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  1. 1. Capítulo 2Conceptos Básicos En este capítulo se revisan los conceptos y resultados básicos del cálculodiferencial. Su contenido no refleja la forma en que el autor piensa que debeenseñarse el Cálculo, sino más bien lo que éste cree que un profesor de Cálculodebería saber. Un curso de Cálculo para estudiantes que lo vean por primera vez requeriríade mucha más motivación, ejemplos y ejercicios. Además, el grado de formalidady rigor debería adaptarse al nivel y objetivos del curso. No debe olvidarse quela mayor parte del Cálculo se desarrolló antes de poseer definiciones formalesde los conceptos básicos (como los de número real y límite), y por lo tanto un omcurso para estudiantes interesados en aplicar el cálculo no necesita detenerse en .c a1los aspectos más sutiles de su fundamentación. ic at em Como se supone que el lector ya está más o menos familiarizado con estos at .Mtemas, las demostraciones que se incluyen son bastante concisas y esquemáticas. w wLos ejercicios, más que a desarrollar habilidades específicas, están destinados a wrefrescar la memoria del lector o a llamar la atención sobre puntos interesanteso delicados. Para una exposición más completa el lector puede consultar labibliografía, por ejemplo [2], [9] o [13].2.1. Los números reales Para el desarrollo riguroso del cálculo son imprescindibles los números reales.Pero hasta la segunda mitad del siglo XIX no hubo una definición formal niun tratamiento riguroso de los números reales, de modo que se puede decirque los creadores del cálculo y los matemáticos que lo desarrollaron en susprimeros dos siglos, lo hicieron a pesar de poseer tan sólo una comprensiónintuitiva de los números reales. Esta noción intuitiva asimilaba un número real ala medida de una magnitud (longitud, área, tiempo, etc.) e incluía la posibilidadde aproximarlo con cualquier grado de precisión mediante fracciones, o medianteexpresiones decimales finitas. También se aceptaba que, fijados un origen O y unpunto A en una recta, a cada punto B de la recta se le puede hacer corresponder
  2. 2. 12 Conceptos Básicosun número real igual a la medida del segmento OB respecto a la unidad OA,y que recíprocamente para cada número real x existe un único punto B en larecta tal que la medida del segmento OB respecto a la unidad OA es x. En la enseñanza media los números reales se definen como expresiones deci-males infinitas g, a1 a2 a3 . . ., donde g es un número entero (posiblemente prece-dido de un signo + ó −) y a1 , a2 , a3 , . . . son dígitos. Las expresiones decimalesfinitas pueden identificarse con expresiones decimales infinitas agregándoles in-finitos ceros a la derecha. También se enseña que a cada número racional lecorresponde o bien una expresión decimal finita o bien una expresión decimalinfinita periódica, mientras que las expresiones decimales infinitas no periódicasson números irracionales. Este enfoque, aunque aceptable, presenta varios problemas, entre los cualesse pueden mencionar los siguientes: 1. Hace depender a los números reales del sistema decimal. Una buena defi- nición debería ser independiente de la base en que se representen. 2. Hay expresiones diferentes que corresponden al mismo número, por ejem- plo 1,5 = 1,4999 . . . 3. Definir las operaciones básicas (la suma, y especialmente el producto) con om expresiones decimales infinitas, presenta ciertas dificultades. .c a1 ic at 4. Tampoco es sencillo demostrar las propiedades básicas de las operaciones em (asociatividad, distributividad, etc.) at .M w wPor esas razones en la segunda mitad del siglo XIX varios matemáticos (entre wellos Cantor, Méray, Dedekind y Weierstrass) trabajaron para poner al núme-ro real sobre bases más sólidas, proponiendo diversas formas de construirlos apartir de los racionales. Entre los métodos propuestos se pueden mencionar lascortaduras de Dedekind, los pares de clases contiguas, los pares de sucesionesmonótonas contiguas y las sucesiones de Cauchy. Veamos brevemente el método de las cortaduras (para más detalles vea [8]).Una cortadura es un par (I, S) de subconjuntos no vacíos del conjunto Q de losnúmeros racionales, tales que 1. I ∪ S = Q, I ∩ S = ∅. 2. si x ∈ I y y ∈ S, entonces x < y. 3. I no tiene elemento máximo.Al conjunto I se le llama clase inferior y al S clase superior de la cortadura.Observe que la clase inferior I determina completamente la cortadura, ya quela clase superior S es el complement6o de I en Q. Para cada número racional q se puede construir una cortadura (Iq , Sq ) po-niendo Iq = {x ∈ Q : x < q}, Sq = {x ∈ Q : x ≥ q}. Observe que en estacortadura q es el mínimo de la clase superior.
  3. 3. 2.1 Los números reales 13 Un ejemplo más interesante es el siguiente: I = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2},S = {x ∈ Q : x > 0y x2 ≥ 2}. En esta cortadura, ni la clase inferior tiene máxi- √mo ni la clase superior tiene mínimo. Si supiéramos qué cosa es 2, podríamosdecir que la clase inferior contiene todas las aproximaciones por defecto de esenúmero, y la clase superior todas√ aproximaciones por exceso. La idea de De- lasdekind fue sencillamente definir 2 mediante esa cortadura. En otras palabras,para Dedekind un número real es una cortadura. El conjunto de todos los números reales se denota R. En R es muy fácil definirun orden: si α = (I, S) y α′ = (I ′ , S ′ ) son números reales, se dice que α ≤ α′si I ⊆ I ′ . Es inmediato verificar que ≤ es una relación reflexiva, transitiva yantisimétrica. La suma α + α′ es la cortadura cuya clase inferior es I + I ′ = {x + x′ : x ∈I, x′ ∈ I ′ }. Es inmediato probar que la adición es conmutativa y asociativa, yque el cero (definido por la cortadura con clase inferior {x ∈ Q : x < 0}) es unelemento neutro para esta operación. También se puede definir el producto y probar las leyes asociativa, conmu-tativa y distributiva. Lamentablemente para analizar en detalle cualquiera de las construcciones delos números reales se requiere un tiempo del que generalmente no se dispone enlos cursos de cálculo. Además exige un esfuerzo que tal vez sólo se les puede pedir oma los estudiantes matemáticamente orientados. La alternativa más corriente hoy .c a1en día consiste en introducir los números reales axiomáticamente. La ventaja ic atde este método, además de la rapidez, es que el estudiante dispone de entrada em atde una lista de propiedades básicas de los números reales, que puede usar como .Mpunto de partida para demostrar otras. w w wAxiomas del sistema de los números reales En el enfoque axiomático se supone dado un conjunto R que contiene doselementos distinguidos 0 y 1, en el cual están definidas dos operaciones binarias+ y · (suma y producto) y una relación <, de manera tal que se cumplen lossiguientes axiomas: A1. a + (b + c) = (a + b) + c para todos los a, b, c ∈ R. A2. a + b = b + a para todos los a, b ∈ R. A3. a + 0 = a para todo a ∈ R. A4. Para todo a ∈ R existe −a ∈ R tal que a + (−a) = 0. A5. a · (b · c) = (a · b) · c para todos los a, b, c ∈ R. A6. a · b = b · a para todos los a, b ∈ R. A7. a · 1 = a para todo a ∈ R. A8. Para todo a ∈ R {0} existe un a−1 ∈ R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.
  4. 4. 14 Conceptos Básicos A9. 1 = 0.A10. a · (b + c) = a · b + a · c para todos los a, b, c ∈ R.A11. Para a, b, c ∈ R, si a < b y b < c entonces a < c.A12. Si a, b ∈ R, una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta: (i) a < b, (ii) a = b, (iii) b < a.A13. Para a, b, c ∈ R, si a < b entonces a + c < b + c.A14. Para a, b, c ∈ R, si a < b y 0 < c entonces a · c < b · c.A15. Cualquier subconjunto de R no vacío y acotado superiormente tiene una cota superior mínima. La mayoría de estos axiomas corresponden a conocidas propiedades: A1 yA2 son las propiedades asociativa y conmutativa de la suma, A3 dice que el 0es neutro para la suma, A4 afirma la existencia de un opuesto aditivo para cadaa ∈ R, A5 y A6 son las propiedades asociativa y conmutativa para el producto,A7 dice que 1 es neutro para el producto, A8 afirma la existencia de un inversomultiplicativo para cada a = 0, A10 es la propiedad distributiva, A11 es la mo .ctransitividad de <, A12 es la tricotomía, A13 y A14 son la monotonía de < a1 icrespecto a la suma y el producto, y A15 es el axioma de completitud, también at emllamado principio del supremo. at .M Los axiomas A1...A10 caracterizan la estructura algebraica llamada cuerpo. w wA11 y A12 son los axiomas de una relación de orden. A13 y A14 relacionan wel orden con la estructura algebraica. Los axiomas A1...A14 caracterizan a losllamados cuerpos ordenados. Si se pone el cuerpo Q de los números racionalesen lugar de R en los axiomas A1...A14, todos se satisfacen. El axioma A15 encambio es característico de los números reales, y enseguida lo trataremos conmayor detenimiento. El enfoque axiomático plantea varias preguntas importantes, entre las cualescabe destacar: (1) ¿Existe algún conjunto R con las propiedades especificadaspor los axiomas? (2) Admitiendo que exista, ¿es esencialmente único? (3) ¿Losaxiomas son consistentes?, es decir, ¿no podrá derivarse de ellos alguna contra-dicción? La respuesta a la primer pregunta es que, a partir del sistema de los númerosnaturales o de la teoría de conjuntos, se pueden construir modelos de R quesatisfacen todos los axiomas. Esto da una respuesta parcial a la tercera pregunta,ya que reduce la consistencia del sistema de los números reales a la consistenciade la aritmética, o de la teoría de conjuntos. Y decimos que la respuesta esparcial porque estas dos últimas teorías no se sabe si son consistentes. La respuesta a la segunda pregunta es que estos axiomas realmente caracte-rizan a los números reales, en el sentido de que cualquier par de sistemas que lossatisfagan son isomorfos, tanto algebraicamente como desde el punto de vistadel orden.
