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Capítulo 09Momentum Lineal y Choques
Contenido•   Momentum lineal y su conservación•   Conservación del momentum para dos partículas•   Impulso y momentum•   C...
Momentum Lineal y su ConservaciónEl Momentum Lineal o Momentum, p , de unapartícula se define como el producto de la masa ...
Momentum Lineal y su ConservaciónEn términos del momentum, la segunda ley de Newtonse escribe como:                       ...
Conservación del Momentum Lineal         para dos partículasPara dos partículas aisladas                         p1 = m1 v...
Conservación del Momentum Lineal         para dos partículasDe ambas ecuaciones se obtiene que:              dp1 dp2   d  ...
Impulso y MomentumEl impulso de una fuerza se define como la integral de dichafuerza en el tiempo, durante el intervalo de...
Impulso y MomentumSi F es la fuerza neta, entonces:                                      dp     ∫                      ∫  ...
FEl impulso es un vectorque tiene una magnitudigual al “área bajo la curva”fuerza-tiempo.                                 ...
Colisiones Se llama colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva.  F12                  ...
Tipos de ColisionesSegún si se conserva o no la energía cinética delsistema de partículas que colisionan, las colisiones s...
Tipos de ColisionesSegún las direcciones de las velocidades de laspartículas que colisionan, las colisiones se clasifican ...
Colisiones en Una DimensiónColisiones Perfectamente Inelásticas        m1                 m2              m1+m2           ...
Colisiones perfectamente inelásticasPara colisiones perfectamente                 (m 1 v 1i + m 2 v 2 i )                 ...
Colisiones perfectamente inelásticasPara colisiones perfectamente                    (m 1 v 1i + m 2 v 2 i )              ...
Colisiones Elásticas     m1 v             v 2 i m2             v 1f   m1        m2   v 2f          1iPor ley de conservaci...
La solución al sistema de ecuaciones queda:                  ⎛ m1 − m 2 ⎞        ⎛ 2m 2        ⎞         v 1f   = ⎜       ...
b) Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v2i = 0 m/s   Y las ecuaciones para las velocidades finales quedan:       ...
Colisiones en Dos Dimensiones     Antes de la colisión            Después de la colisión                                  ...
Consideraremos el caso en que m2 está inicialmente en reposo.     Antes de la colisión                 Después de la colis...
La ley de la conservación de la energía cinética da otraecuación:          1            1            1            1       ...
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Centro de Masa de un objeto extendidoLa posición del centro de masade un objeto extendido o                 ydistribución ...
Movimiento de un Sistema de PartículasSi se deriva respecto al tiempo la posición del centro de masa deun sistema de partí...
La aceleración del centro de masa se obtiene, por definición,derivando con respecto al tiempo la velocidad del centro dema...
Y tomando en cuenta la 3ra. Ley de Newton, se tiene la ley:                                       d p to t              ∑F...
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Cap09

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Momentum lineal y choques.
Diapos Tramón.

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Cap09

  1. 1. Capítulo 09Momentum Lineal y Choques
  2. 2. Contenido• Momentum lineal y su conservación• Conservación del momentum para dos partículas• Impulso y momentum• Colisiones• Clasificación de las colisiones• Colisiones perfectamente inelásticas• Choques elásticos• Colisiones en dos dimensiones• Centro de masa• Centro de masa de un objeto extendido• Movimiento de un sistema de partículas
  3. 3. Momentum Lineal y su ConservaciónEl Momentum Lineal o Momentum, p , de unapartícula se define como el producto de la masa m porla velocidad v de la partícula: p ≡ mvPor lo tanto, el momentum lineal de una partícula es:una MF Vectorial; que se mide en kgm/s o Ns y quedepende en forma directamente proporcional a lamasa y a la velocidad de la partícula.
  4. 4. Momentum Lineal y su ConservaciónEn términos del momentum, la segunda ley de Newtonse escribe como: dp F = dtLa segunda ley de Newton establece que la fuerza netasobre un objeto es igual a la rapidez de cambio delmomentum del objeto.
  5. 5. Conservación del Momentum Lineal para dos partículasPara dos partículas aisladas p1 = m1 v1que interactúan entre sí, secumple por segunda ley deNewton que: m1 d p1 dp2 F1 2 F12 = F 21 = F21 dt dtDe la tercera ley de Newton, m2 p 2 = m2 v 2tenemos que:F12 = − F21 ⇒ F12 + F21 = 0
  6. 6. Conservación del Momentum Lineal para dos partículasDe ambas ecuaciones se obtiene que: dp1 dp2 d + = ( p1 + p2 ) = 0 dt dt dtEsto significa que: ptot = p1 + p2 = cte .La ley de la conservación del momentum lineal estableceque siempre que dos o más partículas aisladasinteractúan entre sí, su momentum total permanececonstante.
