικ οστοιχία διαν σε 0,6 ώρες. Ν ονική στιγμή 5 km /h . f συνεχής σ x (1,5)  να τω f παραγω 1 . Να δείξε ώστε  2f κ Θετικών Σπουδ ΣΩΣΕΙΣ εξίσωση 1 2 εξίσωση ln 1 εξίσωση x 2  εξίσωση x 5  εξίσωση ln x εξίσωση x xe εξίσωση: 2 x ωση  96 x 3  ότι η εξίσωση ναδική ρίζα σ η εξίσωση 2011 x λ 0  έ το  0,1 για -------------- ο πόλεων πο κή γραμμή εί νύει τη μεταξ Να αποδειχτ η αμαξοστο στο  1,5 με α δείξετε ότι ωγίσιμη στο ετε ότι υπάρχ   3f λ 1  δών x x 1 2 3 0   x 1 xe x  x 5 2 5x   x x 4  x x 1 0   x x 1 e  x ln x 2    96 x 1 16   η στο R έχει κάθε λ R ------------- ου συνδέοντα ναι 51 km . ξύ τους τεί ότι για οιχία έχει  f 1 2  κα 10 f(5) 6    0,5 με χουν 2 24 6 2. e 2. α μο 2. πε 2. εξ e 2. α ώ ρί 2. με κα -------------- αι αι 6 2. 1 κα 1ξ 2. ότ 2. .104 Να απ x 2 αx βx   .105 Να απ 3 2 αx βx γx  οναδική ρίζα .106 Δείξτε ερισσότερες α .107 Να δε ξίσωσης x e ημ x συνx 1  .108 Nα απ 3 α ln x β ln   στε 3 2α γ ίζα στο  2 1,e .109 Αν η ε ε α,β,γ,δ R αι άνισες μετ ------------- .113 Η συν 1,4 και για αι 25 f 100       1 2 3,ξ ,ξ 1, .114 Δίνετα τι υπάρχει ξ .115 Να βρ ποδείξετε ότι γ έχει μέχρ ποδείξετε ότι x δ 0  με β α στο R ε ότι η εξίσωσ από δύο διαφ είξετε ότι μετα μx 1 υπάρχ ποδείξετε ότι 2 n x γ ln x   δ 4β 0   2 εξίσωση 4 x  R έχει τέσσερ ταξύ τους, να -------------- νάρτηση f εί κάθε x R 1 να αποδείξ 4 ώστε f ξ αι η συνάρτη  1,20 ώσ ρείτε το x 0 lim  ι η εξίσωση ρι τρείς ρίζες ι η εξίσωση 2 β αγ ,α 0 ση 8 x 7x 6  φορετικές ρί αξύ δύο ριζώ χει ρίζα της ε ι η εξίσωση δ 0  , α,β, 0 έχει μια του 3 2 αx 3βx   ρις ρίζες πρα α αποδείξετε --------- ίναι παραγω ισχύει f 4x ξετε ότι υπάρ   1 2ξ f ξ f  ηση  f x lo στε 19 lo ξ 1 lo    ημxx 2 2 x ημx   . 49 στο R 0 έχει 6 δεν έχει ίζες στο R ών της εξίσωσης ,γ,δ R υλάχιστον γx δ 0   αγματικές ότι 2 α 8β ωγίσιμη στο   4f x ρχουν  3f ξ 12  og x . Δείξτε oge og2 . 9
  12. 12. 50 2.116 Απο 2.117 Απο 2.118 Δείξ 2.119 Δείξ 2.120 Nα Α) xxe Β) 2  2.125 Αν στο R και υ της fC , να α  f ξ 0  . 2.126 Μια  2, 2 και f( 2)= f(2  αποδειχθεί ό 2.127 Έστ παραγωγίσι    f 1 f 0  υπάρχει x 2.128 Έστ α,β,γ,δ R υπάρχουν τ που να ανή ΑΝΙΣΟΤΗ οδείξτε ότι x οδείξτε ότι l ξτε ότι ημβ  ξτε ότι 1 x αποδείξετε τ 1 x 1 x 1 x    e π ln π π e   ******** η f είναι δύ υπάρχουν τρ αποδείξετε ό α συνάρτηση παραγωγίσι )= 2 . Αν f ότι f(x) x , τω f : R R ιμη. Υποθέτο   f 0 f 0    0,1 ώστε τω 2 f(x) α x * R με 2 3β 5 τρία διαφορε κουν στη γρ ΗΤΕΣ 1 x 1 ln x 1 x    2 2 α 1 ln α β 1    ημα β α   x x e 1 xe   τις ανισότητε 1 xxe για κάθε ************ ύο φορές παρ ρία συνευθεια ότι υπάρχει ξ η f είναι συν ιμη στο  2, (x) 1  , x  ,  x 2, 2  τρεις φορές ουμε ότι 0 0 . Nα απ  (3) f x 0 . 6 4 2 x βx x   2 5α . Να απο ετικά συνευθ αφική παράσ 1 1 x  , x 0 α β , α,β R α , α,β R x e , 0 x 1  ες: ε x 0 . ************ ραγωγίσιμη ακά σημεία ξ R με νεχής στο 2 με  2, 2  να ποδείξετε ότι γ δ  , οδείξετε ότι δε ειακά σημεία σταση της . R 1 2. Α Β) 2. 2. 1 2. η Δε ************ ι εν α 2. συ Α γ α f 2. πα απ f 2. δύ f Α υπ Β) υπ .121 Nα απ Α) x x 1   ) x x e .122 Δείξτε .123 Για κά 2α εφ α      .124 Έστω παράγωγος είξτε ότι: f 1 ************ .129 Θεωρο υνάρτηση f γ Αν ισχύει lnα 2γ β e α γ   , να 1 2(ξ ) f (ξ )   .130 Έστω αραγωγίσιμη ποδειχτεί ότι    ο οx f x  .131 Η συν ύο φορές παρ    α f β 0  Α) αν υπ πάρχει ξ α ) αν υπ πάρχει ξ α htt ποδείξετε τις ln(x 1) x   x 1 1 (x 1    ε ότι x 1 1 x       άθε π 0 α 4   π 1 4 συ      f παραγωγί είναι γνησίω  1999 f 200 ************ ούμε την παρ για την οποί α ln γ lnβ  α δειχτεί ότι 0 συνάρτηση η στο  α,β μ ι υπάρχει ox  οf x . νεχής συνάρτ ραγωγίσιμη 0 . Να αποδε άρχει οx α α,β ώστε f άρχει οx α α,β ώστε f ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch ανισότητες: x αν x>0 1)e αν x 1 x 1 e 1 x      π 4 να αποδειχ 2 α π υν (α ) 4  ίσιμη στο R ως φθίνουσα   02 f 2000 * ραγωγίσιμη ία ισχύει f(ln β , με α,β,γ  υπάρχουν ξ f , δυο φορές με   f α f β  o α,β ώστ τηση f : α, β στο  α,β , μ είξετε ότι: α,β με  of x  ξ 0  , α,β με  of x  ξ 0  . ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr 1,2 x 1 ,x 0     τεί ότι της οποίας α στο R .  f 2001 στο R nα) f(lnβ) . 0 και 1 2ξ ,ξ R με ς β 0 . Να τε  R , είναι με o 0 , τότε o 0 , τότε Σ r ι
