Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
lim f (x) 2 
 
1 1 2 2 v ν 1 2 ν α β α β ... a β α α ... α        για κάθε χ να ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
1 ε χ 
f (χ ) f (χ ) 
1 ε χ 
 
   
       
  με 2 xe,e  . Να δειχτεί ό...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
lim f (x) 2x 
 
h(x) ημ χ 4 
lim 
 χ 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
3 
ΘΕΜΑ 9o 
α...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
  , για κάθε x0, 
f (x) f (2x) 
lim , lim 
 x  2x 
1 1 
f (x) f (x) ημ χ 
x x 
 ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
 . 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
5 
ίί) Να λυθεί στο η εξίσωση 
2 x 2 x 2 e e x x 2...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
6 
α) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτησηf :  , για τη...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
    , για κάθε x και 
lim xf (x) 2g(x) 3 
 
     
  . 
lim f (x) 1 4χg(x) 5 
...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
1 
   και ότι η εφαπτόμενη της γραφικής της παράστασης στο 
g (x) ,g(0) 2 
 είναι παρά...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
  
   
  
  
   
    , να δειχτεί ότι f 0  3c. 
 
  
Ασημακόπουλος Γ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
lim f (x) 0 
 
limf (ημχ) 0 
 
π 
f (ημχ) χf (1) 
2 f (1) lim 
 2x π 2 
      κα...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
 g(x)(ln x  
1) 
  με g(2) 1. Να δειχτεί ότι 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
11 
...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
 
 με α,β >0 και α  β. Να 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
12 
ΘΕΜΑ 54ο 
Δίνεται η σ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
g(x) 
 . 
g(x) 1 
lim  
. 
 xg(x) x e 2 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
13 
ι) Να ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
 
   
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
14 
για κάθε x0, και f (0)  0. Να δειχθ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
f (x )f (x ) 
  
2xf (x) x f (x) 
 ορισμένη στο [e,) 
  
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθη...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
  που είναι ορισμένη στο   0,1 
e 
   
f (x) 2 
lim f (x) , 
lim f (x) 
Ασημακόπουλο...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
   να δειχθεί ότι υπάρχει ξ 
α lim f (x) β lim f (x) 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
  
lim f (x) 0 
  
  για κάθε x  . Να δειχθεί ότι: 
2f (x) 1 
lim 0 
 2x 
Ασημακόπο...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
f (x)  
f (x ) 
  
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
19 
Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x)  ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
20 
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β] συνάρτη...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
 
f (x) 
   
 , να αποδείξετε ότι 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
21 
Δίνεται η σ...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
  
. 
    
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
22 
ΘΕΜΑ 100 
1. Αν f συνεχής στο α,...
Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 
23 
28 93α 63 60α 96 11αβ 
29 98 64 61α 97 
30 104β 65 ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word

