Makalah Matematika Anggun Nofita

37,015 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Makalah Matematika Anggun Nofita

  1. 1. MAKALAH RINGKASAN MATEMATIKA Ditulis Untuk memenuhi tugas Matematika 3 Yang diampu oleh: Drs. Trijoko Oleh: Anggun Nofitasari (12144600133) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS ILMU KEGURUAN DAN PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2014 i
  2. 2. KATA PENGANTAR Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Makalah dengan judul “Ringkasan Matematika Tentang Bangun Ruang”. Dalam penulisan makalah ini penulis mendapat bantuan dari semua pihak. Oleh karena itu pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Drs. Trijoko selaku dosen mata kuliah Matematika 3. 2. Rekan-rekan Kelas A4-12 PGSD FKIP Universitas PGRI Jogyakarta. 3. Orang tua penulis tercinta yang tida henti-hentinya memberikan doa dan dukungan baik moral maupun material yang telah diberikan. 4. Teman-teman yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung. Penulis sadar bahwa penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan. Akhirnya penulis berharap semoga penulisan makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi semua pihak yang membacanya. Yogyakarta, 28 Desember 2013 Anggun Nofitasari ii
  3. 3. DAFTAR ISI HALAMAN DEPAN .................................................................................. i KATA PENGANTAR ................................................................................. ii DAFTAR ISI ............................................................................................... iii BAB IPENDAHULUAN ............................................................................. 1 A. Latar Belakang ....................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................. 1 C. Tujuan .................................................................................................... 1 BAB IIPEMBAHASAN .............................................................................. 2 A. Limas ...................................................................................................... 2 1. Definisi Limas ................................................................................... 2 2. Unsur-Unsur Limas ........................................................................... 3 3. Sifat-sifat limas .................................................................................. 3 4. Ciri dan Macam-Macam Limas .......................................................... 4 a. Limas Segitiga T.ABC ................................................................. 4 b. Limas Segiempat T.ABCD ........................................................... 4 c. Limas Segilima T.ABCDE ............................................................. 5 d. Limas Segienam T.ABCDEF ......................................................... 5 e. Limas Segi-n ................................................................................. 5 f. Jaring-Jaring Limas ....................................................................... 6 g. Luas Permukaan Limas ................................................................. 7 h. Volume Limas .............................................................................. 8 B. Prisma ..................................................................................................... 11 1) Pengertian Prisma .............................................................................. 11 2) Sifat-Sifat Prisma ............................................................................... 12 3) Jaring-jaring Prisma ........................................................................... 13 4) Luas Permukaan Prisma ..................................................................... 15 5) Volume Prisma .................................................................................. 16 iii
