Vedic Math - Teachers manual 1 romanian edition

Publicat de Inspiration Books, 2009,
Kensglen, Nr Carsphairn, Castle Douglas, DG7 3TE, Scotland, U.K.
ISBN 978-1-902517-16-2
© K. R. Williams 2002
Prima publicație: 2002 de Inspiration Books.
Ediție revizuită 2009.
Traducere: Daniela Panait (2012)

PREFAȚĂ
Acest manual este primul dintr-o serie de trei manuale de sine stătătoare (de
nivel Elementar, Intermediar și Avansat) ce sunt destinate adulților cu o
pregătire de bază în domeniul matematicii și care doresc să învețe sau să predea
sistemul vedic. Profesorii ar putea folosi acest manual pentru a învăța
Matematica Vedică. Cu toate acestea, cele trei manuale nu sunt destinate
copiilor ce doresc să învețe acest sistem (pentru ei, ”Calculatorul Cosmic” este
recomandat). Mai poate fi folosit pentru a preda un curs de Matematică Vedică.
Acest manual este potrivit pentru profesorii de gimnaziu.
Cele șaisprezece lecții ale acestui curs sunt bazate pe un curs de o săptămână
ținut la Universitatea Oxford de către autor pentru matematicienii suedezi între
1990 și 1995. Acele cursuri intensive cuprindeau optsprezece lecții de o oră și
jumătate fiecare.
Toate tehnicile sunt pe deplin explicate și demonstrațiile furnizate acolo unde
este necesar, Sutrele relevante sunt indicate pe parcurs (acestea sunt listate la
sfârșitul manualului) și, pentru comoditate, răspunsurile sunt furnizate la
sfârșitul fiecărui exercițiu. Referințele sunt menționate pe parcurs cu referire la
anumite subiecte ce pot fi aprofundate ulterior.
Trebuie menționat faptul că în sistemul Vedic, calculul mintal este preferat, iar
studenții sunt încurajați să efectueze calculele mintal acolo unde acest lucru este
posibil. În ”Calculatorul Cosmic”, copiilor le este furnizat un scurt test mintal la
fiecare început de lecție, un început bun pentru recapitularea noțiunilor deja
învățate și de introducere a unor idei noi din lecția curentă. Cursul ”Calculatorul
Cosmic” conține multe jocuri ce ajută la stabilizarea și promovarea încrederii
folosirii sistemului Vedic.
Câteva noțiuni sunt absente din text: de exemplu, nu există secțiune specială
pentru arii, ci doar o simplă menționare. Aceasta se datorează faptului că
metodele actuale sunt aceleași cu cele învățate, diferențele notabile vor apărea
cu privire la Sutrele relevante.

PREFAȚĂ iii
LECȚIA 1 COMPLETÂND ÎNTREGUL
1
1.1 INTRODUCERE 1
1.2 CERCUL CELOR ZECE PUNCTE
3
1.3 MULTIPLII LUI ZECE 4
1.4 DIFERENȚA PÂNĂ LA ZECE
5
DEFICIENȚA ȘI COMPLETAREA
ÎMPREUNĂ 5
1.5 ADUNAREA MENTALĂ 6
COMPLETÂND ÎNTREGUL 7
COLOANE DE CIFRE 9
1.6 PRIN ADUNARE ȘI PRIN
SCĂDERE 11
SCĂDEREA NUMERELOR APROPIATE
DE O BAZĂ 12
LECȚIA 2 DUBLÂND ȘI
ÎNJUMĂTĂȚIND 14
2.1 DUBLÂND 14
ÎNMULȚIREA CU 4, 8 16
2.2 ÎNJUMĂTĂȚIND 17
SEPARAREA NUMERELOR 18
ÎMPĂRȚIREA LA 4, 8 18
2.3 EXTINDEREA TABLELOR 19
2.4 ÎNMULȚIREA CU 5, 50, 25 20
2.5 ÎMPĂRȚIREA LA 5, 50, 25 21
ÎMPĂRȚIREA LA 5 21
ÎMPĂRȚIREA LA 50, 25 22
LECȚIA 3 SUMA CIFRELOR 24
3.1 ADUNAREA CIFRELOR 24
3.2 CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE 26
3.3 ELIMINAREA LUI NOUĂ 26
3.4 PUZZLE-URI CU SUMA
CIFRELOR 29
MAI MULTE PUZZLE-URI 30
3.5 VERIFICAREA PRIN SUMA CIFRELOR
31
VERIFICAREA ÎNMULȚIRII 33
3.6 PĂTRATUL VEDIC 34
3.7 ȘABLOANE DIN PĂTRATUL
VEDIC 36
3.8 NUMĂRUL NOUĂ 37
LECȚIA 4 DE LA STÂNGA LA
DREAPTA 40
4.1 ADUNAREA: DE LA STÂNGA LA
DREAPTA 40
4.2 ÎNMULȚIREA: DE LA STÂNGA LA
DREAPTA 42
4.3 DUBLÂND ȘI ÎNJUMĂTĂȚIND 43
4.4 SCĂDEREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA
44
4.5 VERIFICAREA SCĂDERILOR 45
4.6 MAI MULTE SCĂDERI 46
LECȚIA 5 TOATE DIN 9 ȘI ULTIMUL DIN 10
5.1 APLICAREA FORMULEI 48
5.2 SCĂDEREA 49
ADĂUGAREA ZEROURILOR 50
CU UNUL MAI PUȚIN 51
CU UNUL MAI MULT 51
ÎNCĂ O DATĂ, CU UNUL MAI PUȚIN 52
5.3 BANII 53
LECȚIA 6 SEPARAREA NUMERELOR 54
6.1 ADUNAREA 54
6.2 SCĂDEREA 55
6.3 ÎNMULȚIREA 56
6.4 ÎMPĂRȚIREA 57
LECȚIA 7 ÎNMULȚIREA DE BAZĂ59
7.1 TABLELE ÎNMULȚIRII 59
7.2 NUMERE IMEDIAR SUPERIOARE LUI 10 61
7.3 ȘABLOANELE TABLELOR ÎNMULȚIRII 62
PERIODICITATEA ZECIMALELOR 64
7.4 NUMERE APROPIATE DE 100 65
MINTAL 67
NUMERE PESTE 100 68
MATEMATICA MENTALĂ 69
ÎNMULȚIREA ȚĂRĂNEASCĂ
RUSEASCĂ 69
7.5 NUMERE MARI 70
NUMERE MAI MARI DECÂT
BAZA 71
7.6 PROPORȚIONAL 71
O ALTĂ APLICAȚIE A FORMULEI 73
7.7 ÎNMULȚIREA NUMERELOR CU BAZE
DIFERITE 74
7.8 RIDICAREA LA PĂTRAT A NUMERELOR
APROPIATE DE O
BAZĂ 75
7.9 UN REZUMAT 77
CUPRINS

LECȚIA 8 VERIFICAREA ȘI
DIVIZIBILITATEA 78
8.1 SUMA CIFRELOR ȘI ÎMPĂRȚIREA 78
8.2 PRIMUL CU PRIMUL ȘI ULTIMUL CU
ULTIMUL 79
PRIMUL CU PRIMUL 79
ULTIMUL CU ULTIMUL 81
8.3 DIVIZIBILITATEA CU 4 81
8.4 DIVIZIBILITATEA CU 11 82
RESTUL ÎMPĂRȚIRII LA 11 83
O ALTĂ VERIFICARE PRIN SUMA
CIFRELOR 84
LECȚIA 9 NUMERELE CU BARĂ 85
9.1 ELIMINAREA NUMERELOR CU BARĂ
85
TOATE DIN 9 ȘI ULTIMUL DIN 10 87
9.2 SCĂDEREA 88
9.3 CREAREA NUMERELOR CU
BARĂ 89
9.4 UTILIZAREA NUMERELOR CU BARĂ
91
LECȚIA 10 ÎNMULȚIREA
SPECIALĂ 92
10.1 ÎNMULȚIREA CU 11 92
SURPLUSURI 94
NUMERE MARI 94
10.2 CU UNUL MAI MULT DECÂT CEL
PRECEDENT 96
10.3 ÎNMULȚIREA CU MAI MULTE CIFRE
DE 9 97
10.4 PRIMUL CU PRIMUL ȘI ULTIMUL CU
ULTIMUL 98
10.5 FOLOSIND VALOAREA MEDIE 99
10.6 NUMERE SPECIALE 101
NUMERE CARE SE REPETĂ 101
PROPORȚIONAL 102
DISIMULĂRI 102
LECȚIA 11 ÎNMULȚIREA
GENERALĂ 105
11.1 RECAPITULARE 105
11.2 NUMERE DE DOUĂ CIFRE 106
SURPLUS 107
11.3 ÎNMULȚIREA MOBILĂ 109
11.4 EXTINDERE 111
11.5 ÎNMULȚIREA BINOAMELOR 112
11.6 ÎNMULȚIREA NUMERELOR DE TREI
CIFRE 114
11.7 CALCULE SCRISE 116
LECȚIA 12 RIDICAREA LA PĂTRAT 119
12.1 PĂTRATUL UNUI NUMĂR CE SE
TERMINĂ ÎN 5 119
12.2 PĂTRATUL UNUI NUMĂR APROPIAT DE
50 120
12.3 METODA GENERALĂ 121
DUPLEX 121
12.4 SEPARAREA NUMERELOR 123
12.5 PĂTRATUL EXPRESIILOR ALGEBRICE 124
12.6 SUMA CIFRELOR UNUI PĂTRAT 125
12.7 RĂDĂCINILE PĂTRATE LE NUMERELOR
PĂTRATE PERFECTE 126
12.8 NUMERE DE 3 SAU 4 CIFRE 128
LECȚIA 13 ECUAȚII 130
13.1 ECUAȚII ÎNTR-UN PAS 130
13.2 ECUAȚII ÎN DOI PAȘI 131
13.3 ECUAȚII ÎN TREI PAȘI 132
LECȚIA 14 FRACȚII 134
14.1 VERTICAL ȘI ÎN DIAGONALĂ 134
14.2 O SIMPLIFICARE 136
14.3 COMPARAREA FRACȚIILOR 137
14.4 UNIFICAREA OPERAȚIILOR 138
LECȚIA 15 ÎNMULȚIRI SPECIALE 139
15.1 ÎMPĂRȚIREA LA 9 139
NUMERE MARI 141
SURPLUS 142
O SCURTĂTURĂ 142
15.2 ÎMPĂRȚIREA LA 8 ETC. 143
15.3 ÎMPĂRȚIREA LA 99, 98 ETC. 145
15.4 DIVIZOR INFERIOR UNEI BAZE 146
CÂTURI DE DOUĂ CIFRE 148
15.5 DIVIZOR SUPERIOR UNEI BAZE 150
LECȚIA 16 GIUVAIERUL COROANEI 152
16.1 O SIGURĂ CIFRĂ LA INDICATOR
152
16.2 DIGRESIUNE ASUPRA UNEI ÎMPĂRȚIRI
RAPIDE 153
16.3 NUMERE MARI 155
16.4 INDICATOR NEGATIV 157
16.5 RESTUL ZECIMAL 159
SUTRE ȘI SUB-SUTE 160
CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE 162
REFERINȚE 163
INDEX SUTRE VEDICE 164
INDEX SUB-SUTRE 166

REZUMAT
1.1 Introducere – informaţii generale despre Matematica Vedică.
1.2 Cercul celor zece puncte – reprezentarea numerelor pe un cerc.
1.3 Multiplii lui zece
1.4 Diferența până la zece – legătura dintre numere și multiplii lui zece.
1.5 Adunarea mentală
1.6 Prin adunarea şi prin scăderea – numerelor apropriate de un multiplu al lui zece.
Matematica Vedică este un sistem matematic antic ce a fost redescoperit la începutul secolului
trecut de către Sri Bharati Krsna Tirthaji (mult mai cunoscut sub numele de Bharati Krsna).
Cuvântul sanscrit “Veda” înseamnă “cunoaştere”. Vedele sunt scrieri antice ale căror dată
precisă nu se cunoaște, dar se presupune că datează cu câteva secole înaintea lui Hristos.
Conform tradiției indiene, conținutul Vedelor a fost cunoscut cu mult înainte de inventarea
scrisului și a fost accesibil oricui. Transmiterea lor s-a facut pe cale orală, prin viu grai.
Scrierile numite Vede au constat într-un număr mare de documente (se spune că există în
India milioane de astfel de scrieri, multe dintre ele nefiind traduse încă) și, de curând, s-a
arătat că sunt bine structurate, atât în conținutul lor cât și în relația dintre ele (vedeți referința
2). Domeniile acoperite de Vede includ gramatica, astronomia, arhitectura, psihologia,
filosofia, tragerea cu arcul etc.
Acum o sută de ani, savanții sanscriți au tradus documentele Vedice și au fost surprinși de
profunzimea și actualitatea conținuturilor. Dar, câteva documente numite ”Ganita Sutras”, ce
înseamnă ”matematică”, nu au putut fi interpretate de ei în termeni matematici. De exemplu,
unul din versuri, spune ”în regatul regelui Kamse, foametea, molima și condițiile neigienice
predomină”. Au spus că aceasta nu este matematică, ci un lucru lipsit de sens.
Bharati Krsna s-a născut în 1884 și a murit în 1960. A fost un student extraordinar, obținând
mari onoruri în toate subiectele ce le-a studiat, cum ar fi sanscrita, filosofia, engleza,
matematica, istoria și științele. Când a auzit ce spuneau savanții europeni despre anumite
extrase din Vede ce prespuneau a conține noțiuni matematice, s-a decis să studieze aceste
documente pentru a le afla semnificația. Între 1911 și 1918, a reușit să reconstruiască sistemul
matematic antic ce este acum numit Matematica Vedică.
A scris șaisprezece cărți în care a explicat acest sistem, dar, din păcate, acestea au fost
pierdute, iar când pierderea a fost confirmată în 1958, Bharati Krsna a scris o singură carte
LECŢIA 1
COMPLETÂND ÎNTREGUL
1.1 INTRODUCERE