  13. 13. Γ Λυκείου –Μ 2.132 Να 3 4x 2 x    0,1 για κά 2.133 Έστ R με f( 1) Α) 11    Β) 11    2.134 Η σ  0,α με α 2 f(x ) 2f(x 1 2ξ ,ξ 0,α 2.135 Αν  2,20 ικαν θεωρήματος Α) υπά 1 2ξ ξ και Β) υπά 13f (κ )+ 2f (  Γ) ότι τουλάχιστον Δ) υπά ώστε  2f κ 2.136 Έστ f : R R με , ώστε η εφα της f στο Μ  P 2ξ,0 Μαθηματικά Θ αποδείξετε ό 1 0   έχει άθε R  . τω η συνάρτη 1  , f(1)  2 1   ώστε 2 1   ώστε συνάρτηση f > 1 και ισχύε x), x [0,α]  α ώστε 1f (ξ για τη συνάρ νοποιούνται ς του Rolle, τ άρχουν αριθμ   1 2f ξ f ξ  άρχουν 1κ ,κ 2(κ ) = 0 η εξίσωση f ν ρίζα στο δι άρχουν κ, λ,   3f λ 4f  τω η παραγω ε  f 2 0 . Να απτομένη της  Μ ξ,f(ξ) , να Θετικών Σπουδ ότι η εξίσωση ι μια τουλάχ ηση f , παρα 1 . Δείξτε ότι ε   1f f    ε 1 1 1 f'( ) f'(κ   είναι παραγ ει f(0) = 0 κα ]. Να δείξετε 1 2) f (ξ ) 2   ρτηση f στο ι οι προϋποθ τότε να αποδ μοί 1 2ξ ,ξ   0 . 2κ (2,20) με (x) f(x)- f(α ιάστημα 2,2 μ με 2 κ   f μ 0  ωγίσιμη συνά α δείξετε ότι ς γραφικής π α τέμνει τον ά δών η χιστον ρίζα σ γωγίσιμη στ ι υπάρχουν 2 2  2 2 )  γωγίσιμη στο αι ε ότι υπάρχου   f(α) α - 1 . διάστημα έσεις του δείξετε ότι: 2,20 με ε 1 2κ κ ώστ α) έχει μία 20 . λ μ 20   άρτηση υπάρχει ξ  παράστασης άξονα x x σ στο ο ο υν στε R στο 2. φο f τη 2. πα Α έχ Β) 1ξ 2. συ σε 2. α ώ ρί 2. Ν Α τη Β) έχ 2. f το f .137 Η συν ορές παραγω  4 8 . Να α ης fC που δι .138 Έστω αραγωγίσιμη Α) Να απ χει μια τουλά ) Να απ  1 2,ξ α,β .139 Αν 4  υνάρτηση f ε ένα τουλάχ .140 Nα απ 3 α ln x β ln   στε 3 2α γ ίζα στο  2 1,e .141 Δίνετα Να αποδείξετε Α) Υπάρχ ης fC στο ξ ) Να απ χει ρίζα στο    .142 Έστω    f 0 f x 2   ουλάχιστον έ  ox 0  νάρτηση f : 1 ωγίσιμη και ι αποδείξετε ότ ιέρχεται από συνάρτηση η στο  α,β , ποδείξετε ότι άχιστον ρίζα ποδείξετε ότι τέτοια ώστε 3 2         3 x x x   χιστον σημείο ποδείξετε ότι 2 n x γ ln x   δ 4β 0   2 . αι η συνάρτη ε ότι: χει 1 ξ ,1 2      ,f(ξ) να είν ποδείξετε ότι 1 ,1 2      f παραγωγ  10 . Να δεί ένα ox 0,1 1,4 R είν ισχύουν  f 1 τι υπάρχει εφ την αρχή τω  f : α,β R με  f α 2β ι η εξίσωση f στο  α,β . ι υπάρχουν    1 2f ξ f ξ  0 , να δείξετ 2 x x    μη ο του διαστή ι η εξίσωση δ 0  , α,β, 0 έχει μια του ηση   f x x    ώστε η εφα ναι παράλλη ι η εξίσωση  γίσιμη στο R είξετε ότι υπά 10 τέτοιο ώσ 51 ναι δύο  2 και φαπτομένη ων αξόνων. β ,  f β 2α  f x = 2x 4 . τε ότι η ηδενίζεται ματος  0,1 ,γ,δ R υλάχιστον   x 1 ln 2x . απτομένη λη στον x x x 2 2x 2x e   . Αν άρχει στε 1 .
  14. 14. 52 ΣΤΑΘΕΡΗ 2.143 Δίν   f x 2f     f 0 f 0 Α) Οι συναρ   g x f x  σταθερές συ Β) Να 2.144 Θεω οποία ισχύε κάθε x,y R 2.145 Να x R και f 2.146 Να και  f 1  2.147 Να Α) αν f(0) f (0)  Β) αν δ(0) 1 κα 2.148 Έστ παραγωγίσι όλες οι εφαπ αξόνων. Να οποίας η γρ σημεία 2,1 2.149 Έστ Να δείξετε ό αν και μόνο Η ΣΥΝΑΡΤΗ εται συνάρτη    x f x 2   f 0 1  . ρτήσεις  h x    2 x f x  υναρτήσεις βρεθεί ο τύπ ωρούμε συνά ει ότι:  f x  R . Να δειχτε βρείτε την f  f 1 2 βρείτε την f  f 1 2 αποδειχτεί f (x) f(x)  γ 1 τότε f(x) δ (x) δ(x)   αι δ (0) 4   τω συνάρτησ ιμη στο * R μ πτόμενες διέ α βρείτε εκείν ραφική παρά  και  2,1 τω f παραγω ότι ισχύει f ο αν υπάρχει ΗΣΗ ηση f : R R  2f x , για κά Να αποδείξε    x f x e  κ   2 f x f x  πος της f . άρτηση f : R    f y συν x εί ότι η f είν f αν f 1 2  f αν  f x   ότι: για κάθε x  x e , x R 5x για κάθ , τότε δ(x)  ση f ορισμέν με  f 0 0 , τ ρχονται από νη τη συνάρτ άσταση διέρχ ωγίσιμη συνά    x 2x 1  ι c R ώστε R , ώστε: άθε x R κα ετε ότι : και  2 x  είναι R για την x y 1  για ναι σταθερή 2x 7 12x  , 2 1 x  , x R * R και R , θε x R , x e 5x , x  νη στο R της οποίας ό την αρχή τω τηση f της χεται από τα άρτηση στο R  f x , x R    2 x x f x ce   αι ν α , * R ων R . R x 2. f 2. πα κά α 2. ισ f 2. f f 2. εί ισ 2. αν 2. δι με 2. f f 2. στ γι .150 Να βρ (x) f(x) η  .151 Αν η αραγωγίσιμη άθε  x 0,π α R . .152 Να βρ σχύει:  x 2  3 7 .153 Να βρ   : 0, 0  (x) f(x) ln   .154 Nα βρ ίναι παραγω σχύει f(x) x .155 Να βρ ν ισχύει f(x .156 Βρείτε ιέρχεται από ε τετμημένη .157 Να βρ   : 0, 0  (x) f(x) ln   .158 Δίνετα το R ώστε ν ια κάθε x R htt ρείτε την f , α μx συνx κα  f : 0,π R η με π f 2        να αποδείξ ρεθεί η συνά   2 f x 2x   ρεθεί η παρα 0, αν ισ  f(x) για κά ρεθεί, αν υπά γίσιμη στο R xf (x) , f(1)  ρείτε τη συνά x ) e f (x)  ε την εξίσωση το M(0, 3) α έχει εφαπ ρεθεί παραγω 0, , αν ισ  f(x) για κά αι η συνάρτη να ισχύει[f (x R και  f 0  ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch αν για κάθε αι f(0) 1 . R είναι δύο φ 0 και  f x ίξετε ότι  f x άρτηση f : R  5x 2  , x  αγωγίσιμη συ σχύει ότι άθε x 0 κα άρχει, συνάρ R * και για κ 1 και f( 1)  άρτησης f μ x e 0  ,  x η της καμπύλ και σε κάθε πτομένη με λ ωγίσιμη συν σχύει ότι f (1) άθε x 0 ηση f , παρα 2x x) f(x)]e  1 .Bρείτε τον ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr x R ισχύει φορές   f x  για  αημx , R αν R και υνάρτηση ι f (1) 0  τηση f που κάθε x R * 2 . με  f 0 2 , xR λης που ε σημείο της εφ 2 4α λ 4α 1   νάρτηση ) 0 και γωγίσιμη f(x) f (x)  ν τύπο της f Σ r ι α
