Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Módulo Instruccional Relaciones y Funciones Sometido como requisito parcial del curso EDUC 6580 Por: Luz E. Almodóvar Mill...
Introducción <ul><li>Un módulo instruccional es una estrategia de enseñanza que te permitirá interactuar con una variedad ...
Objetivos Instruccionales <ul><li>Objetivos Terminales y Capacitantes </li></ul><ul><li>Al concluir este módulo instruccio...
Índice 1. Repasemos 2. Relaciones 3. Relación Inversa 4. Dominio y Co-dominio 5. Funciones 6. Autoevaluación Referencias
Plano de Coordenadas <ul><li>Partes del plano de Coordenadas </li></ul><ul><li>Ejes  – dos rectas numéricas perpendiculare...
Puntos en el plano cartesiano <ul><li>Coordenada  x  (abscisa) </li></ul><ul><li>corresponde a los números en el eje  x . ...
Relaciones <ul><li>Una relación es un conjunto de pares ordenados. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: { (1,2), (3,3), (-1,0) }...
Formas de representar una relación (4,4) (-1,3) (0,-5) Pares ordenados Hay varias formas de representar una relación:  con...
Práctica #1 <ul><li>Representa la siguiente relación mostrada en la gráfica como: </li></ul><ul><ul><ul><li>un conjunto de...
Contestación Práctica #1 <ul><li>Representa la siguiente relación mostrada en la gráfica como: </li></ul><ul><ul><ul><li>u...
Relación inversa <ul><li>El inverso de una relación se obtiene intercambiando las coordenadas de cada par. </li></ul><ul><...
Práctica #2 <ul><li>A continuación se muestra una relación como un conjunto de pares ordenados. Determina el inverso de la...
Contestación Práctica #2 <ul><li>A continuación se muestra una relación como un conjunto de pares ordenados. Determina el ...
Dominio y Co-dominio <ul><li>Dominio : </li></ul><ul><ul><li>es el conjunto de todas las primeras coordenadas de los pares...
Práctica #3 <ul><li>Determina el dominio y co-dominio de la siguiente relación: </li></ul>x y -2 -1 0 1 2 3 4 Dominio: Co-...
Contestación Práctica #3 <ul><li>Determina el dominio y co-dominio de la siguiente relación: </li></ul>x y -2 -1 0 1 2 3 4...
Funciones <ul><li>Una  función  es la relación entre dos conjuntos llamados Dominio y Co-dominio, donde a cada elemento de...
Ejemplos de Funciones y  No Funciones a. {(2,4), (3,1), (5,2), (-1,-2)} Es función . Dado que para cada valor de  x  hay u...
Ejemplos de Funciones y No Funciones <ul><li>Si una función es representada en una gráfica se hace la prueba de la recta v...
Funciones <ul><li>Como la función va del dominio al co-dominio, decimos que  x  es la variable independiente y  y  es la v...
Funciones x f(x) Dominio Co-Dominio a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) Nota: al Co-dominio también se le conoce como  alcance, ra...
Práctica #4 <ul><li>Determina cuál de las siguientes relaciones es una función. </li></ul>-3 2 3 4 2 -4 a. b. x x y y 1 2 ...
Contestación Práctica #4 <ul><li>Determina cuál de las siguientes relaciones es una función. </li></ul>-3 2 3 4 2 -4 a. b....
<ul><li>dominio : {x|x  € R},  </li></ul><ul><li>Se lee: para toda  x  tal que </li></ul><ul><li>x  sea elemento de los </...
<ul><li>dominio  = {x|x ≠ 0}   </li></ul><ul><li>La división por cero no  </li></ul><ul><li>está definida, por lo tanto,  ...
Dado f(x)= 5x-7 con Dominio = {1,2,3),  determina el co-dominio.  Determinar dominio de una función x f(x)= 5x-7 (x,y) 1 2...
Práctica #5 Dado g(x) =  con Dominio= {0,1,2}, determina  el co-dominio. Dado h(x) =  determina el dominio.
Contestación Práctica #5 Dado g(x) =  con Dominio= {0,1,2}, determina  el co-dominio. Dado h(x) =  determina el dominio. x...
Prueba de autoevaluación Índice Comienza la prueba
1. ¿Qué es una relación? Es el conjunto de las primeras coordenadas en un par ordenado Es el conjunto de pares ordenados E...