7,916 views

Published on

Γιώργος Ασημακόπουλος για το lisari

Published in: Education
  • Be the first to comment

100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word

  1. 1. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης lim f (x) 2  1 1 2 2 v ν 1 2 ν α β α β ... a β α α ... α        για κάθε χ να δειχτεί ότι: 1 2 ν α α α Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 1 100 ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ) ΘΕΜΑ 1ο a) Δίνεται η δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f , με f (x) 0   , για κάθε x  . Αν 1 2 3 4 a ,a ,a ,a είναι διαδοχικοί όροι μιας γνησίως αύξουσας αριθμητικής προόδου, να δειχτεί ότι: 1 f (a )  f (a4 )  f (a2 )  f (a3) b) Να λυθεί στο η εξίσωση: x x x x 6 5  4 3  0 ΘΕΜΑ 2ο α) Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο   0,  για την οποία ισχύει: x x x e f (x) 2e ημe   , για κάθε   x0,  . Να δειχτεί ότι x  ΘΕΜΑ 3ο a.) Να δειχτεί ότι η εξίσωση x 2 e  x  x 1 0 έχει το πολύ τρεις ρίζες πραγματικές. b) Αν οι αριθμοί 1 2 v a ,a ,...,a είναι πραγματικοί και οι αριθμοί 1 2 ν β , β ,..., β είναι θετικοί και ικανοποιείται η σχέση: χ χ χ 1 2 ν β β ...β 1 ΘΕΜΑ 4ο Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει 4 xf (x)  3x  ημ2x  (x 1) x,x , να βρεθεί το f (0) ΘΕΜΑ 5ο α) Αν η συνάρτηση f :  είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και f (x)f (x)  a,a  0 για κάθε x , να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει σημεία καμπής. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f :  που είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f (0)  0. Να δειχτεί ότι υπάρχει 0 π       x 0, 4 τέτοιος, ώστε:
  2. 2. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 1 ε χ f (χ ) f (χ ) 1 ε χ              με 2 xe,e  . Να δειχτεί ότι υπάρχει Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 2 0 0 0 0       . ΘΕΜΑ 6ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( 1,+  )  για την οποία ισχύει xf (x) f (x) ln x 2   Να δειχτεί ότι: i) Η συνάρτηση g(x)  f (x) ln2 x είναι σταθερή στο1, . ii) Αν f (e) 3  , να βρεθεί η συνάρτηση f . iii) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία. ΘΕΜΑ 7ο α) i)΄Εστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (a) f (β) 0 και f (x) 0   , για κάθε χ   a,β . Να δειχτεί ότι f (x) 0 , για κάθε   χ α,β . ii) Αν g(x)  0 ,για κάθε xα,βνα δειχτεί ότι g(β)  g(a) g(a) (x a) g(x) β  α , για κάθε χα,β . β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: x xf (x) 1 e ημ2x    για κάθε x , να δειχτεί ότι f (0) =3. γ) Αν η συνάρτηση x f (x)  e x  2005 παρουσιάζει στο σημείο 0 xa ακρότατο, τότε ισχύει 2002 2003 2004 2005 a  a  a  a  0 ΘΕΜΑ 8ο α) Να δειχτεί ότι κάθε πολυώνυμο Ρ(Χ) βαθμού 3 παίρνει τη μορφή: 2 3 x x P(x) P(0) xP (0) P (0) P (0). 2 6 β) Δίνεται η συνάρτηση 1 f (x) ln x x μοναδικός 2 0 x e,e  τέτοιος, ώστε 0 3 f (x ) 2 
  3. 3. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης lim f (x) 2x  h(x) ημ χ 4 lim  χ Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 3 ΘΕΜΑ 9o α) Έστω ότι η ευθεία ψ  2χ  5είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο  . Να βρείτε τα όρια: ι) x f (x) lim  x και   x  . μf (x)  4x lim  xf (x) 2x 3x ιι) Να βρεθεί ό πραγματικός αριθμός μ, αν x 2 =1   β) Να δειχτεί ότι: ι) x e x 1 0    για κάθε x ίί) Η εξίσωση x 2 2e  2x  x  2 έχει ακριβώς μια λύση στο τη χ=0. ΘΕΜΑ 10ο Δίνεται o θετικός πραγματικός αριθμός α και η συνάρτηση: 2 f (x) ax 2x ln x,   με   x0,  . ι) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη. ίί) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(1, f (1)) και να προσδιορίσετε το α, ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ 11ο Θεωρούμε τις συναρτήσεις 3x 2 f (x) e   και 2 g(x)  ln x , ορισμένες στα σύνολα  και 4 1,e  αντιστοίχως. ί) Να εξεταστεί αν ορίζεται η συνάρτηση h g f  ιι) Να βρεθεί το 2 x 0   ΘΕΜΑ 12ο ι) Να δειχτεί ότι η συνάρτηση 3 f (x)  x 3x  a είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 1,1 ίί) Να βρεθεί τo σύνολο τιμών της f στο διάστημα 1,1 ιιι) Αν -2<α< 2, να δειχτεί ότι η εξίσωση 3 x 3x a  0 έχει μια ακριβώς λύση στο (-1,1).