  15. 15. Γ Λυκείου –Μ 2.159 Αν παραγωγίσι κάθε x 0, 2.160 Να στο R με f η γραφική π έχει εφαπτο 2.161 Να είναι δύο φο διέρχεται απ στο σημείο -2x y 3    2 x 1 f (  2.162 Έστ παραγωγισι Αν δέχοντα τους και ισχ x R , να δ 2.163 Α) οποία ισχύε    f 0 f 0 μηδενική συ Β) Έστ   g x g x   g 0 1  . Ν 2.164 * Δί R με  f 0    f(x) f x e  βρεθεί ο τύπ Μαθηματικά Θ η  f : 0,π  ιμη με π f 2     ,π , δείξτε ότ βρεθεί συνά  x 0 , x R παράσταση σ ομένη με κλίσ βρεθεί ο τύπ ορές παραγω πό το O 0,0  O 0,0 είνα 0 και ισχύε x) 4x f (x)   τω οι συναρτ ιμες στο R μ αι κοινή εφαπ χύει   f x g είξετε ότι f x Έστω συνά ει   f x f x  0 . Να απο υνάρτηση. τω συνάρτησ x 0 για κάθ Να αποδείξετ ίνεται συνάρ 0 για την ο  2 2 1 2x x    πος της f . Θετικών Σπουδ R είναι δύο 0    και f τι  f x αημ άρτηση f παρ R ,  f 1 9 σε κάθε σημε ση 4x f(x) , πος της συνά ωγίσιμη στο 0 η εφαπτόμ αι παράλληλη ει 2f(x) 0, x  τήσεις f και με  f x 0 γι πτόμενη σε κ    x f x g   x g x άρτηση f : R  x 0 , x R οδείξετε ότι η ση g : R R θε x R και τε ότι η  g x ρτηση f παρα οποία ισχύει 2x 1 για κάθε δών ο φορές    x f x  γ μx , α R . ραγωγίσιμη και της οποί είο M x,f(x) x R ρτησης f αν R , η fC μενη της fC η στην ευθεία x R g δυο φορέ ια κάθε x R κοινό σημείο x για κάθε R για την και η f είναι η με ι  g 0 0 , ημx . αγωγίσιμη σ ότι ε x R . Να για ίας ) ν α ές R ν στο 2. ν τό 2. στ πα 2 γρ 2. f f Δε κα 2. ισ x πα 2. f κά Α Β) Γ) 2. πα ισ Α πα Β) .165 Έστω ν 2 και ισχύ ότε ναδείξετε .166 Να βρ το R , αν η εφ αράσταση σε  x xe f x  κ ραφική παρά .167 * Δίνε    xy f x   e e . Η f είξτε ότι η f αι ότι  f x  .168 Έστωι σχύει ότι και ,y R ,  f 1 αραγωγίσιμη .169 Η συν  0 2  και ι άθε x,y R . Α)  f x  ) η f είν ) ο τύπο .170 Έστω αραγωγίσιμη σχύει  f xy  Α) Να απ αραγωγίσιμη ) Δείξτε συνάρτηση ύει   f x f y ε ότι η f είνα ρείτε συνάρτη φαπτομένη σ ε κάθε σημείο και το A 1,    άσταση της f ται η συνάρτ  f y για κά είναι παραγ είναι παραγ eln x , για κ ι η συνάρτησ  f x y x  1  ,  f 2  η στο R και νάρτηση f εί ισχύει f y x Να αποδείξ 0 για κάθε ναι παραγωγ ος της f είνα συνάρτηση η στο 1 με f  2 2 x f y y f  ποδείξετε ότι η για κάθε x ε ότι  f x x f : R R κα  ν y x y  αι σταθερή. τηση f , παρα στη γραφική ο  x,f(x) να 2 e    να ανήκ f τηση f : 0, + άθε x, y 0, γωγίσιμη στο γωγίσιμη στο κάθε x 0, + ση f : R R ,  2 xy y f x  2 . Δείξτε ότ να βρεθεί ο ίναι ορισμέν    x f y f x ξετε ότι: x R και f γίσιμη στο R αι   2 x f x e    f : 0,   f 1 1  για τ  f x . για κά ι η f είναι x 0 2 x ln(x) για κ 53 αι ν N . Αν , x,y R  αγωγίσιμη της α έχει κλίση ει στη + R  με + και ο ox 1 . ο  0, + + . , ώστε να  για κάθε τι η f είναι τύπος της νη στο R με  2xy e , για  f 0 1 2x R , την οποία άθε x,y 0 . κάθε x 0 3
  16. 16. 54 ΜΟΝ 2.171 Μελ συναρτήσεω 2.172 Nα συναρτήσεω 2.173 Να συνάρτησης 2.174 Να συνάρτηση είναι γνησίω 2.175 Αν παραγωγίσι φθίνουσα, ν   f(x) g x x  2.176 Oι σ παραγωγίσι x R να ισ g(x) 0 . Να x [0, )  κ 2.177 * Έσ στο [0,+ )  x 1 ln(x  μελετηθεί η ΝΟΤΟ λετήστε τη μο ων Α)  f x Β)  f x μελετήσετε τ ων Α) Β) μελετήσετε τ ς   2 f x x βρεθεί για π f με  f x  ως αύξουσα η συνάρτηση ιμη με  f 0  να αποδείξετ , x 0 , είνα συναρτήσεις ιμες στο R μ σχύουν f (x)g α αποδείξετε και f(x) g(x στω μία παρα ώστε  5 f(x) 4 x x 1)- x - 5 2  f ως προς τ ΟΝΙΑ- ονοτονία των  x ln x   x συνx,  τη μονοτονία   x 2 e f x x     f(x) ln(1 τη μονοτονία 2 x 1 στο    ποιες τιμές το  3 x α 1 x  στο R . η f : R R ε 0 και η f ε τε ότι η συνά ι γνησίως φθ f και g είνα με f(0) g(0) g(x) f(x)g (x ε ότι: f(x) g x) για κάθε x αγωγίσιμη σ  5 3 2 f(x)  2 3 x 2015 2 6   την μονοτονί ΑΚΡΟ ν x [0,2π) α των ex 1 x 0 ln x x 0     2 x x ) e    α της 2 0, 3      ου α R , η 2 2x 10  είναι είναι γνησίω ρτηση θίνουσα. αι και για κάθ x) και g(x) για κάθ x ( ,0]  . υνάρτηση f 3f(x)  5 . Να ία της. ΟΤΑΤ 0 0 1 ως θε θε 2 Α Β) 2 εξ 2 2 2 x 2 2 ισ ισ εξ 2 f 3 f x 2 να ΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ .178 Έστω Α) να μελ ) να απ α)  π ln e β) ln x  .179 Να βρ ξίσωσης ln(x .180 Λύστε .181 Να λύ .182 Για κά  π x 1 συν x   .183 Δείξτε .184 Έστω σχύει ότι f 1 σχύει ότι f x ξίσωση  f x  .185 Δίνετα : R R για   3 x ln f(x R . Να λύσ .186 Αν xg α αποδείξετε htt Σ – ΑΝΙΣΩΣΕ η συνάρτηση λετήσετε τη μ ποδείξετε ότι:   π 1 ln e    1 ln x 1   ρείτε το πλήθ 2 x 1) x x   ε την εξίσωση ύσετε την εξίσ άθε x 2   π xσυν 1 x   ε ότι 2ln(ημ συνάρτηση  x f 1    x 0 , x R  0 αι η παραγω α την οποία ,   f x 3 ) e x  σετε την εξίσ  g x συνx   ε ότι η g(x)  ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch ΕΙΣ -ΑΝΙΣΟ η   ln(x f x ln  μονοτονία τη :  2 1 π .  2 ln x , x  θος των ριζών x 6 0  η ln(x 1) x   σωση x 1 e    να αποδεί 1 2 μx) ημ x , f : R R για x για κάθε R , να λύσετε ωγίσιμη συνά ισχύουν f x 3 2 x 2x 1   σωση  f ln x   g x για κ ημx x για κάθε ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr ΤΗΤΕΣ x 1) n x  , x 2 ης f 2 ν της 2x x 0 x 2    2x e 0  ίξετε ότι  x 0,π α την οποία ε x R . Αν ε την άρτηση x 0 και 1 για κάθε  2 f 1 x  κάθε x R , ε x 0 . Σ r
