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Geometria 4º ano

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Geometria 4º ano

  1. 1. Do grego «terra», elemento de formação de palavras que exprime a ideia de Terra. Suf. nom. de origem grega que exprime a ideia de medição, medida (calorimetria, volumetria). GEOMETRIA É um ramo da Matemática que estuda as propriedades e as dimensões das linhas, das superfícies e dos volumes, no plano e no espaço.
  2. 2. O elemento mais “pequeno” que se estuda em Geometria, sendo considerado a mais pequena unidade gráfica.
  3. 3. PONTO, RETA e PLANO: Vós já tendes uma ideia intuitiva (clara) sobre ponto, reta e plano, pois: Um furo de agulha num papel dá ideia de ponto.  Uma corda bem esticada dá ideia de reta. O quadro negro da sala de aula dá ideia de plano. O ponto, a reta e o plano são Conceitos primitivos no estudo da Geometria. A reta ponto r  plano
  4. 4. PONTO, RETA e PLANO: A reta ponto r  plano Conforme verificaste , o ponto, a reta e o plano são identificados de modos diferentes. PONTO é identificado com letras maiúsculas do nosso alfabeto A, B, C,......  RETA é identificada com letras minúsculas do nosso alfabeto a, b, c,......  PLANO é identificado com letras gregas minúsculas  ,  , ,..... 
  5. 5. Apesar de, habitualmente, se marcar um ponto fazendo pressão sobre o papel com o bico do lápis ou caneta, em Geometria, o ponto é definido pelo cruzamento de duas linhas, sejam elas curvas ou retas. Os pontos devem identificar-se com letras MAIÚSCULAS.
  6. 6. As linhas são o prolongamento de um ponto É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um movimento. Numa reta há infinitos pontos. r r Num plano há infinitos pontos.  
  7. 7. Num plano existem infinitas retas. r m s n t Por dois pontos distintos passa uma única reta. Num plano há infinitos pontos A Indicaremos AB pontos A e B. B r por uma reta que passa pelos
  8. 8. PONTOS COLINEARES: Os pontos alinhados, pertencentes a uma mesma reta são chamados Colineares. A B C Os pontos A, B e C são pontos alinhados - são colineares S R T Os pontos R, S e T são pontos não alinhados - não são colineares
  9. 9. PONTOS EQUIDISTANTES Os pontos que estão à mesma distância de um dado ponto chamam-se pontos equidistantes. Assim, na imagem: -Os pontos 3 e 4 estão à mesma distância do ponto 2 - são pontos equidistantes do ponto 2. - os pontos M e N estão à mesma distância do ponto 4 – são pontos equidistantes do ponto 4.
  10. 10. COORDENADAS As coordenadas formam o par ordenado (x,y). As coordenadas do ponto A são (C,20). As coordenadas do ponto B são (G,20). As coordenadas do ponto C são (F,50). A B C D E F G H I Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.
  11. 11. COORDENADAS Coordenadas Cartesianas Os números do par ordenado são chamados coordenadas cartesianas. Plano Cartesiano Representamos um par ordenado num plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si. A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
  12. 12. COORDENADAS
  13. 13. As linhas são o prolongamento de um ponto É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um movimento. Quebradas As linhas podem ser : Curvas Mistas Retas
  14. 14. Vamos aprender ou recordar o que define uma: RETA - não tem princípio nem fim e identifica-se com uma letra minúscula sobre a linha. SEMI-RETA - com princípio e sem fim e identifica-se com uma letra MAIÚSCULA no início. SEGMENTO DE RETA - com princípio e fim ( pode-se medir ) e identifica-se, no princípio e no fim, com letras MAIÚSCULAS.
  15. 15. Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua posição: HORIZONTAL quando se alinha pelo horizonte. OBLÍQUA quando não está na posição vertical ou horizontal, quando dá a sensação de inclinação. VERTICAL quando toma a posição do prumo”. “fio-de-
  16. 16. Linha do horizonte
  17. 17. FIO-DE-PRUMO Utensílio de metal pesado, geralmente de forma cónica, suspenso por um fio, destinado a verificar a verticalidade de qualquer objeto, e de forma geral, a direção da vertical do lugar. 90º 90º
  18. 18. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Retas concorrentes: quando têm um único ponto comum. r A r  s  A s Retas paralelas: quando não têm ponto comum. rs  r s
  19. 19. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO SEMI – RETA: Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas partes denominadas semi-retas de origem semi-reta semi-reta r P Para distinguir as semi–retas, vamos marcar os pontos A e B pertencentes a cada semi-reta. r PA  PB  P B A Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B
  20. 20. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO SEGMENTO DE RETA: Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades A B Indica-se o segmento AB por AB NOTA: Entre as extremidades de um segmento há infinitos pontos.