  4. 4. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης   , για κάθε x0, f (x) f (2x) lim , lim  x  2x 1 1 f (x) f (x) ημ χ x x    και Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 4 ΘΕΜΑ 13ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x)  x2 ln x. ί) Να δειχτεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής της παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ. ιί) Να δειχτεί ότι 2 x 1 ln x 2e ΘΕΜΑ 14ο Θεωρούμε τη συνάρτησηf :  παραγωγίσιμη σ’ όλο το πεδίο ορισμού της, για την οποία ισχύει ότι: x y f (x  y)  e f (y)  e f (x) , για κάθε x, y πραγματικούς αριθμούς και f (0)  2 ι) Να αποδείξετε ότι f (0) 0  και 2x f (3x) 3e f (x),  για κάθε x  ιι) Να βρείτε τα x 0 x 0 ιιι) Να βρεθεί η f (x).  ΘΕΜΑ 15ο Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :a,β με α>0 και f (a)  f (β)  0. Να δειχτεί ότι i) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (α,β) τέτοιο ώστε ξf (ξ)  f (ξ) . ii) Αν f (x) 0   για κάθε χ(α,β), τότε το ξ είναι μοναδικό. iii) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Μ(ξ, f (ξ)) περνά από την αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ 16ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f :a,β με f (x)  0, για κάθε xa,β και f (a)  f (β) . Να δειχτεί ότι f (a)f (β)  0 ΘΕΜΑ 17ο Να βρεθεί μια συνάρτηση f , ορισμένη στο (0,2π) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις 2 2 π f ( ) 0 4  (Ολοκλήρωμα). ΘΕΜΑ 18ο ι) Αν a β 2α  e  2β  e τότε είναι α = β.
  5. 5. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης  . Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 5 ίί) Να λυθεί στο η εξίσωση 2 x 2 x 2 e e x x 2      ΘΕΜΑ 19o Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f με f (0) 0  . Υποθέτουμε ότι για κάθε x  ισχύει ότι x f (x)  8e  συνx  7 , να υπολογισθεί το f (x) lim x  x0 . ΘΕΜΑ 20ο Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f :a,a ) με α>0 , που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (-α,α) , με f (a) f ( a) f (0)   2 Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (-α,α) ώστε f(ξ) 0   . ΘΕΜΑ 21o ι) Δίνεται η συνάρτηση f:  για την οποία ισχύει: 2 2 f (x  y)  f (x)  f (y) για κάθε x, y  με f (0) 0  . Να δειχτεί ότι f είναι συνεχής. ίί) Δίνεται η συνάρτηση g :  για την οποία ισχύει: 3 g (x)  g(x)  x Να δειχτεί ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και ότι η 1 g  είναι συνεχής. ΘΕΜΑ 22o α) Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση f :a,β με f (α)  f (β) . Αν κ,λ    να δειχτεί ότι υπάρχει ξ   α,β  ώστε κf (α) λf (β) f (ξ)  κ λ   β) Δίνεται η συνάρτηση f :  για την οποία υπάρχει η f  και είναι f (x)  0 , για κάθε x   με f (0) 0   . Να δειχτεί ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [0,+ ) και τα κοίλα κάτω στο (-  ,0]. ΘΕΜΑ 23o α) Να λυθεί η εξίσωση: 2 ln(x 1)  x  x  6  0 β) Θεωρούμε τις συνεχείς στο [α,β] συναρτήσεις f , g , που είναι παραγωγίσιμες στο (α,β), με f (x)  0, για κάθε xa,β και ln f (a) ln f (β)  g(β) g(a) . Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιος, ώστε f (ξ) f (ξ)g(ξ)  0 ΘΕΜΑ 24ο
  6. 6. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 6 α) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτησηf :  , για την οποία f (1) 1 και 3 2 3 4 x  x f (x)  f (x)  5, για κάθε χ  . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(1, 1). β) Θεωρούμε τη συνάρτηση   f : 1, , με f (x) x f (x) x e  , για κάθε x1 . Να βρεθεί η f (x )  . ΘΕΜΑ 25ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f :Δ  που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ώστε f (x) 0   , για κάθε x Δ  . Θεωρούμε και τη συνάρτηση   g : f Δ  που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, με g (x) 0   και g (x) 0   , για κάθε x f (Δ)  . Να δειχτεί ότι η συνάρτηση gf στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ. ΘΕΜΑ 26ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f:   που είναι παραγωγίσιμη στο  και ισχύει xf (x) (x 1)f (x)    , για κάθε x   και f (1) e  , 1   . Να βρεθεί ο f ( 1) e τύπος της συνάρτησης f και κατόπιν το lim f (x)   x 0 . ΘΕΜΑ 27ο Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτησηf :  . Υποθέτουμε ότι η f  είναι κυρτή και ότι η f δεν έχει σημεία καμπής. Να δειχτεί ότι η f  είναι 1-1. ΘΕΜΑ 28ο α) Αν για τη συνάρτηση f :  ισχύουν τα εξής: f (x) 0   , για κάθε x   και f (0) 0   , να δειχτεί ότι το σημείο   0,f (0) είναι σημείο καμπής του διαγράμματος της f . β) Η συνάρτηση f :  είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με  2 g(x)  f (x) . Αν οι συναρτήσεις f και g παρουσιάζουν καμπή στο σημείο 0 x , τότε είναι   0 f  x  0. ΘΕΜΑ 29ο α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  , με f (x)  f (x)  0 , για κάθε x και f (0)  f (0)  0 . Να βρεθεί ο τύπος της f