  7. 7. Impulso y MomentumEl impulso de una fuerza se define como la integral de dichafuerza en el tiempo, durante el intervalo de tiempo que actúa: ∫ tf I ≡ F dt tiPor lo tanto, el impulso de una fuerza es: una MFVectorial; que se mide en Ns o kgm/s y que dependeen forma directamente proporcional a la fuerza y alintervalo de tiempoque actúa.
  8. 8. Impulso y MomentumSi F es la fuerza neta, entonces: dp ∫ ∫ tf tf Fneta dt = dt ⇒ I = p f − pi = Δ p ti ti dt El impulso de la fuerza neta es igual al cambio de momentum de la partícula.
  9. 9. FEl impulso es un vectorque tiene una magnitudigual al “área bajo la curva”fuerza-tiempo. t ti tfEl impulso se puede escribir como: I = F Δ t , donde F esla fuerza promedio durante el intervalo de tiempo. F F t ti tf " Área " = I A una fuerza F que actúa en un tiempo muy corto se le llama fuerza impulsiva.
  10. 10. Colisiones Se llama colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. F12 F21 m1 m2Sea: m1 y m2 las masas de los cuerpos y v 1 i , v 2 i , v 1f y v 2 f son las velocidades iniciales y finales de las masas m1 y m2, respectivamente.Entonces, la conservación del momentum lineal establece que: m 1v 1i + m 2 v 2 i = m 1v 1f + m 2 v 2 f
  11. 11. Tipos de ColisionesSegún si se conserva o no la energía cinética delsistema de partículas que colisionan, las colisiones seclasifican en: inelásticas y elásticas.Una colisión inelástica es aquella en la que se conservael momentum del sistema, pero no se conserva laenergía cinética del sistema.Una colisión perfectamente inelástica entre dos objetos es unacolisión inelástica en la cual los dos objetos permanecen juntosdespués de la colisión, por lo que sus velocidades finales son lasmismas.Una colisión elástica es aquella en la que se conserva tanto elmomentum, como la energía cinética del sistema.
  12. 12. Tipos de ColisionesSegún las direcciones de las velocidades de laspartículas que colisionan, las colisiones se clasifican en:unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.Una colisión unidimensional es aquella en la que las direccionesde las velocidades de las partículas que colisionan, antes ydespués del choque, están todas contenidas en una misma línea.Una colisión bidimensional es aquella en la que las direcciones delas velocidades de las partículas que colisionan, antes y despuésdel choque, están todas contenidas en una misma superficie.Una colisión tridimensional es aquella en la que las direcciones delas velocidades de las partículas que colisionan, antes y despuésdel choque, están todas contenidas en el espacio.
  13. 13. Colisiones en Una DimensiónColisiones Perfectamente Inelásticas m1 m2 m1+m2 v1i v2i vfPor ley de conservación del momentum lineal, se tiene: m1 v1i + m 2 v 2i = (m1 + m 2 )v f (m 1 v1i + m 2 v 2i ) v f = v1f = v 2f = (m 1 + m 2 )
  14. 14. Colisiones perfectamente inelásticasPara colisiones perfectamente (m 1 v 1i + m 2 v 2 i ) vf =inelásticas se cumple que: (m 1 + m 2 ) vfSi m2 está inicialmente m1 vf = v 1ien reposo, entonces: (m 1 + m 2 ) m1+m2Si: m1» m2, entonces: v f ≈ v 1iSi: m1« m2, entonces: vf ≈ 0 m / s
  15. 15. Colisiones perfectamente inelásticasPara colisiones perfectamente (m 1 v 1i + m 2 v 2 i ) vf =inelásticas se cumple que: (m 1 + m 2 ) (m 1 − m 2 ) v 1i v2i Si: v 2 i = − v 1i , entonces: v f = v 1i (m 1 + m 2 ) m1 m2Si en este caso m1= m2, entonces: vf = 0 m/s
  16. 16. Colisiones Elásticas m1 v v 2 i m2 v 1f m1 m2 v 2f 1iPor ley de conservación del momentum lineal, se tiene: m 1v 1i + m 2 v 2 i = m 1v 1f + m 2 v 2 fPor ley de conservación de la energía cinética, se tiene: 1 1 1 1 m 1 v 1i + 2 m 2 v 2i = 2 m 1 v 1f + 2 m2v2 2f 2 2 2 2Si conocemos las velocidades de ambas partículas antes de lacolisión, las ecuaciones de arriba corresponden a un sistema dedos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen una soluciónúnica para ambas velocidades finales.