2. Selecciona la aseveración correcta. Toda función es una relación. En ocasiones una función  es una relación. Toda relac...
3. Determina el co-dominio del siguiente conjunto de pares ordenados: {(1,8), (-3,8), (2,8),(-6,8)} Dominio: {1, -3, 2, 8}...
4. Determina el co-dominio de la siguiente relación representada en una aplicación. Co-dominio: {0, 1, 2, 3, 4} Co-dominio...
5. ¿Cuál de las siguientes representaciones es una función? Funciones: a  y  b Funciones: a  y  c Funciones: b  y  c x y 0...
6. Determina cúal de las siguientes relaciones es una función? Funciones: a, c y d Funciones: b,  c  y  d Funciones: a, b ...
7. Dado f(x)= 3x-x 2  con Dominio = {1,2,3), determina el co-dominio.  Co-dominio= {1,  2,  3} Co-dominio={ 2, 4, 6} Co-do...
8. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {todos los números reales) Dominio = {todo número real excepto ...
9. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {todos los números reales) Dominio = {todo número real excepto ...
10. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {todos los números reales) Dominio = {todo número real excepto...
11. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {x: x= 3) Dominio = {x: x  3} Dominio = {x: x  3}
12. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio =  {x|x € R}  Dominio =  {x| x ≠ 2} y x ≠ -3} Dominio =  {x| x ≠...
Resultados de autoevaluación Índice Resultados de la prueba
Referencias Brown, R.G., Dolciani, M.P., Sorgenfrey, R.H., Kane, R.B. (2000).  Algebra and Trigonometry . Illinois: Hought...
Descripción del módulo Este módulo contiene material relacionado al tema de  Relaciones y Funciones .  El estudiante traba...
Población y Duración El módulo podrá ser utilizado por los estudiantes del curso básico y avanzado de Funciones y Modelos ...
Recursos y Manejo del módulo El módulo se trabajará utilizando las computadoras disponibles en la escuela. El módulo será ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

MóDulo Instruccional Relaciones Y Funciones

40,867 views

Published on

Módulo sobre Relaciones y Funciones

Published in: Education, Travel

MóDulo Instruccional Relaciones Y Funciones

  1. 1. Módulo Instruccional Relaciones y Funciones Sometido como requisito parcial del curso EDUC 6580 Por: Luz E. Almodóvar Millán UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE PONCE DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GRADUADOS Comenzar Guía para el maestro
  2. 2. Introducción <ul><li>Un módulo instruccional es una estrategia de enseñanza que te permitirá interactuar con una variedad de actividades de forma diferente a lo que normalmente realizamos en la sala de clase. </li></ul><ul><li>Este módulo ha sido creado para ti, estudiante del nivel superior con el propósito de desarrollar el tema sobre Relaciones y Funciones . </li></ul><ul><li>Al finalizar el mismo podrás distinguir cuándo una relación es función o no, y de ser función determinar el dominio de la misma. Espero que esta herramienta sea efectiva y te permita alcanzar las competencias educativas según los objetivos que se mencionan a continuación. </li></ul>
  3. 3. Objetivos Instruccionales <ul><li>Objetivos Terminales y Capacitantes </li></ul><ul><li>Al concluir este módulo instruccional: </li></ul><ul><ul><li>Determinarás el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Distinguirás entre relaciones y funciones </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Hallarás el dominio y el co-dominio de una función. </li></ul></ul></ul>
  4. 4. Índice 1. Repasemos 2. Relaciones 3. Relación Inversa 4. Dominio y Co-dominio 5. Funciones 6. Autoevaluación Referencias
  5. 5. Plano de Coordenadas <ul><li>Partes del plano de Coordenadas </li></ul><ul><li>Ejes – dos rectas numéricas perpendiculares </li></ul><ul><li>eje de x – la recta numérica horizontal </li></ul><ul><li>eje de y – la recta numérica vertical </li></ul><ul><li>Origen – la intersección de las dos rectas en su punto cero </li></ul><ul><li>Cuadrantes – cuatro regiones que se forman al intersecarse el eje de x con el eje de y </li></ul>