MANUAL DE MATEMATICĂ VEDICĂ 12
introductivă numită ”Matematica Vedică”. Această carte încă se mai găseste și este un best-
seller (vedeți referința 1).
Prezentul autor a găsit cartea ”Matematica Vedică” în 1971 și a dezvoltat conținutul acestei
cărți pentru aplicarea acestui sistem în domenii neacoperit până atunci de Bharati Krsna. Tot
ceea ce nu se găsește în cartea ”Matematica Vedică” a fost dezvoltat independent de către
autor.
Sunt multe aspecte și utilizări ale Matematicii Vedice ce sunt mai bine de discutat pe parcurs
decât acum pentru că că este bine să observăm un sistem în acțiune pentru a-l aprecia pe de-a
întregul. Dar, pentru moment, punctele principale sunt:
1) Sistemul redescoperit de Bharati Krsna se bazează pe șaisprezece formule (sau Sutre) și
câteva sub-formule (sub-Sutre). Aceste Sutre sunt date sub formă de fraze: de exemplu, Cu
unul mai mult decât cel dinainte sau Vertical și în diagonală. În acest text, ele sunt indicate
prin caractere italice. Sutrele pot fi legate de funcții mintale cum ar fi completând un întreg,
observând analogii, generalizări ș.a.m.d.
2) Acest sistem nu furnizează numai o multitudine de metode generale și speciale necunoscute
până acum, dar este, de departe, un sistem mult mai coerent și integrat.
3) Matematica Vedică este un sistem matematic mental (deși poate fi și scris).
Multe din metodele matematice sunt noi, simple și fascinante. De asemenea, sunt bine
corelate astfel încât împărțirea, de exemplu, poate fi văzută ca inversa metodei de înmulțire
(la fel și pentru ridicarea la putere și extragerea radicalului). Acest fapt apare în contrast cu
sistemul modern pentru că metodele vedice sunt atât de diferite de metodele convenționale, și
pentru a ne familiariza cu sistemul Vedic, este de preferat să practicăm tehnicile pe parcursul
lecțiilor.
“Sutrele (aforismele) se aplică și acoperă fiecare parte
a fiecărui capitol al tuturor ramurilor matematicii
(incluzând aritmetica, algebra, geometria – plană și în
spațiu, trigonometria – plană și sferică, conicele-
geometrice și analitice, astronomia, analiza
matematică – diferențială și integral, etc., etc. De fapt,
nu există parte a matematicii, pură sau aplicată, ce
este înafara juristricției lor”
Din “Matematica Vedică”, Pagina xvi.

1: COMPLETÂND ÎNTREGUL 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
Numerele încep de la unu.
Apoi urmează numărul doi, apoi trei și așa mai departe.
Sutra Cu unul mai mult decât cel dinainte descrie generarea numerelor pornind de la unitate.
Aritmetica este studiul comportamentului numerelor și, așa cum fiecare persoana este diferită
și specială, așa sunt și numerele.
Fiecare număr este special și atunci când începem să le cunoștem, ele ne devin prietene.
[O descriere a numerelor poate fi introdusă aici.]
Câteodată, este foarte util ca cele zece numere să fie
aranjate în jurul unui cerc, așa cum sunt ilustrate aici:
Folosim nouă cifre și zero.
Pentru numerele mai mari de nouă vom folosi
două sau mai multe dintre acestea pentru a forma
numere precum 10, 11, 12 ș.a.m.d.
Continuând așa în jurul cercului punem 11
unde avem 1, dar mai depărtat pe ramura lui 1.
Iar numărul 12 va fi poziționat lângă 2 ș.a.m.d..
Acest cerc poate fi folosit pentru a adăuga numere, dar și pentru a le lua, exact cum folosim o
linie de numere. Trebuie observat faptul că numerele de pe o ramură se termină cu aceeași
cifră, iar multiplii lui 10 apar pe ramura din partea de sus.
1.2 CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 21

De exemplu, adunarea 24 + 26 este ușor de efectuat pentru că, dacă adunăm 4 cu 6,
obținem 10.
Așadar, 24 + 26 = 50.
Este important de știut cele cinci perechi de numere ce adunate dau 10:
1 + 9 = 10, 2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 4 + 6 = 10, 5 + 5 = 10.
Aceste perechi sunt ilustrate în figura de mai sus.
Sutra Prin completare sau necompletare descrie abilitatea fiecăruia de a vedea și utiliza
multiplii lui 10 pentru a forma un întreg.
Aplicația A Efectuați următoarele adunări:
a 6 + 4 b 4 + 16 c 5 + 25 d 13 + 7 e 22 + 8
f 38 + 2 g 54 + 6 h 47 + 3 i 61 + 9 j 85 + 5
a 10 b 20 c 30 d 20 e 30
f 40 g 60 h 50 i 70 j 90
Completarea zecilor poate fi făcută și printr-o altă metodă.
1.3 MULTIPLII LUI ZECE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
“Băiețeii vin dansând cu bucurie, iar profesorii îi
întreabă, ’Ei bine, cum un răspuns poate fi obținut fără
vreu calcul intermediar?’”.
Din “Metafizica Vedică”, Pagina 168.

38 + 5 = ? Se știe că 38 este aproape de 40 și cu 2 mai mic decât acesta.
Astfel, luăm 2 din 5 pentru a forma 40 apoi adăugăm 3 (restul rămas)
pentru a obține rezultatul final, adică 43.
38 40 43
| | | | | | | |
Aplicația B Efectuați următoarele adunări:
a 37 + 23 b 42 + 28 c 54 + 16 d 49 + 21
e 45 + 35 f 72 + 18 g 38 + 22 h 35 + 35
a 60 b 70 c 70 d 70
e 80 f 90 g 60 h 70
Sutra Vedică Prin diferență se referă la capacitatea naturală de a observa cât îi lipsește unui
număr pentru a forma un întreg.
Aplicația C Completați numerele ce lipsesc.
a 37 este aproape de și cu mai mic decât acesta.
b 49 este aproape de și cu mai mic decât acesta.
c 68 este aproape de și cu mai mic decât acesta.
a 40, 3 b 50, 1 c 70, 2
DEFICIENȚA ȘI COMPLETAREA ÎMPREUNĂ
Adunarea devine mai ușoară prin completarea la întreg.
1.4 DIFERENȚA PÂNĂ LA 10
Putem observa că 39 este aproape de 40 și este cu 1 mai puțin decât acesta, iar 58
este aproape de 60 și cu 2 mai puțin decât acesta.
2
3

Ne putem imagina o axă gradată, sau ne putem desena una sau putem folosi cercul celor 10
puncte pentru a aduna numerele folosind această tehnică.
Aplicația D
a 49 + 5 b 58 + 3 c 37 + 6 d 28 + 6
e 79 + 6 f 38 + 7 g 57 + 7 h 69 + 4
a 54 b 61 c 43 d 34
e 85 f 45 g 64 h 73
Paote fi scris și pasul intermediar, dar este de preferat ca acestă să fie făcut în minte.
Aplicația E Efectuați:
a 37 + 47 b 55 + 28 c 47 + 25 d 29 + 36
e 56 + 25 f 38 + 26 g 29 + 44 h 35 + 49
a 84 b 83 c 72 d 65
e 81 f 64 g 73 h 84
1.5 DUNAREA MENTALĂ
Atunci când avem de a face cu o adunare cu trecere peste ordin, cum ar fi 56 + 26,
putem efectua această adunare în minte, astfel:
În 56 + 26 avem 7 zeci sau 70. 5 6
Apoi, la unități, 6 + 6 = 12. Și, 70 + 12 = 82. + 2 6
Așadar, 56 + 26 = 82. 8 2
1
De asemenea, această adunare, poate fi scrisă astfel: 56 + 26 = 712 = 82, scriind 12
ca 12 pentru a arăta că 1 din 12 trebuie adăugat la cifra din stânga.
În mod similar, 48 + 45 = 813 = 93.
4
5
“Sutrele sunt ușor de înțeles, ușor de aplicat și
ușor de reținut; iar toată munca poate fi rezumată
într-un cuvânt “mintal”.
Din “Matematica Vedică”, Pagina xvi.

COMPLETÂND ÎNTREGUL
În puzzle-ul de mai jos trebuie să găsiți trei numere care adunate ne dau 10.
Sunt opt răspunsuri pentru acest puzzle, iar unul dintre acesta este: 1 + 2 + 7 = 10.
Dar nu puteți avea 2 + 1 + 7 = 10 ca un al doilea răspuns: aceste numere trebuie să difere.
Nu puteți folosi zero, dar puteți folosi un număr de mai multe ori.
Aplicația F  Vedeți câte puteți găsi.
1 + 2 + 7 = 10
+ + = 10
+ + = 10
+ + = 10
+ + = 10
+ + = 10
+ + = 10
+ + = 10
2+2+6
1+1+8 2+3+5
1+3+6 2+4+4
1+4+5 3+3+4
Atunci când trebuie să adunăm mai multe numere, este foarte util să căutăm multiplii lui 10
(i.e. 10, 20, 30 etc.).

Aplicația G Efectuați:
a 3 + 2 + 8 b 9 + 8 + 1 c 7 + 2 + 4 + 3
d 4 + 5 + 5 + 7 e 8 + 9 + 2 f 7 + 6 + 2 + 4
De exemplu, dacă trebuie să aflați rezultatul calculului 6 + 7 + 4 ar trebui să
observați că 6 și 4 fac 10. Apoi adăugați 7 la sfârșit pentru a obține 6 + 7 + 4 = 17.
De asemenea, în adunarea 3 + 6 + 2 + 5 puteți observa că 3, 2 și 5 ne dau 10, astfel,
le adunăm pe acestea, iar pe 6 la sfârșit pentru a obține 3 + 6 + 2 + 5 = 16.
6
7

g 8 + 8 + 3 + 2 h 7 + 6 + 3 + 4 i 4 + 7 + 4 + 2
j 6 + 9 + 2 + 2 k 7 + 5 + 1 + 2 l 3 + 5 + 4 + 3
a 13 b 18 c 16
d 21 e 19 f 19
g 21 h 20 i 17
j 19 k 15 l 15
Puteți completa multipli de zece și pentru numere mai mari.
You can link the numbers that make a multiple of ten as shown below:
Aplicația H Folosind metoda de completare a întregului, adunați următoarele numere.
a 29 + 7 +1 + 5 b 16 + 3 + 6 + 17 c 8 + 51 + 12 + 3
d 37 + 7 + 21 + 13 e 13 + 16 + 17 + 24 f 12 + 26 + 34 + 8
g 33 + 25 + 22 + 15 h 18 + 13 + 14 + 23 i 3 + 9 + 5 + 7 + 1
j 27 + 15 + 23 k 43 + 8 + 19 + 11 l 32 + 15 + 8 + 4
m 24 + 7 + 8 + 6 + 13 n 6 + 33 + 24 + 17 o 23 + 48 + 27
a 42 b 42 c 74
d 78 e 70 f 80
g 95 h 68 i 25
j 65 k 81 l 59
m 58 n 80 o 98
În exemplul, 19 + 8 + 1 puteți observa că 19 + 1 însumează 20, astfel le putem
aduna pe acestea mai întâi și apoi pe 8.
Deci, 19 + 8 + 1 = 28.
Presupunând că dorim să aflăm rezultatul calculului 33 + 28 + 4 + 32.
Observați că 28 și 32 formează un multiplu de zece ; însumându-le obținem 60,
apoi adaugând 33, obținem 93, apoi 4 obținând astfel rezultatul final 97.
Deci, 33 + 28 + 4 + 32 = 97.
9
8
33 + 28 + 4 + 32 = 97

COLOANE DE CIFRE
Metoda de completare a întregului poate fi folosită și atunci când adunăm numerele așezându-
le unele sub altele.
Aplicația I  Efectuați:
a 4 4 b 3 5 c 4 8 d 6 3 2 7 e 5 4 9
2 2 7 6 3 8 5 8 4 1 8 2
6 5 4 5 + 6 2 7 4 3 + 3 1 7
8 6 + 7 1 + 2 4 1
7 2 6
3 2 1 +
a 217 b 156 c 219 d 7654 e 2336
De exemplu, dacă avem următorul calcul: 2 7
3 5
4 3
8 2 +
ne uităm pe coloana unităților și observăm un 7 și un 3, ce adunate ne dau 10. Apoi
adunăm restul numerelor, obținând astfel un total de 17 pe această coloană.
Scrieți 17 așa cum este ilustrat mai jos:
2 7
3 5
6 3
8 2 +
7
1
Adunați apoi cifrele de pe coloana zecilor căutând întregii.
Puteți observa că 2 + 8 = 10, astfel obținând un total de 19 la care adugăm surplusul
de la adunarea unităților :
2 7
3 5
6 3
8 2 +
2 0 7
1
10