  17. 17. Γ Λυκείου –Μ ΑΚΡΟΤΑΤ 2.187 Να την μονοτον Α)  f x  Γ)   n f x x   2.188 Να την μονοτον Α)  f x       2.189 Δείξ έχει ακριβώ 2.190 Να συνάρτηση οx 1 τοπι 2.191 Έστ f : R R μ Δείξτε ότι η 2.192 Έστ βρείτε το ση μικρότερη κ 2.193 Να συνάρτηση έχει ακρότα 2.194 Έστ είναι παραγ κάθε x 0, 1 2x x τέτο αποδείξετε ό Μαθηματικά Θ ΤΑ ΣΥΝΑΡΤ μελετήσετε τ νία και τα ακ 2 x lnx Β) 2 nx x Δ)  f x μελετήσετε τ νία και τα ακ x, x 0 1 , x 0 x    ξτε ότι η συν ώς τρία τοπικ βρεθούν οι τ  f x αln 2 ικό ακρότατο τω η παραγω με 2 2 (f(x)) x f δεν έχει τ τω η συνάρτη ημείο της fC κλίση. βρείτε τις τιμ   3 f x x  ατα. τω η συνάρτη γωγίσιμη τρε ,1 . Αν υπάρ οια, ώστε f x ότι υπάρχει Θετικών Σπουδ ΤΗΣΕΩΝ τις συναρτήσ κρότατα:   συνx f x 2 , x e 2x  E) f τις συναρτήσ κρότατα: B)   1 f x ln     νάρτηση  f x κά ακρότατα. τιμές των α, β 2x α x   να ο με τιμή 2  ωγίσιμη συνά 2 1 2xf(x)  οπικά ακρότ ηση  f x x όπου η f έχ μές του λ R   2 λ 1 x λ  ηση  f : 0,1  εις φορές με ρχουν 1 2x ,x   1 2x f x   ξ 0,1 με δών σεις ως προς , 0 x 2π   x x 4 x  σεις ως προς x 1 e , x 1 n(1-x), x 1       2 x x e e  . β R ώστε η έχει στη θέσ ln 2 . άρτηση ) , x R  . τατα. 2 ln x . Να χει τη R αν η λ 5 x 2  δε R , η οποία  f x 0 για  0,1 με 0 να    3 f ξ 0 . 2 x 2 η ση εν α 2 φ ισ απ A B Γ Δ ρί 2 τη 2 συ x απ 2 γι e τη 2 οπ f Α απ x 2 βρ .195 Μια σ ορές παραγω σχύει: 2 f (3x  ποδείξετε ότι A Υπάρχ Η συν f (1)  Η εξίσ ίζα στο R .196 Να βρ ης συνάρτηση .197 Δίνετα υνάρτηση f 1 2,x (α,β) ποδείξετε ότι .198 Έστω ια την οποία  2x f x 1 0  ης εφαπτομέν .199 Έστω ποίες είναι π  x x 1  κα Αν η fC διέρχ ποδείξετε ότι o 0 τέμνον .200 Αν ισχ ρείτε το α συνάρτηση f ωγίσιμη στο 1) 4 4·f(2   ι: χει ξ (1,4) τ νάρτηση f δε f (4) σωση f (x)  ρεθεί ο κ R ης   2 f x xe αι η δυο φορ στο [α,β]. Α τέτοιοι ώστε ι υπάρχει ξ  συνάρτηση α ισχύουν: f 0 , για κάθε x νης της fC σ οι συναρτήσ παραγωγίσιμ αι   g(x) f x e  χεται από το ι οι εφαπτόμ νται κάθετα χύει ότι ln x είναι ορισμ R και για κ 2 2x x 1)  . τέτοιο ώστε: εν αντιστρέφ 0 έχει μια το R ώστε η μέγι 2κ x να είναι ρές παραγωγ Αν υπάρχουν ε f(α),f(β) 1 2(ξ ,ξ ) ώστ f παραγωγί 0 1 και x R .Βρείτε στο σημείο A σεις f,g : R  μες και ισχύο x e x  για ο σημείο A 0 μενες των fC α x α x   , x 55 μένη και δύο άθε x R Να f (ξ) 0  φεται ουλάχιστον ιστη τιμή ι το e . γίσιμη ν  1 2f(x ),f(x ) , τε f (ξ) 0  . ίσιμη στο R , την εξίσωση A(0,1) R οι υν: κάθε x R . 0,1 , να και gC στο x 0 ,να 5 , ,
  18. 18. 56 2.201 Αν κάθε x 0 , 2.202 ¨Εστ λ>0 με f x και ότι η f 2.203 Έστ Α) Να βρεί οποία ισχύε Β) Αν λ 1   g x 1 λ  2.204 Έστ παραγωγίσι παρουσιάζε  f 0 0 . Να 2.205 Να σημείων 0(x ακροτάτου διατρέχει το 2.206 Έστ Α) Να την οποία ισ Β) Να το ελάχιστο 2.207 Εστ  0,3 με f ( 2 f(x g(x) 1 f   μονοτονίας α,β 0 και να αποδείξε τω η συνάρτ x 0 , x  είναι γνησίω τω η συνάρτη ίτε τη μικρότ ει  f x 0 γι 1 1 e  να απο  x x 1 λ x e   εί τω η συνάρτη ιμη με  f x ει για ox 0 α δείξετε ότι: βρείτε τον γ 0 0,f(x )) , όπο της f(x) xl ο R τω συνάρτησ βρείτε την μ σχύει ότι λ x βρείτε την τ ο της f παίρν τω f συνάρτη x) 0 και f( 2 x) (x) , 0 x  ς και το σύνο ισχύει lnx xα  ετε ότι α β  τηση  f x α 0 . Να δείξε ως αύξουσα ηση   x x f x e  τερη τιμή του ια κάθε x R δείξετε ότι η ίναι γνησίως ηση f : R R  f x , x  τοπικό ακρό :   x f x f γεωμετρικό τό ου ox η θέση ln x λx , λ  ση λ f(x) x  μικρότερη τιμ  ln x για ιμή του λ γι νει τη μέγιστ ηση παραγω (1) 1  , f(2) 3 , βρείτε τα ολο τιμών της x 1 xβ 2    γι 1. x α α x , x>0 ετε ότι α e στο  e, . x x 1 λ  , λ  υ λ για την R . συνάρτηση ς φθίνουσα. R , δύο φορέ R που ότατο το x 0 όπο των του τοπικού R όταν το  ln x , λ 0 μή του λ για κάθε x 0 ια την οποία η τιμή του. ωγίσιμη στο ) 1 . Αν διαστήματα ς g ια , R ές ύ λ 0 α α α 2 πα f( τό f 2 να 2 με Δ 2 άγ γρ 2 έχ 2 R δε στ 2 εξ 2 ρι α 2 εξ .208 Μία σ αραγωγίσιμη (α) f (α) f  ότε να αποδε (x) 0  και f .209 **Αν  α αποδείξετε .210 Έστω ε    f 0 f 0 είξτε ότι f 1 .211 Να απ γονται ακριβ ραφική παρά ΕΞΙΣΩΣΕ .212 Να απ χει στο  0,π .213 Η συν R και ισχύει είξετε ότι η εξ το  0,π .214 Να β ξίσωσης 2ln .215 Να βρ ιζών της εξίσ α R .216 Να απ ξίσωση 3 x α htt συνάρτηση f η στο R . Αν f (α) 0  και είξετε ότι οι ε f(x) 0 έχουν   2 x 4x f x ε ότι  f x 0 f δυο φορές  0 και f  1 1 3  ποδείξετε ότι βώς δύο εφαπ άσταση της σ ΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣ ποδειχτεί ότι ακριβώς μι νάρτηση f εί    3 f x f x  ξίσωση  f x ρείτε το πλήθ 2 x λx 1,  ρείτε το πλήθ σωσης 2 8x x ποδείξετε ότι 2 αx 4x α   ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch είναι τρεις ν υπάρχει α  f (x) 0  γι εξισώσεις f ( ν μοναδική ρ   x f x 0  , 0 για κάθε x ς παραγωγίσ  x 2x για ι από το σημε πτόμενες πρ συνάρτησης ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟ ι η εξίσωση σ ια λύση ίναι παραγω συνx , x  0 έχει μον θος των ριζώ λ 0 θος των πραγ x α x 1   ι για κάθε α 0 έχει τρεις ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr φορές R ώστε ια κάθε x , x) 0 , ρίζα.  x 0,4   0,4 . σιμη στο R κάθε x R . είο A(1,1) ος τη x f(x) e ΟΤΗΤΕΣ συνx 2 x  ωγίσιμη στο  0,π . Να ναδική ρίζα ών της γματικών 0 όταν το R η ς ρίζες Σ r .