  7. 7. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης     , για κάθε x και lim xf (x) 2g(x) 3         . lim f (x) 1 4χg(x) 5     . lim f (x)        Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 7 β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f :  . Να βρεθεί το limf (x) x  0 και να μελετηθεί η f  ως προς τη μονοτονία, αν x f (x) f (A) (0, ), 1 e f (x) f (ln 3) 3  . ΘΕΜΑ 30ο Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g :  . Αν ισχύουν οι ισότητες:   x 2   και x 2 Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα lim f (x), lim g(x) . x  2 x  2 ΘΕΜΑ 31ο α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:  , με f (2) 2   και f (2) 3   . Θεωρούμε και τη συνάρτηση g:  , με 2 g(x) f (3x x) , για κάθε x  . Να βρεθεί η g (1).  β) Έστω f:  μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, με f  γνησίως αύξουσα στο . Να δειχτεί ότι f (x 1) f (x 1) f (x) f (x),        για κάθε x ΘΕΜΑ 32ο Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν 2x f (x)  x  e 1 f (x) και 1 f (x) x f (x) 4 ι) Να δειχτεί ότι x   ιι) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ( 0, f (0)) . ιιι) Να δειχτεί ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ ιν) Να δειχτεί ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και κυρτή στο . ΘΕΜΑ 33ο Θεωρούμε τη συνάρτηση π g : 0, 2 για την οποία ισχύουν
  8. 8. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης 1    και ότι η εφαπτόμενη της γραφικής της παράστασης στο g (x) ,g(0) 2  είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 2χ ψ3  0 . Να δειχτεί     Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 8 2 συν (x) σημείο 0 π x 4 ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής. ΘΕΜΑ 34ο Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση   f : a,β , για την οποία ισχύει f(α)f (β)0 . Να δειχτεί ότι η f έχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού στο [α,β]. ΘΕΜΑ 35ο Θεωρούμε την συνάρτηση   f : 0, με 2 f (x)  x  2a ln x , με a   . ι) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει εφαπτομένη παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ. ιι) Να δειχτεί ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία με τετμημένη 0x0 για τις διάφορες τιμές του a   περνούν από το ίδιο σημείο. ΘΕΜΑ 36ο Θεωρούμε τη συνάρτηση   2 βχ f (x)  x ax e με α,β ,β  0 . Να δειχτεί ότι έχει δυο κρίσιμα σημεία. ΘΕΜΑ 37ο Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο [0,1] με f (0) 0  και f (x) 0,  για κάθε x (0,1)  . Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ   0,1 ώστε f (ξ) f (1 ξ) 2 f (ξ) f (1 ξ)  . ΘΕΜΑ 38ο Εστω f ,g:0,1 δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις ώστε f (x)  0,g(x)  0 για κάθε x0,1 και f (0)  g(1)  0 αποδείξτε ότι υπάρχει ξ0,1 , ώστε   f (ξ) g (ξ)   0 f (ξ) g(ξ) . ΘΕΜΑ 39ο Η συνάρτηση f :[1,4]  είναι παραγωγίσιμη στο [1,4]. Για κάθε
  9. 9. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης                 , να δειχτεί ότι f 0  3c.    Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 9 x [0,4] ισχύει ότι f (4x)  4f (x) και 25 f 1 100 . Να δειχτεί ότι υπάρχουν   1 2 3 x ,x ,x  1,4 ώστε 1 2 3 f (x )  f (x )  f (x ) 12 . ΘΕΜΑ 40ο Θεωρούμε την συνάρτηση f :  που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη f (x) f (x)    για κάθε x . Αν ηf παρουσιάζει για 0x0 τοπικό ακρότατο το f (0) 0  να δειχτεί ότι: ι) Αν x0 ,τότε f (x) f (x)   ιι) Αν x0 , τότε f (x) f (x)   ΘΕΜΑ 41ο α) Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση   f : 0,2 με f (0) f (2) 0 και 2 g(x)  f (1)(2x  x ) ι) Να δειχτεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία 1 2 1 2 ξ , ξ (ξ ξ )  του (0,2) ώστε 1 1 g(ξ )  f (ξ ) και 2 2 g(ξ )  f (ξ ) ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (0,2) τέτοιο ώστε 1    . f (1) f (ξ) 2 β) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  που στρέφει τα κοίλα άνω στο . Αν υπάρχει 0 x  ώστε 0 f (x )  0 , τότε lim f (x)  x   . ΘΕΜΑ 42ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  που η γραφική της παράσταση στρέφει τα κοίλα άνω και περνά από την αρχή των αξόνων. Να δειχτεί ότι για κάθε x  ισχύει 3x 3f (x) 4f ( ) 4  ΘΕΜΑ 43ο Αν x 0 x f (x) f 3 lim c,c  2x ΘΕΜΑ 44ο Θεωρούμε την συνάρτησηf :  που είναι παραγωγίσιμη στο 0 και για την οποία ισχύει   f x f y f x y 1  f (x)f (y)
  10. 10. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης lim f (x) 0  limf (ημχ) 0  π f (ημχ) χf (1) 2 f (1) lim  2x π 2       και limf (x) limf (x) limf (x)               Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 10 για κάθε x, y . Αν για κάθε x, y ισχύει ότι f (x)f (y) 1, να δειχτεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη. ΘΕΜΑ 45ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση   f : 0,π για την οποία ισχύει  2 f (x) x 1  . Να αποδειχθεί ότι: ι) f (1)  0 . ιι) x 1   ιιι) π x 2   ίν) π x 2     ΘΕΜΑ 46ο Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτησηf :  για την οποία ισχύουν x x x x xf (x) lim   2  f  (x) . Να δειχτεί οτι x xf (x) lim 0  f (x)  . ΘΕΜΑ 47ο ι) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  με τις ιδιότητες f (0) 0  ,και 2 π   f (x) (2x a)ημ(x β) (x αx)συν(x β), a, β 0, 2   Να βρεθεί ο τύπος της f . ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιος ώστε εφ(ξ — β) = 2 αξ ξ 2ξ α   . ΘΕΜΑ 48ο