Aplicația J Efectuați:
a 4 7 b 3 5 c 4 8 d 3 3 2 7 e 2 4 2
2 3 2 8 3 9 2 5 7 7 1 8 8
3 6 5 7 8 8 5 8 5 1 1 5
3 6 + 3 2 + 7 1 + 3 8 3 + 2 4 3
7 9 6
3 2 1 +
a 142 b 152 c 246 d 6872 e 1905
Presupunând că avem: 8 2 4
6 5 6
8 5
3 8 +
Se observă imediat un 10 (4+6) în prima coloană. Avem, de asemenea, un 13 (5+8).
Adunând 13 cu 10 obținem 23. Scriem 3 și ținem minte 2:
8 2 4
6 5 6
8 5
3 8 +
3
2
În următoarea coloană observăm încă un 10 (2+8) și un 8 (5+3).
Obținem 18, ce va deveni 20 prin adăugarea surplusului de la adunarea precedentă.
Scriem 0 și tinem minte 2:
8 2 4
6 5 6
8 5
3 8 +
1 6 0 3
2 2
Adunând coloana din stânga obținem 14, la care adăgăm surplusul, obținând în final
16.
11

Numere precum 9, 19, 18, 38, ce sunt aproape de multiplii lui zece pot fi adunate și scăzute
foarte ușor.
Aceasta ilustrează Sutra Prin adunare și prin scădere.
Aplicația K Încercați metoda mai sus ilustrată prin următoarele exerciții:
a 55 + 9 b 64 + 9 c 45 + 9 d 73 + 9
e 82 + 9 f 26 + 9 g 67 + 9 h 38 + 9
a 64 b 73 c 54 d 82
e 91 f 35 g 76 h 47
Aplicația L
a 44 + 19 b 55 + 29 c 36 + 49 d 73 + 19
e 47 + 39 f 26 + 59 g 17 + 69 h 28 + 29
a 63 b 84 c 85 d 92
e 86 f 85 g 86 h 57
În mod similar, putem aduna cu 18, adăugând 20 și luând 2. Sau putem aduna cu 38,
adăugând 40 și luând 2.
Sau, adunând cu 37 prin adăugarea lui 40 și scăderea lui 3.
1.6 PRIN ADUNARE ȘI PRIN SCĂDERE
Presupunând că trebuie să aflăm rezultatul adunării 33 + 9.
Cum 9 este cu 1 mai mic decât 10, putem adăuga 10 și scade 1: 33+10–1.
Adăgând 10 la 33, obținem 43, și scăzând 1 rămânem cu 42.
Astfel, 33 + 9 = 42.
În mod similar, se face adunarea cu 19, se adaugă 20 și se scade 1.
Astfel, 66 + 19 = 85.
Adăugând 20 la 66 se obține 86 din care luăm 1 pentru a obține rezultatul final, 85.
Pentru a obține 54 + 39, putem adăuga 40 la 54 apoi lua 1 pentru a obține rezultatul
final, 93.
Astfel, 54 + 39 = 93.
12
13
14

Aplicația M Efectuați:
a 44 + 18 b 44 + 27 c 55 + 28 d 35 + 37
e 62 + 29 f 36 + 37 g 19 + 19 h 28 + 29
a 62 b 71 c 83 d 72
e 91 f 73 g 38 h 57
Sumele de mai jos sunt ca cele de mai sus cu excepția faptului că numărul ce este mai mic
decât un multiplu al lui 10 este primul număr din calculul ce trebuie efectuat.
Aplicația N Efectuați:
a 39 + 44 b 33 + 38 c 48 + 35 d 27 + 34
e 33 + 28 f 9 + 73 g 18 + 19 h 26 + 27
a 83 b 71 c 83 d 61
e 61 f 82 g 37 h 53
SCĂDEREA NUMERELOR APROPIATE DE O BAZĂ
O metodă similară poate fi folosită la scăderea numerelor apropiate de o bază.
De exemplu, 33 + 48 = 81: adăugăm 50 la 33 pentru a obține 83 și scădem 2, pentru
că 48 este cu 2 mai mic decât 50.
De exemplu, putem avea 29 + 55.
Adăugăm 30 la 55 și luăm 1 pentru a obține 29 + 55 = 84.
Dat fiind următorul exemplu 55 – 19, putem observa că 19 este cu 1 mai mic decât
20. Scădem 20 din 55 (pentru a obține 35) și adăugăm 1.
Astfel, 55 – 19 = 36.
Iar, 61 – 38 = 23 pentru că luăm 40 din 61 (pentru a obține 21) și adăugăm 2
înapoi.
15
16
17
18

Aplicația O Efectuați:
a 44 – 19 b 66 – 29 c 88 – 49 d 55 – 9
e 52 – 28 f 72 – 48 g 66 – 38 h 81 – 58
i 83 – 36 j 90 – 66 k 55 – 27 l 60 – 57
a 25 b 37 c 39 d 46
e 24 f 24 g 28 h 23
i 47 j 24 k 28 l 3
“Și suntem plăcut surprinși și imens încântați să
descoperim faptul că cele mai grele probleme
matematice (pentru care, cei mai avansați
matematicieni occidentali ai epocii noatre au investit
mult timp, energie și bani și care și acum pot fi
rezolvate cu mare dificultate implicând un mare număr
de calcule intermediare) pot fi cu ușurință și
literalmente rezolvate cu ajutorul unor mult prea
ușoare Sutre Vedice (sau aforisme matematice)
conținute în Parishishta (Apendix) din
ATHARVAVEDA, în câțiva pași simpli și prin metode
ce pot fi calificate drept ”calcul mental”.
Din “Matematica Vedică”, Pagina xv.

REZUMAT
2.1 Dublând – înmulțind cu 2, 4, 8.
2.2 Înjumătățind – împărțind prin 2, 4, 8.
2.3 Extinderea tablelor – folosind dublarea şi înjumătăţirea.
2.4 Înmulțirea cu 5, 50, 25
2.6 Împărțirea la 5, 50, 25
Dublarea și înjumătățirea sunt operații foarte ușoare și pot fi folosite pentru calculul rapid.
Adunând două numere identice înseamnă a dubla.
Aceasta este o parte din Sutra Proporțional a Matematicii Vedice.
Aplicația A  Dublați următoarele numere. Scrieți doar răspunsul.
a 24 b 41 c 14 d 45 e 15 f 25
g 36 h 27 i 18 j 29 k 34 l 48
a 48 b 82 c 28 d 90 e 30 f 50
g 72 h 54 i 36 j 58 k 68 l 96
LECŢIA 2
DUBLÂND ȘI ÎNJUMĂTĂȚIND
De exemplu, pentru a dubla numărul 34 ne putem gândi la 34 + 34, adică 68.
Este același lucru cu înmulțirea lui 34 cu 2.
34 + 34 = 2 × 34 sau 34 × 2.
Așadar, dublul lui 42 este 84.
Dublul lui 35 este 70.
Și dublul lui 26 este 52, pentru că 26 + 26 = 52.
1
2
2.1 DUBLÂND

2: DUBLÂND ŞI ÎNJUMĂTĂŢIND 15
În următorul exercițiu scrieți doar răspunsul la operația cerută.
Aplicația B Dublați următoarele numere:
a 58 b 61 c 73 d 65 e 66
f 88 g 76 h 91 i 380
a 116 b 122 c 146 d 130 e 132
f 176 g 152 h 182 i 760
Aplicația C Dublați aceste numere:
a 362 b 453 c 612 d 319 e 707
f 610 g 472 h 626 i 1234 j 663
a 724 b 906 c 1224 d 638 e 1414
f 1220 g 944 h 1252 i 2468 j 1326
Pentru a dubla numărul 68 ne gândim la dublul lui 60 și dublul lui 8, adunându-le
apoi.
Dublul lui 60 este 120,
Dublul lui 8 este 16.
Adunând 120 la 16, obținem 136.
Pentru a dubla numărul 680, îl dublăm pe 68 apoi adăugăm ‘0’ la sfârșit: 1360.
Pentru a dubla numărul 273, dublăm 270 și 3.
Obținem, astfel: 540 + 6 = 546.
Pentru a dubla numărul 636, putem dubla 600 și 36 pentru a obține 1200, respectiv
72.
Răspunsul este 1272.
3
4
5
6

Astfel, pentru 35 × 4 se dublează 35 și se obține 70,
apoi se mai dublează încă o data pentru a obține 140.
Așadar, 35 × 4 = 140.
Pentru 26 × 8 se dublează de trei ori.
Dublând 26 obținem 52, dublând 52 obținem 104, dublând 104 obținem 208.
Așadar, 26 × 8 = 208.
Pentru 7½ × 8, se dublează 7½ de trei ori.
Se obține: 15, 30, 60, astfel 7½ × 8 = 60.
Pentru 2¾ × 8, se dublează 2¾ de trei ori.
Se obține : 5½, 11, 22, astfel 2¾ × 8 = 22.
ÎNMULȚIREA CU 4, 8
Putem înmulți cu 4 prin dublarea numărului de două ori.
Și pentru a înmulți cu 8, se dublează numărul de trei ori.
Aplicația D  Efectuați:
a 53 × 4 b 28 × 4 c 33 × 4 d 61 × 4
e 18 × 4 f 81 × 4 g 16 × 4 h 16 × 8
i 22 × 8 j 45 × 8
a 212 b 112 c 132 d 244
e 72 f 324 g 64 h 128
i 176 j 360
Dublând jumătăți și sferturi poate fi la fel de ușor.

Aplicația E  Efectuați:
a 8½ × 4 b 11½ × 8 c 19½ × 4 d 2¼ × 4
e 5½ × 8 f 9½ × 4 g 30½ × 4 h 3¼ × 4
a 34 b 92 c 78 d 9
e 44 f 38 g 122 h 13
7
8
9
10

Înjumătățirea este operația opusă dublării.
Aplicația F  Găsiți jumătățile acestor numere:
a 10 b 6 c 40 d 14 e 50 f 90
a 5 b 3 c 20 d 7 e 25 f 45
Aplicația G Exersați, înjumătățind aceste numere:
a 36 b 28 c 52 d 18 e 34
f 86 g 56 h 32 i 62 j 98
a 18 b 14 c 26 d 9 e 17
f 43 g 28 h 16 i 31 j 49
Jumătatea lui 8 este 4.
Jumătatea lui 60 este 30.
Jumătatea lui 30 este 15, pentru că doi de ”15” fac 30 (sau prin înjumătățirea lui 20 și
a lui 10).
Jumătatea lui 46 este 23 pentru că înjumătățind numerele 4 și 6 se obține 2, respectiv
3.
Jumătatea lui 54 este 27 pentru că 54 este format din 50 și 4; înjumătățind 50, 4
obținem 25 și 2, iar rezultatul este 27.
Similar, jumătatea lui 78 = jumătate din 70 + jumătate din 8 = 35 + 4 = 39.
2.2 ÎNJUMĂTĂȚIND
11
12
14
13

Pentru a înjumătăți 178 se înjumătățește 100, 70 și 8, iar apoi se adună rezultatele.
Jumătatea lui100 este 50,
jumătatea lui 70 este 35
și jumătatea lui 8 este 4.
Așadar, jumătatea lui 178 este 50 + 35 + 4 = 89.
Împărțirea lui 72 la 4:
Se înjumătățește 72 de două ori: jumătatea lui 72 este 36, jumătatea lui 36 este 18.
Astfel, 72 ÷ 4 = 18.
Împărțirea lui 104 la 8:
În acest caz se injumătățește de trei ori:
jumătatea lui 104 este 52, jumătatea lui 52 este 26, iar jumătatea lui 26 este 13.
Astfel, 104 ÷ 8 = 13.
SEPARAREA NUMERELOR
Se pot înjumătăți numere mari despărțindu-le în numere mai mici.
Aplicația H Înjumătățiți următoarele numere. Încercați să le faceți în minte.
a 164 b 820 c 216 d 152 e 94 f 326
g 234 h 416 i 380 j 256 k 456 l 57
a 82 b 410 c 108 d 76 e 47 f 163
g 117 h 208 i 190 j 128 k 228 l 28½
Împărțirea la 4, 8


16
15
17
Înjumătățirea numerelor este un lucru ce poate fi repetat.
Astfel, de exemplu, dacă se mai înjumătățește încă o dată
jumătatea unui număr înseamnă că acel număr a fost împărțit
la 4.

