Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες

2,572 views

Published on

ορισμ

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες

  1. 1. Γραμμική ΄Αλγεβρα Ορίζουσες Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Ιανουαρίου 2014
  2. 2. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A| Ορισμός Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R
  3. 3. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A| Ορισμός Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R τέτοια ώστε 1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
  4. 4. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A| Ορισμός Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R τέτοια ώστε 1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα 2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
  5. 5. Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A| Ορισμός Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R τέτοια ώστε 1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα 2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο 3 |I | = 1
  6. 6. Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή Εαν οι πίνακες A, B, C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός συνδυσμός των |B| και |C |.
  7. 7. Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή Εαν οι πίνακες A, B, C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός συνδυσμός των |B| και |C |. a + ta c a b c d b + tb d +t a c = b d
  8. 8. Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο a b c d =− c d a b
  9. 9. Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο a b c d =− c d a b Συμπεράσματα Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
  10. 10. Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο a b c d =− c d a b Συμπεράσματα Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο κάθε γραμμή της ξεχωριστά’
  11. 11. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8) Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
  12. 12. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8) Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
  13. 13. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8) Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
  14. 14. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8) Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου
  15. 15. Ιδιότητες ορίζουσας (4-8) Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου A αντιστρέψιμος ανν |A| = 0
  16. 16. Πορίσματα, Υπολογισμός Ορίζουσας |A| = ±|U| |A| = ±(γινόμενο των οδηγών) Για να υπολογίσω την ορίζουσα ενός πίνακα αρκεί να κάνω απαλοιφή και να πολλαπλασιάσω τους οδηγούς που θα βρω.
  17. 17. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10) Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους
  18. 18. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10) Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
  19. 19. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10) Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
  20. 20. Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10) Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την ορίζουσα του εν λόγω πίνακα Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
  21. 21. Συμπαράγοντες Ο αριθμός Cij = (−1)(i+j) det Aij λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο (n − 1) × (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον A διαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
  22. 22. Συμπαράγοντες Ο αριθμός Cij = (−1)(i+j) det Aij λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο (n − 1) × (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον A διαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του. Οπτικοποίηση του (−1)(i+j) :
  23. 23. Συμπαράγοντες Ο αριθμός Cij = (−1)(i+j) det Aij λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο (n − 1) × (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον A διαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του. Οπτικοποίηση του (−1)(i+j) :   + − + ··· − + − · · ·   + − + · · · .   . . . .. . . . . . . .
  24. 24. Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στη γραμμή και έχουμε |A| = ai,1 Ci,1 + ai,2 Ci,2 + . . . + ai,n Ci,n
  25. 25. Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στη γραμμή και έχουμε |A| = ai,1 Ci,1 + ai,2 Ci,2 + . . . + ai,n Ci,n Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.
  26. 26. Παράδειγμα   2 3 −4 A = 0 −4 2  1 −1 5
  27. 27. Παράδειγμα   2 3 −4 2 −4 A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det 1 5 1 −1 5
  28. 28. Παράδειγμα   2 3 −4 2 −4 A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det 1 5 1 −1 5 C23 = − det 2 3 1 −1
  29. 29. Παράδειγμα   2 3 −4 2 −4 A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det 1 5 1 −1 5 C22 = 2 · 5 − (−4) · 1 = 14 C23 = − det C23 = −(2 · (−1) − 3 · 1) = 5 2 3 1 −1
  30. 30. Παράδειγμα   2 3 −4 2 −4 A = 0 −4 2  =⇒ C22 = + det 1 5 1 −1 5 C22 = 2 · 5 − (−4) · 1 = 14 C23 = − det 2 3 1 −1 C23 = −(2 · (−1) − 3 · 1) = 5 det A = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
  31. 31. Υπολογισμός του A−1 Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
  32. 32. Υπολογισμός του A−1 Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A| A−1 = Asymp |A|

×