  11. 11. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης  g(x)(ln x  1)   με g(2) 1. Να δειχτεί ότι Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 11 Αν το διάγραμμα της συνάρτησης f :  έχει πλάγια ασύμπτωτη τήν ευθεία ψ = 2χ+ 1 όταν χ  να υπολογιστεί το 2 xf (x)  5x  1 lim  x f (x) 2x 3x 3 x 2 3 2    . ΘΕΜΑ 49o Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει: 2 (x 1)f (x) 4xf (x) 2f (x) 0       για κάθε x ι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης φ:  για την οποία ισχύει φ( 2 x)  2xf (x) (x 1)f (x) . ιι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν γνωρίζουμε ότι η γραφική της παράσταση περνά από την αρχή των αξόνων και ότι η εφαπτομένη της στην αρχή των αξόνων είναι κάθετη στην ευθεία :x  2y 1 0 . ΘΕΜΑ 50ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, )   , για την οποία ισχύουν 2 x f (ln x)  xημx  2συνx και f (0)  συν1. Να δειχτεί ότι π συνe 2π f (π) e . ΘΕΜΑ 51ο α) Δίνεται η συνάρτηση F με 3 2 F(x)  λx  μx  κx , που παρουσιάζει στο σημείο x1 τοπικό μέγιστο και στο σημείο x2 καμπή. Να δειχτεί ότι: μ  6λ, κ  9λ . β) Δίνεται η συνάρτηση f :  που είναι συνεχής στο 0 και για την οποία ισχύει f (x y) f (x)συνy f (y)συνx    . Να δειχτεί ότι η f είναι συνεχής. ΘΕΜΑ 52ο ι) Αν η συνάρτηση f :  είναι παραγωγίσιμη και f (x)  f (x)  0, τότε είναι x f (x) ce (c :   σταθερά). Ιι) Δίνεται η συνάρτηση g : (1,) για την οποία ισχύει: x x g (x) ln x lim g(x) 0  x  . ΘΕΜΑ 53ο Να δειχτεί ότι 2 2 ln x  x 1.
  12. 12. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης   με α,β >0 και α  β. Να Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 12 ΘΕΜΑ 54ο Δίνεται η συνάρτηση x x a β f (x) ln( ) 2 δειχτεί ότι: ι) Η f είναι κυρτή στο . ιι) Αν f (x) x  για κάθε x  , τότε αβ = 2 e ΘΕΜΑ 55ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύ ει f (ln a)  f (lnβ) . Αν ισχύει lnα  ln γ  lnβ , με α, β, γ >0 και 2 γβ  e ,να δειχθεί αγ ότι υπάρχουν αριθμοί 12ξ , ξ τέτοιοι ώστε 1 2 f(ξ ) f ξ ) 0 . ΘΕΜΑ 56ο Θεωρούμε την συνεχή στο διάστημα   πe, πe  συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 2 2 2 2 2 x  π f (x)  π e . ι) Να δειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-πe , π e). ii) Αν f(χ) 0 για κάθε   x πe,πe   , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο πe,πe. ΘΕΜΑ 57ο Θεωρούμε την συνεχή στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: x 1 e 1 (x 1)f (x) ε (x 1)        για κάθε x . Αν είναι f (x) lim  2 x  2 x  2 ,τότε: ι) Να βρεθούν οι αριθμοί f ( 1)  και f (2) . ιι) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με την γραφική παράσταση της συνάρτησης 2 2 x x 1 g(x) (x 1)e     ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη 0 x (1, 2). ΘΕΜΑ 58ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο 0, και τη συνάρτηση x h(x)  2 f (x) . Αν ισχύει x f (x) x2 (ln 2)f (x)     , τότε:
  13. 13. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης g(x)  . g(x) 1 lim  .  xg(x) x e 2 Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 13 ι) Να υπολογιστεί ο τύπος της f αν είναι γνωστό ότι παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x0 1. ιι) Να δειχθεί ότι η h δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη. ΘΕΜΑ 59ο Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f και για τις οποίες ισχύει: x e f (x) g (x) g(x)     και g(0) f (0) 0 . ι) Να δειχθεί ότι f (x) x e ιι) Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στην περιοχή του  την ευθεία y x 2, να δειχθεί ότι x 2 x  ΘΕΜΑ 60ο Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο 0 x2 για την οποία ισχύει 2 f (x) ln(x 1) (x 2)     για κάθε x1 ΘΕΜΑ 61ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (x) f (x) 2    για κάθε x  . Να δειχθεί ότι: ι) Η συνάρτηση 2x h(x)  f (x)e έχει παράγωγο μηδέν. ιι) Αν f (0) 1945  , η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν f (0) 2000   , η f είναι γνησίως αύξουσα. ΘΕΜΑ 62ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο με f (x)  0 και f (x)  0,x και ισχύει: f (xy)  f (x)f (y),x, y . Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g για την οποία ισχύει:   2 g(x)f (x)  f (x) 1lnf (x) με g(0)  0 . Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ(0,1) τέτοιος ώστε f (ξ)  e. ΘΕΜΑ 63ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει x f (x) 2ln x f (x) f (x) e e     