  4. 4. C. Tabung ..................................................................................................... 16 1) Definisi Tabung .................................................................................. 16 2) Sifat-Sifat Tabung ............................................................................ 17 3) Unsur-Unsur Tabung ......................................................................... 18 4) Jaring-Jaring Tabung .......................................................................... 18 5) Luas Permukaan Tabung .................................................................... 20 6) Volume Tabung .................................................................................. 22 7) Kerucut.............................................................................................. 23 a. Pengertian Kerucut ........................................................................ 23 b. Ciri-Ciri Kerucut ........................................................................... 24 c. Unsur-Unsur Kerucut ..................................................................... 24 d. Jaring-Jaring Kerucut .................................................................... 25 e. Luas Permukaan Kerucut ............................................................... 25 f. Volume Kerucut ............................................................................ 28 D. Bola ........................................................................................................ 30 1 Definisi Bola .................................................................................... 30 2. Unsur-unsur bangun ruang bola ......................................................... 30 3. Ciri-ciri bangun ruang bola ............................................................... 31 4. Sifat-sifat bangun ruang bola ............................................................ 31 5. Menentukan volume bola .................................................................. 31 6. Luas Bangun Ruang Bola ................................................................. 32 BAB III PENUTUP ..................................................................................... 37 A. Kesimpulan ............................................................................................ 37 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 38 iv
  5. 5. BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Bangun ruang merupakan salah komponen matematika yang perlu kita pelajari untuk menetapkan konsep keruangan .maka dalam mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif. Dalam makalah ini pemakalah akan menjelaskan tentang definisi, unsur-unsur, ciri-ciri, dan sifat-sifat serta macam-macam bentuk bangun ruang. B. Rumusan Masalah 1. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat,macam-macam, jarring-jaring, luas dan volum dari Limas ? 2. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat,macam-macam, jarring-jaring, luas dan volum dari Prisma ? 3. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat,macam-macam, jarring-jaring, luas dan volum dari Tabung ? 4. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat,macam-macam, jarring-jaring, luas dan volum dari Kerucut ? 5. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat,macam-macam, jarring-jaring, luas dan volum dari Bola ? C. Tujuan Agar dapat mengetahui dan memahami serta mendalami tentang definisi ,unsur-unsur, ciri-ciri, sifat,macam-macam, jarring-jaring, luas dan volum yang terdapat di dalam bangun ruang. 1
  6. 6. BAB II PEMBAHASAN A. Limas 1. Definisi Limas Gambar limas. http://yos3prens.wordpress.com Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segibanyak (segi-n) dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar bidang segibanyak itu. Gambar limas. Sumber: idkf.bogor.net Pada gambar limas di atas, garis T disebut garis tinggi limas dan titik T disebut titik puncak limas. Garis tinggi yaitu garis yang ditarik dari titik T dan tegak lurus bidang alas ABCD. 2