Se presupune că se dorește aflarea rezultatului calculului 18 × 3.
Putem pleca de la 9 × 3 = 27, apoi ne putem gândi că 18 × 3 trebuie să fie dublul
acestuia, adică 54.
În mod similar 8 × 7 se poate obține prin dublarea lui 4 × 7 = 28,
Astfel 8 × 7 = 56.
Pentru a găsi 6 × 14.
Pornim de la 6 × 7 = 42, apoi 6 × 14 = 84.
Aplicația I Folosiți înjumătățirea pentru a efectua următoarele împărțiri.
Împărțiți cu 4: a 56 b 68 c 84 d 180 e 244
Împărțiți cu 8: f 120 g 440 h 248 i 216 j 44
a 14 b 17 c 21 d 45 e 61
f 15 g 55 h 31 i 27 j 5½
Următoarele întrebări presupun cunoașterea tablelor înmulțirii până la 10 × 10, dar, chiar și
dacă nu se cunosc tot putem afla răspunsul.
Aplicația J Efectuați:
a 16 × 7 b 18 × 6 c 14 × 7 d 12 × 9
e 4 × 14 f 6 × 16 g 7 × 18 h 9 × 14
a 112 b 108 c 98 d 108
e 56 f 96 g 126 h 126
2.3 EXTINDEREA TABLELOR
18
19
20

Pentru a afla 44 × 5.
Găsim jumătatea lui 440, adică 220. Așadar, 44 × 5 = 220.
Pentru 87 × 5.
Jumătatea lui 870 este 435. Deci, 87 × 5 = 435.
Similar, 4.6 × 5 = jumătatea lui 46 = 23.
Găsiți 14 × 18.
Înjumătățind 14 și 18 obținem 7 și 9, iar 7 × 9 = 63, apoi dublam acest rezultat de
două ori pentru a obține rezultatul final.
Asta însemnă că se dublează o data și încă o dată.
Se obține 126 și 252, astfel 14 × 18 = 252.
Aplicația K  Efectuați:
a 16 × 18 b 14 × 16 c 12 × 18 d 16 × 12
a 288 b 224 c 216 d 192
Numerele 2 și 5 sunt foarte apropiate pentru că 2 × 5 = 10, iar 10 este un număr de bază.
Aplicația L Efectuați:
a 68 × 5 b 42 × 5 c 36 × 5 d 426 × 5
e 8.6 × 5 f 5.4 × 5 g 4.68 × 5 h 0.66 × 5
Putem înmulți un număr cu 5 înmulțindu-l cu 10 și apoi, înjumătățindu-l.
21
2.4 ÎNMULȚIREA CU 5, 50, 25
23
24
22

85 ÷ 5 = 17.
Astfel, dublul lui 85 este170, apoi împărţind la 10 obţinem 17.
Pentru aflarea 27 × 50:
îl înmulțim pe 27 cu 100, iar apoi înjumătățim rezultatul. Jumătatea lui 2700 este
1350.
Așadar, 27 × 50 = 1350.
Similar 5.2 × 50 = jumătatea lui 520 = 260.
Pentru a afla 82 × 25.
25 este jumătatea jumătății lui 100, deci, pentru înmulțirea unui număr cu 25
procedam astfel: înmulțim numărul cu 100, iar rezultatul îl injumătățim de două ori.
Așadar, jumătatea jumătății lui 8200 este 2050, adică 82 × 25 = 2050.
Similar, 6.8 × 25 = jumătatea jumătății lui 680 = 170.
a 340 b 210 c 180 d 2130
e 43 f 27 g 23.4 h 3.3
Aplicația M Efectuați:
a 46 × 50 b 864 × 50 c 72 × 25 d 85 × 25
e 86.8 × 50 f 4.2 × 50 g 34.56 × 50 h 2.8 × 25
a 2300 b 43200 c 1800 d 2125
e 4340 f 210 g 1728 h 70
ÎMPĂRŢIREA LA 5
Pentru împărţirea la 5 putem dubla numărul, iar apoi împărţi la 10.
25
26
27
28
2.5 ÎMPĂRŢIREA LA 5, 50, 25
29

Găsiţi 750 ÷ 50.
Dublând 750 obţinem 1500, apoi împărţind la 100 obţinem 15.
Aşadar, 750 ÷ 50 = 15.
Încă o data, Sutra Ultimul şi de două ori penultimul ne spune să-l dublăm pe 7, apoi
să adăugăm 1 de la 50, obţinând astfel 15.
54.32 ÷ 50 = 1.0864
Dublând 54.32 obţinem 108.64, apoi împărţind la 100 obţinem 1.0864.
665 ÷ 5 = 133 pentru că dublul lui 665 este 1330.
73 ÷ 5 = 14.6
Similar, dublul lui 73 este 146, şi prin impărţirea la 10 obţinem 14.6.
O metodă alternativă, bazată pe o altă Sutră (Ultimul şi de două ori penultimul), poate fi
folosită în acest caz. De vreme ce avem doi de „5” într-un zece, pentru a calcula 85 ÷ 5
putem observa că sunt 16 de „5” în 80, drept urmare 17 de „5” în 85. Cu alte cuvinte, se
dublează 8 şi se adaugă 1 la sfârşit.
Aplicaţia N Împarţiţi la 5:
a 65 b 135 c 375 d 470 e 505
f 4005 g 1235 h 7070 i 885 j 49
k 52 l 22.2
a 13 b 27 c 75 d 94 e 101
f 801 g 247 h 1414 i 177 j 9.8
k 10.4 l 4.44
ÎMPĂRŢIREA LA 50, 25
De când 50 este jumătatea lui 100, împărţirea la 50 implică dublarea numărului şi
împărţirea acestuia la 100.
31
30
33
32

Găsiţi 425 ÷ 25.
Dublându-l pe 425, obţinem 850, iar apoi dublându-l încă o data, obţinem 1700.
Iar, împărţindu-l la 100, obţinem 17. Prin urmare, 425 ÷ 25 = 17.
Aplicaţia O Împărţiţi la 50:
a 650 b 1250 c 3300 d 8.8 e 44 f 77
Împărţiţi la 25:
g 225 h 550 i 44 j 137 k 6
a 13 b 25 c 66 d 0.176 e 0.88 f 1.54
g 9 h 22 i 1.76 j 5.48 k 0.24
O altă aplicaţie a dublării şi înjumătăţirii va fi explicată în Secţiunea 4.3
25 este un sfert din 100, prin urmare pentru a împărţi la 25 trebuie să dublăm
numărul de două ori, iar apoi să-l împărţim la 100.
34
“Sutrele sunt foarte scurte, dar, o data ce le
înțelegem împreună cu al lor modus operandi
pentru aplicațiile practice, totul devine un fel
de joc de copii și încetează a mai fi o
problemă.”
Din “Matematica Vedică”, Pagina 13.

REZUMAT
3.1 Adunarea cifrelor – obţinerea sumei cifrelor unui număr.
3.2 Cercul celor nouă puncte – reprezentarea cifrelor în jurul unui cerc.
3.3 Eliminarea lui nouă – pentru simplificarea sumelor.
3.4 Puzzle-uri cu suma cifrelor
3.5 Verificare prin suma cifrelor – folosirea sumei cifrelor pentru
verificarea operaţiilor de adunare şi scădere.
3.6 Pătratul Vedic – caracteristicile celor nouă cifre de bază.
3.7 Modele în pătratul Vedic – folosirea pătratului Vedic pentru proiectarea unor modele.
3.8 Numărul nouă
Prin termenul cifră se înţelege fiecare din caracterele grafice ce servesc la reprezentarea în
scris a numerelor: acestea sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 şi 0.
Prin sumă înţelegem adunare.
Astfel, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 sunt numere formate dintr-o singură cifră.
Iar numerele, de la 10, 11, 12 . . . . până la 99, sunt numere formate din două cifre.
Suma cifrelor poate fi foarte utilă în: verificarea calculelor (vedeți Secţiunea 3.5, 8.1), testarea
divizibilităţii, aflarea rădăcinilor pătrate; şi există şi o formă algebrică a acestora (Secţiunea
11.5).
LECȚIA 3
SUMA CIFRELOR
De exemplu, pentru aflarea sumei cifrelor numărului 17, se adună 1 cu 7.
1 + 7 = 8, astfel suma cifrelor numărului 17 este 8.
Iar suma cifrelor numărului 123 este 6 pentru că 1+2+3=6.
3.1 ADUNAREA CIFRELOR
1
2
Suma cifrelor unui număr se obţine prin adunarea tuturor cifrelor sale.

3: SUMA CIFRELOR 25
Aplicaţia A  Aflaţi suma cifrelor următoarelor numere:
NUMĂR SUMA CIFRELOR
13 4
241 7
171 9
242 8
303 6
1213 7
900 9
Uneori, sunt necesari doi paşi pentru aflarea sumei cifrelor unui număr.
Aplicaţia B  Aflaţi suma cifrelor următoarelor numere:
83 2
614 2
345 3
5555 2
78 6
2379 3
521832 3
999 9
Asta înseamnă că orice număr, de orice mărime, poate fi redus la o singură cifră, doar prin
adunarea cifrelor sale şi dacă obţinem un număr de două cifre, vom aduna şi cifrele acestuia
până la obţinerea unui număr format dintr-o singură cifră.
Astfel, pentru aflarea sumei cifrelor numărului 19, efectuăm adunarea 1 + 9 = 10.
Dar 10 este un număr format din două cifre, în acest caz mai adunam, încă o
data, cifrele: 1+0 = 1.
Pentru suma cifrelor numărului 19, putem scrie:
19  10  1
Similar, pentru 39 obţinem: 39  12  3.
Aşadar, suma cifrelor numărului 39 este 3.
3
4
Suma cifrelor unui număr se obţine prin adunarea cifrelor acelui număr, şi
adunarea cifrelor noului rezultat, dacă acesta este format din două cifre.

Şirul tuturor numerelor începe cu 1 şi creşte cu o unitate de fiecare dată:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 . . . . .
În sistemul nostru suntem obişnuiţi cu cicluri de zeci: 10, 20, 30 etc. şi am vazut acest lucru
ilustrat pe cercul celor zece puncte.
Dar, dacă luăm suma cifrelor fiecărui număr obţinem următorul șir:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 . . . . .
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3 . . . . .
Şi observăm un alt ciclu conţinut în ciclul celor zece: un ciclu de nouă.
Deci, avem nevoie de un cerc cu nouă puncte, şi vom vedea că acest cerc are foarte multe
întrebuinţări.
Cercul celor 10 puncte Cercul celor 9 puncte
Cercul celor 9 puncte este un cerc ce poate fi împărţit în 9 părţi egale şi, aşa cum am văzut la
cercul celor 10 puncte, numerotarea poate continua ca în exemplul de mai jos.
3.2 CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3.3 ELIMINAREA LUI NOUĂ

3: SUMA CIFRELOR 27
De remarcat, faptul că pe fiecare ramură suma cifrelor numerelor este aceeaşi. De exemplu, pe
ramura lui 1 avem 1, 10, 19, 28 etc. Şi toate numerele au suma cifrelor egală cu 1.
Aceast lucru arată că: adăugând 9 oricărui număr, nu îi este afectată suma cifrelor sale.
În consecinţă, prin adunarea sau prin scăderea lui 9 oricărui număr, suma cifrelor acelui
număr va rămâne neschimbată.
Pentru aflarea sumei cifrelor numărului 3949 se elimină 9 şi se adună doar 3 şi 4.
Astfel, suma cifrelor este 7.
Sau, folosind prima metoda, obţinem : 3+9+4+9  25  7 din nou.
5
3949
Adăugarea lui 9 la număr nu modifică suma cifrelor sale:
De exemplu, numerele 4, 40, 49, 94, 949 au suma cifrelor 4.

Aplicaţia C  Aflaţi suma cifrelor următoarelor numere eliminând cifrele de 9.
39 3
93 3
993 3
9993 3
9329 5
941992 7
79896 3
Există o altă metodă de elimare a lui 9 dintr-un număr atunci când se doreşte aflarea sumei
cifrelor sale:
Aplicaţia D  Folosiţi elimarea lui 9 pentru aflarea următoarelor sume.
Eliminarea lui 9 sau a grupurilor de numere ce insumează 9 rezultă din Sutra Când
Samuccaya este la fel atunci este zero. Astfel, în 465, cum 4 şi 5 însumează nouă, le putem
elimina, iar suma cifrelor este 6: când totalul este acelaşi (adică 9) atunci el este zero (adică
poate fi eliminat). Simplificare factorului comun într-o fracţie poate fi considerat ca un alt
exemplu al acestei sutre.
2346 6
16271 8
9653 5
36247 4
215841 3
7152 6
9821736 9 or 0
465 6
274 4
3335 5
6193 1
2532 3
819 9 or 0
723 3
Pentru aflarea sumei cifrelor numărului 24701 se observă că numerele 2 şi 7 adunate
dau 9, aşadar, pot fi eliminate.
Deci, ne rămân doar 4 şi 1, ce adunate ne dau 5.
Suma cifrelor numărului 24701 este 5.
În mod similar, uitându-ne la numărul 21035 putem observa că adunând 1, 3 şi 5
obţinem 9, deci, le putem elimina.
Ne rămâne doar 2, iar acesta este răspunsul.
Suma cifrelor numărului 21035 este 2.
6
7
Orice grup de cifre ce adunate dau 9 poate fi eliminat.