  21. 21. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO SEGMENTOS CONSECUTIVOS: Dois segmentos de reta que extremidade comum são consecutivos C A AB AC e BC São consecutivos B têm uma chamados
  22. 22. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO SEGMENTOS COLINEARES: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa reta A B AB e CD P QR PQ e QR D C são colineares Q R são colineares e (consecutivos)
  23. 23. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO SEGMENTOS CONGRUENTES: Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas iguais. A 4 cm AB  CD B C 4 cm D AB é congruente a CD PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO: Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AB se M está entre A e B e AM  MB A M B
  24. 24. Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua situação em relação umas às outras: PARALELAS CONCORRENTES PERPENDICULARES São aquelas que por muito se prolonguem, nunca se encontram, mantendo sempre a mesma distância entre si. São aquelas que se cruzam num ponto, formando ângulos entre si. São concorrentes e formam entre si ângulos retos, com 90º. 90º
  25. 25. 90º
  26. 26. ÂNGULO é uma região de um plano limitada por duas semi-retas ( lados do ângulo) com a origem no mesmo ponto (vértice do ângulo). O é o vértice do ângulo As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo
  27. 27. ÂNGULO Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AOB ou BOA (Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio
  28. 28. Bissetriz Semi-reta
  29. 29. ÂNGULO
  30. 30. Ângulos formados entre retas t d a c r b h e g f s
  31. 31. A “ferramenta” que utilizamos para medir (saber o valor em graus) de um ângulo, chama-se TRANSFERIDOR. 120º 135º 150º 180º 90º 60º 45º 30º 0º
  32. 32. Medida de um ângulo A medida de um ângulo é dada pela medida da sua abertura (amplitude) e a unidade padrão utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número.
  33. 33. Ângulo Raso Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta. BAC é um ângulo raso ou de meia-volta Ângulo Raso: Ângulo que mede exatamente 180
  34. 34. Ângulo Nulo Quando duas semi-retas coincidem, obtemos um ângulo nulo, ou seja um ângulo de amplitude 0º. ângulo nulo
  35. 35. Ângulo Giro Ângulo giro é um ângulo que mede 360 ângulo giro
  36. 36. Ângulo Adjacentes Ângulos adjacentes são ângulos que têm um vértice e um lado em comum e não se sobrepõem. <AOB e <BOC têm o lado B em comum. <AOC e <BOC têm o lado C em comum.
  37. 37. Ângulo Geometricamente Iguais Dois ângulos dizem-se geometricamente iguais, ou congruentes, quando sobrepostos coincidem um com o outro, ponto por ponto; ou seja, quando tem a mesma amplitude. Na figura em acima, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
  38. 38. Ângulo Geometricamente Iguais Dois ângulos que tenham a mesma abertura dizem-se geometricamente iguais. Quer dizer que têm a mesma amplitude.
  39. 39. Ângulo Geometricamente Iguais
  40. 40. Ângulo Complementares e Suplementares Dois ângulos são complementares quando a soma das medidas dos dois ângulos é 90º . Dois ângulos são suplementares quando a soma das medidas dos dois ângulos é 180°.
  41. 41. ÂNGULO é o espaço compreendido entre duas retas concorrentes, sendo o GRAU ( º ) a unidade de medida da amplitude dos ângulos. ÂNGULO RETO quando as linhas formam entre si um ângulo de 90º. 90º ÂNGULO AGUDO quando formam entre si ângulos inferiores a 90º. ÂNGULO OBTUSO quando formam entre si ângulos superiores a 90º. <90º >90º
  42. 42. Procurar linhas rectas e paralelas ... Procurar linhas retas perpendiculares... Vamos agora rever o que aprendemos! Procurar algumas linhas rectas ... Tentar encontrar ... Esta é ........ HORIZONTAL!
  43. 43. Procurar algumas linhas curvas...
  44. 44. Figuras no plano Figuras geométricas
  45. 45. Figuras no plano Figuras geométricas Polígono - figura plana limitada só por segmentos de reta, chamados lados dos polígonos onde cada segmento de reta, interseta exatamente dois outros extremos; -se os lados forem todos iguais e os ângulos internos também, o polígono diz-se regular.
  46. 46. Figuras no plano Figuras geométricas
  47. 47. Figuras no plano Figuras geométricas
  48. 48. Figuras no plano Figuras geométricas Polígonos Regulares Polígonos com lados e ângulos todos iguais
  49. 49. Figuras no plano Figuras geométricas Polígonos Regulares Polígonos com lados e ângulos todos iguais
  50. 50. Figuras no plano Figuras geométricas Polígonos Irregulares Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.
  51. 51. Figuras no plano Figuras geométricas Polígonos Irregulares Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.
  52. 52. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Triângulo é uma figura plana limitada por três segmentos de reta (os lados) Existem três tipos de triângulos considerando as medidas de seus lados: Equilátero: quando todos os lados são iguais. Isósceles: quando dois lados e só 2 são iguais. Escaleno: quando todos os lados são diferentes.