  5. 5. 2.1 Los números reales 15 √ √ √Ejercicio 2.1. Sea Q( 2) = {a + b 2 : a, b ∈ Q}. Pruebe que poniendo Q( 2)en lugar de R en los axiomas A1...A14, todos ellos se satisfacen. Recordemos ahora algunas definiciones:Definición 2.1. Un número real c es cota superior de un conjunto A ⊂ R, sipara todo a ∈ A se cumple a ≤ c. En este caso se dice que A está acotadosuperiormente. Un número real M es máximo de A ⊂ R, si M es cota superiorde A y además M ∈ R. Análogamente d ∈ R es cota inferior de A si para todoa ∈ A se cumple d ≤ a (en este caso se dice que A está acotado inferiormente) ym ∈ R es mínimo de A, si m es cota inferior de A y además m ∈ R. Un conjuntoes acotado si lo está tanto superior como inferiormente. Si el conjunto de las cotassuperiores de un conjunto A tiene mínimo, a ese mínimo se le llama supremo oextremo superior de A y se denota sup A. Análogamente, si el conjunto de lascotas inferiores de A tiene máximo, a ese máximo se le llama ínfimo o extremoinferior de A, y se denota ´ A. ınf Es claro que el máximo y el mínimo de un conjunto, si existen, son únicos.Ejemplo 2.1. Sea R+ = {x ∈ R : x > 0} la semirecta real positiva. R+ notiene ninguna cota superior, pero cualquier número real c ≤ 0 es cota inferior. m oEl 0 es la mayor cota inferior, por lo tanto 0 es el ínfimo de R+ . Como 0 ∈ R+ , .c a1R+ no tiene mínimo. ic at em √ atEjemplo 2.2. Sea X = {−3, −1, 0, 2, 2, π}. Entonces −5 es cota inferior, 5 es .M wcota superior, -3 es mínimo y π es máximo de X. w wEjercicio 2.2. Pruebe que c = sup A si y sólo si c es cota superior de A y, paratodo b < c, existe a ∈ A tal que b < a ≤ c. Enuncie y pruebe una condiciónsimilar para los ínfimos. El axioma A15 se puede enunciar de la siguiente manera.Principio del supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente denúmeros reales tiene supremo. En el conjunto Q de los números racionales el Principio del supremo novale. Por ejemplo, el conjunto A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2} es acotadosuperiormente por 3/2 (ya que si x ≥ 3/2 entonces x2 ≥ 9/4 > 2 y x ∈ A), perono tiene supremo en Q. Para probarlo, comencemos por recordar la conocida demostración de que2 no es el cuadrado de ningún número racional. Supongamos, por absurdo, queexistiese un número racional cuyo cuadrado sea 2, y expresémoslo mediante unafracción irreducible p/q. Entonces (p/q)2 = 2, de donde p2 = 2q 2 y p2 seríapar. Pero entonces p debe ser par y lo podemos escribir como p = 2r, paraalgún entero r. Como (2r)2 = 2q 2 , es decir 4r2 = 2q 2 , se sigue que 2r2 = q 2 , yresulta que q también debería ser par, contradiciendo el hecho de que p/q erauna fracción irreducible.
  6. 6. 16 Conceptos Básicos En segundo lugar probaremos que para todo x ∈ A existe otro x′ ∈ A talque x′ > x. En efecto, si x < 1 basta tomar x′ = 1. Si x ≥ 1, sea h = (2 − x2 )/4.Como 1 ≤ x2 < 2 se tiene 0 < h ≤ 1/4. Entonces (x + h)2 = x2 + (2x + h)h <x2 + (3 + 1/4)h < x2 + 4h = 2. Es decir que si tomamos x′ = x + h se tienex′ ∈ A y x′ > x. También se cumple que, si y > 0 y y 2 > 2, entonces existe y ′ tal que 0 <y ′ < y y y 2 > 2. En efecto, si ponemos x = 2/y se tiene x2 = 4/y 2 < 4/2 = 2,y entonces como acabamos de ver existe x′ ∈ A tal que x′ > x. Si tomamosy ′ = 2/x′ entonces y ′ = 2/x′ < 2/x = y y y ′2 = 4/x′2 > 4/2 = 2. Ahora es fácil probar que A no tiene supremo en Q. En efecto, si c < 0 óc > 0 y c2 < 2, entonces c ∈ A, y como vimos existe un c′ ∈ A tal que c′ > c,por lo tanto c no puede ser cota superior de A. Si c > 0 y c2 > 2, entonces ciertamente c es cota superior de A, pero comoexiste c′ tal que 0 < c′ < c y c′2 > 2, c no es cota superior mínima de A. El único caso que quedaría por examinar es cuando c > 0 y c2 = 2, pero esoya vimos que no es posible. En el conjunto de los números reales R, el conjunto A debe tener un supremoc > 0. Como ya sabemos que no puede ser c2 < 2 ni c2 √ 2, la única posibilidad >que queda es c2 = 2, y ese es el número que llamamos 2. m Por razones de simetría, existe también un o .c a1Principio del ínfimo: Todo conjunto no vacío y acotado inferiormente de ic at emnúmeros reales tiene ínfimo. at .M El Principio del ínfimo y el Principio del supremo son equivalentes (ver w wejercicios). wPrueba del Principio del Supremo Cuando los números reales se construyen a partir de los números raciona-les, el principio del Supremo puede y debe demostrarse. Usando cortaduras deDedekind es muy fácil: Si A ⊂ R es no vacío y acotado superiormente, y cadaa ∈ A es una cortadura (Ia , Sa ), entonces la cortadura cuya clase inferior es∪a∈A Ia es el supremo de A (la verificación es inmediata). Si los reales se definen como expresiones decimales infinitas, la prueba tam-bién es fácil pero más trabajosa. La haremos sólo para el caso en que A tengaalgún elemento no negativo, dejando el otro caso como ejercicio. Condideremos el conjunto A0 formado por las partes enteras de los elementosde A. Como A es acotado superiormente, A0 contiene sólo un número finitode elementos no negativos, y por lo tanto tiene un elemento máximo g ≥ 0.Condideremos ahora el conjunto A1 formado por todos los elementos de A quetienen parte entera g. Sea a1 el mayor dígito que aparezca como primer cifradecimal de algún elemento de A1 . Sea A2 el conjunto formado por todos loselementos de A1 que comienzan con g, a1 . Sea a2 el mayor dígito que aparezcacomo segunda cifra decimal de algún elemento de A2 . Continuando de este modose obtiene un real g, a1 a2 . . . que es el supremo de A.
  7. 7. 2.1 Los números reales 17 Como ejemplo, sea A = {x ∈ Q : x < 0 ó x2 < 2}. Entonces A0 ={. . . , −2, −1, 0, 1} y g = 1. Ahora A1 = {1+x : x ∈ Q, 0 ≤ x < 1, (1+x)2 < 2}.Como 1, 42 = 1, 96 < 2 pero 1, 52 > 2, es claro que a1 = 4. Del mismo modo,como 1, 412 = 1, 9881 < 2 pero 1, 422 = 2, 0164 > 2, resulta a1 = 1. Prosiguien-do de esta manera se van obteniendo las cifras del supremo: 1, 4142 . . . (que por √supuesto es 2). Sean a, b ∈ R con a ≤ b. Llamaremos intervalo abierto con extremos a y b alconjunto (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.Análogamente se define el intervalo cerrado con extremos a y b como [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},y los intervalos semiabiertos (o semicerrados): [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} y(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. También consideraremos los intervalos no acotados abiertos (a, +∞) = {x ∈R : a < x} y (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, y los cerrados: [a, +∞) = {x ∈ R : a ≤x} y (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}. En general llamaremos intervalo a cualquierade los anteriores y al propio R. El interior de un intervalo I es el mayor intervalo mabierto contenido en él, y se denota I ◦ . Por ejemplo [a, b]◦ = [a, b)◦ = (a, b]◦ = o .c a1(a, b), [a, +∞)◦ = (a, +∞). ic at em Un subconjunto A de R se dice que es convexo si para cualquier par de at .Melementos a < b de A se cumple [a, b] ⊂ A. w w wEjercicio 2.3. Pruebe que los subconjuntos convexos de R son precisamentelos intervalos. Si a ∈ R y δ > 0, se llamará entorno abierto de centro a y radio δ al intervaloUa (δ) = (a − δ, a + δ). Aunque el término entorno se utiliza a veces en un sentidomás general, en estas notas se entenderá siempre por entorno de a un entornoabierto de centro a. Llamaremos semientorno derecho (resp. izquierdo) de a aun intervalo de la forma [a, a + δ) (resp. (a − δ, a]). Se llamará entorno reducido abierto de centro a y radio δ al conjunto Ua (δ) = ∗Ua (δ) {a} = (a− δ, a)∪(a, a+ δ), que se obtiene de Ua (δ) suprimiendo al propioa. Análogamente, se llama semientorno reducido derecho (resp. izquierdo) de aa un intercalo de la forma (a, a + δ) (resp. (a − δ, a)).Ejercicio 2.4. Si A ⊂ R llamemos −A al conjunto {−x : x ∈ A}. (a) Pruebeque c ∈ R es cota superior de A si y sólo si −c es cota inferior de −A. (b) Pruebeque c = sup A si y sólo si −c = ´ −A. ınfEjercicio 2.5. Demuestre el Principio del ínfimo a partir del Principio delsupremo, y viceversa.Ejercicio 2.6. Si A, B ⊂ R son acotados superiormente, entonces sup(A+B) =sup A + sup B.