  14. 14. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης     Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 14 για κάθε x0, και f (0)  0. Να δειχθεί ότι: ι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατο σε κανένα σημείο του διαστήματος 0, . ιι)Το θεώρημα του Rolle δεν ισχύει σε κανένα διάστημα της μορφής   0 0,x ιιι) Η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. ίν) Η ευθεία (ε): 3e 1 y x 1 3e  3 είναι κάθετη στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 0x1 . ΘΕΜΑ 64ο Θεωρούμε τη θετική συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο   e,  και για την οποία ισχύει: f (x)f (x) ex  και f (e) 0  . Να δειχθεί ότι: ι) Η f αντιστρέφεται. ιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα σημείο, ενώ δεν συναντά τον άξονα ψ΄ψ. ΘΕΜΑ 65ο Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (a) f (β) 0   και f (c) 0 για ένα c που ανήκει στο διάστημα (α, β). Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε f (ξ) 0   . ΘΕΜΑ 66o Αν f :[α,β]  είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) και 1 2 x , x (με 1 2 xx ) είναι δύο διαδοχικές ρίζες της f  , να δειχθεί ότι: ι) Υπάρχει το πολύ μια ρίζα της f στο διάστημα   1 2 x , x . ιι) Αν 1 2 f (x )f (x ) 0  , τότε υπάρχει ακριβώς μια ρίζα της f στο διάστημα   1 2 x , x . ΘΕΜΑ 67ο Να βρεθεί ο τύπος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f : (0,) για την οποία ισχύει: xf (x) f (x) ln f (x)  0 , με f (x) 1, για κάθε x0, και f (1)  e . ΘΕΜΑ 68ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f διάστημα [α, β] (με α,β(1,) ) για την οποία ισχύει f (x)  0 για κάθε x [α, β]. Αν 1 2 f (ξ ), f (ξ ) είναι αντίστοιχα το
  15. 15. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης f (x )f (x )   2xf (x) x f (x)  ορισμένη στο [e,)   Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 15 β ελάχιστο και το μέγιστο της f στο διάστημα [α, β] και ισχύει e f (ξ2 ) f (ξ1 ) α   και ακόμα για τη συνάρτηση h(x)  f (x) ln x ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle , να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε f (ξ)  0. ΘΕΜΑ 69ο ι) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f:    για την όποία ισχύουν: f (x) xf (x) e (1 f (x) f (x)) xf (x) x 0          (1) και 1 f (x) 0 για κάθε x (0, )   . ιι) Αν y  f (x) είναι η λύση της (1) που δεν είναι εκθετική συνάρτηση και για την οποία είναι f (1)  0, να δειχθεί ότι μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης f (x)ημχ 1 0 υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x ημx  ln x συνx  0. ΘΕΜΑ 70ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 2 2 2 2 4α 1 4β 1 f (2α) f (2β) e e      .Να δειχθεί οτι υπάρχει 0 x (2α,2β) τέτοιο ώστε 2 0 0 x0 1 0 e x    (δίνεται ότι 0 (α , β)). ΘΕΜΑ 71ο Να υπολογισθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f που είναι παραγωγίσιμη στο   όταν ισχύει: 2 x 1 e  και f (1) 1  . ΘΕΜΑ 72ο Δίνεται η συνάρτηση ln x f (x) x ι) Να δειχθεί ότι: x 1821 x x (x 1821)    1821 ιι) Να δειχθεί ότι: π 1821 [1 ]. π π ΘΕΜΑ 73ο Αν οι συναρτήσεις f και φ και οι παράγωγοί τους f  και   είναι
  16. 16. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης   που είναι ορισμένη στο   0,1 e    f (x) 2 lim f (x) , lim f (x) Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 16 συνεχείς στο [α,β] , η συνάρτηση ff  είναι θετική στο διάστημα αυτό και η f  είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] , να δειχθεί ότι μεταξύ 2 ριζών της εξίσωσης f (x)  0 υπάρχει μια ρίζα της φ(χ)=0. ΘΕΜΑ 74ο Θεωρούμε την τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορι σμένη στο   0,1 για την οποία ισχύει f (x) 2  , για κάθε   x 0,1  .Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 x g(x) f (x) 3 βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. Δίνεται ότι 1      . f (0) 0, f (0) 0, f (1) 3 ΘΕΜΑ 75ο Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο με συνεχή παράγωγο σε αυτό και για την οποία ισχύουν: x x e 1  και f (0)  ln 2 Να δειχθεί ότι: ι) x x       ιι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατα. ιιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα ακριβώς σημείο. ιν) f (1)  ln(1 e)  2 ΘΕΜΑ 76ο Δίνεται η συνάρτηση g(x) f (x)  g(x)e , όπου g(x) είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο σ’ αυτό. Υποθέτουμε ότι: g (x)(1 g(x)) 0    , για κάθε x[α,β] Να δειχθεί ότι: ι) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β]. ιι) Αν g(α)  g(β) , να δειχθεί ότι υπάρχει   0 χ  α,β τέτοιος, ώστε 0 f (x )  0 . ιιι) Αν είναι f (x)  0, για κάθε x[α,β] , να δειχθεί ότι η εξίσωση f (x)  0 έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα (α ,β).