3: SUMA CIFRELOR 29
Fie câteva probleme simple legate de suma cifrelor.
Aplicaţia E În următoarele puzzle-uri rezultatul este un număr de două cifre.
La unele întrebări vom avea mai mult de un răspuns.
Este dată suma cifrelor, precum şi alte indicaţii.
SUMA
CIFRELOR
INDICAŢIE
NUMĂRUL DE
RĂSPUNSURI
RĂSPUNS
5 Diferenţa dintre cele două cifre este 3 2 14 or 41
6 Cifrele sunt identice 1 33
6 Prima cifră este dublul celeilalte 1 42
7 Diferenţa dintre cele două cifre este 3 2 25, 52
7 O cifră este 4 2 34, 43
6 Ambele cifre sunt impare 3 15, 51, 33
5 Cifrele sunt consecutive* 2 23, 32
9 Cifrele sunt consecutive* 2 45, 54
3 Una din cifre este dublul celeilalte 2 12, 21
8 Rezultatul este mai mic decât 20 1 17
1 Numărul este mai mic decât 40 5 10, 19, 28, 37
1 Prima cifră este 2 1 28
* Consecutiv însemană unul după celălalt. De exemplu, 6 şi 7 sunt consecutive (sau 7 şi 6).
Suma cifrelor unui număr de două cifre identice este 8. Care este acest număr?
Evident, numărul este 44.
Suma cifrelor unui număr de două cifre este 9, iar prima cifră este dublul celeilalte.
Care este acest număr?
Numărul este 63.
Daţi exemplu de trei numere formate din două cifre ce au suma cifrelor egală cu 3.
12, 21, 30 . . .
10
9
8
3.4 PUZZLE-URI CU SUMA CIFRELOR

MAI MULTE PUZZLE-URI LEGATE DE SUMA CIFRELOR UNUI NUMĂR
Iată câteva probleme mai dificile legate de această temă.
Mai jos avem cercul celor 9 puncte cu numere până la 44.
De notat, faptul că pe fiecare ramură numerele au aceeaşi sumă a cifrelor. De exemplu, pe
ramura lui 3, toate numerele au suma cifrelor egală cu 3.
Aplicaţia F În puzzle-urile de mai jos trebuie să alegeţi ramura corectă pentru a găsi
răspunsul.
Toate răspunsurile sunt numere formate din două cifre.
SUMA
CIFRELOR
INDICAŢIE RĂSPUNS
5 Numărul este cuprins între 20 şi 30 23
8 Numărul se termină în cifra 5 35
7 Prima cifră este 2 25
2 Cifrele diferă între ele prin 7 29, 92
Un număr de două cifre are suma cifrelor egală cu 5, iar cifrele sale sunt identice.
Care este numărul?
5 este un număr impar, dar uitându-ne la cercul celor 9 puncte, îl observăm pe 14, ce
poate fi împărţit în 7+7. Aşadar, numărul căutat este 77.
11

3: SUMA CIFRELOR 31
1 Răspunsul se găseşte în tabla lui 7 × 28
3
Prima cifră este de 3 ori mai mare decât cea de a
doua
93
4 Numărul se găseşte în tabla lui 5 × 40
6 Cifrele sunt identice 33
8 Ultima cifră este de 3 ori mai mare decât prima 26
5 Numărul se găseşte în tabla lui 8 × 32
9 Se termină în 7 27
3 Ambele cifre sunt impare 57, 75, 39, 93
Ne putem verifica răspunsurile prin suma cifrelor.
Iată cei patru paşi: 1. Se efectuează adunarea
2. Se scrie suma cifrelor fiecărui număr
3. Se adună aceste sume
4. Se verifică dacă cele două rezultate legate de suma cifrelor
sunt identice
Găsiţi suma 32 + 12, apoi verificaţi prin suma cifrelor.
32 5
12 + 3 +
44 8
Obţinem 44.
Suma cifrelor numărului 32 este 5 (3+2=5), iar suma cifrelor numărului 12 este 3.
Totalul sumelor cifrelor este 5+3=8. Dacă adunarea a fost efectuată corect, suma
cifrelor a rezultatului final trebuie să fie tot 8.
448; conform acestei verificări, răspunsul este probabil corect.
Adunaţi 365 cu 208, şi verificaţi răspunsul.
365 5 1. Obţinem 573.
208 + 1 + 2. Sumele cifrelor numerelor 365, 208 sunt 5, respectiv 1.
573 6 3. Adunând 5 cu 1 obţinem 6.
1
4. 573=6 suma cifrelor, ceea ce ne confirmă răspunsul.
12
3.5 VERIFICAREA PRIN SUMA CIFRELOR
13

Aplicaţia G  Efectuaţi următoarele adunări şi verificaţi răspunsul prin suma cifrelor:
a 66 b 57 c 94 d 304 e 787
77 + 29 + 58 + 271 + 176 +
__ __ __ ___ ___
f 389 g 5131 h 456 i 5555
55 + 676 + 209 + 7777 +
___ ____ ___ ____
a 143 b 86 c 152 d 575 e 963
3+5=8 3+2=5 4+4=8 7+1=8 4+5=9
f 444 g 5807 h 665 i 13332
2+1=3 1+1=2 6+2=8 2+1=3
Iată încă un exemplu de verificare prin suma cifrelor.
Aplicaţia H  Efectuaţi următoarele adunări şi verificaţi răspunsul prin suma cifrelor:
a 35 b 56 c 35 d 52 e 456 f 188
47 + 27 + 59 + 24 + 333 + 277 +
__ __ __ __ ___ ___
g 78 h 66 i 555 j 823 k 3760
87 + 48 + 77 + 37 + 481 +
____
a 82 b 83 c 94 d 76 e 789 f 465
8+2=1 2+9=2 8+5=4 7+6=4 6+9=6 8+7=6
g 165 h 114 i 632 j 860 k 4241
6+6=3 3+3=6 6+5=2 4+1=5 7+4=2
Formula Vedică Produsul sumei este suma produsului se aplică oricăror verificări prin suma
cifrelor. Pentru adunare, aceasta ar fi Totalul sumei cifrelor este suma cifrelor totalului.
Formula are şi alte aplicaţii (vedeți Referinţa 3), de exemplu, în aflarea ariei a două suprafeţe
(Aria unui întreg este suma ariilor).
Adunaţi 77 cu 124, şi verificaţi.
77 5 Aici, când efectuăm adunarea 5+7 obţinem 12,
124 + 7 + dar 12 = 3.
201 3 Ceea ce ne confirmă răspunsul.
14

3: SUMA CIFRELOR 33
Suma: 3 8 Verificare: 2
3 × 3 ×
1 1 4 6
2
6 2 Verificare: 8
4 × 4 ×
2 4 8 5 (deoarece 8×4=32 şi 3+2=5)
Aici, verificarea confirmă răspunsul, deoarece suma cifrelor numărului 248 este
aceeaşi cu a produsului 8×4.
3 8 3 9 Verificare: 5
6 × 6 ×
2 3 0 3 4 3
5 2 5
Pentru verificare: suma cifrelor numărului 3839 este 5 şi se observă că 5 × 6  3.
Suma cifrelor numărului 23034 este 3, aşadar răspunsul se confirmă.
ATENŢIE!
Verificaţi următoarele sume: 279 Verificarea: 9
121 + 4 +
490 4
Ceea ce ne confirmă răspunsul.
Dar, dacă verificaţi adunarea iniţială, veţi observa că este incorectă!
Acest lucru ne arată că suma cifrelor nu ne indică întotdeauna eroarea. De obicei
funcţionează, dar nu întotdeauna.
Mai departe, vom întâlni şi alte metode de verificare.
VERIFICAREA ÎNMULŢIRII
Înmulţirea numerelor, de exemplu 38 × 3, este un proces direct. Se aşează sumele ca în
exemplul de mai jos, iar apoi înmulţim fiecare cifră a numărului 38 cu 3, începând din
dreapta:
Verificarea prin suma cifrelor a fost, de asemenea, ilustrată mai sunt. Suma cifrelor reyultată
în urma înmulţirii numerelor 2 şi 3, este 6. Deoarece suma cifrelor rezultatului, 114, este tot 6
deducem că este probabil corect.
15
16
17

Aplicaţia I  Efectuaţi următoarele înmulţiri şi verificaţi-le prin suma cifrelor:
a 88 × 8 b 32 × 3 c 73 × 4 d 717 × 6
e 234 × 5 f 533 × 2 g 3115 × 3 h 142857×7
a 704 (2) b 96 (6) c 292 (4) d 4302 (9)
e 1170 (9) f 1066 (4) g 9345 (3) h 999999 (9)
Tabla înmulţirii de mai jos posedă nişte proprietăţi interesante.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Refacem Pătratul Vedic prin înlocuirea fiecărui număr cu suma cifrelor sale:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
3.6 PĂTRATUL VEDIC

3: SUMA CIFRELOR 35
De exemplu, pentru a desena şablonul numărului Unu, colorăm fiecare pătrat ce
conţine cifra “1”.
Altfel, putem pune un punct in mijlocul fiecărui pătrat ce conţine cifra “1” şi să unim
aceste puncte.
Fiecare din numerele de la 1 la 9 are un model propriu în Pătratul Vedic.
Aplicația J Desenaţi şabloanele fiecărui număr folosind pătratele de mai jos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
18

Presupunând că alegem linia D (4 8 3 7 2 6 1 5 9) şi începem cu prima
cifră.
Ne alegem, de asemenea, un unghi de rotaţie de 90° şi rotim în sensul invers acelor
de ceasornic.
Se ia o hârtie milimetrică şi se marchează un punct de plecare in colţul stâng al foii
(vom avea nevoie de 2 cm la stânga acestuia).
Vom începe prin mişcare la dreapta, iar numerele din şir ne indică câţi centimetri
trebuie să trasăm. (Este indicat să folosim un creion pentru început.)
Acum putem începe şablonul: mai întâi trasăm o linie de 4 cm la dreapta,
Ne rotim 90° în sensul invers acelor de ceasornic (la stânga) şi trasăm o linie de
8 cm în sus.
Ne rotim 90° în sensul invers acelor de ceasornic şi trasăm o linie de 3 cm,
Ne rotim 90° în sensul invers acelor de ceasornic şi trasăm o linie de 7 cm,
Ş.a.m.d.
Atunci când se ajunge la sfârşitul şirului de numere, se reia acest şir pornind de la
primul număr. În final, se va ajunge la punctul de pornire, iar atunci şablonul este
complet.
When you come to the end of the row of numbers you start again at the beginning of
that row. Eventually you will return to your starting point and the design is complete.
Pătratul Vedic este foarte util în proiectarea unor şabloane. Mai jos, avem ilustrat Pătratul
format din nouă linii etichetate cu litere de la A la I.
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B 2 4 6 8 1 3 5 7 9
C 3 6 9 3 6 9 3 6 9
D 4 8 3 7 2 6 1 5 9
E 5 1 6 2 7 3 8 4 9
F 6 3 9 6 3 9 6 3 9
G 7 5 3 1 8 6 4 2 9
H 8 7 6 5 4 3 2 1 9
I 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Pentru a proiecta un şablon trebuie să alegem o linie a Pătratului, un punct de pornire şi un
unghi de rotaţie.
Aplicaţia K
a Desenaţi şablonul descris mai sus.
b Încercaţi alt şablon folosind linia D din nou (pornind de la prima cifră) dar folosind un
unghi de rotaţie de 60° şi o hârtie milimetrică având triunghiuri în loc de pătrăţele:
3.7 ŞABLOANE DIN PĂTRATUL VEDIC
19

3: SUMA CIFRELOR 37
(Pe partea lungă a hârtiei, se ia un punct în apropierea mijlocului liniei de jos.
Începem prin a deplasa la dreapta cu 4 cm.
Apoi, ne întoarcem 60° la stânga şi trasăm o linie de 8 cm.
Apoi, ne întoarcem 60° la stânga şi trasăm o linie de 3 cm.
Ş.a.m.d, la fel ca şi exemplul precedent, dar numai că acum ne rotim cu 60°, nu cu 90°.)
c Pe o altă hârtie triangulară se ia un punct în mijloc la două rânduri mai jos de capătul de
sus al foii. De data aceasta, alegem linia E (pornind de la prima cifră) cu o rotaţie 120° în
sensul invers acelor de ceasornic.
Desenaţi acest şablon.
(Se pot folosi atât coloanele, cât şi diagonalele, nu numai liniile din Pătratul Vedic)
Diagrama ce apare la începutul fiecărui capitol al acestei cărţi este realizată cu ajutorul
Pătratului Vedic.
În sistemul nostru de numeraţie, nouă este cea mai mare cifră.
De asemenea, numărul nouă posedă nişte proprietăţi remarcabile care-l fac extrem de util.
Am observat deja utilitatea lui în aflarea sumelor cifrelor, iar suma cifrelor unui număr
rămâne neschimbată dacă adăugăm 9 sau dacă scădem 9 din acel număr.
Iată tabla înmulţirii cu 9: 9 × 1 = 9
9 × 2 = 1 8
9 × 3 = 2 7
9 × 4 = 3 6
9 × 5 = 4 5
9 × 6 = 5 4
9 × 7 = 6 3
9 × 8 = 7 2
9 × 9 = 8 1
9 × 10 = 9 0
9 × 11 = 9 9
9 × 12 =10 8
Puteţi remarca că suma cifrelor produselor este tot 9.
De remarcat faptul că dacă citiţi cele două coloane, pe cea din stânga numerele apar în ordine
crescătoare (1, 2, 3, . . .), iar pe cea din dreapta în ordine descrescătoare (9, 8, 7, . . .).
Fapt ce ne uşurează memorarea tablei înmulţirii cu 9.
3.8 NUMĂRUL NOUĂ