  8. 8. 18 Conceptos Básicos2.2. Funciones El concepto de función se fue clarificando durante el siglo XIX, a través de lostrabajos de Cauchy, Dirichlet, Fourier y Weierstrass, entre otros, hasta que ensu forma moderna y general (función como correspondencia arbitraria) apareceexplícitamente a comienzos del siglo XX en el Cours d’analyse mathématique deGoursat. Si A y B son dos conjuntos, se define el producto cartesiano A × B de amboscomo el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a en A y b en B, esdecir A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.A × A se abrevia A2 , y por inducción se definen A3 = A2 × A, A4 = A3 × A,. . . ,An = An−1 × A. Una relación de A en B es un subconjunto de A × B. Las funciones son un tipo especial de relaciones. Más precisamente, unarelación f de A en B es una función si se cumple que, para cada a ∈ A, existeun único b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . O dicho de otra manera, si (a, b) ∈ f y(a, b′ ) ∈ f entonces b = b′ . Para indicar que f es una función de A en B seutiliza la notación f : A → B. Al conjunto A se le llama dominio de la funcióny a B codominio. Si (a, b) ∈ f entonces se escribe f (a) = b, y se dice que b es la omimagen de a por f . También se dice que a es una preimagen de b por f . Observe .c a1que cada elemento a ∈ A tiene exactamente una imagen por f , mientras que un ic atelemento b ∈ B puede tener una, ninguna o muchas preimágenes por f . em at Intuitivamente, una función de A en B no es más que una correspondencia .M wque a cada elemento a ∈ A le asocia un único elemento f (a) ∈ B. La definición w wque hemos presentado no es más que el resultado de un largo esfuerzo por tratarde formalizar el concepto intuitivo pero algo vago de correspondencia. Al conjunto f (A) = {f (x) : x ∈ A} se le llama recorrido de f ; en general esun subconjunto del codominio B. En el caso de que f (A) = B, se dice que fes sobreyectiva, o simplemente sobre. Esto equivale a decir que para cada b ∈ Bexiste algún a ∈ A tal que f (a) = b. f : A → B es inyectiva o uno a uno si las imágenes de elementos diferentesde A son diferentes, es decir si x = y implica f (x) = f (y). Si f es tanto inyectiva como sobreyectiva entonces se dice que es biyectiva.En este caso, el conjunto de pares ordenados {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f } estambién una función, que se denomina inversa de f y se denota f −1 .Ejercicio 2.7. Para cualquier conjunto A se define la función identidad IA :A → A como IA (x) = x para todo x ∈ A. Pruebe que IA es biyectiva.Ejercicio 2.8. Pruebe que si f : A → B es biyectiva, entonces el conjunto depares ordenados {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f } es también una función. En estas notas se consideran principalmente funciones del tipo f : I → R,cuyo dominio es un intervalo I de R (o una unión de intervalos) y cuyo codominioes R. Estas funciones se conocen como funciones reales de una variable real. A
  9. 9. 2.2 Funciones 19las funciones g : A → R donde A ⊂ Rn se les llama funciones reales de nvariables reales.Ejemplo 2.3. Si c ∈ R, a la función f : R → R definida mediante f (x) = cpara todo x ∈ R se le llama función constante.Ejemplo 2.4. Si a, b ∈ R, a la función g : R → R definida mediante g(x) =ax + b se le llama función lineal (o afín).Ejemplo 2.5. Si a, b, c ∈ R, a la función h : R → R definida mediante h(x) =ax2 +bx+c se le llama función cuadrática. Análogamente se definen las funcionespolinómicas de grado superior.Ejemplo 2.6. k : (0, +∞) → R definida mediante k(x) = log x es la funciónlogaritmo natural. En muchos textos se suele dar una expresión analítica, por ejemplo √ 1 − x2 , 2x − 1y se pide “hallar el dominio”. Estrictamente hablando esto no tiene mucho senti-do, pues para que una función esté bien definida, se debe especificar cuáles son msu dominio y su codominio. En realidad lo que se pretende en estos casos es que o .c a1se halle el subconjunto más grande posible de R en el cual la expresión dada ic atpermita definir una función. Por ejemplo la expresión anterior tiene sentido si em1 − x2 ≥ 0 y 2x − 1 = 0, es decir si |x| ≤ 1 y x = 1/2. Por lo tanto se puede at .Mdefinir una función f con dominio [−1, 1/2) ∪ (1/2, 1] y codominio R mediante w √ w wf (x) = 1 − x2 /(2x − 1).2.2.1. Operaciones con funciones Las funciones a valores reales pueden combinarse mediante operaciones arit-méticas para formar nuevas funciones. Así, si f es una función y c ∈ R unaconstante, se definen las funciones −f y cf (con el mismo dominio que f ) me-diante (−f )(x) = −f (x) y (cf )(x) = cf (x). Si f y g son funciones reales condominios Df y Dg , respectivamente, se definen f + g y f g en Df ∩ Dg mediante(f + g)(x) = f (x) + g(x) y (f g)(x) = f (x)g(x). También se puede definir f /gmediante (f /g)(x) = f (x)/g(x), en Df ∩ {x ∈ Dg : g(x) = 0}. Dadas dos funciones g : A → B y f : C → D, supongamos que g(A) ⊂ C.Entonces se puede definir la composición de f y g, denotada f ◦ g, mediante(f ◦ g)(x) = f (g(x)). Por ejemplo si f (x) = x2 + 3x − 1 y g(x) = 2x + 1, entonces(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2 + 3(2x + 1) − 1 = 4x2 + 10x + 3. La composición de funciones es asociativa, es decir que (f ◦ g)◦ h = f ◦ (g ◦ h).Ejercicio 2.9. Si f : A → B es biyectiva y f −1 es su inversa, pruebe quef −1 ◦ f = IdA y f ◦ f −1 = IdB .Ejercicio 2.10. Sea f : A → B. Pruebe que
  10. 10. 20 Conceptos Básicos 1. f es inyectiva si y sólo si existe g : B → A tal que g ◦ f = IdA . 2. f es sobreyectiva si y sólo si existe g : B → A tal que f ◦ g = IdB .2.2.2. Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones Las nociones de cota, máximo, mínimo, supremo e ínfimo que se definieronpara conjuntos de números reales en la sección 2.1 pueden trasladarse a funcionesf : I → R, aplicándolas al conjunto f (I). Por ejemplo: se dice que f es acotadasuperiormente si f (I) lo es, es decir si existe c ∈ R tal que f (x) ≤ c para todox ∈ I. Del mismo modo, se dice que f tiene máximo si f (I) lo tiene, o sea siexiste un real M tal que f (x) ≤ M para todo x ∈ I y M ∈ f (I). También sedice que f alcanza su máximo en a o que a es un punto máximo de f si f (a)es el máximo de f . Observe que el máximo de una función, si existe, es único.Expresiones análogas se usan para cotas inferiores y mínimos. Sea f : I → R y a ∈ I. Si existe un entorno V de a tal que f (x) ≤ f (a) paratodo x ∈ V ∩ I, entonces se dice que f (a) es un máximo local, y a es un puntomáximo local. Observe que una función puede tener varios máximos locales (también puede om .ctener sólo uno, o ninguno). a1 ic A los máximos locales algunos autores les llaman máximos relativos, y en- at emtonces al máximo le llaman máximo absoluto. at .M De manera análoga se define el concepto de mínimo local. A los máximos y w w wmínimos locales se les llama extremos locales (o relativos).Definición 2.2. Una función f : I → R se dice que esmonótona creciente si x ≤ y implica f (x) ≤ f (y), para todo x, y ∈ I,estrictamente creciente si x < y implica f (x) < f (y) para todo x, y ∈ I,monótona decreciente si x ≤ y implica f (x) ≥ f (y), para todo x, y ∈ I, yestrictamente decreciente si x < y implica f (x) > f (y) para todo x, y ∈ I. A las funciones monótonas crecientes o decrecientes se les llama conjunta-mente monótonas.Ejercicio 2.11. Si f : I → R no es monótona, pruebe que existen a < b < c enI tales que, o bien f (a) > f (b) < f (c), o bien f (a) < f (b) > f (c). En estas notas se usarán los términos creciente y decreciente como formasabreviadas de monótona creciente y monótona decreciente, respectivamente, pe-ro advertimos al lector que algunos autores utilizan estos términos como sinóni-mos de estrictamente creciente y estrictamente decreciente. Otros autores llamanno-decrecientes a las funciones monótonas crecientes, y entonces a las monóto-nas decrecientes les llaman no-crecientes, terminología desafortunada pues unafunción que no es creciente no tiene porqué ser no-creciente.