  19. 19. Γ Λυκείου –Μ 2.217 Απο x 2αe 2 2  2.218 ** Α εξισώσεις: 2.219 Να  x 1 ln x  οποίες είναι 2.220 Να   f x ln 1  2.221 A) Μ τα ακρότατα B) Να δείξε 2.222 Έστ Α) Να απο εφαπτομένη Β) Να λύσε Γ) Να αποδ 2.223 *Να θετικών ριζ 2.224 Έστ παραγωγίσι  f x x 0    f x 2 1     Μαθηματικά Θ οδείξτε ότι γι 2 2x x έχει μ Αν   2 f x x  Α) f ln Β)  f x αποδείξετε ό x 1  έχει δύ ι αντίστροφο αποδειχθεί ό 2 x x e   ε Μελετήστε ω α τη συνάρτη ετε ότι x e     τω η συνάρτη δείξετε ότι η η σε ένα μόνο ετε την εξίσω δείξετε ότι x e α βρείτε, για ζών της εξίσω τω συνάρτησ ιμη στο R μ 0 για κάθε x 3 x 12     για κά Θετικών Σπουδ ια κάθε α 0 μοναδική ρίζ 1 ln(x)  , ν  (x 1) f 6     17 f x f  ότι η εξίσωση ύο ακριβώς ρ οι αριθμοί. ότι η συνάρτ ίναι γνησίως ως προς την μ ηση e f(x) x  v ex v      , x (  ηση   x f x e fC δέχεται ο σημείο της ση x 2 e x  x 1 x 1 x   κάθε α 0 , ωσης 2 x α  ση f δυο φορ με  f 0 2 , f x R , δείξτε άθε x R δών 0 η εξίσωση ζα στο R α λύσετε τις 2 x x 0     3 2008 x f x η ρίζες, οι τηση f με ς αυξουσα μονοτονία κα x v e ,ν N * x  (0, ) 2 x x 1   οριζόντια . x 1 . x , x R  το πλήθος τω 3 α x ρές  f 0 0  , και ότι  αι ων ι 2 Β) 2 να 2 συ Β) απ 2 2 f πλ 2 f( R 2 οπ απ 2 πα κά x Ν συ ότ .225 Α) να ) Να δε .226 Αν ισχ α βρείτε τη μ .227 Α) Ν υνάρτηση f ) Αν α, ποδείξτε ότι  3 3 3 α β γ  .228 Έστω : R R με f λήθος των ρι .229 ** Να 2 (x) ln(1 x  R και να λύσ .230 Έστω ποία ισχύει ό ποδείξετε ότι .231 Αν η σ αραγωγίσιμη άθε x R , να 0 . Να βρεθεί ο τύπ υνεχής στο 0 τι   f x f 1  α αποδείξετε ειχθεί ότι: 1 π χύει x 2 e κx μεγαλύτερη τ Να μελετηθεί   3 x 2x 2x   ,β,γ 0,    2 3 2 α   η παραγωγίσ  f x 0  για ιζών της εξίσ αποδείξετε ό 2 x ) e 1   εί ετε την εξίσω μια συνάρτη ότι  f x 2f  ι   2x f x e γ συνάρτηση f η με  f 0 0 α αποδείξετε πος της συνάρ ,1 , παραγωγ   f 0 για κ ότι π e e π 1821 18 1 π     2 για κάθε x τιμή του κ  ί ως προς τα 2 x x lnx  ,  με α β γ   2 2 β γ α   ίσιμη συνάρτ α κάθε x R . σωσης  x f e ότι η συνάρτ ίναι γνήσια α ωση  f ln x  ηση f : R R  f x και  f 0 για κάθε x  f : R R είν 0 και  f x  ε  xf x 0 γ ρτησης f , που γίσιμη στο 0, κάθε  x 0,1 57 π 821 π    x 0 , κ R R ακρότατα η x 0 1 , α β γ  τηση . Βρείτε το   f x α  τηση αύξουσα στο  2 f 1 x  R για την  1 . Να 0 . ναι  f x 0 για για κάθε υ είναι ,1 και ισχύει  7 ι
  20. 20. 58 ΚΥΡΤΕΣ-Κ 2.232 Να κοίλα και τα Α) h(x) x Γ). g(x) ln 2.233 Να της  x lf σημεία καμπ 2.234 Nα   2 g x ln x 2.235 Αν   5 f x x 5  τρία σημεία 2.236 Δίν την οποία ισ για κάθε x  κυρτή στο  2.237 Δίν συνάρτησης έχει σημείο Α) Να Β) Βρε καμπής της 4 x ln x  2.238 Έστ ιδιότητα (x Να αποδειχ καμπής. ΚΟΙΛΕΣ Σ μελετήσετε τ α σημεία κα 2 8 x x   2 n x x 1  αποδείξετε ό  x ln e x , x  πής αποδείξετε ό x 2xln x x  είναι γνωστό 4 3 5αx 10βx α καμπής, να εται η συνάρ σχύουν  f x 0 . Nα απο  0, . εται ότι η γρ ς  f x α x καμπής το A αποδείξετε ό είτε την εφαπ και να αποδ x 3  , x  τω η συνάρτη 2 x 1)f (x  χθεί ότι η fC ΣΥΝΑΡΤΗΣ τις συναρτήσ αμπής. Β) g(x  Δ) f(x) ότι η γραφικ IR έχει ακρ ότι η συνάρτ 2 3 είναι κυ ό ότι η συνάρ 2 x , x R , α αποδείξετε ό ρτηση f : 0, x και f x οδείξετε ότι η ραφική παρά x βln x βx   A 1,3 ότι α 4 και πτομένη της δείξετε ότι 1 . ηση f : R  R f(x) ) xe 0  γ έχει ακριβώ ΣΕΙΣ - Σ σεις ως προς τ 5 3 x) 3x 5x  x ) xe  ή παράσταση ριβώς δύο ηση υρτή ρτηση , α,β R έχει ότι 2 α β .  R  για  x x x f(x)   η f είναι άσταση της x με α,β R , ι β 1  : fC στο σημε R με την για κάθε x  ώς ένα σημείο ΣΗΜΕΙΑ Κ τα η ι α , είο R ο 2. πα εί ακ 2. πα f x 2. εί 2 f απ 2. πα δε ση 2. πα  g Α Β) κυ 2. εί g ΚΑΜΠΗΣ .239 Η συν αραγωγίσιμη ίναι δυνατόν κρότατο και .240 Nα δε αράσταση τη   4 x 2x 4α  R , δεν έχε .241 Έστω ίναι δύο φορ    2 x x 4  ποδείξετε ότι .242 Η συν αράγωγο κα είξετε ότι το ημείο καμπή .243 Έστω αραγωγίσιμη x R  ,  f 1    g x f x f  Α) Βρείτε ) Να βρ υρτή ή κοίλη .244 Έστω ίναι κυρτή με f(x) (x) x  είν htt νάρτηση f εί η στο R . Να ν η f να έχει σημείο καμπ είξετε ότι για ης συνάρτηση 3 2 αx 3 2α  ει σημεία καμ συνάρτηση ές παραγωγί  f x x 0  γ ι η fC δεν έχ νάρτηση f έχε ι xf (x) ημ  A(0,f(0)) δεν ς της fC συνάρτηση η στο R με f 0 και η συ  f 2 x , x  ε τις ρίζες κα ρείτε τα διασ η και τα σημε συνάρτηση ε f(0) 0 . Δε ναι γνήσια α ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch ίναι δύο φορ α αποδείξετε ι στο ox τοπ πής. α κάθε α IR ης  2 4α 5 x   αμπής.  f : 0,1 R ίσιμη και ισχ για κάθε x χει σημεία κα ει συνεχή δεύ μ2x 0 , x εν μπορεί να f δύο φορές   στο R f υνάρτηση R . αι το πρόσημο στήματα που εία καμπής τ f :[0, )  R είξτε ότι η συ αύξουσα στο ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr ρές ότι δεν ικό η γραφική αx 1  με η οποία χύει ότι  0,1 . Να αμπής ύτερη R . Να είναι ς  x 0  , ο της g . η g είναι ης gC R η οποία υνάρτηση (0, ) . Σ r