Este posibil să ne folosim şi degetele pentru a înmulţi cu 9.
Presupunând că degetele de la mâinile dumneavoastră sunt numerotate ca mai jos:
Pentru a înmulţi 4 cu 9, îndoiţi cel de al patrulea deget.
Veţi găsi 3 în dreapta celui îndoit şi 6 degete la dreapta.
Aşadar, 4 × 9 = 36.
Ş.a.m.d.
Studiați şi Înmulţirea ţărănească rusească de la pagina 69.
1
2 3 4
5
9
7 8 96
9 10

Fie data următoarea sumă: 2 3
4 5 +
Nu întâmpinăm nicio dificultate în aflarea rezultatului.
Adunând coloanele de la stânga la dreapta obţinem 6 şi 8.
Rezultatul final este 68.
Dar în suma: 4 5
3 8 +
Sumele pe fiecare coloană sunt 7, respectiv 13, dar 13 este un număr de două cifre.
Rezltatul nu este 713: prima cifră a numărului 13, adică 1, trebuie adăugată la 7.
Adică, răspunsul correct este 83.
REZUMAT
4.1 Adunarea: de la stânga la dreapta
4.2 Înmulţirea: de la stânga la dreapta
4.3 Dublarea şi Înjumătăţirea – simplificarea produselor complexe.
4.4 Scăderea: de la stânga la dreapta
4.5 Verificarea scăderilor – folosind suma cifrelor.
4.6 Mai multe scăderi – scăderea numerelor mari, de la stânga la dreapta.
În mod normal efectuăm operaţiile de la dreapta la stânga.
Totuşi, nu este întotdeauna cea mai bună metodă.
Calculând de la stânga la dreapta este deseori mai uşor, mai rapid şi mai util.
Un motiv poate fi acela că scriem şi spunem numerele de la stânga la dreapta.
De multe ori, în calcule dorim doar prima cifra sau doar primele cifre, nu pe toate, dar
începând din dreapta suntem obligaţi să efectuăm toate calculele.
În plus, efectuarea calculelor de la stânga la dreapta ne permite o mai mare flexibilitate în
calcul, acesta fiind și scopul matematicii vedice.
În această lecţie toate calculele vor fi efectuate mental: vom scrie doar rezultazul final.
Este suficient să facem calculele mintal, adumăm prima coloană şi o incrementăm cu 1 în
cazul în care avem un surplus de la a doua coloană. Apoi scriem următoarea cifră din a doua
coloană.
LECȚIA 4
DE LA STÂNGA LA DREAPTA
4.1 ADUNAREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA
1
2

6 6 5 5 8 4 5 6
2 8 + 3 5 + 5 8 + 9 6 +
9 4 9 0 1 4 2 1 5 2
8, 14 = 94 8, 10 = 90 13, 12 = 142 1 4, 12 = 152
187 + 446 = 633. 1 8 7
4 4 6 +
Aici, totalurile pe cele trei coloane sunt 5, 12, respectiv 13; deci, avem două
surplusuri ce vor fi adăugate coloanelor precedente.
Cifra 1 din numărul 12 va fi adăugată la 5 pentru a obţine 6.
Astfel, combinând 5 cu 12, obţinem 62.
Cifra 1 din numărul 13 devine surplus şi este adăgată cifrei 2 din 62, obţinând 63.
Aşadar, combinând 62 cu 13 obţinem rezultatul, 633.
Este important să ne obişnuim să efectuăm calculele mintal de la stânga la
dreapta:
Întâi ne gândim la 5, adică primul total.
Apoi, avem 5, 12, ce combinate ne dau 62.
Ţinem minte 62, apoi combinând acest rezultat cu 62, 13 obţinem 633.
Folosim liniuţa curbată sub cifre pentru a indica care dintre acestea trebuiesc adunate.
Aplicaţia A Efectuaţi mintal, de la stânga la dreapta, următoarele adunări:
a 5 6 b 8 8 c 4 5 d 5 4
6 7 + 3 3 + 6 7 + 6 4 +
____
e 3 9 f 2 7 g 7 7 h 6 3
4 9 + 5 6 + 8 8 + 7 4 +
____
a 123 b 121 c 112 d 118
e 88 f 83 g 165 h 137
3
4
În fiecare caz, zecile din totalul coloanei din dreapta trebuie
adăugate totalului din coloana din stânga.

4: DE LA STÂNGA LA DREAPTA 41
7 7 7
4 5 6 +
______
Din primele două coloane obţinem 1
1,1 2, adică 122.
Apoi, cu cea de a treia coloană, obținem 12
1,2 3, adică 1233.
5 5 5 5
3 1 3
6 2 4 +
________
Începând din stânga, avem:
1,5 4 = 64.
Apoi 64,8 = 648 (nu avem niciun surplus pentru ca 8 este un număr format dintr-o
cifră).
În final, avem: 64
1,8 2 = 6492.
Aplicaţia B Efectuaţi mintal, de la stânga la dreapta, următoarele adunări:
a 3 6 3 b 8 1 9 c 7 7 7 d 7 3 7
4 5 6 + 9 1 8 + 4 4 4 + 1 3 9 +
______
e 3 4 5 f 1 3 6 9 g 9 6 3 1 h 4 4 4 4
9 3 7 + 3 8 8 3 + 8 7 0 9 + 4 8 3 8
5 5 5 +
a 819 b 1737 c 1221 d 876
e 1282 f 5252 g 18340 h 9837
Pentru toate aceste sume, numerele sunt reţinute (Semnalizator1
), iar rezultatul complet este
construit cifră cu cifră.
Evident, matematica mentală se bazează pe memorie, faţă de cea convenţională în care fiecare
pas este scris. Copii au o memorie foarte bună, iar matematica mentală îi ajută şi mai mult să-
şi dezvolte această latură. (Aceasta înseamnă că Matematica Vedică este utilă şi adulţilor, a
căror memorie nu mai este atât de bună.) Acest lucru oferă încredere în sine şi autonomie,
arătând că nu avem nevoie de creion şi hârtie sau calculator pentru fiecare adunare sau de
vreun alt ajutor extern.
1
Expresia originală a sub-Sutrei este „On the Flag”
5
6

Presupunând că avem: 2 3 7
2 ×
______
Înmulţind, începând din stânga, cu 2 fiecare din cifrele numărului 237, vom obţine 4,
6, 14.
Cum 14 este un număr de două cifre, surplusul, adică cifra 1 trebuie adăugată la 6.
Aşadar, 4,
1,6 4 = 474.
Încă o data, ne construim mintal răspunsul de la stânga la dreapta: întâi 4, apoi
4,6=46, iar, în final, 4,
1,6 4 = 474.
236 × 7 = 1652. 2 3 6
7 ×
Pentru 73 × 7, avem 4
2,9 1 = 511. (pentru că 49+2 = 51)
Aplicaţia C Efectuaţi, de la stânga la dreapta, următoarele înmulţiri:
a
3
72
×
b
6
67
×
c
6
62
×
d
7
27
×
e
9
87
×
f
3
38
×
g
4
246
×
h
3
652
×
i
3
147
×
j
9
322
×
k
7
9501
×
l
4
1368
×
m
8
2345
×
n
7
7904
×
a 81 b 456 c 156 d 504 e 702 f 249
g 2568 h 768 i 2223 j 2007
k 7413 l 34524 m 43456 n 28679
Înmulţirea de la stânga la dreapta se continuă în Lecţia 11.
4.2 ÎNMULŢIREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA
7
8
9
Avem 14,
apoi 1
2,4 1 = 161,
şi, în final, 16
4,1 2 = 1652.

Găsiţi 35 × 22.
Putem folosi dublarea sau înjumătăţirea pentru a obţine mai uşor rezultatul înmulţirii
date.
Îl dublăm pe 35 şi îl injumătăţim pe 22, obţinând astfel 70 × 11 ce ne va da acelaşi
rezultat cu 35 × 22.
Aşadar, 35 × 22 = 70 × 11 = 770.
Găsiţi 35 × 64.
Dublând şi înjumătăţind obţinem 70 × 32.
Astfel, putem dolosi Semnalizatorul pentru a obţine 32 × 7 plasând şi un 0 la sfârşit.
Deci, 35 × 64 = 70 × 32 = 2240.
Câteodată, putem folosi dublul şi jumătatea unui număr împreună.
Aplicaţia D Efectuaţi următoarele înmulţiri:
a 15 × 18 b 15 × 24 c 46 × 15
d 82 × 35 e 66 × 15 f 124 × 45
g 15 × 54 h 55 × 16 i 75 × 18
j 446 × 15 k 132 × 35 l 85 × 18
m 16 × 4 1
2 n 24 × 3 1
2 o £4.50 × 32
a 270 b 360 c 690
d 2870 e 990 f 5580
g 810 h 880 i 1350
j 6690 k 4620 l 1530
m 72 n 84 o £144
4.3 DUBLÂND ŞI ÎNJUMĂTĂŢIND
10
11
“Oamenii care au cunoștințe practice ale aplicabilității
Sutrelor nu au nevoie să se axeze pe teorie. Munca
efectivă poate fi făcută. O grămadă de timp poate fi
salvat. Nu este doar o economisire de timp, energie și
bani, dar, mai presus de toate, cred că salvează un copil
de plânsul ce deseori acompaniază studiul matematicii.”.
Din “Metafizica Vedică”, Pagina 170.

În acestă secţiune, vom folosi o metodă facilă de calcul, probabil, nemaiîntâlnită până acum.
Folosind această metodă, plecăm din partea stângă, scădem, şi scriem rezultatul numai dacă
scăderea din următoarea coloană poate fi efectuată.
În caz contrar, vom scrie cu 1 mai puţin şi reţinem, iar apoi scădem a doua coloană.
Aplicaţia E  Efectuaţi:
a 6 2 b 7 5 c 5 1 d 6 7
– 4 7 – 2 8 – 1 5 – 3 8
e 4 6 f 6 5 g 9 0 h 8 2
– 2 5 – 3 7 – 6 2 – 3 8
a 15 b 47 c 36 d 29
e 21 f 28 g 28 h 44
Găsiţi 63 – 37.
Ne uităm la coloana din sânga şi scădem. 6 3
Obţinem 3. Dar, înainte de a scrie, – 3 7
Ne uităm la următoarea coloană.
Observând cu nu putem scade 7 din 3 6 1
3
punem 2 în loc de 3 în coloana din stânga – 3 7
şi scriem aşa cum este indicat mai departe: 2
Pasul final constă în efectuarea scăderii 13 – 7 = 6: 6 1
3
– 3 7
2 6
Aşadar, 63 – 37 = 26.
4.4 SCĂDEREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA
12

Să ne amintim de cercul celor 9 puncte şi de faptul că îl putem elimina pe 9 atunci când dorim
să aflam suma cifrelor unui număr.
Asta înseamnă că în suma cifrelor 9 şi 0 au acelaşi rol.
Le vom vedea împreună reprezentate pe cercul de mai jos.
Probabil că vă amintiţi şi de utilitatea numerelor de pe cel de-al doilea inel, adică cele mai mai
cu 9 decât cele de pe inelul interior.
Altfel, putem număra în sens invers cercului: . . 3, 2, 1, 0.
Găsiţi 69 – 23 şi verificaţi răspunsul.
6 9 6 Răspunsul este 46.
– 2 3 – 5 Suma cifrelor numerelor 69 şi 23 sunt 6, respectiv 5.
4 6 1 Apoi 6 – 5 = 1, suma cifrelor numărului
46, astfel se confirmă răspunsul.
De observat faptul că suma cifrelor se scade, în acest caz, pentru că avem de a face
cu o scădere.
7 4 2
– 5 8 – 4
1 6 7
Aici, avem 2 – 4 în verificarea sumei cifrelor, astfel, doar adăugăm 9 cifrei de mai
sus (adică lui 2) şi continuăm: 11 – 4 = 7, adică suma cifrelor numărului 16, ceea ce
ne confirmă răspunsul.                   
9,0
15
18
17
16
14
13
4.5 VERIFICAREA SCĂDERILOR

Găsiţi 35567 – 11828.
Se aşează numerele unele sub altele: 3 5 5 6 7
Începem de la stânga, scădem fiecare coloană. – 1 1 8 2 8
3 – 1 = 2, dar, înainte de a scrie 2 verificăm dacă pe 2
următoarea coloană numărul este mai mare.
În acest caz, 5 este mai mare decât 1, deci, scriem 2.
În următoarea coloană avem 5 – 1 = 4, dar uitându-ne în a treia
coloană observăm că primul număr nu este mai mare decât cel de jos 3 51
5 6 7
(5 este mai mic decât 8) astfel, în loc de 4 scriem 3, iar celalalt – 1 1 8 2 8
1 devine Semnalizator, astfel 5 devine 15. 2 3
Astfel, avem acum 15 – 8 = 7. Verificând următoarea coloană
îl putem scrie pentru că 6 este mai mare decât 2. 3 51
5 61
7
În cea de a patra coloană avem 6 – 2 = 4, dar, uitându-ne – 1 1 8 2 8
la următoarea coloană (7 este mai mic decât 8), deci scriem doar 2 3 7 3_
3 şi îl putem pe următorul ca Semnalizator pentru 7, așa cum este indicat.
În final, 17 – 8 = 9: 3 51
5 61
7
– 1 1 8 2 8
2 3 7 3 9
Aplicaţia F Verificaţi răspunsurile Aplicaţiei D prin suma cifrelor.
a 8-2=6 b 3-1=2 c 6-6=9 d 4-2=2
e 1-7=3 f 2-1=1 g 9-8=1 h 1-2=8
Metoda de scădere poate fi extinsă şi la numere mari.
5 6 2
– 2 9 – 2
2 7 0
În acest exemplu, suma cifrelor numerelor 56 şi 29 este 2, iar 2 – 2 = 0.
Suma cifrelor numărului 27 este 9, dar ştim deja că 9 şi 0 sunt egale ca valori în suma
cifrelor, confirmând astfel răspunsul.
4.6 MAI MULTE SCĂDERI
16
15