  7. 7. Penamaan limas didasarkan pada jumlah segi-n sisi alasnya. Apabila alas limas berupa segi-n beraturan dan tiap sisi tegak merupakan segitiga sama kaki yang beraturan, maka limas tersebut disebut limas segi-n beraturan. 2. Unsur-Unsur Limas Gambar limas. Sumber: idkf.bogor.net Unsur- unsur yang dimiliki oleh suatu limas: a. Titik sudut. b. Rusuk. Rusuk adalah garis atau ruas garis yang merupakan perpotongan dua muka bidang suatu bentuk geometri atau yang merupakan batas suatu bentuk dalam bidang. c. Bidang sisi. Bidang/sisi adalah bagun datar yang memisahkan antara bagian dalam dan bagian luar. 3. Sifat-sifat limas a. Bidang atas berupa sebuah titik (lancip). b. Bidang bawah berupa bangun datar. c. Bidang sisi tegak berupa segitiga. d. Limas mempunyai diagonal bidang dan tidak mempunyai diagonal ruang. 3
  8. 8. 4. Ciri dan Macam-Macam Limas a. Limas Segitiga T.ABC Pada gambar di samping menunjukkan limas segitiga yang mempunyai : 4 titik sudut : A, B, C, dan T 4 bidang sisi : 1 sisi alas yaitu ABC dan 3 sisi tegak yaitu TAB, TBC, dan TCA 3 rusuk alas : AB, BC, dan CA 3 rusuk tegak: AT, BT, dan CT Gambar limas segitiga. Sumber: idkf.bogor.net b. Limas Segiempat T.ABCD Pada gambar di samping menunjukkan limas segiempat yang mempunyai : 5 titik sudut : A, B, C, D, dan T 5 bidang sisi : 1 sisi alas yaitu ABCD dan 4 sisi tegak yaitu TAB, TBC, TCD, dan TAD 4 rusuk alas : AB, BC, CD, dan DA 4 rusuk tegak : AT, BT, CT, dan DT Gambar limas segiempat. Sumber: idkf.bogor.net 4
  9. 9. c. Limas Segilima T.ABCDE Pada gambar di samping menunjukkan limas segilima yang mempunyai : 6 titik sudut : A, B, C, D, E, dan T 6 bidang sisi : 1 sisi alas yaitu ABCDE dan 5 sisi tegak yaitu TAB, TBC, TCD, TDE, TAE 5 rusuk alas : AB, BC, CD, DE, dan EA 5 rusuk tegak : AT, BT, CT, DT, dan ET Gambar limas segilima. Sumber: idkf.bogor.net d. Limas Segienam T.ABCDEF Pada gambar di samping menunjukkan limas segienam yang mempunyai : 7 titik sudut : A, B, C, D, E, F, dan T 7 bidang sisi : 1 sisi alas yaitu ABCDEF dan 6 sisi tegak yaitu TAB, TBC, TCD, TDE, TEF, TAF 6 rusuk alas : 6 rusuk alas yaitu AB, BC, CD, DE, EF, AF Gambar limas segienam. 6 rusuk tegak : AT, BT, CT, DT, ET, dan FT Sumber: idkf.bogor.net e. Limas Segi-n Limas segi-n mempunyai: 5
  10. 10. Nama Limas Sisi Rusuk Titik Sudut Limas Segitiga 4 6 4 Limas Segiempat 5 8 5 Limas Segilima 6 10 6 Limas Segienam 7 12 7 n+1 2n n+1 Limas Segi-n f. Jaring-Jaring Limas Jaring-jaring merupakan bentuk dua dimensi dari suatu bangun tiga dimensi. Jaring-jaring limas dapat dibentuk dengan memotong beberapa rusuk limas. Gambar jaring-jaring limas segiempat. Sumber: idkf.bogor.net Gambar jaring-jaring limas segiempat. Sumber: idkf.bogor.net Gambar jaring-jaring limas segiempat. Sumber: idkf.bogor.net Gambar jaring-jaring limas segiempat. Sumber: idkf.bogor.net 6
  11. 11. Gambar jaring-jaring limas segiempat. Sumber: idkf.bogor.net Gambar jaring-jaring limas segiempat. Sumber: idkf.bogor.net Gambar jaring-jaring limas segitiga. g. Luas Permukaan Limas Luas permukaan menyatakan luasan permukaan suatu benda padat tiga dimensi. Luas permukaan limas dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas sisi-sisi tegak dan luas alas. Sumber: http://mediapemb.blogspot.com 7
  12. 12. Sumber: http://mediapemb.blogspot.com Luas permukaan limas = jumlah luas sisi tegak + luas alas Contoh soal : Sebuah limas segi empat beraturan, rusuk-rusuk alasnya 15 cm dan jarak dari puncak ke rusuk alas 20 cm. Tentukan luas sisi limas ! Jawab : Luas limas = jumlah luas sisi tegak + luas alas Luas limas = (4 x 150 cm²) + 225 cm² Jadi luas sisi limas 825 cm². = 600 cm² + 225 cm² = 825 cm² h. Volume Limas Volume atau bisa juga disebut kapasitas adalah penghitungan seberapa banyak ruang yang bisa ditempati dalam suatu objek. Volume limas dapat ditentukan dengan membelah sebuah kubus menjadi tiga atau enam buah limas yang kongruen. 8