  6. 6. Puntos en el plano cartesiano <ul><li>Coordenada x (abscisa) </li></ul><ul><li>corresponde a los números en el eje x . </li></ul><ul><li>Coordenada y (ordenada) </li></ul><ul><li>corresponde a los números en el eje y . </li></ul>Índice
  7. 7. Relaciones <ul><li>Una relación es un conjunto de pares ordenados. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: { (1,2), (3,3), (-1,0) } </li></ul>
  8. 8. Formas de representar una relación (4,4) (-1,3) (0,-5) Pares ordenados Hay varias formas de representar una relación: con pares ordenados, en tabla, en una gráfica o en una aplicación. Tablas Gráficas x y 4 -1 0 4 3 -5 Aplicación x y 4 -1 0 4 3 -5
  9. 9. Práctica #1 <ul><li>Representa la siguiente relación mostrada en la gráfica como: </li></ul><ul><ul><ul><li>un conjunto de pares </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>ordenados </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>una tabla </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>una aplicación </li></ul></ul></ul>
  10. 10. Contestación Práctica #1 <ul><li>Representa la siguiente relación mostrada en la gráfica como: </li></ul><ul><ul><ul><li>un conjunto de pares </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>ordenados </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>una tabla </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>una aplicación </li></ul></ul></ul>Pares ordenados (2,2) (2,4) (-3,2) (3,-4) Tabla x y 2 2 -3 3 2 4 2 -4 x y -3 2 3 4 2 -4 Aplicación Índice
  11. 11. Relación inversa <ul><li>El inverso de una relación se obtiene intercambiando las coordenadas de cada par. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: </li></ul><ul><li>Relación Inverso </li></ul><ul><li>(2,3) (3,2) </li></ul><ul><li>(-4,-1) (-1,-4) </li></ul>
  12. 12. Práctica #2 <ul><li>A continuación se muestra una relación como un conjunto de pares ordenados. Determina el inverso de la relación y presenta el inverso en una tabla: </li></ul><ul><ul><li>Relación: { (5,2), (4,-2), (6,4), (0,8) } </li></ul></ul><ul><ul><li>Inverso de la relación: </li></ul></ul>x y
  13. 13. Contestación Práctica #2 <ul><li>A continuación se muestra una relación como un conjunto de pares ordenados. Determina el inverso de la relación y presenta el inverso en una tabla: </li></ul><ul><ul><li>Relación: { (5,2), (4,-2), (6,4), (0,8) } </li></ul></ul><ul><ul><li>Inverso de la relación: </li></ul></ul>x y 5 4 6 0 2 -2 4 8 Índice
  14. 14. Dominio y Co-dominio <ul><li>Dominio : </li></ul><ul><ul><li>es el conjunto de todas las primeras coordenadas de los pares ordenados en una relación. Contiene las coordenadas x . </li></ul></ul><ul><li>Co-dominio </li></ul><ul><ul><li>es el conjunto de todas las segundas coordenadas de los pares ordenados en una relación. Contiene las coordenadas y . </li></ul></ul><ul><li>Por ejemplo: { (3,3), (-1,2), (-4,2) } </li></ul><ul><ul><li>Dominio: {3,-1,-4} </li></ul></ul><ul><ul><li>Co-dominio: {3,2,} </li></ul></ul>
  15. 15. Práctica #3 <ul><li>Determina el dominio y co-dominio de la siguiente relación: </li></ul>x y -2 -1 0 1 2 3 4 Dominio: Co-dominio:
  16. 16. Contestación Práctica #3 <ul><li>Determina el dominio y co-dominio de la siguiente relación: </li></ul>x y -2 -1 0 1 2 3 4 Dominio :{-2, -1, 0} Co-dominio :{1, 2, 3, 4} Índice
  17. 17. Funciones <ul><li>Una función es la relación entre dos conjuntos llamados Dominio y Co-dominio, donde a cada elemento del dominio se le asigna exactamente un elemento en el co-dominio. </li></ul><ul><ul><li>La función asocia a cada valor de x un único valor de y . </li></ul></ul>4 -1 0 4 3 -5 Función -2 -1 0 1 2 3 4 x x y y NO Función
  18. 18. Ejemplos de Funciones y No Funciones a. {(2,4), (3,1), (5,2), (-1,-2)} Es función . Dado que para cada valor de x hay un único valor de y . O sea, los valores de x NO se repiten. 0 -3 2 3 4 2 -4 b. Es función . Dado que para cada valor de x hay un único valor de y . O sea, los valores de x NO se repiten. No importa que dos elementos del dominio estén relacionados con un mismo elemento del co-dominio. c. 2 2 -3 3 2 4 2 -4 x y y x NO es función . Dado que en esta relación para el elemento 2 del dominio existen dos elementos en el co-dominio. O sea, los valores de x SI se repiten.