Aplicaţia G  Efectuaţi, de la stânga la dreapta, următoarele scăderi (verificaţi
răspunsul):
a 4 4 4 b 6 3 c 8 1 3 d 6 9 5
– 1 8 3 – 2 8 – 3 4 5 – 3 6 8
e 5 1 f 3 4 5 6 g 7 1 1 7 h 8 0 0 8
– 3 8 – 2 8 1 – 1 7 7 1 – 3 8 3 9
i 6 3 6 3 j 5 1 0 1 5 k 1 4 2 8 5 l 9 6 3 0 3 6 9
– 3 3 8 8 – 2 7 9 8 6 – 7 1 4 8 – 3 6 9 0 9 6 3
a 261 b 35 c 468 d 327
e 13 f 3175 g 5346 h 4169
i 2975 j 23029 k 7137 l 5939406
AVANTAJELE CALCULELOR REALIZATE DE LA STÂNGA LA DREAPTA
Avem multe avantaje în calcului de la stânga la dreapta pentru că pronunţăm şi scriem
numerele de la stânga la dreapta. Uneori, avem nevoie doar de primele două sau trei cifre
significante din calcul şi este o pierdere de timp şi efort de calcul în găsirea tuturor cifrelor
unui calcul lung dacă începem de la dreapta. Împărţirea este făcută întotdeauna pornind de la
stânga, astfel, toate calculele pot fi făcute de la stânga la dreapta, ceea ce însemnă că putem
combina operaţii. De exemplu, pentru găsirea rădăcinii pătrate a unei sume de două numere
este suficientă o linie de calcul (vedeți Manualul 2). Pentru aflarea rădăcinilor pătrate, a
funcţiilor trigionometrice ş.a.m.d. nu avem cifră în dreapta cu care putem începe, deci, singura
opţiune este să începem din stânga (vedeți Manualul 3).
Se scade fiecare coloană pornind din stânga, dar, înainte de a scrie
răspunsul ne uităm la coloana următoare.
Dacă primul număr este mai mare decât cel de desubt, atunci scriem
rezultatul.
În caz contrar, reducem cu o unitate şi îi plasăm 1 celui mai mic.
Dacă numerele sunt identice, ne uităm la următoarea coloană pentru
a decide dacă este nevoie să reducem sau nu.

Dacă aplicăm formula Toate din 9 şi ultimul din 10 numărului 876
8 7 6
1 2 4
vom obţine 124,
pentru că luam 8 şi 7 din 9, iar 6 din 10.
Similar: 3883, 64, 98, 6, 10905,
devin: 6117, 36, 02, 4, 89095.
REZUMAT
5.1 Aplicarea formulei
5.2 Scăderea – a unor numere dintr-o bază.
5.3 Banii – o aplicaţie de scădere a numerelor dintr-o bază.
Formula Toate din 9 şi ultimul din 10 este foarte utilă, după cum vom vedea.
Aplicaţia A  Aplicaţi formula Toate din 9 şi ultimul din 10 următoarelor numere:
a 444 b 675 c 2468 d 18276
e 8998 f 9888 g 1020304 h 7
a 556 b 325 c 7532 d 81724
e 1002 f 112 g 8979696 h 3
LECŢIA 5
TOATE DIN 9 ŞI ULTIMUL DIN 10
5.1 APLICAREA FORMULEI
1
2

5: TOATE DIN 9 ŞI ULTIMUL DIN 10 49
1000 – 864 = 136 Aplicaţi doar formula Toate din 9 şi ultimul din 10 numărului
864.
8 din 9 este 1, 6 din 9 este 3, 4 din 10 este 6.
1000 – 307 = 693,
10000 – 6523 = 3477,
100 – 76 = 24,
1000 – 580 = 420. Atenţie: în acest caz, formula se aplică doar numărului 58.
Aplicarea formulei numărului 470 sau oricărui alt număr ce se termină în 0 necesită
atenţie sporită.
Îl ignorăm pe 0 şi îl luăm pe 7 ca fiind ultima cifră: aplicăm formula numărului 47
şi îl adăugăm pe 0 la final. Astfel, obţinem 530.
În mod similar, pentru 28160 obţinem 71840 (doar aplicând formula lui 2816),
pentru 4073100 obţinem 5926900 (doar aplicând formula lui 40731).
Aplicaţia B  Aplicaţi formula acestor numere:
a 3570 b 920 c 1234560 d 3300
a 6430 b 80 c 8765440 d 6700
Dacă vă uitaţi cu atenţie la numerele din Examplul 2 puteţi observa că, în fiecare caz, totalul
celor două numere este un număr de bază: 10, 100, 1000 etc.
Ceea ce ne oferă o cale uşoară de scădere din numere de bază, precum 10, 100, 1000 . . .
În fiecare caz, numărul este scăzut din baza lui imdeiat superioară.
3
4
5.2 SCĂDEREA
5
Cu ajutorul formulei, Toate din 9 şi ultimul din 10, scădem
numere din baza lor imediat superioară.

MANUAL MATEMATICĂ VEDICĂ 150
Presupunând că avem de efectuat 1000 – 43.
Primul număr conţine trei zerouri, dar 43 este un număr doar de două cifre.
Putem rezolva acestă problemă prin modificarea calcului iniţial, astfel:
1000 – 043 = 957.
Se adaugă un 0 în faţa numărului 43,iar apoi aplicăm formula 043.
10000 – 58.
În acest caz, adăugăm două zerouri: 10000 – 0058 = 9942.
Practice C Efectuaţi următoarele scăderi:
a 1000 – 481 b 1000 – 309 c 1000 – 892 d 1000 – 976
e 100 – 78 f 100 – 33 g 10000 – 8877 h 10000 – 9876
i 1000 – 808 j 1000 – 710 k 10000 – 6300
a 519 b 691 c 108 d 24
e 22 f 67 g 1123 h 124
i 192 j 290 k 3700
ADĂUGAREA ZEROURILOR
În toate exemplele de mai sus observaţi că numărul de zerouri al primului număr este egal cu
numărul de cifre al numărului ce trebuie scăzut.
De exemplu, în 1000–481 primul număr are trei zerouri, iar 481 este format din trei cifre.
Pentru următorul exerciţiu aveţi nevoie de introducerea de zerouri, dar o puteţi face mintal.
Aplicaţia D  Efectuaţi următoarele scăderi:
a 1000 – 86 b 1000 – 93 c 1000 – 35 d 10000 – 678
e 10000 – 353 f 10000 – 177 g 10000 – 62 h 10000 – 85
i 1000 – 8 j 10000 – 3
6
7

Găsiţi 8000 – 4222.
Considerând miile, cifra 8 va fi redusă prin 5 (cu o unitate mai mare decât 4)
Pentru că luăm mai mult de 4000.
Toate din 9. . . este apoi aplicată numărului 222 obţinându-se 778.
Deci, 8000 – 4222 = 3778.
Acum, să ne uităm la 600 – 77.
Avem 600 în loc de 100.
De fapt, 77 va lua o sută din cele 600, astfel, vom rămâne cu 500.
Aşadar, 600 – 77 = 523
6 va fi redus cu o unitate şi va deveni 5, iar formula Toate din 9 . . . este aplicată
numărului 77 obţinând, astfel, 23.
5000 – 123 = 4877. Cifra 5 este redusă cu o unitate la 4,
Iar, formula, conveteşte numărul 123 la 877.
a 914 b 907 c 965 d 9322
e 9647 f 9823 g 9938 h 9915
i 992 j 9997
CU UNUL MAI PUŢIN

Aplicaţia E  Efectuaţi:
a 600 – 88 b 400 – 83 c 900 – 73 d 6000 – 762
e 2000 – 979 f 50000 – 4334 g 70000 – 8012
a 512 b 317 c 827 d 5238
e 1021 f 45666 g 61988
CU UNUL MAI MULT
Acum, să ne uităm la o altă variaţie.
8
9
10

MANUAL MATEMATICĂ VEDICĂ 152
Find 6000 – 32.
Observăm că avem de scăzut un număr de două cifre din 6000 ce are în componență
trei zerouri.
Putem rescrie: 6000 – 032.
Apoi, 6000 – 032 = 5968.
Cifra 6 se reduce la 5, iar formula îl converteşte pe 032 la 968.
30000 – 63 = 30000 – 0063 = 29937.
Cifra 3 devine 2, iar 0063 devine 9937.
Când aveţi o scădere de tipul 8000 – 4222 unde ambele numere au acelaşi număr de cifre:
Aplicaţia F  Efectuaţi:
a 8000 – 3504 b 5000 – 1234 c 300 – 132
d 2000 – 1444 e 700 – 232 f 60,000 – 23,331
a 4496 b 3766 c 168
d 556 e 468 f 36,669
ÎNCĂ O DATĂ, CU UNU MAI PUŢIN



Aplicţia G  Efectuaţi următoarele scăderi:
a 5000 – 74 b 8000 – 58 c 6000 – 94 d 4000 – 19
e 80000 – 345 f 30000 – 276 g 50000 – 44 h 700 – 8
i 30000 – 54 j 20000 – 222 k 30000 – 670 l 70000 – 99
a 4926 b 7942 c 5906 d 3981
e 79655 f 29724 g 49956 h 692
i 29946 j 19778 k 29330 l 69901
11
12
Se reduce prima cifră a primului număr cu o unitate mai mult decât prima cifră a
următorului număr pentru a obţine prima cifră a rezultatului.
Apoi, se aplică formula de calcul cifrelor rămase.

Presupunând că doriţi să cumpăraţi un calculator de buzunar în valoare de 7.53 lei
şi plătiţi cu o bancnotă de 10 lei.
Ce rest aşteptaţi să primiţi?
Aplicaţi formula Toate din 9 şi ultimul din 10 numărului 753 şi obţineţi 2.47 lei.
La ce rest vă aşteptaţi de la 20 lei atunci când plătiţi 3.46 lei?
Restul aşteptat este 16.54 lei pentru că dacă luăm 3.46 lei din 10 lei obţinem 6.54 lei
şi mai adăugăm încă 10 lei acestui rezultat.
Acest tip de scădere ne este foarte util atunci când dorim să verificăm restul de bani.


Aplcaţia H Folosiţi această metodă pentru a efectua următoarele scăderi.
a 10 lei – 2.34 lei b 10 lei – 6.51 lei c 10 lei – 5.82 lei d 10 lei – 9.07 lei
e 20 lei – 7.44 lei f 20 lei – 12.78 lei g 20 lei – 3.18 lei h 20 lei – 8.40 lei
a 7.66 lei b 3.49 lei c 4.18 lei d 0.93 lei
e 12.56 lei f 7.22 lei g 16.82 lei h 11.60 lei
Această metodă ne conduce la o metodă mai generală (vedeți Lecţia 9).
Acest exerciţiu final este o combinaţie a tuturor tipurilor de calcule întâlnite:
Aplicaţia I Efectuaţi:
a 100 – 34 b 1000 – 474 c 5000 – 542 d 800 – 72
e 1000 – 33 f 5000 – 84 g 700 – 58 h 9000 – 186
i 10000 – 4321 j 200 – 94 k 10000 – 358 l 400 – 81
m 7000 – 88 n 900 – 17 o 30000 – 63 p 90000 – 899
a 66 b 526 c 4458 d 728
e 967 f 4916 g 642 h 8814
i 5679 j 106 k 9642 l 319
m 6912 n 883 o 29937 p 89101
5.3 BANII
13
14

Presupunând că avem următorul calcul: 2 3 4 5
6 7 3 8 +
Pentru un număr de patru cifre pare destul de dificil, dar putem împărţi operaţia în
două părţi ce pot fi efectuate mult mai uşor şi mintal:
(vedeți Secţiunile 1.5, 1.6, 4.1):
În dreapta avem 45 + 38 ce (mintal) ne dă 83.
Aşa ca, scriem acest rezultat.
În partea stângă avem: 23 + 67 ce ne dă 90. Astfel, 2345 + 6738 = 9083.
REZUMAT
6.1 Adunarea
6.2 Scăderea
6.3 Înmulţirea
6.4 Împărţirea
Un mecanism foarte uşor de efectuare a calculelor constă în împărţirea unui operaţii dificile în
operaţii mai simple. Acest mecanism este ilustrat de formula Prin eliminare şi prin reţinere.
Pentru calculul mintal, separarea numerelor poate reduce considerabil efortul ce-l implică
calculele.
Aplicația A  Efectuați următoarele adunări (încercați câteva mintal):
a 3 4 5 6 b 1 8 1 9 c 6 4 4 6 d 8 3 2 1
4 7 1 7 1 7 1 6 2 8 3 8 1 8 2 3
_______
a 81/73 b 35/35 c 92/84 d 101/44
LECŢIA 6
SEPARAREA NUMERELOR
2 3 4 5
6 7 3 8 +
9 0 8 3
6.1 ADUNAREA
1
– despărţirea calculelor lungi
în unele mai scurte şi
efectuarea lor de la stânga la
dreapta.
.
}