  11. 11. 2.3 Límites 212.3. Límites El concepto de límite es la noción fundamental del cálculo, en su formulaciónmoderna. Sea f una función real definida en un entorno reducido de c ∈ R.Informalmente se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a c es L, y seescribe l´ x→c f (x) = L, cuando la diferencia entre f (x) y L puede hacerse tan ımpequeña como se quiera, en valor absoluto, tomando x suficientemente próximoa c. Más formalmente:Definición 2.3 (Límites con entornos). Se dice que l´ x→c f (x) = L si, dado cualquier entorno U de L, existe un ımentorno reducido V ∗ de c tal que f (V ∗ ) ⊂ U . Recordando que UL (ǫ) = (L − ǫ, L + ǫ) y Uc (δ) = (c − δ, c + δ) {c}, la ∗definición anterior es equivalente a la siguiente:Definición 2.4 (Límites con desigualdades).Se dice que l´ x→c f (x) = L si, dado cualquier ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si ım0 < |x − c| < δ, entonces |f (x) − L| < ǫ. Observe que para la existencia de l´ x→c f (x) no hace falta que f esté defi- ım m conida en c, sino tan solo en un entorno reducido de c. . a1 ic atEjercicio 2.12. Si f : R → R es la función de valor constante k (es decir f (x) = m e atk para todo x ∈ R), pruebe que para cualquier c ∈ R se tiene l´ x→c f (x) = k. ım .M w w wEjercicio 2.13. g : R → R es la función identidad (es decir g(x) = x para todox ∈ R), pruebe que para cualquier c ∈ R es tiene l´ x→c g(x) = c. ımEjercicio 2.14. Si h : R → R se define mediante 1 si x ∈ Q, h(x) = 0 si x ∈ Q,pruebe que no existe l´ x→c h(x) para ningún c ∈ R. ım 1Ejercicio 2.15. Sea k(x) = sen x para x = 0. Pruebe que no existe l´ x→0 k(x). ımEjercicio 2.16. Si f (x) ≤ g(x) en un entorno reducido de c pruebe que, siambos límites existen, entonces l´ x→c f (x) ≤ l´ x→c g(x). ım ım2.3.1. Límites laterales e infinitos Si f está definida en un intervalo (c, b), se puede definir el límite de f cuandox tiende a c por la derecha sustituyendo en la definición 2.3 los entornos redu-cidos de c por semientornos reducidos de la forma (c, c + δ). O, en términos dedesigualdades,
  12. 12. 22 Conceptos BásicosDefinición 2.5. Se dice que el límite de f cuando x tiende a c por la derechaes L, y se escribe l´ x→c+ f (x) = L o l´ x↓c f (x) = L, si dado cualquier ǫ > 0 ım ımexiste un δ > 0 tal que, si c < x < c + δ, entonces |f (x) − L| < ǫ. Análogamente se dice que el límite de f cuando x tiende a c por la izquierdaes L, y se escribe l´ x→c− f (x) = L o bien l´ x↑c f (x) = L, si dado cualquier ım ımǫ > 0 existe un δ > 0 tal que, si c − δ < x < c, entonces |f (x) − L| < ǫ.Ejemplo 2.7. Si f : R → R es la función escalón 0 si x < 0, f (x) = 1 si x ≥ 0,entonces l´ x→0 f (x) no existe, pero l´ x→0− f (x) = 0 y l´ x→0+ f (x) = 1. ım ım ımEjercicio 2.17. La función parte entera o piso de x se denota ⌊x⌋ y se definecomo el mayor entero que es menor o igual a x. En otras palabras, ⌊x⌋ es elúnico entero tal que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. Estudie los límites laterales de f paracada c ∈ R.Ejercicio 2.18. Pruebe que l´ x→c f (x) existe si y sólo si l´ x→c+ f (x) y ım ıml´ x→c− f (x) existen y son iguales. ım mEjercicio 2.19. Si f : (a, b) → R es monótona creciente, pruebe que existen o .c a1l´ x→a+ f (x) (y es finito si f es acotada inferiormente) y l´ x→b− f (x) (y es fini- ım ım ic atto si f es acotada superiormente). Un resultado análogo vale para las funciones em atmonótonas decrecientes. .M w w w La definición de límite l´ x→c f (x) = L se puede extender al caso en que c, ımL o ambos sean infinitos, con o sin signo. Para ello llamaremos entorno de +∞a cualquier intervalo de la forma (H, +∞) = {x : x > H}, entorno de −∞ acualquier intervalo de la forma (−∞, H) = {x : x < H}, y entorno de ∞ a launión de intervalos (−∞, −H) ∪ (H, +∞) = {x : |x| > H}. Por ejemplo l´ x→c f (x) = +∞ si para cualquier intervalo (H, +∞) existe ımun entorno reducido V ∗ de c tal que, si x ∈ V ∗ entonces f (x) ∈ (H, +∞).Expresado con desigualdades esto equivale a: l´ x→c f (x) = +∞ si para cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si ım0 < |x − c| < δ, entonces f (x) > H. Análogamente l´ x→c f (x) = −∞ si dado cualquier H ∈ R existe δ > 0 tal ımque, si 0 < |x − c| < δ, entonces f (x) < H, y l´ x→c f (x) = ∞ (sin signo) ımsi dado cualquier H ∈ R existe δ > 0 tal que, si 0 < |x − c| < δ, entonces|f (x)| > H. Observe que l´ x→c f (x) = ∞ equivale a l´ x→c |f (x)| = +∞. ım ım Si f está definida en una semirecta (a, +∞), la definición de límite de f (x)cuando x tiende a +∞ queda así: l´ x→+∞ f (x) = L si dado cualquier ǫ > 0 ımexiste H ∈ R tal que, si x > H, entonces |f (x) − L| < ǫ.Ejercicio 2.20. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspon-dientes a l´ x→−∞ f (x) = L, l´ x→+∞ f (x) = +∞, l´ x→+∞ f (x) = −∞, ım ım ıml´ x→−∞ f (x) = +∞, l´ x→−∞ f (x) = −∞. ım ım
  13. 13. 2.3 Límites 23 De la misma manera se pueden definir límites laterales infinitos, por ejemplol´ x→c+ f (x) = +∞ si dado cualquier H ∈ R existe un δ > 0 tal que, si ım0 < x < c + δ, entonces f (x) > H.Ejercicio 2.21. Exprese mediante desigualdades las definiciones correspondien-tes a l´ x→c− f (x) = +∞, l´ x→c+ f (x) = −∞ y l´ x→c− f (x) = ∞. ım ım ımEjercicio 2.22. Sea f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 una funciónpolinómica de grado n > 0, con an > 0. Pruebe que l´ x→+∞ f (x) = +∞, y ımque +∞ si n es par, ım f (x) = l´ x→−∞ −∞ si n es impar.2.3.2. Operaciones con límites Los límites se comportan bien con respecto a las operaciones que se puedenrealizar con funciones, tales como suma, producto, composición, etc. Sin em-bargo, hay algunos detalles que hay que tomar en cuenta para no incurrir enerrores.Teorema 2.1. Dadas f : Uc → R y g : Ua → Uc , si l´ x→a g(x) = c y ∗ ∗ ∗ ım oml´ x→c f (x) = L, entonces l´ x→a f (g(x)) = L. ım ım .c a1 ic atDemostración. Dado un entorno W de L, como l´ x→c f (x) = L, existe un ım ementorno reducido Vc∗ ⊂ Uc tal que f (Vc∗ ) ⊂ W . Y como l´ x→a g(x) = c, existe ∗ ım at .Mun entorno reducido Va ⊂ Ua tal que g(Va ) ⊂ Vc , y más aún g(Va ⊂ Vc∗ . ∗ ∗ ∗ ∗ w w wEntonces (f ◦ g)(Va ) = f (g(Va )) ⊂ f (Vc ) ⊂ W . ∗ ∗ ∗Ejercicio 2.23. Sea f : R → R definida como f (x) = 1 si x = 0 y f (0) = 0,y sea g : R → R la función constante g(x) = 0. Entonces l´ x→0 g(x) = 0 y ıml´ x→0 f (x) = 1, pero l´ x→0 f (g(x)) = 0. ¿Contradice esto al Teorema 2.1? ım ımTeorema 2.2. Sean f y g funciones reales definidas en un entorno reducido dec. Si existen l´ x→c f (x) = K y l´ x→c g(x) = L, entonces ım ım l´ (f (x) + g(x)) ım = K + L, x→c l´ (f (x) − g(x)) ım = K − L, x→c l´ (f (x)g(x)) ım = KL. x→cSi además L = 0, entonces también f (x) K l´ ım = . x→c g(x) LY si K > 0, entonces l´ f (x)g(x) = K L . ım x→c
  14. 14. 24 Conceptos Básicos La prueba de este teorema es estándar y puede hallarse en cualquier texto. Si uno o ambos de los límites de f y g son infinitos, en algunos casos sepueden deducir los límites de las operaciones entre f y g, pero en otros casosno se puede. Por ejemplo: Si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es finito o +∞, entonces l´ x→c (f (x) + ım ım ımg(x)) = +∞. Un resultado análogo se tiene si se cambia +∞ por −∞. Sin embargo, si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) = −∞, no se puede afirmar ım ımnada a priori sobre l´ x→c (f (x) + g(x)). Esto se expresa a veces diciendo que ım∞ − ∞ es una “forma indeterminada”. Esto sólo significa que el límite no quedadeterminado por los límites de las funciones coomponentes f y g. Pero es unaexpresión poco afortunada, ya que lleva a muchos alumnos a pensar que unlímite de este tipo “no se puede determinar”, y por lo tanto no se puede hacernada con él. Es preciso enfatizar que lo indeterminado es la forma en general,pero no cada límite en particular. En realidad puede ocurrir que el límite de lasuma no exista, o que exista y sea finito, o que exista y sea infinito. Pero paraaveriguar cuál es el caso hace falta un análisis más profundo.Ejemplo 2.8. Si en R definimos f (x) = x, g1 (x) = −x, g2 (x) = −2x y g3 (x) =−⌊x⌋, entonces l´ x→+∞ f (x) = +∞ y l´ x→+∞ g1 (x) = l´ x→+∞ g2 (x) = ım ım ıml´ x→+∞ g3 (x) = −∞, y se tiene que ım l´ x→+∞ (f (x) + g1 (x) = 0, ım om .c l´ x→+∞ (f (x) + g2 (x) = −∞, ım a1 ic mientras que l´ x→+∞ (f (x) + g3 (x)) no existe. ım at em at Si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es finito y positivo o +∞, entonces ım ım .M wl´ x→c f (x)g(x) = +∞. Análogamente si l´ x→c f (x) = −∞ y l´ x→c g(x) es ım ım ım w wfinito y positivo o +∞, entonces l´ x→c f (x)g(x) = −∞. ım En general se puede decir que si el límite de una función es +∞ o −∞ y elde la otra es +∞, −∞ o un real distinto de 0, entonces el límite del productoes +∞ o −∞, y el signo se determina mediante la regla usual de los signos. En cambio si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) = 0, no se puede afirmar ım ımnada a priori sobre l´ x→c f (x)g(x). Esto se expresa diciendo que ∞ · 0 es una ım“forma indeterminada”, expresión para la cual valen los mismos comentarios quehicimos para ∞ − ∞. Y como en el caso de la suma, aquí también puede ocurrirque el límite del producto no exista, o que exista y sea finito, o que exista y seainfinito, siendo necesario un análisis más profundo para averiguar qué es lo queen realidad ocurre.Ejercicio 2.24. Proporcione ejemplos de cada una de las tres posibilidadesdescriptas para la forma ∞ · 0. Para el cociente, si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es finito y positi- ım ımvo, entonces l´ x→c f (x)/g(x) = +∞. Si en cambio l´ x→c f (x) es finito y ım ıml´ x→c g(x) = ∞ (con o sin signo), entonces l´ x→c f (x)/g(x) = 0. ım ım Si tanto f como g tienen límites infinitos, o si ambas tienen límite 0, no sepuede afirmar nada a priori sobre l´ x→c f (x)/g(x). Es decir que se tienen dos ım“indeterminaciones” más: ∞/∞ y 0/0.