  19. 19. Ejemplos de Funciones y No Funciones <ul><li>Si una función es representada en una gráfica se hace la prueba de la recta vertical para saber si es o no función. O sea, se traza una recta vertical sobre la gráfica y si esta no corta más de una vez la gráfica es función. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: </li></ul>x x x x x NO es función, la recta vertical cruza en dos ocasiones la gráfica. NO es función, la recta vertical cruza en dos ocasiones la gráfica. Es función, la recta vertical cruza en una ocasión la gráfica.
  20. 20. Funciones <ul><li>Como la función va del dominio al co-dominio, decimos que x es la variable independiente y y es la variable dependiente, y usamos la notación funcional f(x) = y . Se lee “f de x es igual a y”. </li></ul><ul><ul><li>Por ejemplo: y = 3x + 2 </li></ul></ul><ul><ul><li>Ahora en notación funcional: f(x) = 3x + 2 </li></ul></ul><ul><li>En este caso se dice que x es el argumento de f . </li></ul>
  21. 21. Funciones x f(x) Dominio Co-Dominio a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) Nota: al Co-dominio también se le conoce como alcance, rango, recorrido o amplitud
  22. 22. Práctica #4 <ul><li>Determina cuál de las siguientes relaciones es una función. </li></ul>-3 2 3 4 2 -4 a. b. x x y y 1 2 3 -1 -2 -3 c. d. {(1,2),(2,1),(3,1),(4,1)}
  23. 23. Contestación Práctica #4 <ul><li>Determina cuál de las siguientes relaciones es una función. </li></ul>-3 2 3 4 2 -4 a. b. x x y y 1 2 3 -1 -2 -3 c. d. {(1,2),(2,1),(3,1),(4,1)} Si, es función Si, es función No es función Si, es función x
  24. 24. <ul><li>dominio : {x|x € R}, </li></ul><ul><li>Se lee: para toda x tal que </li></ul><ul><li>x sea elemento de los </li></ul><ul><li>Números reales. </li></ul><ul><li>Cualquier número real </li></ul><ul><li>puede ser evaluado en x y </li></ul><ul><li>obtendremos un co-dominio </li></ul><ul><li>real. </li></ul>dominio : {x|x ≤3} Recuerda: En los números reales no existen raíces pares para números negativos. Así que, dentro del radical no puede haber un número negativo Determinar dominio de una función <ul><li>Para determinar el dominio de una función se coteja cuáles serán todos los posibles valores que pueda tener x. </li></ul>
  25. 25. <ul><li>dominio = {x|x ≠ 0} </li></ul><ul><li>La división por cero no </li></ul><ul><li>está definida, por lo tanto, </li></ul><ul><li>en el denominador no </li></ul><ul><li>podemos tener 0. O sea, </li></ul><ul><li>no está definido. </li></ul>dominio = {x|x >2} Dos condiciones se deben cumplir: x-2 ≥0, x 2 -4 ≥0 x = 2 x ≠ ±2 En el numerador no podemos tener números negativos dentro del radical. El denominador no puede ser 0. Determinar dominio de una función
  26. 26. Dado f(x)= 5x-7 con Dominio = {1,2,3), determina el co-dominio. Determinar dominio de una función x f(x)= 5x-7 (x,y) 1 2 3 5 . 1 – 7=-2 (1,-2) 5 . 2 – 7=3 5 . 3 – 7=8 (2,3) (3,8) Co-dominio= {-2, 3, 8}
  27. 27. Práctica #5 Dado g(x) = con Dominio= {0,1,2}, determina el co-dominio. Dado h(x) = determina el dominio.
  28. 28. Contestación Práctica #5 Dado g(x) = con Dominio= {0,1,2}, determina el co-dominio. Dado h(x) = determina el dominio. x (x,y) 0 1 2 Dado que dentro del radical no odemos tener un negativo los valores de x ≥ 3 y x ≤ -3 Dominio= {x| x ≥ 3 ó x ≤ -3 } Co-dominio = { , , 1} Índice
  29. 29. Prueba de autoevaluación Índice Comienza la prueba
  30. 30. 1. ¿Qué es una relación? Es el conjunto de las primeras coordenadas en un par ordenado Es el conjunto de pares ordenados Es el conjunto de las segundas coordenadas en un par ordenado
  31. 31. 2. Selecciona la aseveración correcta. Toda función es una relación. En ocasiones una función es una relación. Toda relación es un función.