  21. 21. Γ Λυκείου –Μ 2.245 Αν τον γεωμετρ γραφικής π 2.246 Δίν παραγωγίσμ f(x) f(x) e  δείξετε ότι η Α) δεν Β) έχει ΕΞΙΣΩΣ 2.247 Α) Η παραγωγίσι δείξετε ότι γ 1 2x x f 2       B) Να απο α β R   Γ) Δείξτε ό 2.248 Αν αποδείξετε ό 2.249 Η σ παραγωγίσι και  f 0 f κυρτή στο R 2.250 Η σ παραγωγίσι παράσταση αξόνων, να ότι  3f x 4 Μαθηματικά Θ λx f(x) 2e  ρικό τόπο τω αράστασης τ εται η συνάρ μη στο R κα 2 1 x x e    η γραφική τη έχει σημεία ι ένα ακριβώ ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩ Η συνάρτηση ιμη και κυρτ για κάθε 1x ,x   1f x f x 2   οδείξετε ότι: e  τι α β ln 2   x 0 , y 0 ότι ισχύει    συνάρτηση f ιμη στο R κ  0 0  . Να R συνάρτηση f ιμη και κυρτ της f περνά αποδείξετε ό 3x 4f 4       Θετικών Σπουδ 2 2 2 x , λ λ    ων σημείων κ της f , για κά ρτηση f δύο αι ισχύει x e για κάθε ης παράστασ α καμπής ώς κρίσιμο ση ΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣ η f είναι δύ τή σε διάστημ 2x Δ ισχύε 2x (Jensen)  α β 2e 1    lnα lnβ ,  0 , α 1 και α 1 x y x         είναι δύο φ αι ισχύει ότι α αποδείξετε ό είναι δύο φ τή στο R κα ά από την αρ ότι για κάθε δών 0. Να βρείτε αμπής της άθε λ (0,  φορές x R . Να η ημείο. ΣΟΤΗΤΕΣ ο φορές μα Δ . Να ει  βα e 1 e 1  fα,β Α  x y 1  , να α α α 1 1 5 y 2      φορές    f x f x  ότι η f είναι φορές αι η γραφική ρχή των x R ισχύει ε ) 1 α 1  ι ή ι 2. 1 f f 2. 1 ότ 2. f x 2. f( Α μο Β) f( 2. 1 f κά 2. δι β 2. 1 f f .251 Η συν 1, με παρ  1 1 Να α   x x 1 f  .252 Η συν 1, με f γ τι  f x x 1  .253 Δείξτε : R R ώστ R .254 Έστω x 1 x 1 e (x) e 1     Α) Να με ονοτονία, τα ) Να δε (ln x) f (x 1  .255 Η συν 1, με παρ  1 0 Να α άθε x 1,  .256 Αν οι ιαδοχικοί όρ γβ α α γ .257 Η συν 1, με παρ  1 1 Να α   x x 1 f  νάρτηση f εί ράγωγο γνήσ αποδείξετε ότ  f x 1 0  γι νάρτηση f εί γνήσια αύξου   f x για ε ότι δεν υπά τε  f x 0 κα η συνάρτηση για x R . ελετηθεί η συ α κοίλα και τα ειχθεί ότι για 1) f(x 1)   νάρτηση f εί ράγωγο γνήσ αποδείξετε ότ  . α,β,γ R ροι αριθμητικ νάρτηση f εί ράγωγο γνήσ αποδείξετε ότ  f x 1 0  γι ίναι παραγω σια αύξουσα τι ια κάθε x ίναι παραγω υσα και  f 1 κάθε x 1, άρχει συνάρτ αι  f x 0  η f : R R μ υνάρτηση ως α σημεία καμ α κάθε x 1 ι f (ln x) ίναι παραγω σια αύξουσα τι  f x x 1  με α β γ  κής προόδου ίναι παραγω σια αύξουσα τι ια κάθε x 59 ωγίσιμη στο α και 1, . ωγίσιμη στο 0 Δείξτε  . τηση για κάθε με προς τη μπής. ισχύει ωγίσιμη στο α και   f x για , είναι υ δείξτε ότι ωγίσιμη στο α και 1, . 9
  22. 22. 60 ΚΑΝΟΝΕΣ 2.258 Να β Α) x lim  Γ) x lim  2.259 Να υ Α)  xx 0 ημx lim x e Γ) x x lim x   2.260 Απο   xln x f x 1 x -1      2.261 Nα υ 2.262 Nα υ 2.263 Να υ 2.264 Να β 2.265 Υπολ 2.266 Nα β 2.267 Να υ Σ DE L΄ HO βρεθούν τα π m (x ln x)   1 xm x e 1             υπολογίσετε x xσυνx 1 ημx   3 2   οδείξτε ότι είν x , 0 x 1 x , x=1  υπολογιστεί υπολογίσετε υπολογίσετε βρεθεί το x li  λογίστε το x βρείτε τo x lim   υπολογίσετε OSPITAL παρακάτω όρ Β) x 1 lim lnx      Δ) 1 x x lim x  τα παρακάτ Β) x lim xln  Δ) x x e lim 4e   ναι συνεχής και ότι  f 1 τo x 0 1 lim ημx τα 1 x x 0 e lim x    το x 0 1 σ lim   x x e 2x im 4e x        x 3x ln lim x ln x   ln x m 2ln x     το x 0 2x lim 1    ρια ln(lnx) τω όρια: x 1 n x 1       x x 2x 1 x 3     η συνάρτηση  0,5  . 2 1 x ημ x και 1x 0 x x lim e       3 2 6 4 συν x ln x x ln x 1 3       x x x x x e e x e e         ln x ln x ημx συνx   η 2. 2. το 2. γι γι 2. τη κά έχ f 2. πα h li  εφ εξ 2. τα 2. α .268 Αποδε .269 Αν f ο     f x f xx 0 e lim e   .270 Έστω ια την οποία ια κάθε x R .271 Έστω ην οποία ισχύ άθε x 1  . Ν χει συνεχή 2η    0 f 0 0  .272 Δίνετα αραγωγίσιμη 0 f(x 4h) im    φαπτομένη τη ξίσωση y 5 .273 Αν f α α,β R ώσ .274 Να βρ α,β,γ ώστε x li  htt είξτε ότι x 0 lim   x 2e 2x x x   μια συνεχής ισχύει  xf x R . Να βρείτε f : R R , συ ύει 1 συνx Να βρείτε το η παράγωγο 0 . Να δείξετε αι η συνάρτη η στο R . Αν 2 2f(x 2h) h    ης fC στο ση x 8 , να βρε  1 x xln x x 1 e ln(          στε η f να είν ρεθούν οι πρ x x 20 αe βe m x    ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch    4 x 20 x e x m sinx x    2 2 x 2 x x   να ς συνάρτηση  ημx e f x  ε το  f 0 . υνεχής συνά    x f x ln 1  f 0 .Η συνά ο στο R με f ε ότι: x 0 f(x lim 1 ηση f : R R ν για κάθε x f(x) 24x 8  ημείο M 1,f είτε τον τύπο αx β, x , x=0 x) α , x       ίναι συνεχής ραγματικοί α x γ 1   ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr  2 1 18 υπολογίσετε f : R R  x ημx e άρτηση, για x x  για άρτηση f   3 0 2   και x) f( x) 3 συνx     R δύο φορές R ισχύει 8 και η f(1) έχει ο της f 0 0   να βρείτε στο ox 0 αριθμοί Σ r ε ε
  23. 23. Γ Λυκείου –Μ ΑΣΥΜΠΤΩ 2.275 Nα β παραστάσεω x 3 e h(x) x  ,  λ x x ln  2.276 Έστω    g x f x  η ευθεία y   , να βρεί 2.277 Nα α ασύμπτωτη τ   f x 2ln e 2.278 Έστω   g x xf e  της fC στο 0 στο  . 2.279 Έστω  x lim f x ημ  Αποδείξτε ότ της γραφική ΜΕΛΕΤΗ Σ 2.285 Να Γ) x f(x) x    2.286 Να παράσταση Μαθηματικά Θ ΩΤΕΣ βρείτε τις ασ ων των συναρ f(x)   x n e 1 ω οι συναρτή x ln x 1   x 3  είναι ίτε την ασύμ αποδείξετε ό της γραφική x e 1 2ln 2  ω η συνάρτη x . Αν η ευθ 0 , να βρείτε ω συνάρτηση 1 μ 1 x       και τι η y x 2  ής παράσταση ΣΥΝΑΡΤΗΣ μελετήσετε τ 1 1   κάνετε μελέτ (για λόγους Θετικών Σπουδ σύμπτωτες τω ρτήσεων ln x x 1   , ήσεις f,g : 0  ln x για κ ασύμπτωτη πτωτη της C ότι η y 2x  ς παράσταση 2 ση f : R R θεία y 2x  την ασύμπτω η f : R R ,   x xf x lim ln x   2 είναι πλάγ ης της f στο ΣΗΣ τις συναρτήσ Δ)  f x  τη της συνάρ ς απλότητας δών ων γραφικών   xk x xe , R  με κάθε x 0 . Α της fC στο gC στο  . 