  15. 15. 2.3 Límites 25Ejercicio 2.25. Proporcione ejemplos de la forma ∞/∞ y 0/0 para los cualesel límite a) no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito. Un resultado sencillo pero muy útil es el siguiente:Teorema 2.3 (Teorema del sándwich). Si f , g y h son funciones definidas enun entorno reducido V de c tales que g(x) esté siempre comprendido entre f (x)y h(x) (es decir, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) o h(x) ≤ g(x) ≤ f (x) para todo x ∈ V ), ysi l´ x→c f (x) = l´ x→c h(x) = L, entonces l´ x→c g(x) existe y es igual a L. ım ım ımDemostración. Dado un entorno de L existen entornos reducidos V1∗ y V2∗ de ctales que f (V1∗ ) ⊂ U y h(V2∗ ) ⊂ U . Si tomamos V ∗ = V1∗ ∩ V2∗ entonces, paracualquier x ∈ V ∗ , se tiene que tanto f (x) como h(x) están en U , por lo tantotodo el intervalo de extremos f (x) y h(x) está contenido en U , y en particularg(x) ∈ U . m o .c a1 ic at em at .M w w w Figura 2.1: Límite de (sen x)/x.Ejemplo 2.9. Para calcular l´ x→0 sen x/x consideremos un círculo de centro ımO y radio OA = 1. Sea B otro punto de la circunferencia. Si el ángulo ∠AOB se ⌢mide en radianes, entonces su medida x es igual a la longitud del arco AB. Elsegmento de perpendicular desde B al radio OA mide sen x, y el segmento ADde la tangente a la circunferencia en A, comprendido entre A y la recta OB,mide tg x. Como el triángulo OAB está contenido en el sector circular OABy éste en el triángulo OAD, comparando sus áreas se obtiene que (sen x)/2 <x/2 < (tg x)/2, es decir sen x < x < tg x. Dividiendo entre sen x (suponiendo
  16. 16. 26 Conceptos Básicosx > 0) se tiene entonces que x 1 1< < . sen x cos xDe aquí se deduce, por el teorema del sándwich, que l´ x→0+ x/ sen x = 1 y ımpor tanto, también l´ x→0+ (sen x)/x = 1. Como la función (sen x)/x es par, se ımsigue que l´ x→0 (sen x)/x = 1. ımEjercicio 2.26. Probar que tg x 1 − cos x 1 1 − cos x (a) l´ ım = 1, (b) l´ ım 2 = , (c) l´ ım = 0. x→0 x x→0 x 2 x→0 x Para l´ x→c f (x)g(x) , si el límite de de f o el de g (o ambos) son infinitos, se ımplantean algunos casos fáciles de decidir y otros que requieren un análisis másprofundo. Si l´ x→c f (x) = +∞ y l´ x→c g(x) es positivo (finito o infinito), ım ımentonces l´ x→c f (x)g(x) = +∞. Lo mismo ocurre si l´ x→c f (x) = K > 1 y ım ıml´ x→c g(x) = +∞. Si 0 < l´ x→c f (x) < 1 y l´ x→c g(x) = +∞, entonces ım ım ıml´ x→c f (x)g(x) = 0. ım En cambio no se puede afirmar nada a priori si l´ x→c f (x) = 1 y l´ x→c g(x) ım ım= +∞. Esto se conoce como la “forma indeterminada” 1∞ . Un ejemplo impor-tante es l´ x→0 (1 + x)1/x = e. ım omEjercicio 2.27. Proporcione ejemplos de la forms 1∞ en los cuales el límite a) .c a1no exista, b) exista y sea finito, y c) exista y sea infinito. ic at em Otro caso delicado se presenta cuando l´ x→c f (x) = 0. Suponiendo que ım at .Mf (x) ≥ 0 en un entorno reducido de 0 (de lo contrario f (x)g(x) podría no estar si- w wquiera definido), si l´ x→c g(x) = L > 0 entonces es claro que l´ x→c f (x)g(x) = ım ım w0. Y si L < 0, entonces l´ x→c f (x)g(x) = +∞. Pero si L = 0 aparece una nueva ım“forma indeterminada” que se representa como 00 .2.3.3. Asíntotas Diremos que una recta r de ecuación y = mx + n es asíntota de la gráfica deuna función f , si la distancia del punto (x, f (x)) a r tiende a 0 cuando x tiendea +∞ o a −∞. Para que esto ocurra, por ejemplo para x → +∞, debe serl´ x→+∞ (f (x) − mx − n) = 0 y por lo tanto l´ x→+∞ (f (x) − mx) = n. Además ım ıml´ x→+∞ f (x)/x = l´ x→+∞ (f (x) − mx)/x + m = m. Por lo tanto para hallar ım ımuna asíntota para x → +∞ debemos calcular primero m = l´ x→+∞ f (x)/x, ımy si existe se calcula luego n = l´ x→+∞ (f (x) − mx). Si este segundo límite ımtambién existe, entonces y = mx + n es una asíntota. Si existe l´ x→+∞ f (x) = n entonces automáticamente l´ x→+∞ f (x)/x = ım ım0, y se tiene una asíntota horizontal y = n. Si existe m = l´ x→+∞ f (x)/x, pero no existe l´ x→+∞ (f (x) − mx), se dice ım ımque y = mx es una dirección asintótica. De modo análogo se buscan asíntotas para x → −∞. Una asíntota vertical es una recta x = a tal que l´ x→a+ f (x) o l´ x→a− f (x) ım ımsea ∞ (con o sin signo).
  17. 17. 2.3 Límites 27Ejemplo 2.10. Sea f (x) = x/(1 + e−x ) + x/(x − 1). Obviamente hay unaasíntota vertical x = 1. Como f (x) 1 1 l´ ım = l´ ım + l´ ım = 1 + 0 = 1, x→+∞ x x→+∞ 1 + e−x x→+∞ x − 1y x x l´ (f (x) − x) ım = l´ ım + −x x→+∞ x→+∞ 1 + e−x x − 1 −xe−x x = l´ ım + = 0 + 1 = 1, x→+∞ 1 + e−x x − 1se tiene la asíntota oblicua y = x + 1 para x → +∞. Por otra parte f (x) 1 1 l´ ım = l´ ım + l´ ım = 0 + 0 = 0, x→−∞ x x→−∞ 1 + e−x x→+∞ x − 1y x x l´ ım f (x) = l´ ım −x + = 0 + 1 = 1, x→−∞ x→−∞ 1+e x−1 ompor lo tanto se tiene una asíntota horizontal y = 1 para x → −∞. .c a1 ic at em at .M w w w Figura 2.2: Asíntotas2.3.4. Límites de sucesiones En esta sección recordamos brevemente el concepto de límite de una sucesióny su relación con el límite de funciones.