  13. 13. Sumber: http://mediapemb.blogspot.com Kubus dibagi menjadi tiga buah limas segiempat yang kongruen. Volume kubus = 3 x limas Volume limas = 1/3 x volume kubus = 1/3 x s x s x s = 1/3 x s3 = 1/3 x s² x s = 1/3 x luas alas x tinggi http://1.bp.blogspot.com Gambar di atas menunjukan sebuah kubus dan limas. Kubus tersebut memiliki 4 buah diagonal ruang yang saling berpotongan. Jika diamati secara cermat, keempat diagonal ruang tersebut membentuk 6 buah limas segiempat. Dengan demikian, volume kubus merupakan gabungan volume keenam limas tersebut. 6 x volume limas = volume kubus Volume limas = 1/6 x s x s x s = 1/6 x s 2 x s = 1/6 x s2 x 2s/2 = 2/6 x s2 x s/2 = 1/3 x s2 x s/2 9
  14. 14. Oleh karena s2 merupakan luas alas kubus dan s/2 merupakan tinggi limas maka, volume limas = 1/3 x s2 x s/2 = 1/3 x luas alas limas x tinggi limas Volume limas = 1/3 x Luas alas x Tinggi Contoh soal : Hitunglah volume limas yang mempunyai tinggi 30 cm dan luas alas 100 cm² ! Jawab : 10
  15. 15. B. Prisma 1) Pengertian Prisma Berbeda dengan kubus dan balok, bangun ruang ini memiliki kekhasan tersendiri. Coba perhatikan bangun ruang tersebut memiliki bentuk alas dan atap yang sama bentuk dan aturannya. Selain itu, semua sisi bagian samping berbentuk persegipanjang bangun ruang ini dinamakan prisma. Unsur-unsur apa saja yang dimiliki oleh prisma? Coba perhatikan prisma segienam ABCDEF.GHIJKL pada gambar 8.19 . Dari gambar tersebut, terlihat bahwa prisma segienam tersebut memiliki unsur-unsur sebagai berikut. a. Sisi/Bidang Terdapat 8 sisi atau bidang yang dimiliki oleh prisma segienam, yaitu ABCDEF (sisi alas), GHIJKL (sisi atas), BCIH (sisi depan), FEKL (sisi belakang), ABHG (sisi depan kanan), AFLG (sisi belakang kanan), CDJI (sisi depan kiri), dan DEKJ (sisi belakang kiri). b. Rusuk Dari Gambar 8.19 , terlihat bahwa prisma segienam ABCDEF.GHIJKL memiliki 18 rusuk, 6 di antaranya adalah rusuk tegak. Rusuk-rusuk tersebut adalah AB, BC, CD, DE, EF, FA, GH, HI, IJ, JK, KL, LG, dan rusuk-rusuk tegaknya adalah AG, BH, CI, DJ, EK, FL. c. Titik Sudut Prisma segienam ABCDEF.GHIJKL memiliki 12 titik sudut. Dari Gambar 8.19 , terlihat bahwa titik-titik sudut tersebut adalah A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, dan L. Selain unsur-unsur yang telah 11
  16. 16. disebutkan, prisma pun memiliki istilah diagonal bidang dan bidang diagonal. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari uraian berikut. d. Diagonal Bidang Coba kamu perhatikan prisma segienam ABCDEF. GHIJKL pada Gambar 8.20. Dari gambar tersebut terlihat ruas garis BG yang terletak di sisi depan kanan (sisi tegak) ditarik dari dua titik sudut yang saling berhadapan sehingga ruas garis BG disebut sebagai diagonal bidang pada bidang prisma segienam ABCDEF. GHIJKL. Begitu pula dengan ruas garis CJ pada bidang CDIJ. Ruas garis tersebut merupakan diagonal bidang pada prisma segienam ABCDEF. GHIJKL. Coba kamu sebutkan diagonal bidang yang lain dari prisma segienam pada Gambar 8.20 . e. Bidang Diagonal Sekarang, coba kamu perhatikan prisma segienam ABCDEF. GHIJKL pada Gambar 8.21 . Pada prisma segienam tersebut, terdapat dua buah diagonal bidang yang sejajar yaitu BI dan FK. Kedua diagonal bidang tersebut beserta ruas garis KI dan FB membentuk suatu bidang di dalam prisma segienam ABCDEF.GHIJKL. Bidang tersebut adalah bidang BFKI yang merupakan bidang diagonal prisma segienam. 2) Sifat-Sifat Prisma Perhatikan prisma ABC.DEF pada gambar di samping. Secara umum, sifatsifat prisma adalah sebagai berikut. a. Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen. Pada gambar terlihat bahwa segitiga ABC dan DEF memiliki ukuran dan bentuk yang sama. b. Setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegipanjang. Prismasegitiga pada gambar dibatasi oleh tiga persegipanjang di setiap sisi sampingnya, yaitu ABED, BCFE, dan ACFD. 12
  17. 17. c. Prisma memiliki rusuk tegak. Perhatikan prisma segitiga pada gambar. Prisma tersebut memiliki tiga buah rusuk tegak, yaitu AD, BE, dan CF. Rusuk tersebut dikatakan tegak karena letaknya tegak lurus terhadap bidang alas dan atas. Dalam kondisi lain, ada juga prisma yang rusuknya tidak tegak, prisma tersebut disebut prisma sisi miring. d. Setiap diagonal bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama. Prisma segitiga ABC.DEF pada gambar diagonal bidang pada sisi ABED memiliki ukuran yang sama panjang. Perhatikan bahwa AE = BD, BF = CE, dan AF = CD. 3) Jaring-jaring Prisma Jaring-jaring prisma diperoleh dengan cara mengiris beberapa rusuk prisma tersebut sedemikian sehingga seluruh permukaan prisma terlihat. Misalkan, prisma yang akan dibuat jaring-jaringnya adalah prisma segitiga. Berikut ini adalah alur pembuatan jaring-jaring prisma segitiga. Coba kamu perhatikan Gambar 8.23 dengan saksama. 13