2ln 2 είναι ης της και η g με 1 εφάπτετα ωτη της gC τέτοια ώστε 2 x 2 x    . για ασύμπτω ο  σεις Α) ln x x ρτησης  f x  θεωρείστε σ ν 2 1 x ε Αν αι ωτη 2. πα έχ 2. f( τι A B) ορ 2. οπ απ C 2. τη ασ 2. f Bρ 3 f(x) x  Ε) f x 1 21 e σ 2π     σ 1 και μ  .280 Να βρ αράσταση τη χει ως ασύμπ .281 Δίνετα 2 1 (x) x αx   ις ευθείες x  A) Να βρ ) Να απ ριζόντια ασύ .282 Έστω ποία ισχύει e ποδείξετε ότι fC . .283 Να απ ης συνάρτηση σύμπτωτες. .284 Αν η γ έχει ασύμπτ ρείτε το x lim  12x  ln x, x x 1 x, x     2 x μ σ     και να 0 ) ρείτε τα α,β, ης f με f(x) πτωτες τις ευθ αι ότι η συνά β έχει κατ 3 και x=5 ρεθούν οι αρ ποδειχτεί ότι ύμπτωτη της συνάρτηση x e xf(x)   ι ο άξονας x ποδείξετε ότι ης f(x) ημx γραφική παρ τωτη στο  2 f(x) ημ xf(x) 2x     Β) f(x) ημ 1 1   σχεδιάσετε τ ,γ R ώστε η 2 (α 1)x 3x γ     θείες x 2  άρτηση f με τ τακόρυφες ασ ριθμοί α και ι η ευθεία y fC στο +.  f : 0,  1 για κάθε x x είναι ασύ ι η γραφική π xln x, x 0 δ ράσταση της  την ευθεία 2 x 2 μx x e ln x x ημ     μx x , x [  τη γραφική τ 61 η γραφική βx 5 γ   να και y 3 . τύπο σύμπτωτες β . 0 είναι R για την x 0 . Να ύμπτωτη της παράσταση δεν έχει συνάρτησης α y 2x 3  . 1 x . π,π] της 1 ς
  24. 24. 62 ΠΡΟΒΛΗΜ 2.287 Αν ελάχιστο, να 2.288 Σε ο οποίο ισχύο άξονα x΄x κ B το εμβαδ 2.289 Μια πώληση του 500 € το έν μείωσης της μικρότερη α 2.290 Ένα Ορίζεται οτ 30 € για κά επιπλέον τω Α) Ποι Β) Ποι 2.291 Ενα 0,8 € το λίτ Α) να ε Β) να β Γ) πόσ 2.292 Η σ A) την B) το μ 2.293 Δίν  A 9,4 τη μ 2.294 Το ά τους. ΜΑΤΑ Μ το σημείο α βρεθεί η απ ορθοκανονικ ουν τα εξής. Η και η κορυφ δό του τριγών α εταιρεία αυ υ κάθε αυτοκ α, οι πωλήσε ς τιμής είναι από 2000 € . α τουριστικό τι για να γίνε θε άτομο. Για ων 30 , θα με ιο το πλήθος ια το μέγιστα α φορτηγό δι τρο και κατα εκφράσετε το βρείτε την τα σα είναι τα ελ συνάρτηση π ν χρονική στι μέγιστο κέρδ εται η ευθεία μικρότερη δυ άθροισμα δύ ο του διαγράμ πόσταση OM κό σύστημα σ Η κορυφή Γ ή B είναι ση νου ABΓ γίν υτοκινήτων ε κινήτου είναι εις αυξάνοντ ι ανάλογη τη Πόσα αυτοκ γραφείο οργ ει η εκδρομή α να αυξήσει ιώνει κατά 3 των επιπλέο α έσοδα του γ ιανύει καθημ αναλώνονται ο κόστος της αχύτητα που λάχιστα αυτά ου μας δίνει ιγμή, κατά τη ος της επιχεί α y 2x 3   . υνατή απόστα ύο αριθμών ε μματος της f M όταν ο ρυθ συντεταγμένω έχει συντετα ημείο της παρ νεται μέγιστο εκτιμά ότι μπ ι 5000 € . 'Εχ ται κατά 1000 ης μείωσης αυ κίνητα πρέπε γανώνει εκδρ χρειάζονται ι τις συμμετο 30 λεπτά την ον επιβατών γραφείου απ μερινά 100 km ι με ρυθμό 2 διαδρομής α πρέπει να έχ ά έξοδα; το κέρδος μι ην οποία η επ ίρησης. Να βρείτε το αση. είναι 82 . Να f με  f x x θμός μεταβολ ων θεωρούμ αγμένες  4, ραβολής y  ο ; πορεί να που χει επίσης υπ 0 αυτοκίνητ υτής. Αν η τι ει να πουλήσ ρομές με λεω ι τουλάχιστο οχές το γραφ ν χρέωση κάθ κάθε λεωφορ πο κάθε λεωφ km με σταθερ 2 x 400  lt/h. Τ αυτής ως συν χει το φορτη ιας επιχείρησ πιχείρηση θα ο σημείο της βρείτε τη μέ xln x λx 3  λής του OM ε ορθογώνιο ,0 , η κορυφ 2 4x x  . Για υλήσει 2000 πολογίσει ότι τα τον μήνα. ιμή ενός αυτο σει η εταιρεία ωφορεία. Κάθ ον 30 συμμετ είο κάνει της θε επιβάτη». ρείου που με φορείο; ρή ταχύτητα Τα υπόλοιπα νάρτηση της γό , ώστε τα σης είναι: P( α παρουσιάσ ς ευθείας αυτή έγιστη τιμή π htt 3 που αντιστο ως προς λ τρίγωνο ΑΒ φή A είναι στ ποια τιμή τω αυτοκίνητα για κάθε μεί Η αύξηση τω οκινήτου δεν α, ώστε να έχ θε λεωφορείο τοχές και τότ ς εξής προσφ γιστοποιεί τα x km/h . Τα α έξοδα του φ ταχύτητας x έξοδά του να 2 (t 1) (t) (t 1)    n σει μέγιστο κέ ής το οποίο α που μπορεί να ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch τοιχεί στο τοπ γίνει μηδέν. ΒΓ με ο Α 90 στο διάστημα ων συντεταγ τον μήνα, αν ίωση της τιμή ων πωλήσεω ν μπορεί να ε χει τα μέγιστα ο έχει 70 θέσ τε η τιμή ορίζ φορά. «Για κά α έσοδα; α καύσιμα κο φορτηγού είν x , α είναι τα ελ , t 0 . Να β έρδος. απέχει από τ α πάρει το γ ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr πικό της ο , για το α [0,4] του γμένων του ν η τιμή ής κατά ν λόγω είναι α έσοδα; σεις. ζεται στα άθε επιβάτη οστίζουν ναι 9 €/ώρα άχιστα, βρείτε: το σημείο ινόμενό Σ r α
  25. 25. Γ Λυκείου –Μ ΓΕΝ 2.295 Δίν στο ox 2 κ A) Να Β) Να Γ) Να Δ) Να 2.296 Δίν γραφική πα Α) Να Β) Να Γ) Να 2.297 Έστ Α) Να Β) Να Γ) Αν 2.298 Έστ Α) να α Γ) να λ 2.299 Θεω  f 0 0 . Να Α) Η f Β) Το θ Γ) Ο τύ Δ) Η f Ε) Η ευ Μαθηματικά Θ ΝΙΚΕ εται η συνάρ και η εφαπτό βρείτε τις τιμ βρείτε το πλ δείξετε ότι η βρεθούν τα εται η παραγ αράσταση αυ βρεθεί ο τύπ βρεθεί το σύ αποδείξετε ό τω η συνάρτη δείξετε ότι η βρείτε την μ Rμ και ισ τω η συνάρτ αποδείξετε ό λύσετε την α ωρούμε τη συ α αποδείξετε f δεν παρουσ θεώρημα του ύπος της συν f δεν έχει ορ υθεία (ε) : y Θετικών Σπουδ ΕΣ ΑΣ ρτηση  f x  όμενη της στ μές των α,β λήθος των ριζ η εξίσωση f x κx f(x) lim x , x γωγίσιμη συν υτής διέρχετα πος της f . ύνολο τιμών ότι η εξίσωση ηση f : R R η εξίσωση f x μονοτονία τη σχύει 4 g(x μ ηση f(x) ln τι α= 1 , ανίσωση ln 2 υνάρτηση f ε ότι: σιάζει ακρότ υ Rolle δεν εφ νάρτησης f ε ιζόντιες ασύ 3e 1 x 3e 3      δών ΣΚΗ 3 2 αx βx 1  ο σημείο A R και το σ ζών της εξίσω x 2004 έχε κx f(x) lim , κ x  νάρτηση στο αι από το σημ της. η: x e 3x e  R , δύο φορέ x 0 έχει το ης συνάρτηση μ) g(4x) , x α n x α x   με 2 2 1 2x 2 x    για την οποί τατο σε κανέν φαρμόζεται είναι  f x l μπτωτες. 