  32. 32. 3. Determina el co-dominio del siguiente conjunto de pares ordenados: {(1,8), (-3,8), (2,8),(-6,8)} Dominio: {1, -3, 2, 8} Dominio: {(8,1), (8,-3), (8,2), (8,-6)} Dominio: {8}
  33. 33. 4. Determina el co-dominio de la siguiente relación representada en una aplicación. Co-dominio: {0, 1, 2, 3, 4} Co-dominio: {4, 5, 6} Co-dominio: {-4, -5, -6} x y 0 1 2 3 4 4 5 6
  34. 34. 5. ¿Cuál de las siguientes representaciones es una función? Funciones: a y b Funciones: a y c Funciones: b y c x y 0 1 2 3 5 6 7 7 {(1,4), (2,4), (3,4)} a. b. c.
  35. 35. 6. Determina cúal de las siguientes relaciones es una función? Funciones: a, c y d Funciones: b, c y d Funciones: a, b y c a. b. c. d.
  36. 36. 7. Dado f(x)= 3x-x 2 con Dominio = {1,2,3), determina el co-dominio. Co-dominio= {1, 2, 3} Co-dominio={ 2, 4, 6} Co-dominio= {0, 2}
  37. 37. 8. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {todos los números reales) Dominio = {todo número real excepto 0} Dominio = {todo número real excepto 2}
  38. 38. 9. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {todos los números reales) Dominio = {todo número real excepto x=-3} Dominio = {todo número real excepto x=3}
  39. 39. 10. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {todos los números reales) Dominio = {todo número real excepto x=0 y x=9} Dominio = {todo número real excepto x=0 y x=-9}
  40. 40. 11. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {x: x= 3) Dominio = {x: x 3} Dominio = {x: x 3}
  41. 41. 12. Determina el dominio de la siguiente función: Dominio = {x|x € R} Dominio = {x| x ≠ 2} y x ≠ -3} Dominio = {x| x ≠ -2 y x ≠ 3}
  42. 42. Resultados de autoevaluación Índice Resultados de la prueba
  43. 43. Referencias Brown, R.G., Dolciani, M.P., Sorgenfrey, R.H., Kane, R.B. (2000). Algebra and Trigonometry . Illinois: Houghton Mifflin Company, pp. 141-165. Collins, W., Cuevas, G., Foster, A.G., Gordon, B., Moore-Harris, B., Rath, J., et. al. (1998). Algebra 1 . Ohio: The McGraw Hill Companies, pp. 252-321. Estado Libre Asociado de Puerto Rico, Departamento de Educación (2008). Guía Operacional: Funciones y Modelos . Puerto Rico: Autor. Estado Libre Asociado de Puerto Rico, Departamento de Educación (2007). Estándares de Contenido y Expectativas por Grado: Programa de Matemáticas . Puerto Rico: Autor. Índice
  44. 44. Descripción del módulo Este módulo contiene material relacionado al tema de Relaciones y Funciones . El estudiante trabajará con los siguientes conceptos: relación, relación inversa, función, dominio, co-dominio. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios de práctica. Además, contiene una prueba de autoevaluación a ser contestada por el estudiante. El módulo está preparado para ser utilizado por los estudiantes de nivel superior en el curso de Funciones y Modelos. Corresponde particularmente a: Unidad 1: Funciones y Transformaciones Expectativa A.PR.11.2.1: Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones Destreza: Hallar el dominio y el recorrido de una función, partiendo de su gráfica y otras representaciones según establece el Mapa Curricular del curso.
  45. 45. Población y Duración El módulo podrá ser utilizado por los estudiantes del curso básico y avanzado de Funciones y Modelos que se ofrece en el nivel escolar superior requeridos en el sistema de educación pública en Puerto Rico. La duración del módulo será de aproximadamente tres días. El módulo se ofrecerá durante la discusión del tema Relaciones y Funciones .
  46. 46. Recursos y Manejo del módulo El módulo se trabajará utilizando las computadoras disponibles en la escuela. El módulo será custodiado por el maestro, quien se encargará de distribuirlo en las computadoras del laboratorio móvil de la escuela. El maestro del curso será el encargado de supervisar y dar seguimiento al estudiante durante su utilización.

×