  18. 18. Dari Gambar 8.24 , terlihat bahwa jaring-jaring prisma memiliki tiga persegipanjang sebagai sisi tegak dan dua segitiga sebagai sisi alas dan sisi atas. Berikut ini adalah berapa jaring-jaring prisma segitiga yang lain. Terdapat beberapa macam bentuk jaring-jaring prisma segitiga yang dapat dibuat. Semuanya bergantung pada cara mengiris beberapa rusuk prisma segitiga tersebut. Coba kamu tentukan bentuk jaring-jaring prisma segitiga yang lain. Sekarang, bagaimana dengan jaring-jaring prisma yang lain? Misalnya, prisma segilima atau prisma segienam. Untuk menjawabnya, coba kamu perhatikan atau pelajari Contoh Soal 8.10 14
  19. 19. 4) Luas Permukaan Prisma Sama seperti kubus dan balok, luas permukaan prisma dapat dihitung menggunakan jaring-jaring prisma tersebut. Caranya adalah dengan menjumlahkan semua luas bangun datar pada jaring-jaring prisma. Coba kamu perhatikan prisma segitiga beserta jaring-jaringnya pada Gambar 8.30 berikut ini. 15
  20. 20. 5) Volume Prisma Untuk mengetahui rumus volume prisma, perhatikan Gambar 8.31 berikut. C. Tabung 1) Definisi Tabung Tabung adalah, bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang tabung dan dua buah bidang datar yang masing-masing tegak lurus pada sumbu bidang tabung. (http://hlistiya.blogspot.com/2012/06/unsur-unsur-dan-sifat-sifat-tabung.html) 16
  21. 21. Gambar dibawah merupakan contoh sebuah tabung. Sisi alas dan sisi atas tabung berbentuk lingkaran. Di mana kedua lingkaran ini saling kongruen dan saling sejajar. Dengan demikian tabung dapat diartikan sebagai bangun ruang sisi lengkung yang alas dan tutupnya berupa lingkaran dengan panjang jari-jari sama dengan r. 2) Sifat-Sifat Tabung Bangun ruang ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a) Memiliki sisi alas yang berbentuk lingkaran. b) Memiliki sisi atas yang berbentuk lingkaran. c) Memilikisisi (selimut) yang bentuknyalengkung. 17
  22. 22. 3) Unsur-Unsur Tabung Perhatikan Gambar. Gambar itu menunjukkan sebuah tabung yang terbentuk dari sebuah segi empat ABCD yang diputar terhadap sumbu AD sejauh 3600, atau satu putaran penuh. Pada gambar diatas unsur-unsur tabung adalah sebagai berikut: a) Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing- masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan D. b) Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t. c) Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AB, sedangkan diameternya BB' = 2AB. Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d. d) Selimut tabung merupakan bidang lengkung. 4) Jaring-Jaring Tabung Jaring-jaring tabung terdiri dari 2 lingkaran yang kongruen dan sebuah persegi panjang yang berasal dari selimut tabung dengan panjang = keliling lingkaran alas, dan lebar = tinggi tabung 18
  23. 23. Tinggi tabung adalah garis tegak lurus yang menghubungkan pusat alas dan pusat atasnya. Tinggi tabung dinyatakan sebagai t, sedangkan jari-jari alasnya dinyatakan dalam 19
  24. 24. 5) Luas Permukaan Tabung Permukaan sebuah tabung dapat dibuat dengan memotong sebuah tabung secara vertical pada bagian bidang lengkungannya dan membukanya, serta melepas alas, dan tutup tabung seperti terlihat pada gambar jaring-jaring tabung berikut. Jika diiris dan direntangkan menjadi seperti gambar berikut: Gambar di atas merupakan jaring-jaring tabung. Dari gambar tersebut dapat kita amati bahwa jaring-jaring selimut (sisi lengkung tabung berbentuk persegi panjang dengan ukuran sebagai berikut : Panjang = keliling lingkaran atau tabung Lebar = tinggi tabung Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan cara berikut ini : Luas selimut tabung = keliling alas x tinggi = 2πr x t = 2πrt 20