  18. 18. 28 Conceptos Básicos Una sucesión de números reales es una función x : N → R del conjunto delos números naturales N = {1, 2, 3, . . .} en los reales. El valor x(n) que toma estafunción en el natural n suele denotarse más comúnmente como xn , y la sucesiónmisma como x1 , x2 , x3 ,. . . , o más concisamente {xn }n∈N . Se dice que la sucesióntiene límite L cuando n tiende a infinito, y se escribe l´ n→+∞ xn = L, si dado ımcualquier ǫ > 0 existe un natural K tal que |xn − L| < ǫ para todo n ≥ K.Ejercicio 2.28. Si x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · es una sucesión monótona crecien-te y acotada superiormente, pruebe que es convergente y que l´ n→+∞ xn = ımsup{xn : n = 1, 2, 3, . . .}. √ √ √Ejercicio 2.29. Sea x1 = 2, x2 = 2 + 2, x3 = 2+ 2+ 2, . . . Pruebeque esta sucesión tiene límite y calcúlelo.Teorema 2.4. Sea f una función definida en un entorno reducido de a talque l´ x→a f (x) = L. Entonces para cualquier sucesión {xn } con valores en el ımdominio de f , se cumple l´ n→+∞ f (xn ) = L. ım La demostración es inmediata y se deja como ejercicio.Ejemplo 2.11. Como l´ x→0 (sin x)/x = 1 y l´ n→+∞ 1/n = 0, entonces ım ım oml´ n→+∞ n sen(1/n) = 1. ım .c a1 ic at También vale una forma de recíproco: em at .MTeorema 2.5. Sea f una función definida en un entorno reducido de a y L ∈ w w wR. Si para cualquier sucesión {xn } con valores en el dominio de f y tal quel´ n→+∞ xn = a se cumple l´ n→+∞ f (xn ) = L, entonces l´ x→a f (x) = L. ım ım ım Una serie de números reales es una expresión de la forma x1 + x2 + x3 + · · · +xn + · · · donde {xn }n∈N es una sucesión de números reales. A toda serie se leasocia una sucesión de sumas parciales, definida como X1 = x1 , X2 = x1 + x2 , nX3 = x1 + x2 + x3 ,. . . y en general Xn = k=1 xk . Si existe l´ n→∞ Xn = S, ımentonces se dice que la serie es convergente y que su suma es S. En ese caso seescribe x1 + x2 + x3 + · · · = S. Por ejemplo 1 1 1 1 + + + · · · n + · · · = 1, 2 4 8 2 nya que las sumas parciales son Xn = k=1 1/2k = 1 − (1/2)n+1 (suma de unaprogresión geométrica) y l´ n→∞ Xn = l´ n→∞ (1 − (1/2)n+1 ) = 1 − 0 = 1. ım ım2.4. Continuidad Intuitivamente, una función es continua si su gráfica se puede dibujar sinlevantar el lápiz del papel. Sin embargo no fue fácil convertir esta noción vagaen la definición precisa actual:
  19. 19. 2.4 Continuidad 29Definición 2.6. Una función f es continua en a si l´ x→a f (x) = f (a). Si ıml´ x→a+ f (x) = f (a) se dice que f es continua por la derecha en a, y si l´ x→a− ım ımf (x) = f (a) se dice que f es continua por la izquierda en a. Si f no es continua ena entonces se dice que es discontinua en a, o que presenta una discontinuidad ena. Una función es continua en un intervalo si lo es en cada punto de ese intervalo,entendiendo que si el intervalo incluye extremo izquierdo (resp. derecho), en élse exigirá continuidad por la derecha (resp. izquierda). La definición de continuidad en un punto se puede desglosar así: f es continuaen a si 1. f está definida en un entorno de a. 2. Existe l´ x→a f (x). ım 3. f (a) y l´ x→a f (x) son iguales. ım Si recordamos la definición de límites por entornos, la definición de continui-dad se puede reformular así: f es continua en a si, dado cualquier entorno U de f (a), existe un m entorno V de a tal que, si x ∈ V entonces f (x) ∈ U . o .c a1 ic atDel mismo modo, recordando la definición de límites por desigualdades, podemos emdecir que at .M w w w f es continua en a si, dado cualquier ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si |x − c| < δ, entonces |f (x) − f (c)| < ǫ. Las consideraciones anteriores pueden adaptarse de la manera obvia parael caso de la continuidad por la derecha o por la la izquierda, considerandosemientornos. Si l´ x→a f (x) existe, pero es distinto de f (a), se dice que f presenta una ımdiscontinuidad evitable en a. En este caso la discontinuidad se puede “evitar”redefiniendo f en a como l´ x→a f (x). ım Si existen los límites laterales l´ x→a+ f (x) y l´ x→a− f (x), pero son dife- ım ımrentes, entonces se dice que f presenta una discontinuidad de salto en a.Ejercicio 2.30. Pruebe que las funciones f (x) = 1 y g(x) = x son continuasen todo a ∈ R.Ejercicio 2.31. Estudie la continuidad de la función h(x) = ⌊x⌋.Ejercicio 2.32. Estudie la continuidad de la función 1 x sen x si x = 0, k(x) = 0 si x = 0.
  20. 20. 30 Conceptos Básicos2.4.1. Operaciones con funciones continuas De las propiedades correspondientes para los límites se deduce fácilmenteque la suma, diferencia, producto y composición de funciones continuas soncontinuas. El cociente de funciones continuas es continua en los puntos dondeesté definido (es decir donde no se anule el denominador). Como la identidad y las funciones constantes son continuas, de lo anteriorse sigue que las funciones polinómicas son continuas, y las funciones racionalesson continuas en los puntos en que no se anule el denominador. También las demás funciones elementales (la exponencial, el logaritmo, laspotencias de exponente real, las funciones trigonométricas directas e inversas)son continuas donde estén definidas, y por lo tanto todas las funciones que sepuedan obtener combinándolas por medio de las operaciones anteriormente des-criptas son continuas. Por estas consideraciones podemos afirmar, por ejemplo,que la función cos(x) f (x) = log(x4 + 5) − sen ex + √ 3 x2 + 1es continua. omEjemplo 2.12. De l´ x→0 (1 + x)1/x = e y por la continuidad del logaritmo se ım .c a1deduce que l´ x→0 log((1 + x)1/x ) = log(e) = 1, es decir ım ic at em log(1 + x) at .M l´ ım = 1. w x→0 x w wHaciendo en este últimi límite el cambio de variable x = et − 1 se obtienel´ t→0 log(et )/(et − 1) = 1, es decir l´ t→0 t/(et − 1) = 1, y por lo tanto ım ım ex − 1 l´ ım = 1. x→0 x2.4.2. Propiedades de las funciones continuas A continuación se enuncian algunos de los resultados más importantes rela-cionados con funciones continuas.Teorema 2.6 (Constancia local del signo). Si f : I → R es continua, c ∈ I y f (c) > 0, entonces existe un entorno V dec tal que f (x) > 0 para todo x ∈ V . Análogamente, si f (c) < 0 entonces existeun entorno V de c tal que f (x) < 0 para todo x ∈ V . La prueba es muy sencilla. Si f (c) > 0 entonces, tomando ǫ = f (c), porla continuidad de f se tiene que existe δ > 0 tal que, si |x − c| < δ, entonces|f (x) − f (c)| < ǫ = f (c), es decir −f (c) < f (x) − f (c) < f (c), de donde0 < f (x) < 2f (c). Por lo tanto si |x − c| < δ, ewntonces f (x) > 0. La pruebapara el caso f (c) < 0 es análoga.
  21. 21. 2.4 Continuidad 31Teorema 2.7 (Teorema de Bolzano). Si f : [a, b] → R es continua y f (a)f (b) < 0, entonces existe por lo menos unpunto c ∈ (a, b) para el cual f (c) = 0. En otras palabras este teorema afirma que si una función continua toma valo-res de signo opuesto en los extremos de un intervalo, entonces se anula en algúnpunto interior al mismo. Para probarlo, supongamos por ejemplo que f (a) < 0y f (b) > 0 y consideremos el conjunto A = {x ∈ [a, b] : f es negativa en [a, x]}.Como A obviamente es no vacío y acotado, existe c = sup A. usando el teoremaanterior es fácil ver que no puede ser f (c) < 0 (pues entonces habría puntosde A mayores que c) ni f (c) > 0 (pues entonces habría cotas superiores de Amenores que c), por lo tanto f (c) = 0. Otra demostración popular se basa en el llamado método de bisección. Seac = (a + b)/2. Si f (c) = 0 no hay más nada que hacer. Si f (c) > 0 pongamosa1 = a y b1 = c; si en cambio f (c) < 0 pongamos a1 = c y b1 = b. En amboscasos se verifica que f (a1 )f (b1 ) < 0. Sea ahora c1 = (a1 + b1 )/2. Si f (c1 ) = 0ya está. Si f (c1 ) > 0 pongamos a2 = a1 y b2 = c1 ; si en cambio f (c1 ) < 0pongamos a2 = c1 y b2 = b1 , y se verifica que f (a2 )f (b2 ) < 0. Prosiguiendo deesta manera, o encontramos un cero de f o se generan dos sucesiones monótonasa ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · y b ≥ b1 ≥ b2 ≥ · · · tales que bn − an = (b − a)/2n . Sean A = {an : n = 1, 2, . . .} y B = {bn : n = 1, 2, . . .}. Es claro que para om .cíndices cualesquiera i, j se tiene ai ≤ bj , de donde se sigue que ai ≤ ´ B para ınf a1 ictodo i y sup A ≤ ´ B. Pero como an ≤ sup A ≤ ´ B ≤ bn , se tiene que ınf ınf at em0 ≤ ´ B − sup A ≤ bn − an = (b − a)/2n para todo n, de donde sup A = ´ B. ınf ınf at .MSea c el valor común de sup A y ´ B.ınf w w Probaremos que f (c) = 0. En efecto, si fuese f (c) > 0, entonces por el wteorema anterior f sería positiva en todo un entorno (c − ǫ, c + ǫ), para ciertoǫ > 0, y ese entorno no podría contener ningún an (ya que f (an ) < 0 porconstrucción), contradiciendo el hecho de que c es el supremo de A. De manerasimilar, si f (c) < 0 f sería negativa en todo un entorno (c − ǫ, c + ǫ), paracierto ǫ > 0, y ese entorno no podría contener ningún bn (ya que f (bn ) > 0 porconstrucción), contradiciendo el hecho de que c es el ínfimo de B. La única posibilidad que queda es f (c) = 0. La prueba anterior tiene la ventaja de ser constructiva, y por lo tanto propor-ciona una manera efectiva de calcular aproximadamente raíces de ecuaciones.Ejemplo 2.13. Supongamos que se desea hallar una raíz aproximada de laecuación x3 + x − 1 = 0. Como la función f (x) = x3 + x − 1 es continua,f (0) = −1 < 0 y f (1) = 1 > 0, el teorema de Bolzano nos dice que existe unaraíz entre 1 y 2. Más aún, como f (1/2) = −3/8 < 0, hay una raíz en [1/2, 1].Y como f (3/4) = 11/64 > 0, hay una raíz en [1/2, 3/4]. Prosiguiendo de estamanera se podría hallar la raíz con cualquier grado de precisión deseado (existensin embargo métodos más eficientes).Ejercicio 2.33. Un lago tiene un muelle desde el cual salen lanchas de paseo.Francisca sale en una lancha a las 3pm y regresa a las 5pm. Gabriel sale en otra