  17. 17. La solución al sistema de ecuaciones queda: ⎛ m1 − m 2 ⎞ ⎛ 2m 2 ⎞ v 1f = ⎜ ⎟ v 1i + ⎜ ⎟ v 2i ⎝ m1 + m 2 ⎠ ⎝ m1 + m 2 ⎠ ⎛ 2m 1 ⎞ ⎛ m 2 − m1 ⎞ v 2f = ⎜ ⎟ v 1i + ⎜ ⎟ v 2i ⎝ m1 + m 2 ⎠ ⎝ m1 + m 2 ⎠Casos especiales:a) Si: m1 = m 2 Entonces, se tiene: v 1f = v 2i y v 2f = v 1i ¡ Hay intercambio de velocidades !
  18. 18. b) Si m2 está inicialmente en reposo, entonces: v2i = 0 m/s Y las ecuaciones para las velocidades finales quedan: ⎛ m1 − m 2 ⎞ ⎛ 2m 1 ⎞ v 1f = ⎜ ⎟ v 1i v 2f = ⎜ ⎟ v 1i ⎝ m1 + m 2 ⎠ ⎝ m1 + m 2 ⎠ De aquí se obtienen los siguientes casos límites: Si: m 1 >> m 2 ⇒ v 1f ≈ v 1i y v 2f ≈ 2v 1i Si: m 1 << m 2 ⇒ v 1f ≈ − v 1i y v 2f ≈ 0
  19. 19. Colisiones en Dos Dimensiones Antes de la colisión Después de la colisión v1f m1 v1i m1 v 2i m2 m2 v 2fPara el caso de dos dimensiones la conservación del momentum seexpresa para cada componente como: m 1 v 1 ix + m 2 v 2 ix = m 1 v 1 fx + m 2 v 2 fx m 1 v 1 iy + m 2 v 2 iy = m 1 v 1 f y + m 2 v 2 f y
  20. 20. Consideraremos el caso en que m2 está inicialmente en reposo. Antes de la colisión Después de la colisión v 1 f sin( θ ) v 1f v 1 f cos ( θ ) v 1i θ) φ) m1 m2 v 2 f cos ( φ ) − v 2f sin(φ) v 2fDespués del choque m1 se mueve a un ángulo θ sobre lahorizontal y m2 se mueve a un ángulo φ bajo la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como: m1 v1i = m1 v1f cos(θ) + m2 v2f cos(φ) 0 = m1 v1f sen(θ) - m2 v2f sen(φ)
  21. 21. La ley de la conservación de la energía cinética da otraecuación: 1 1 1 1 m 1 v 1i + 2 m 2 v 2i = 2 m 1 v 1f + 2 m2v2 2f 2 2 2 2Con esta ecuación formamos un sistema de tres ecuacionesindependientes, con cuatro incógnitas.Por lo tanto, dadas las masas y la velocidad inicial, deberádarse alguna de las cantidades restantes v1f , v2f , θ o φ.
  22. 22. y Centro de Masa m1 m3 r3 El centro de masa de un r1 m2 R CM sistema de partículas es un r2 ri mi punto en el cual pareciera estar concentrada toda la masa del sistema. xz En un sistema formado por una distribución discreta de partículas, la posición del centro de masa se define mediante la ecuación siguiente : rCM = ∑m ri i = ∑m r i i ∑m i M
  23. 23. Centro de Masa de un objeto extendidoLa posición del centro de masade un objeto extendido o ydistribución continua de masa se mdefine mediante la integral: ri 1 rCM = M ∫ r dm R CM x zEl centro de masa de cualquierobjeto simétrico se ubica sobre eleje de simetría y sobre cualquierplano de simetría.
  24. 24. Movimiento de un Sistema de PartículasSi se deriva respecto al tiempo la posición del centro de masa deun sistema de partículas, se obtiene la velocidad del centro demasa: d rC M 1 d ri v CM = dt → v CM = M ∑ mi dt v CM = ∑m v i i M El momentum total del sistema es: Mv CM = ∑m v i i = ∑p i = p tot p tot = M v CM
  25. 25. La aceleración del centro de masa se obtiene, por definición,derivando con respecto al tiempo la velocidad del centro demasa, o sea: dv C M 1 dv i a CM = dt → a CM = M ∑ mi dt a CM = ∑ m ia i MDe esta definición y con la Segunda Ley de Newton, se tiene: M a CM = ∑ m ia i = ∑ Fi
  26. 26. Y tomando en cuenta la 3ra. Ley de Newton, se tiene la ley: d p to t ∑F ext = M a CM = dt El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.
  27. 27. La fuerza neta actúa sobre un cuerpo como si éste fuese un objeto puntual y toda la masa del objeto estuviera concentrada en un sólo punto que es el Centro de Masa. ¡ El centro de masa del bate sigue una trayectoria parabólica,como la seguida por un objeto puntual bajo la acción de unafuerza gravitacional !
  28. 28. v 1i v 2i = 0 Colisión vf perfectamente inelásticaPor otro lado, es inmediato que si las fuerzas externas se anulan, elcentro de masa se mueve con velocidad uniforme. d p tot = M a CM = 0 dtPor lo que: p tot = M v C M = c te.

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