  25. 25. Setelah memeroleh rumus untuk luas selimut tabung, dapat menentukan luas seluruh tabung. Luas sisi tabung tanpa tutup = = πr(r +2t) Perhatikanlah contoh berikut: Sebuah tabung dengan jari-jari 10 cm dan tinggi 20 cm dengan nilai π = 3,14. Hitunglah: a. Luas selimut tabung b. Luas sisi tabung lengkap c. Luas sisi tabung tanpa tutup Penyelesaian a. Luas selimut tabung = 2πrt = 2 x 3,14 x 10 x 20 = 1256 cm2 b. Luas sisi tabung = 2πr(r + t) = 2 x 3.14 x 10 x (10 + 20) = 62,8 x 30 = 1884 c. Luas sisi tabung tanpa tutup = πr(r +2t) = 3,14 x 10 x(10 + 2 x 20) = 31,4 x 50 = 1570 21
  26. 26. 6) Volume Tabung Tabung merupakan prisma dengan alas berbentuk segi enam beraturan, jika jumlah rusuk pada sisi alas dan sisi atas di tambah terus menerus maka akan di peroleh prisma, yang sisi alas maupun sisi atasnya tidak banyak berbeda dengan lingkaran. Dari keterangan tersebut dapat dikatakan bahwa tabung adalah prisma yang alasnya berbentuk lingkaran sehingga volume tabung dapat dinyatakan dengan cara berikut ini : Volume = Luas alas x tinggi = πr2 x t atauV= 1/4 πd2 t dengan V = volume tabung, r = jari-jari alas lingkaran, d = diameter lingkaran, dan t = tinggi MENENTUKAN VOLUME DENGAN PRISMA 1. Potonglah tabung menjadi 12 bagian seperti ganbar 2. Susun hingga berbentuk prisma 3. Volume Prisma = Luas alas x Tinggi Volume Tabung = Luas alas x Tinggi = r.r x t = r t Jadi Volume Tabung = r t 22
  27. 27. Contoh Hitunglah volume tabung yang memiliki jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 40 cm dengan nilai π = 3,14! Penyelesaian 1. Volume tabung = πr2t = 3,14 x152x 40 = 3,14 x 225 x 40 = 28260 cm3 Jadi, volume tabung tersebut adalah 28260 cm3. 2. Volume tabung = V = 1/4 πd2 t dengan V = volume tabung, r = jari-jari alas lingkaran, d = diameter lingkaran, dan t = tinggi πr2 t = 22/7 x l42 x 20 = 12.320 Jadi, volume tabung = 12.320 cm3. 7) Kerucut a. Pengertian Kerucut Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung dan sebuah sisi alas berbentuk lingkaran. Definisi kerucut lainnya yaitu merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360o, di mana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Perhatikan gambar 1. Kerucut pada gambar 1 dapat dibentuk dari segitiga siku-siku TOA yang diputar, di mana sisi TO sebagai pusat putaran. Gambar 1 23
  28. 28. b. Ciri-Ciri Kerucut Kerucut memiliki beberapa ciri-ciri, yaitu: 1. Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran. 2. Kerucut mempunyai 2 sisi dan 1 rusuk. 3. Mempunyai satu titik sudut. 4. Memiliki satu titik puncak. c. Unsur-Unsur Kerucut Amatilah gambar 2 di bawah ini. Gambar 2 Kerucut memiliki unsur-unsur sebagai berikut: 1. Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran (daerah yang diarsir) dengan pusat di titik O. 2. Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB. 3. Jari-jari bidang alas (r), yaitu ruas garis OA dan ruas garis OB. 4. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut C ke pusat bidang alas O, yakni ruas garis CO. 5. Selimut kerucut, yaitu sisi kerucut yang tidak diarsir yang merupakan bidang lengkung. 6. Apotema atau garis pelukis (s), yaitu sisi miring BC. Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan persamaan-persamaan berikut. s2 = r2 + t2 r2 = s2 – t2 t2 = s2 – r2 24
  29. 29. d. Jaring-Jaring Kerucut di buka Gambar 3 e. Luas Permukaan Kerucut Perlu kita ketahui bahwa, permukaan kerucut terdiri dari dua bidang, yaitu bidang lengkung (selimut) dan bidang alas berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut. di buka Gambar 3 Jika kerucut di atas diiris sepanjang garis CD dan keliling alasnya, maka akan diperoleh jaring-jaring kerucut seperti pada gambar 3. Jaring-jaring kerucut ini terdiri atas: 1. Juring lingkaran CDD’ yang merupakan selimut kerucut. 2. Lingkaran dengan jari-jari r yang merupakan sisi alas kerucut. 25