  22. 22. 32 Conceptos Básicoslancha a las 4pm y regresa a las 6pm. Pruebe que en algún momento entre las4pm y las 5pm Francisca y Gabriel se encuentran a igual distancia del muelle.Ejercicio 2.34. Pruebe que si f : I → R es continua, entonces tiene la Pro-piedad de Darboux , es decir que dado cualquier intervalo [a, b] ⊂ I, f toma en[a, b] todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b).Ejercicio 2.35. Pruebe que si I es un intervalo y f : I → R es continua (omás en general, si tiene la propiedad de Darboux) entonces f (I) es también unintervalo.Ejercicio 2.36. Sea f : I → R continua e inyectiva. Pruebe entonces que f esestrictamente monótona, y que su inversa f −1 : f (I) → I también es continua.Ejercicio 2.37. Podría pensarse que la Propiedad de Darboux caracteriza a lasfunciones continuas. Pruebe que no es así, construyendo una función que tengadicha propiedad pero que no sea continua, al menos en un punto. ¿Existirá alguna función f : [0, 1] → R con la propiedad de Darboux que nosea continua en ningún punto?Ejercicio 2.38. Sea f : I → R una función continua. Sean x1 , x2 , . . . , xn puntosde I. Pruebe que existe un punto c ∈ I tal que m co . a1 f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ic f (c) = . at em n at .MTeorema 2.8. w w wSi f : [a, b] → R es continua entonces es acotada.Demostración. Sea A = {x ∈ [a, b] : f ([a, x]) es acotado}. Como a ∈ A, A noes vacío, y está acotado superiormente por b. Entonces existe c = sup A. Por lacontinuidad de f existe un δ > 0 tal que |f (x) − f (c)| < 1 si |x − c| < δ. Por laproiedad del supremo debe existir x ∈ (c−δ, c]∩A. Como f está acotada en [a, x]y también en [x, c+δ)∩[a, b], se sigue que está acotada en [a, c+δ)∩[a, b]. Si fuesec < b entonces f estaría acotada en un intervalo [a, d] con d > c, contradiciendola definición de c. Por lo tanto c = b f está acotada en [a, b]. Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente:Teorema 2.9 (Weierstrass). Si f : [a, b] → R es continua entonces tiene máximo y mínimo en [a, b].Demostración. Como f ([a, b]) es acotado, existen M = sup f ([a, b]) y m =´ f ([a, b]). Hay que probar que f efectivamente toma los valores M y m. Su-ınfpongamos por absurdo que f (x) = M para todo x ∈ [a, b]. Entonces la funcióng(x) = 1/(M − f (x)) sería continua en [a, b], pero obviamente no acotada, con-tradiciendo el teorema anterior. Análogamente se llega a una contradicción si sesupone que f (x) = m para todo x ∈ [a, b]. Finalmente enunciaremos sin demostración el siguiente teorema:
  23. 23. 2.5 Derivadas 33Teorema 2.10 (Heine-Cantor). Si f : [a, b] → R es continua, entonces es uniformemente continua, es decir,para todo ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que, si x, y ∈ [a, b] y |x − y| < δ, entonces|f (x) − f (y)| < ǫ. En estas notas no utilizaremos este resultado, que sin embargo es muy im-portante en el Cálculo integral y en otras áreas del análisis matemático.2.5. DerivadasDefinición 2.7. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contengaal número real a. Si existe f (x) − f (a) l´ ım x→a x−ay es finito, se dice que f es derivable en a; al valor del límite se le llama derivadade f en a y se denota f ′ (a). Si el límite es infinito se dice que f tiene derivadainfinita en a. Efectuando el cambio de variable h = x − a, la derivada puede definirse enforma equivalente como om f (a + h) − f (a) .c f ′ (a) = l´ ım . a1 h→0 h ic at em Si f es derivable en cada punto de su dominio, entonces se dice simplemente at .Mque f es derivable, y a la función f ′ que a cada x le hace corresponder el valor w wf ′ (x) se le llama función derivada de f . w Es inmediato que si f es derivable en a entonces también es continua en a,ya que f (x) − f (a) l´ (f (x) − f (a)) = ım l´ (x − a) ım x→a x→a x−a f (x) − f (a) = l´ (x − a) l´ ım ım = 0 · f ′ (a) = 0. x→a x→a x−aEjemplo 2.14. a) Sea φ una función constante. Entonces φ(x + h) − φ(x) φ′ (x) = l´ ım = l´ 0 = 0. ım h→0 h h→0b) Sea f (x) = x. Entonces f (x + h) − f (x) x+h−x f ′ (x) = l´ ım = l´ ım = l´ 1 = 1. ım h→0 h h→0 h h→0c) Sea g(x) = x2 , entonces (x + h)2 − x2 2hx − h2 g ′ (x) = l´ ım = l´ ım = l´ (2x − h) = 2x. ım h→0 h h→0 h h→0
  24. 24. 34 Conceptos Básicosd) Sea k(x) = ex . Entonces ex+h − ex eh − 1 k ′ (x) = l´ ım = l´ ex ım = ex . h→0 h h→0 he) Sea h(x) = sen x. Como sen(x + h) = sen x cos h + sen h cos x se tiene h(x + h) − h(x) sen h 1 − cos h = cos x − sen x h h hy por lo tanto sen h 1 − cos h h′ (x) = l´ ım cos x − l´ ım sen x = 1 · cos x − 0 · sen x = cos x. h→0 h h→0 hEjercicio 2.39. Calcular, a partir de la definición, las funciones derivadas de √1/x, x, cos(x) y log(x).2.5.1. Derivadas laterales Si f está definida en [a, b) y existe m o f (x) − f (a) .c l´ ım , a1 x−a ic x→a+ at emal valor del límite se le llama derivada por la derecha de f en a y se denota at .Mf ′ (a+ ). Análogamente se define la derivada por la izquierda. Es claro que f es w w wderivable en a si y sólo si existen ambas derivadas laterales y son iguales.Ejemplo 2.15. Sea f (x) = |x|. Entonces l´ x→0+ f (x)/x = l´ x→0+ x/x = 1 ım ımy l´ x→0− f (x)/x = l´ x→0− (−x)/x = −1. ım ım2.5.2. Interpretación geométrica Recordando lo que vimos en el primer capítulo, f ′ (a) puede interpretarsecomo la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a))(ver Figura 1.2, pág. 4). En efecto, (f (x) − f (a))/(x − a) es la pendiente de larecta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (x, f (x)), y si estas secantestienden a una posición límite cuando x → a, la pendiente de esa recta serál´ x→a (f (x) − f (a))/(x − a) = f ′ (a). La ecuación de la recta tangente será ımentonces y = f (a) + f ′ (a)(x − a). En realidad, dadas las dificultades existentes para definir en términos geo-métricos la noción de recta tangente, se puede usar la derivada para definirlaanalíticamente. Es decir que si existe f ′ (a) entonces la recta tangente a la gráficade f en el punto (a, f (a)) será, por definición, y = f (a) + f ′ (a)(x − a). Los a para los cuales f ′ (a) = 0 se llaman puntos críticos o singulares de f .Geométricamente se pueden caracterizar como los puntos en los cuales la gráficade f es horizontal (es decir paralela al eje Ox).
  25. 25. 2.5 Derivadas 35 Si f tiene derivada infinita en a, entonces la tangente a la gráfica de f en elpunto (a, f (a)) es la recta vertical x = a. Si f está definida en un intervalo [a, b] y existe la derivada lateral f ′ (a+ ),entonces la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) será y = f (a) +f ′ (a+ )(x − a). Del mismo modo, si existe f ′ (b− ), la tangente a la gráfica de fen el punto (b, f (b)) será y = f (b) + f ′ (b− )(x − b).Ejemplo 2.16. Consideremos una parábola de foco F y directriz d. Los griegossabían que la tangente a esta curva en un punto P es la bisectriz del ánguloformado por el radio vector F P y la paralela al eje por P . Para comprobar esteresultado usando el cálculo, tomemos un sistema de coordenadas con origen O enel vértice de la parábola, eje Ox paralelo a la directriz y como eje Oy, el eje de laparábola. Si tomamos como unidad de medida la distancia del foco a la directriz,entonces las coordenadas del foco son (0, 1/2) y la ecuación de la directriz esy = −1/2. La distancia del foco al punto P = (x, y) es x2 + (y − 1/2)2 , y ladistancia de P a la directriz es y + 1/2. Por lo tanto la ecuación de la parábolaes x2 + (y − 1/2)2 = y + 1/2. Elevando al cuadrado nos queda 1 1 x2 + (y − )2 = (y + )2 , 2 2y luego de desarrollar los cuadrados y simplificar queda x2 = 2y, o y = x2 /2. m coPor lo tanto y ′ = x y la ecuación de la tangente en P = (a, a2 /2) es 1.a ic at m a2 a2 e at y= + a(x − a) = ax − . .M 2 2 w w wAhora bien, si α es el ángulo que forma la recta F P con el eje Ox, entoncestg α = (a2 /2 − 1/2)/a = a/2 − 1/(2a), y si β es el ángulo que forma la tangentecon el eje Ox, entonces tg β = a. Por lo tanto a 1 tg(β) − tg(α) 2 + 2a tg(∠M P N ) = tg(β − α) = = 1 a2 1 + tg(β) tg(α) 2 + 2 1 a+ a 1 π = = = tg( − β) = tg(∠N P Q), 1 + a2 a 2y entonces ∠M P N = ∠N P Q. De aquí se deduce la conocida propiedad de los espejos parabólicos: los rayosparalelos al eje, una vez reflejados pasan por el foco. Según Plutarco, Arquímedesutilizó esta propiedad para defender a Siracusa, su ciudad natal, de los romanos:hizo construir grandes espejos en forma de paraboloides de revolución, capacesde concentrar los rayos solares sobre las naves enemigas hasta quemarlas.2.5.3. Interpretación cinemática Consideremos un punto que se mueve sobre una línea recta. Fijando unorigen y una unidad de medida en la recta, la posición del punto móvil en elinstante t queda determinada por su abscisa x(t), que será función del tiempo.