1 είναι κάθε ΗΣΕΙ 12x , όπου α,  1,f(1) διέρχ σύνολο τιμών ωσης  f x 0 ει μόνο μία λ Z ο R για την ο μείο  Μ 1,3 έχει μόνο μί ές παραγωγίσ ο πολύ μία ρί ης g(x) f (x x R να βρεί ε x 0 . Αν γ Β) να  21 ln x 3    ία ισχύει f x να σημείο το σε κανένα δ x 3 3e x ln 3  γ ετη στην εφα ΙΣ ,β R , η οπο χεται από το ν της f . 0 . λύση. οποία για κά , τότε: ία ρίζα στο ( σιμη ώστε να ίζα στο R . x) , x R . ίτε την μικρό για κάθε x  λύσετε την ε  2 1 3 2x 2     x f(x) x e    ου διαστήματ ιάστημα της για κάθε x απτομένη της οία παρουσι  3,5 . άθε x 0 ισχ (0, ) . α ισχύει f (x ότερη τιμή πο 0 είναι f(x) ξίσωση x x  2lnx f(x) e  για τος  0, . μορφής 0,x  0, ς fC στο ox ιάζει τοπικό χύει f (ln x)  x) f (x) 0, x  ου μπορεί να 0 τότε x 1 e  , x 0 α κάθε x 0 ox . 1 63 ελάχιστο x 3  . Αν η x R . α πάρει ο μ . 0, και 3
  26. 26. 64 2.300 Δίν Α) Να Γ) Να Δ) Να 2.301 Δίν Α) Να Γ) Αν 2.302 *Έσ και  f 0 0 Α. Να Β. Να Γ. Να 2.303 * Έσ  g x λx 4  Α) Να Β) Να 2.304 Έστ   f x e 3f' x Α) Να αποδείξετε ό Β) Να Γ) Να Δ) Να Ε) Να Στ) Να Ζ) Να εται η συνάρ βρείτε τα ακ αποδείξετε ό βρείτε για τι εται η συνάρ βρείτε το πρ ισχύει ότι ln στω συνάρτησ 0 εκφράσετε τ αποδείξετε ό βρείτε την π στω συνάρτη 2 4 x  και g βρείτε τον α βρείτε την π τω συνάρτησ   x f x για κ δείξετε ότι η ότι η fC τέμ δείξετε ότι 3 αποδείξετε ό βρείτε τον τύ αποδείξετε ό βρείτε την κ σχεδιάσετε τ ρτηση f(x)  κρότατα της ότι x 0 lim f(x)   ις διάφορες τ ρτηση f(x)  ρόσημο της f βxx n β α α        ση f , παραγ την f συναρ ότι x f(x) 2   πλάγια ασύμπ ηση g : 0,  x 4 6x    αριθμό λ πλάγια ασύμπ ση f ορισμέν κάθε x 4 , f η f είναι γνη νει τον x'x   3f'' x f' x ότι υπάρχει μ ύπο της f γι ότι η εξίσωση κατακόρυφη τη γραφική π x λ ln x  , f   και x lim  τιμές του λ  x x ln α α        . β για κάθε x γωγίσιμη στο ρτήσει της f κ xf΄(x) x  , γ πτωτη της γρ  R  παρα 1 4x  για κάθ πτωτη της C νη και δύο φο  f' x 0 για κ ησίως αύξουσ σε ένα μόνο  2 x και ότι η μοναδικός x ια x 4 η  f x κ έχ ασύμπτωτη τ παράσταση τ λ R Β) Να m f(x)    R το πλήθο 1 με α>0 Β) Να x 0 , να απο ο R , που ικα και να δείξετ για κάθε x  ραφικής παρ αγωγίσιμη στ θε x 0 gC στο  κα ορές παραγω κάθε x 4 κ σα στο  ,4 σημείο. η fC στρέφε  ox 0,1 ώσ χει μοναδική της f . της f . α αποδείξετε ό ος των ριζών α λύσετε την ε οδείξετε ότι β ανοποιεί τις σ τε ότι η f είν 0 . ράστασης της το  0, με αι να υπολογ ωγίσιμη στο  και  f 1 0 , 4 , να βρείτε ει τα κοίλα ά στε  0f x x  λύση στο  htt ότι x ln x e  γ της εξίσωση εξίσωση x e α  β=1 . σχέσεις  f x αι δύο φορές ς f στο  . ,  g 1 2   γίσετε το x lim   ,4 για τ  f 1 1  ε το πρόσημο νω στο  ,  0 0x f' x (3) ,4 για κά ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ttp://users.sch για κάθε x  ης λ x xe e x αe για κάθ  f x e x     ς παραγωγίσ λ ,  g 1       g x ημ m xg x 6x   την οποία ισχ ο της f και ν 4 άθε κ R ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ h.gr/mipapagr 0 θε α>0 1 , x R σιμη στο R 8 , 2 μx 4 x ln x   χύουν: να Σ r
  27. 27. Γ Λυκείου –Μ 2.305 Η σ Α) Να Β) Αν α) Να Β) να β στο σημείο τ 2.306 Έστ Αν ισχύει ό Α) f (x Β) η ευ Γ) f x 2.307 ** Δ κάθε x R . Α. Να Β) Να Γ) Να Δ) Να 2.308 **H κάθε x 0 . Α) η f 2.309 Έστ Α) Να Β) Να Γ) Να Δ) Αν 1 1 2 f'(x ) f'(x  Μαθηματικά Θ συνάρτηση f βρείτε την π επιπλέον είν βρείτε την π βρείτε την εξ της με τετμημ τω η συνάρτη ότι h 0 2f(x lim   3 4 x) x  υθεία y 2x  2 x 2x 2 x    Δίνεται συνάρ . αποδείξετε ό αποδείξετε ό βρείτε την εφ αποδείξετε ό H συνάρτηση Να αποδείξ είναι 1 1 τω f συνεχής δείξετε ότι υ δείξετε ότι υ δείξετε ότι υ  f x 0  για 2 2 3 x )  Θετικών Σπουδ είναι παραγ παράγωγο τη ναι  0 f x  παράγωγο τη ξίσωση της εφ μένη 0x 1 ηση f : R R 2 3h) 5f(x) h    2004 είναι 2004 για κάθ ρτηση f : R  ότι η συνάρτ ότι η f είναι φαπτομένη τ ότι 3x f(x) lim x f είναι ορισ ξετε ότι: Β) f f ς στο , παρ υπάρχει τέτ υπάρχουν 1ξ υπάρχει ox  α κάθε x α δών γωγίσιμη στο ης συνάρτηση 1 για κάθε ης συνάρτηση φαπτομένης τ R η οποία είν 3f(x 2h)   ι πλάγια ασύ θε  x 0,  R για την ηση h(x) f ι κοίλη στο 0 της γραφικής 0 σμένη και πα (x) x  για ραγωγίσιμη σ τοιο ώστε f  2,ξ α,β μ  α,β τέτοιο α,β τότε υπά ο R με  f x ης   g x f x R και f ης  g x ln της γραφική ναι έχει συν 3 60 x  και x lim  ύμπτωτη της  οποία γνωρ 3 (x) f(x) x  0, ς παράσταση αραγωγίσιμη α κάθε x 0 στο  α,β ) με  ξ 1 με 1 2ξ ξ τέ ο ώστε  of x άρχουν 1x ,x 0 για κάθε x  f 1 e , f 1  f(x) ής παράσταση νεχή δεύτερη  m f x 4   fC στο  ίζουμε ότι: f x , x IR είν ης της f στο η στο  0, Γ) ε  f α α , f έτοια ώστε 2f  2α β 3   .  2x α,β μ ε x R . 1 1 τότε: ης της συνάρ παράγωγο σ 2 4x 9 200  (0) 0 και f ναι σταθερή. ox 0  και ισχύει ό αν  f 1 1  f β β   1 2f ξ f ξ  ε 1 2x x τέτο ρτησης  g x στο IR . 04 , να δείξετ 2 1 f (x) 3f (x)   ότι  f f (x)  τότε  f x   3 οια ώστε 65  ln f(x) τε ότι 1 για  f x 0 για ln x . 5 α

×