  30. 30. Misalnya panjang apotema adalah s dan jari-jari lingkaran alas adalah r. Selimut kerucut merupakan juring lingkaran berjari-jari s dengan panjang busur DD’ merupakan keliling lingkaran alas kerucut yaitu 2 πr. *) Dengan demikian kita peroleh rumus luas selimut kerucut sama dengan luas juring CDD’. ′ = ′ = ′ 2 2 Luas juring CDD’ = ∙ Jadi luas selimut kerucut = πrs *) Luas Permukaan Kerucut = Luas selimut + Luas alas = πrs + πr2 = πr (s+r) Dengan demikian pada kerucut berlaku: Luas selimut kerucut = πrs Luas permukaan kerucut = πr (s+r) Dengan: r : jari-jari lingkaran alas s : apotema π: atau 3,14  Contoh : 1. Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alasnya 6 cm dan tingginya 8 cm. Hitunglah luas permukaan kerucut tersebut ( π = 3,14). 26
  31. 31. Jawab : Diketahui: r = 6cm t = 8 cm Ditanya: Luas permukaan kerucut? Penyelesaian: s2 = r2 + t2 s2 = 62 + 82 s2 = 36 + 64 s2 = 100 s = √100 s = 10 Luas permukaan kerucut = πr (s+r) = 3,14 x 6 x (10 + 6) = 3,14 x 6 x 16 = 301,44 Jadi luas permukaan kerucut adalah 301,44 cm2 2. Jika diameter sebuah kerucut adalah 10 cm dan tingginya 12 cm, tentukan: a. panjang apotema (s), b. luas selimut kerucut, c. luas permukaan kerucut. Jawab: Diketahui: d = 10 maka r = 5 cm t = 12 cm Ditanya: a. panjang garis pelukis (s) b. luas selimut kerucut c. luas permukaan kerucut 27
  32. 32. Penyelesaian: a. s2 = t2 + r2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 s = √169 = 13 Jadi, panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 13 cm. b. Luas selimut kerucut = πrs = 3,14 x 5 x 13 = 204,1 Jadi, luas selimut kerucut tersebut adalah 204,1 cm2 c. Luas permukaan kerucut = πr (s+r) = 3,14 x 5 x (13 + 5) = 282,6 Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 282,6 cm2 f. Volume Kerucut Pada dasarnya kerucut merupakan limas karena memiliki titik puncak sehingga volume kerucut sama dengan volume limas, yaitu kali luas alas kali tinggi. Oleh karena alas kerucut berbentuk lingkaran maka luas alasnya adalah luas lingkaran. Dengan demikian, volume kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut. Volume kerucut : x luas alas x tinggi V = πr2t Dengan: r : jari-jari lingkaran alas 28
  33. 33. t : tinggi kerucut π : atau 3,14 Karena r = d (d adalah diameter lingkaran) maka bentuk lain rumus volume kerucut adalah sebagai berikut. V = πr2t = π t = π d2 t = π d2 t π d2 t V=  Contoh: 1. Diketahui sebuah kerucut berdiameter 12cm dan tingginya 8cm. Jika π = 3,14, hitunglah volume kerucut tersebut. Jawab : Diketahui: d = 12 cm maka r = 6cm t = 8 cm Ditanya: volume kerucut? Penyelesaian: V = πr2t = x 3,14 x 62 x 8 = 301,44 Jadi, volume kerucut tersebut adalah 301, 44 cm3 29
  34. 34. D. Bola 1. Definisi Bola Bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama. Bola dapat di bentuk dari bangun setengah lingkaran yang di putar sejauh 360 pada garis tengahnya. Contoh gambar bola : 2. .Unsur-unsur bangun ruang bola 30
  35. 35. 3. Ciri-ciri bangun ruang bola 1) Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputar mengelilingi garis tengahnya, 2) Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat, 3) Sisi bola disebut dinding bola, 4) Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk, 5) Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari, 6) Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter 4. Sifat-sifat bangun ruang bola Bola Sifat Bangun Ruang Bola  mempunyai satu sisi  tidak mempunyai titik sudut  tidak mempunyai bidang datar  hanya mempunyai satu sisi lengkung tertutup 5. Menentukan volume bola Menentukan rumus volume bola dengan menggunakan volume kerucut, sekarang kita akan menemukan volume bola dengan menggunakan bangun ruang sisi lengkung lainnya, yaitu tabung. Seperti kita ketahui, rumus volume tabung sama dengan rumus volume prisma, yaitu luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memiliki alas yang berbentuk lingkaran, maka rumus volumenya adalah πr2t. Bagaimana 31