  26. 26. 36 Conceptos Básicos Figura 2.3: Tangentes a la parábola om La distancia recorrida por el móvil desde el instante t hasta el t + h es .c a1x(t + h) − x(t); esta distancia es orientada: puede ser positiva, si el móvil avanza ic at emen el sentido de las x crecientes, o negativa en caso contrario. La velocidad media ates (x(t + h) − x(t))/h; observe que depende del intervalo de tiempo considerado, .M wes decir del valor de h. Al límite (si existe) de la velocidad media cuando t → 0, w wes decir a la derivada de x(t), se le llama velocidad instantánea. Siguiendo latradición newtoniana, en física se acostumbra denotar la derivada respecto altiempo con un punto en vez de un apóstrofo, es decir x(t). ˙ Lo anterior se puede generalizar al movimiento en dos o más dimensiones.En el plano, por ejemplo, el movimiento de un punto P se puede describir dandosu abscisa y su ordenada en función del tiempo, digamos P (t) = (x(t), y(t)). En ˙este caso la velocidad es el vector P (t) = (x(t), y(t)). ˙ ˙2.5.4. Propiedades de las funciones derivablesReglas de derivación Las siguientes afirmaciones son bien conocidas y se prueban fácilmente apartir de la definición de la derivada y las propiedades de los límites. 1. Si f es derivable en a y k es una constante, entonces kf es derivable en a y (kf )′ (a) = kf ′ (a). 2. Si f y g son derivables en a entonces f + g es derivable en a y (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a).
  27. 27. 2.5 Derivadas 37 3. Si f y g son derivables en a entonces f g es derivable en a y (f g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a). 4. Si f y g son derivables en a, g(a) = 0 y g ′ (a) = 0, entonces f /g es derivable en a y (f /g)′ (a) = (f ′ (a)g(a) − f (a)g ′ (a))/(g(a))2 . Demostremos como ejemplo la 3: como (f g)(a + h) − (f g)(a) = (f (a + h) − f (a))g(a + h) + f (a)(g(a + h) − g(a)),y como g es continua en a por ser derivable, se tiene (f g)(a + h) − (f g)(a) l´ ım x→0 h f (a + h) − f (a) g(a + h) − g(a) = l´ım l´ g(a + h) + f (a) l´ ım ım x→0 h x→0 x→0 h = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a). Las dos primeras propiedades nos dicen que la derivación es una operaciónlineal. De ellas se deduce, por inducción, que si f1 , f2 ,. . . ,fn son funciones de-rivables en a y k1 , k2 ,. . . ,kn son constantes, entonces om .c a1 (k1 f1 + k2 f2 + · · · + kn fn )′ (a) = k1 f1 (a) + k2 f2 (a) + · · · + kn fn (a). ′ ′ ′ ic at emEjemplo 2.17. Como (sen x)′ = cos x y (cos x)′ = − sen x, entonces at .M w w w sen x ′ (sen x)′ cos x − sen x(cos x)′ (tg x)′ = = cos x cos2 x 2 2 cos x + sen x 1 = = = sec2 x = tg2 x + 1. cos2 x cos2 xTeoremas de Rolle y LagrangeLema 2.1. Si f : (a, b) → R es una función derivable y presenta un extremolocal en c ∈ (a, b), entonces f ′ (c) = 0.Demostración. Hagamos la prueba para un máximo local (para mínimo local essimilar). Sea (c − ǫ, c + ǫ) ⊂ (a, b) un entorno de c tal que f (x) ≤ f (c) para todox ∈ (c − ǫ, c + ǫ). Entonces para c < x < c + ǫ se tiene (f (x) − f (c))/(x − c) ≤ 0,y por lo tanto l´ x→c+ (f (x) − f (c))/(x − c) ≤ 0. Para c − ǫ < x < c se tiene ım(f (x) − f (c))/(x − c) ≥ 0, y por lo tanto l´ x→c− (f (x) − f (c))/(x − c) ≥ 0. ım Pero ambos límites laterales deben ser iguales a f ′ (c), por tanto 0 ≤ f ′ (c) ≤ 0y f (c) = 0. ′Teorema 2.11 (Teorema de Rolle). Si f es una función continua en el intervalo [a, b], derivable en (a, b) y tal quef (a) = f (b) = 0, entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0.
  28. 28. 38 Conceptos BásicosDemostración. Por el teorema 2.9 f tiene máximo M y mínimo m. Si el máximose alcanza en un punto c ∈ (a, b), entonces por el lema anterior f ′ (c) = 0. Lomismo si el mínimo se alcanza en un punto d ∈ (a, b). En caso contrario, máximoy mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo, y por lo tanto son ambos0. Entonces f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b] y por ser constante cumple f ′ (c) = 0para cualquier c ∈ (a, b). La interpretación geométrica del teorema de Rolle es sencilla: si se satisfa-cen las hipótesis del teorema, entonces en algún punto interior del intervalo latangente a la gráfica de f es horizontal. El siguiente teorema, también conocido como teorema de los incrementosfinitos o teorema de Lagrange, es una generalización del teorema de Rolle y seconsidera como uno de los más importantes del cálculo diferencial.Teorema 2.12 (Teorema del valor medio). Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b), entoncesexiste un c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f ′ (c). b−a omDemostración. En términos geométricos este teorema afirma que para algún .c a1c ∈ (a, b), la tangente a la gráfica de f en el punto C = (c, f (c)) es paralela a la ic atrecta secante que pasa por los puntos A = (a, f (a)) y B = (b, f (b)). En efecto, em at(f (b)− f (a))/(b − a) es la pendiente de la recta secante y f ′ (c) es la pendiente de .M wla recta tangente, por lo tanto el teorema afirma la igualdad de esas pendientes, w wque es equivalente al paralelismo de ambas rectas. Aunque el teorema de Rolle Figura 2.4: Teorema del valor medioes un caso particular de este teorema, cuando f (a) = f (b) = 0, en realidad son
  29. 29. 2.5 Derivadas 39equivalentes ya que se puede demostrar el teorema del valor medio a partir delteorema de Rolle. Para ello consideremos la función auxiliar g(x) = (b − a)(f (x) − f (a)) − (f (b) − f (a))(x − a).Como g(a) = g(b) = 0, por el teorema de Rolle g ′ (c) = 0 para algún c ∈ (a, b).Pero g ′ (x) = (b−a)f ′ (x)−(f (b)−f (a)), por lo tanto (b−a)f ′ (c)−(f (b)−f (a)) =0, y f ′ (c) = (f (b) − f (a))/(b − a).Ejemplo 2.18. Los excesos de velocidad en las carreteras generalmente se de-tectan mediante sistemas de radar basados en el efecto Doppler, o medianterayos infrarrojos, pero se ha propuesto otro sistema basado en el teorema delvalor medio. Si se colocan en una autopista dos cámaras fotográficas separadas,por ejemplo, 10 kilómetros, y se detecta que un automóvil tarda menos de 5minutos en recorrer esos 10 km, sabremos que su velocidad media es mayor que120 km/h, y entonces en algún punto del recorrido su velocidad instantáneahabrá tenido que superar los 120 km/h.Ejercicio 2.40. Pruebe que la función derivada no puede tener discontinuidadesevitables. Más precisamente: si f es derivable en (a, b) y para un c ∈ (a, b) existel´ x→c f ′ (x) = L, entonces f ′ (c) = L. ım om .cDerivación de funciones compuestas a1 ic at emTeorema 2.13 (Regla de la cadena). at .M Si g es derivable en a y f es derivable en g(a), entonces f ◦ g es derivable en w way w (f ◦ g)′ (a) = f ′ (g(a))g ′ (a).Demostración. Por el teorema del valor medio, para cada h existe algún ξ(h)comprendido entre g(a) y g(a + h) tal que f (g(a + h)) − f (g(a)) = f ′ (ξ(h))(g(a + h) − g(a)),por lo tanto f (g(a + h)) − f (g(a)) g(a + h) − g(a)l´ ım = l´ f ′ (ξ(h)) l´ ım ım = f ′ (g(a))g ′ (a).h→0 h h→0 h→0 hEjemplo 2.19. Como (sen x)′ = cos x y (x2 +1)′ = 2x, por la regla de la cadenase tiene que (sen(x2 + 1))′ = 2x cos(x2 + 1).Ejercicio 2.41. ¿Es válido probar la regla de la cadena tomando límites cuandoh → 0 a ambos lados de la igualdad f (g(a + h)) − f (g(a)) f (g(a + h)) − f (g(a)) g(a + h) − g(a) = · ? h g(a + h) − g(a) h

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