  17. 17. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης    να δειχθεί ότι υπάρχει ξ α lim f (x) β lim f (x) Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 17 ΘΕΜΑ 77ο Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [α, β] και που έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα αυτό. Αν ακόμα ισχύει g(x)  xf (x) , για κάθε x[α,β] και x  α x  β  (α,β) τέτοιο ώστε g(ξ) 0   . ΘΕΜΑ 78ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα   0,  . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει δύο κοινά σημεία με την πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης 2 2x 1 g(x) x   . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον θετικός αριθμός 0 x τέτοιος, ώστε: 0 0 0 f (x) xf (x)   . ΘΕΜΑ 79ο Να προσδιοριστεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f (x y) f (x) yln x cy     , για κάθε x 0, y ,c    και f (1) 0 και f (e) e  . ΘΕΜΑ 80 α) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :α,β που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β), με f (α)  f (β)  0 και η οποία παρουσιάζει ακρότατο σε ένα σημείο x 0 του (α, β). Με ποια προϋπόθεση μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, που f (ξ)  0; β) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το και f (x)  0,g(x)  0, , 2 για κάθε x  , να δειχθεί ότι:  8f 2 (x)  g 2 (x)  16f 3 (x)g(x) , για κάθε x . ΘΕΜΑ 81ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [α, β] συνάρτηση f με f (x)  0, για κάθε xα,β , για την οποία ισχύει: 2 2 β ln f (α)  α ln f (β) Να δειχθεί ότι υπάρχει   0 x  α,β τέτοιος, ώστε 2 f (x ) ln[f (x )] 0 0 0 0 f (x ) x   είναι α,β    . ΘΕΜΑ 82ο
  18. 18. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης   lim f (x) 0     για κάθε x  . Να δειχθεί ότι: 2f (x) 1 lim 0  2x Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 18 Δίνεται η συνάρτηση f : (1, )     για την οποία ισχύει: f (x) 1 x ln x f (x) x ln x  και e f (e) e  . ι) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων των οποίων οι γραφικές παραστάσεις, με κοινό πεδίο ορισμού το (1,  ), δεν έχουν κοινά σημεία. ιι) Να δειχθεί ότι: x 1  ΘΕΜΑ 83ο Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:  και οι α ριθμοί α, β, γ, δ f (γ)  f (β) f (δ)  f (γ) για τους οποίους υποθέτουμε ότι α<β<γ<δ και   λ  0 f (β) f (α) f (γ) f (β)   . Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0   έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα. ΘΕΜΑ 84ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 2 2 1 f (x ) f (x) 4 ι) Η f δεν αντιστρέφεται. ιι) Υπάρχει ξ  (0,1) τέτοιος, ώστε f  (ξ)= 0. ιιι) x 0   . ΘΕΜΑ 85ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για την οποία ισχύει η σχέση x 2000 x 1997x2 [f (x)]  2xf (x)  2(2 1) για κάθε x  . ι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0 0 x (x  0) , να βρεθεί το είδος του ακρότατου.( Υπόδειξη: Με κριτήριο 2ης παραγώγου, το οποίο είναι εκτός ύλης) Ιι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0, να δειχθεί ότι limf (x) ln 2 x  0   . ΘΕΜΑ 86ο
  19. 19. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης f (x)  f (x )   Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 19 Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x)  ln f (x), που είναι ορισμένη στο διάστημα 0,με f (x)  0, για κάθε x0, και f (e)  e . Η f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη, με f (x)  0,για κάθε x0, . ι) Να βρεθεί ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης ln f (x) g(x)  . f (x) ιι) Έστω 0 x το στάσιμο σημείο(σημεία μηδενισμού της 1ης παραγώγου) της συνάρτησης g . Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ln f (x) και f (x) στα σημεία 1 0 0 M (x , ln f (x )) και 2 0 0 M (x , f (x )) αντίστοιχα, τέμνονται σε ένα σημείο που βρίσκεται στον άξονα χ΄χ. ΘΕΜΑ 87ο Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο και για την οποία ισχύει: v v v v f (x) 2x x ημ x    , για κάθε x όπου ν είναι φυσικός περιττός αριθμός διάφορος του 1. Να δειχθεί ότι: Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0. ΘΕΜΑ 88ο Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο και για την οποία ισχύει: f (x  y)  f (x)  f (y)  λxy  x για κάθε x  με λ . Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f (0) 3   και η συνάρτηση 0 0 h(x) x x   είναι συνεχής στο σημείο 0 x να δειχθεί ότι η εξίσωση h(x) 1821x 4  0 έχει μία τούλάχιστον ρίζα στο . ΘΕΜΑ 89ο Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο διάστημα [0,1] συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν: 2 g(x)  f (x) , g (0)f (1) 1, (f (1) 0). g (1)f (0)     Να δείξετε ότι: . ι) f (0)  f (1) ιι) Υπάρχουν   1 2 3 ξ ,ξ ,ξ  0,1 τέτοιοι ώστε: 1 2 3 f (ξ )  f (ξ )  f (ξ )  0. ΘΕΜΑ 90ο