  36. 36. menggunakan rumus volume tabung ini untuk menentukan rumus volume bola. Perhatikan ilustrasi berikut! Dari ilustrasi tersebut dapat diperhatikan bahwa, untuk mengisi air hingga penuh ke dalam tabung yang memiliki jari-jari sama dengan jarijari bola dan tingginya dua kali jari-jari bola, diperlukan tiga kali pengisian oleh setengah bola. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Sehingga, rumus volume bola adalah 4/3 ∙ πr3. Untuk lebih memahami mengenai volume bola, 6. Luas Bangun Ruang Bola Rumus luas permukaan bola sudah dicetuskan oleh Archimedes pada tahun 287-212 SM. Fakta tersebut tertuang dalam karyanya yang berjudul “ on spheres and cylinders “. Beliau menyatakan bahwa “ sebarang tabung yang alasnya kongruen dengan lingkaran terbesar pada 32
  37. 37. bola dan tingginya sama dengan diameter bola , luas permukaan tabung itu sama dengan satu setengah kali luas permukaan bola “.Makna yang sama dengan redaksi kalimat yang berbeda yaitu :bahwa perbandingan luas permukaan bola dengan luas permukaan tabung terkecil yang memuatnya adalah 2 : 3.Untuk menemukan luas selimut bola dapat juga dilakukan percobaan dengan sebuah jeruk yang menyerupai bola yang dibelah dua, dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Potonglah jeruk menjadi dua bagian yang sama besar 2. Ukurlah diameter ( garis tengah ) jeruk 3. Gambarlah dua buah lingkaran yang diameternya sama dengan diameter jeruk, d.lingkaran = d.jeruk 4. Kupas potonglah kecil-kecil kulit jeruk dari belahan jeruk yang berbentuk setengah bola tersebut 5. Tempelkan potongan kulit jeruk dari satu belahan jeruk pada dua lingkaran yang diameternya sama dengan diameter jeruk. Potongan kulit jeruk tersebut akan menutupi seluruh permukaan kedua lingkaran 6. Dari percobaan tersebut ternyata luas kulit dari jeruk, yang merupakan luas selimut bola sama dengan luas 2 lingkaran. dari percobaan tersebut ternyata luas kulit jeruk dari setengah kulit jeruk yang merupakan luas setengah bola sama dengan luas 2 lingkaran. 33
  38. 38. Contoh soal 1. Sebuah bola basket mempunyai diameter 20 cm. Hitunglah : a. Luas sisi bola basket b. Volume bola basket = , dimana jari-jari bola = 10 cm. Jawaban : a) b) 34
  39. 39. 2. Diberikan sebuah bola yang memiliki jari-jari sebesar 30 cm seperti gambar berikut. Tentukan! a) volume bola b) luas permukaan bola Jawaban : a) volume bola V = 4 /3 π r 3 V = 4/3 x 3,14 x 30 x 30 x 30 V = 113 040 cm3 b) luas permukaan bola L = 4π r2 L = 4 x 3,14 x 30 x 30 L = 11 304 cm2 3. Diberikan bangun berupa setengah bola dengan jari-jari 60 cm seperti gambar berikut. 35
  40. 40. 4. Tentukan volumenya! jawaban : Volume setengah bola, kalikan volume bola penuh dengan 1/2 36
  41. 41. BAB III PENUTUP A. Kesimpulan dari isi makalah yaitu : Bangun ruang adalah bangun matematika yang mempunyai isi ataupun volume. Bagian-bagian bangun ruang : 1. Sisi: bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya. 2. Rusuk: pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangun ruang. 3. Titik sudut: titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih. Jenis-jenis bangun ruang yang umum dikenal dan saat ini kita pelajari adalah: 1. Limas 2. Prisma 3. Tabung 4. Kerucut 5. Bola 37
  42. 42. DAFTAR PUSTAKA Djumanta Wahyudin & Susanti Dwi. (2008). Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Jakarta: PT Setia Purna Inves http://yos3prens.wordpress.com/2013/02/24/pendekatan-lainnya-dalammenemukan-volume-bola/diakses tanggal 14 Desember 2013 pukul 19:30 http://misiema.wordpress.com/math-v-sd/2-menyebutkan-sifat-sifat-bangunruang/diakses tanggal 14 Desember pukul 06:45 http://taktikmatematik.blogspot.com/2012/10/luas-permukaan-dan-volumebola.html diakses tanggal desember pukul 19:32 http://matematikastudycenter.com/smp/57-9-smp-soal-pembahasan-bangunruang-sisi-lengkung#ixzz2mRU1yDCs diakses tanggal 14 Desember pukul 07:07 http://id.wikipedia.org/wiki/Luas, diakses tanggal 21 Desember 2013 pukul 10.38 http://nanangmatematikastema.blogspot.com/2011/05/alat-peraga-matematikadisusun-oleh.html, diakses tanggal 24 Desember 2013 pukul 21.01 http://yos3prens.wordpress.com/2013/02/19/menemukan-luas-permukaan-limasberaturan/, diakses tanggal 24 Desember pukul 21.30 http://www.scribd.com/doc/97171578/Makalah-Kerucut-Kel-5-Bu-Widowati-PYasin-Bu-Nining-Atni/, diakses 25 November 2013/21:30. 38

×