  53. 53. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos
  54. 54. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Os triângulos também são classificados de acordo com seus ângulos internos: Triângulo retângulo: quando possui um ângulo igual a 90º e 2 agudos – a sua soma é de 180º. Obtusângulo: quando possui um ângulo maior que 90º - 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos. Acutângulo: quando possui ângulos menores que 90º- tem 3 ângulos agudos.
  55. 55. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos
  56. 56. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Amplitude de ângulos de triângulos A ângulo CBA mede 40º. Lados diferentes e um ângulo reto. Triângulo escaleno Retângulo
  57. 57. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Amplitude de ângulos de triângulos Cada um dos 3 ângulos mede 60º. 3 lados e 3 ângulos iguais e agudos (congruentes). Triângulo equilátero Acutângulo
  58. 58. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Amplitude de ângulos de triângulos Os ângulos medem: 65º, 70º e 45º. Os ângulos são todos agudos. Lados e ângulos diferentes Triângulo escaleno Acutângulo
  59. 59. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Amplitude de ângulos de triângulos O ângulo CBA mede 65º. Tem dois lados congruentes. Os ângulos são todos agudos. Triângulo isósceles Acutângulo
  60. 60. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Amplitude de ângulos de triângulos O ângulo CBA mede 90º. Tem dois lados iguais (congruentes). Tem um ângulo reto. Triângulo isósceles Retângulo
  61. 61. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Amplitude de ângulos de triângulos O ângulo a mede 95º. Tem lados diferentes. Tem 2 ângulos agudos e 1 obtuso. Tem um ângulo obtuso Triângulo escaleno Obtusângulo
  62. 62. Figuras no plano - Figuras geométricas Triângulos Amplitude de ângulos de triângulos O ângulo b mede 110º. Tem 2 lados iguais /congruentes. Tem 1 ângulo obtuso. Tem um ângulo obtuso Triângulo isósceles Obtusângulo
  63. 63. Figuras no plano - Figuras geométricas Quadriláteros Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
  64. 64. Figuras no plano - Figuras geométricas Quadriláteros Quadrilátero é um polígono de quatro lados. Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos; Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos; Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados consecutivos perpendiculares (ou com 4 ângulos retos); Losango: Quadrilátero com todos os lados iguais; Quadrado: Retângulo com lados iguais (Podemos também dizer que é um losango com os lados consecutivos perpendiculares).
  65. 65. Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros Quadrilátero é um polígono de quatro lados. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. Um quadrilátero diz-se regular se tem todos os lados e ângulos iguais. Um quadrilátero tem: •4 lados - [AB] , [BC] , [CD] , [DA] ; •4 vértices - A , B , C , D ; •4 ângulos - CBA , DCB , ADC , BAD; •[AC] e [BD] são as diagonais
  66. 66. Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros Os Quadriláteros são classificados em: Paralelogramas: Se todos os lados opostos forem iguais paralelos, trata-se de um Paralelogramo. Características de um paralelograma: A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°; As diagonais cortam-se no ponto médio; Os lados opostos são congruentes; Os ângulos opostos são congruentes. e
  67. 67. Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros Os Quadriláteros são classificados em: Tipos de Paralelogramas: Paralelogramo Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si; Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si; Losango: Todos os lados são iguais entre si; Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. As diagonais cruzam-se no ponto médio.
  68. 68. Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros Os Quadriláteros são classificados em: Trapézios:
  69. 69. Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros Pentágonos Pentágono é um polígono de cinco lados. A soma dos ângulos de um pentágono é de 540 graus. Pentágono irregular
  70. 70. Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros Hexágonos Hexágono é um polígono de seis lados. A soma dos ângulos de um hexágono é de 720 graus. hexágono regular hexágono irregular
  71. 71. Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros Heptágonos Heptágono é um polígono de sete lados. A soma dos ângulos de um heptágono é 900 graus. heptágono regular
  72. 72. Circunferência e Círculo Circunferência Uma circunferência é o conjunto de pontos que estão todos à mesma distância de um ponto nele fixado chamado centro O centro não pertence à circunferência. Circunferência é uma linha curva fechada, cujos pontos se encontram todos à mesma distância do centro.
  73. 73. Circunferência e Círculo Círculo Um círculo é uma figura plana formada por uma circunferência e por todos os pontos que pertencem à sua parte interna. O centro pertence ao círculo. Círculo é o espaço limitado pela circunferência.
  74. 74. Circunferência e Círculo Semi é o mesmo que metade! semicircunferência semicircunferência metade de uma circunferência. Semicírculo metade de um círculo.
  75. 75. Circunferência e Círculo diâmetro Diâmetro é um segmento de reta que liga dois pontos da passando pelo centro. circunferência
  76. 76. Circunferência e Círculo raio Raio é qualquer segmento de reta que liga qualquer ponto da circunferência ao seu centro. O raio mede metade do diâmetro.
  77. 77. Circunferência e Círculo corda Corda é qualquer segmento de reta que liga dois ponto da circunferência sem passar pelo seu centro.
  78. 78. Circunferência e Círculo circunferência
  79. 79. Cavaleiro/2014

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