  20. 20. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 20 Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β] συνάρτηση f . Θεωρούμε το σημείο ξ (α,β), που είναι το σημείο που εφαρμόζονται τα συμπεράσματα των θεωρημάτων μέσης τιμής και Fermat . Να δειχθεί ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle . Το ίδιο σημείο είναι σημείο εφαρμογής του συμπεράσματος του θεωρήματος του Rolle ; ΘΕΜΑ 91ο Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f και για τις οποίες ισχύει : f (x) g(x) 2(λ 2)x 0, (λ )      . Να δειχθεί ότι η εξίσωση g(x) 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα πραγματική στις εξής περιπτώσεις: ι) 2 2 f (x)  (ax βx  γ) ln(x  2000),αγ  0 . ιι) Για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [κ,μ] και για τον μιγαδικό αριθμό z 2000 f (μ)i    ισχύει z0 . ΘΕΜΑ 92ο Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g , με g(x) 0  , για κάθε x  . Να δειχθεί ότι: ι) Υπάρχει ξ   0,1  τέτοιο, ώστε να ισχύει: 2 ξ ξ   g (ξ) e 2ξe g(ξ) 2 e e ξ ξ   . ιι) Υπάρχει   1 ξ  1,2 , τέτοιο, ώστε 2 4 1 h (ξ ) g(2)(e e )    , όπου h είναι κατάλληλη συνάρτηση που ορίζεται από το (ι) ερώτημα. ΘΕΜΑ 93ο ι) Να δειχθεί ότι: 4 3 2 3x 8x 6x  24x 19  0 ,για κάθε x1, . ιι) Να δειχθεί ότι η εξίσωση: 4 3 2 12x 14x 3x 5  0 έχει μόνο μία θετική ρίζα. ιιι) Να δειχθεί ότι: 4 3 2 12x 14x 3x 5  0, για κάθε x1, . ΘΕΜΑ 94ο Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g , που είναι ορισμένες στο   0,3 και για τις οποίες ισχύει g(x)  2xf (x) , για κάθε x0,3. Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο σημείο 0 x  2 και η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0 x  2 , να δειχθεί ότι: g(2)  2f (2) ΘΕΜΑ 95ο
  21. 21. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης  f (x)     , να αποδείξετε ότι Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 21 Δίνεται η συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] , με f (x)f (x)  0 για κάθε x[α,β] . Δίνεται ακόμα ότι:  f (β) f (β)  f (α) f  (α) . Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιος, ώστε να ισχύει f (ξ)f (ξ)  0 . ΘΕΜΑ 96ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 2 x x 3x 3, e    με f (0) 2  . ι) Να δειχθεί ότι: f (1997)  f (2000) . ιι) Να δειχθεί ότι για τη συνάρτηση f δεν ισχύει το θεώρημα του Bolzano σε κανένα κλειστό διάστημα του . ΘΕΜΑ 97ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση   f : 0,1 για την οποία ισχύει: 2 2 f (1) f (0) 2f (0) 5 f (x) 2   για κάθε   x 0,1  . Να βρείτε: α) τους αριθμούς f (0) και f (1) , β) τον τύπο της f . ΘΕΜΑ 98 1. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :0, , με f (0)  f (0)  0 ,για την οποία ισχύει f (x)  f (x) για κάθε x0,Να αποδείξετε ότι: α. Η συνάρτηση h :[0,) με τύπο x h(x) f (x)e  , είναι γνησίως αύξουσα και β. Να αποδείξετε ότι η 2 f είναι κυρτή. 2. Να βρείτε τον a   , αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2 f (x)  ax και g(x)  ln x έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο. ΘΕΜΑ 99 Αν f : 0, παραγωγίσιμη συνάρτηση, ώστε η εφαπτομένη της f C σε τυχαίο σημείο της Μ   0 0 x , f (x ) να τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ στα σημεία Α   1 x ,0 και Β( 1 0, y ), με 1 0 x x 2 c f (x) ,c   σταθερά. x
  22. 22. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης   .     Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 22 ΘΕΜΑ 100 1. Αν f συνεχής στο α,β, με f (a)  a και f (β)  β , ώστε f (x) 1,xα,β , να αποδείξετε ότι f (x)  x,xα,β. 2. Να αποδείξετε ότι 2 π ημχ χ, χ 0, π 2   ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ALIGNIAC ALIGNIAC 36 44α 70 93β 1 6 37 42α 71 96α 2 8a 38 47 72 100α 3 11αβ 39 148α 73 108α 4 17β/8γ 40 150α 74 109α 5 27 41 151 75 122 6 147β 42 152α 76 123 7 28/124γ 43 155α 77 149 8 29 44 158 78 169β 9 33 45 159 79 10 34 46 165α 80 178α/181β 11 35β 47 166α 81 176β 12 38β 48 177α 100 82 85 13 37γ 49 178α 83 70 14 36β 50 184β 84 52 15 160β 51 179α 16 58β 51 190β 17 39β 52 189α 85 39 18 174γ 53 194α 86 124α 19 54 169β 87 129 20 74α DENIDOVICH 55 10A 88 130 21 196 56 12a 89 139 22 185β 57 14α 90 141β 23 65 58 18αγ 91 142 10 24 78β 59 28α 92 35 25 75β 60 34β 93 30α 26 79α 61 41β 94 31 27 82α 62 46β 95 27
  23. 23. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός 23 28 93α 63 60α 96 11αβ 29 98 64 61α 97 30 104β 65 66γ 31 100β 66 67α 32 99β 67 72α 33 115β 68 84α 34 122α 69 86β

×