6: SEPARAREA NUMERELOR 55
Considerăm următoarea scădere: 5 4 5 4
– 1 7 2 6
_______
Putem despărți în două 5 4 5 4
operații mai ușoare: – 1 7 2 6
3 7 2 8
Prima data efectuăm 54 – 26, obținând 28,
Apoi, 54 – 17, obținând 37.
Găsiți 481 + 363.
Acest exemplu este facut în două moduri.
Care mod este mai simplu?
4 8 1
3 6 3
8 4 4
+
1
4 8 1
3 6 3
8 4 4
+
Aplicația A continuare Efectuați următoarele adunări (încercați câteva mintal):
e 7 6 7 f 3 8 3 g 4 4 4 h 8 8 8
6 1 6 3 8 4 2 4 6 7 0 7
i 5 5 1 j 4 5 5 4 k 1 2 3 4 l 5 2 3 4
6 6 2 3 6 3 6 4 9 4 4 9 3 9 3
e 13/83 f 76/7 g 6/90 h 15/95
i 121/3 j 81/90 k 61/78 l 14/62/7
De asemenea, putem despărți numerele și pentru operația de scădere.
6.2 SCĂDEREA
2
3
De cele mai multe ori ne întrebăm unde punem linia. În general, este
cel mai bine să despărțim numerele acolo unde observăm că nu avem
niciun surplus.

352 × 2
Puteam separa numerele astfel: 35 | 2 × 2 = 704. (35 și 2 pot fi ușor dublate)
Similar 827 × 2 devine 8 | 27 × 2 = 1654,
604 × 7 devine 6 | 04 × 7 = 4228,
121745 × 2 devine 12 | 17 | 45 × 2 = 243490,
3131 × 5 devine 3 | 13 | 1 × 5 = 15655.
Aplicația B  Efectuați următoarele scăderi. Împărțiți fiecare operație în două mai
ușoare.
a 3 2 4 3 b 4 4 4 4 c 7 0 7 0 d 3 7 2 1
1 3 1 9 1 8 2 8 1 5 2 6 1 9 0 9
_______
e 6 8 8 9 f 8 5 2 g 7 7 7 h 6 6 6 6
1 9 3 6 1 3 9 5 8 5 2 9 3 8
_______
a 19/24 b 26/16 c 55/44 d 18/12
e 49/53 f 7/13 g 19/2 h 37/28
Aceeași tehnică de separare a numerelor poate fi aplicată atât înmulțirii cât și operației de
împărțire.
Putem separa numerele oricum dori, dar cel mai bine este să:
Aplicația C  Efectuați următoarele înmulțiri:
a 432 × 3 b 453 × 2 c 626 × 2 d 433 × 3 e 308 × 6
f 814 × 4 g 515 × 5 h 919 × 3 i 1416 × 4 j 2728 × 2
k 3193 × 3 l 131415 × 3
6.3 ÎNMULȚIREA
4
5
despărțim numerele în părți ce pot fi înmulțite foarte ușor fără a obține vreun
surplus.

6: SEPARAREA NUMERELOR 57
Împărțirea 2)4 3 2 poate fi despărțită astfel: 2)4 | 32 = 2|16 = 216.
Pentru că numerele 4 și 32 pot fi ușor înjumătățite.
Similar 2)3 4 5 6 devine 2)34 | 56 = 17|28 = 1728.
În 3)1266 observăm că 12 și 66 pot fi împărțite separate la 3, astfel:
3)12|66 = 4|22 = 422
6)6 1 2 devine 6)6 | 12 = 1|02 = 102.
(Cifra 0 apare datorită faptului că numărul 12 este un număr de două cifre)
7)2 8 4 9 devine 7)28 | 49 = 4|07 = 407.
a 12|96 b 90|6 c 12|52 d 12|99 e 18|48
f 32|56 g 25|75 h 27|57 i 56|64 j 54|56
k 9|57|9 l 39|42|45
Operația de împărțire2
poate fi simplificată prin această metodă.
Aplicația D  Efectuați:
a 2)6 5 6 b 2)7 2 6 c 3)1 8 9 9 d 6)1 2 6 6
e 4)2 0 4 8 f 4)2 8 4 4 g 3)2 1 3 9 h 2)2 6 3 6
a 3|28 b 36|3 c 6|33 d 2|11
e 5|12 f 7|11 g 7|13 h 13|18
Câteodată, este necesar să fim prudenți și să inserăm ”0” în calcul.
2
Pentru împărțire autorul folosește notația anglo-saxonă, i.e. în loc de 56 ÷ 2, folosește scrierea 2)56.
6.4 ÎMPĂRȚIREA
6
7
8
9
10

3) 2 4 4 5 3 devine 3)24 / 45 / 3 = 8/15/1 = 8151.
Aplicația D continuare
i 4)2 8 1 6 j 4)8 1 2 k 6)4 8 1 8 l 3)1 2 6 6
m 5)2 0 4 5 n 2)3 8 1 4 o 7)21014
i 704 j 203 k 803 l 422
m 409 n 1907 o 3002
Uneori, trebuie să despărțim calculul în trei părți.
p 3)9 1 8 2 7 q 2)3 8 7 2 5 2 r 8)4 0 1 6 8 s 5)1 0 3 5 4 5
t 3)1 5 0 1 5 u 13)3 9 1 3 5 2
p 30609 q 193626 r 5021 s 20709
t 5005 u 30104
11
“Conform sistemului vedic, tablele
înmulțirii mai mari de 5×5, nu sunt
necesare.”

REZUMAT
7.1 Tablele înmulțirii – evitarea tablelor de înmulțire mai mari de 5 × 5.
7.2 Numere imediat superioare lui zece – înmulțirea numerelor imediat după și sub zece.
7.3 Șabloanele tablelor înmulțirii – șabloanele tablelor pe cercul celor 9 puncte.
7.4 Numere apropiate de 100 – înmulțirea numerelor apropiate 100.
7.5 Numere mari – înmulțirea numerelor mari.
7.6 Proporțional – o extindere a metodei.
7.7 Înmulțirea numerelor apropiate de baze diferite
7.8 Ridicarea la pătrat a numerelor apropiate de o bază
7.9 Un rezumat – al tuturor mecanismelor de înmulțire
Este util de știut tablele înmulțirii pe de rost. Dacă este prea dificil, iată o metodă clară și
ușoară:
LECȚIA 7
ÎNMULȚIREA DE BAZĂ
7.1 TABLELE ÎNMULȚIRII
Dacă dorim să aflăm: 7 × 8 știm că 7 este cu 3 mai mic decât 10,
iar 8 este cu 2 mai mic decât 10.
Astfel, lângă 7 scriem –3 și 7 – 3
lângă 8 scriem –2, ca aici: × 8 – 2
Apoi trebuie să efectuăm o scădere pe diagonal pentru a obține prima cifră a
rezultatul calcului: 7 – 2 = 5:
7 – 3
× 8 – 2
5
Sau, dacă preferați, puteți efectua scăderea 7 – 3
pe cealaltă diagonală:
× 8 – 2
5 8 – 3 = 5.
Apoi, se efectuează înmulțirea pe verticlă, i.e. 3 × 2 obținând 6 pentru cea de a
doua parte a răspunsului.
7 – 3
× 8 – 2
5 6 Așadar, 7 × 8 = 56.
1

Pentru a rezuma: 1) scrieți diferența fiecărui număr față de 10: 3 și 2 în exemplul de mai sus,
2) efectuați scăderea pe diagonală: 7–2 = 5 sau 8–3 = 5 și scrieți rezultatul,
3) înmulțiți pe verticală: 3×2 = 6 și scrieți rezultatul.
Această tehnică ilustrează sutra Vertical și pe diagonală.
Câteodată, putem avea și un surplus. Iată un exemplu:
Aplicația A  Această metodă este foarte ușoară. Efectuați calculele de mai jos:
a 7 b 8 c 9 d 7 e 8
× 9 × 8 × 6 × 7 × 9
f 8 g 9 h 6 i 7 j 6
× 6 × 9 × 6 × 5 × 5
a 63 b 64 c 54 d 49 e 72
f 48 g 81 h 36 i 35 j 30
În sistemul vedic tablele de înmulțire de la 9×9 în sus nu sunt esențiale.
A se observa nota asupra înmulțirii țărănești rusești de la pagina 69.
Pentru a obține 6 × 7 observăm că 6 este cu 4 mai mic decât 10, iar 7 este cu 3 mai
mic decât 10.
Astfel, vom avea: 6 – 4
× 7 – 3
Prin scăderea pe diagonal obținem: 6 – 3 = 3, rezultat ce îl scriem astfel:
6 – 4
× 7 – 3
3
Apoi, prin înmulțirea 4 × 3 obținem 12 pentru partea a doua a răspunsului.
Dar aici, cum 12 este un număr format din două cifre, cifra 1 devine surplus și o
adăugăm la 3 astfel:
6 – 4
× 7 – 3
3 2 = 42 Așadar, 6 × 7 = 42.
1
2

7: ÎNMULȚIREA DE BAZĂ 61
Pentru 12 × 13 observăm că numerele se află în imediata apropiere a lui 10 și 12 este
cu 2 mai mare decât 10, iar 13 este cu 3 mai mare decât 10.
Așadar, asezăm numerele exact ca în metoda precedent, numai că numerele fiind
mai mari decât 10, în loc de minus vom avea plus:
12 + 2
× 13 + 3
Apoi, adunăm pe diagonală 12 + 2
pentru a obține prima parte a răspunsului: × 13 + 3
12 + 3 = 15 (or 13 + 2 = 15). 15
Și, ca mai înainte, înmulțim pe verticală 12 + 2
pentru a obține ultima cifră: 2 × 3 = 6 × 13 + 3
15 6
Astfel, 12 × 13 = 156.
Metoda folosită în secțiunea trecută poate fi folosită nu numai pentru numere sub 10, dar și
pentru numere imediat superioare lui 10.
Presupunând că avem de înmulțit numerele 12 și 13; numere apropiate de 10.
Aplicația B Efectuați următoarele înmulțiri. De remarcat faptul că, pe a doua linie, în
calcul va apărea surplusul.
a 13 b 12 c 11 d 13 e 11
× 11 × 12 × 15 × 13 × 11
f 13 g 12 h 14 i 16 j 13
× 14 × 16 × 14 × 16 × 18
a 143 b 144 c 165 d 169 e 121
f 182 g 192 h 196 i 256 j 234
7.2 NUMERE IMEDIAT SUPERIOARE LUI 10
3

În tabla înmulțirii cu 3 răspunsurile sunt 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 . . .
Dacă se calculează suma cifrelor fiecărui număr, se obține șirul: 3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9 . . .
Numerele 3, 6, 9 se repetă de fiecare dată.
Putem ilustra acest șablon pe cercul celor 9 puncte astfel:
TABLA LUI 3 TABLA LUI 6




















Astfel, acesta este șablonul tablei înmulțirii cu 3 și este ilustrat în figura de mai sus.
Aplicația C
a Desenați tiparul tablei înmulțirii cu 6 pe cercul din partea dreaptă de mai sus.
b Desenați tiparele tablelor înmulțirii numerelor 4 și 5, 1 și 8, 2 și 7 și tabla lui 9 pe cercurile
de mai jos.
7.3 ȘABLOANELE TABLELOR ÎNMULȚIRII
Începem de la 3 , și trasăm o linie la următorul număr, adică 6
(utilizați o culoare).
Apoi, de la 6 trasăm o linie la următorul număr, adică 9.
Apoi, de la 9 trasăm o linie la următorul număr, adică 3.
Acest tipar se tot repetă pentru că numerele 3, 6, 9, 3, 6, 9 . . . se tot repetă.
4




TABLA LUI 9
PERIDIOCITATEA ZECIMALELOR
Cercul celor 9 puncte are multe utilizări, printre care și ilustrarea peridiocității zecimalelor
unui număr (vedeți Manualul 2 sau Calculatorul Cosmic, cărțile 2, 3).
De exemplu: 1
7
= 0.142857
. .
Cele două puncte (plasate deasupra lui 1 și a lui 7) ne indică faptul că cifrele 142857 se repetă
la infinit.
Începem acest șablon de la 1 și trasăm o linie la 4 ș.a.m.d până când tiparul începe să se
repete. Astfel, șablonul aritmetic se transformă într-unul geometric.
De fapt, orice secvență de numere poate fi reprezentată pe acest cerc: pătratele numerelor,
numere triangulare, numere prime, șirul lui Fibonacci etc.

Metoda simplă utilizată în secțiunea 7.1 poate fi ușor extinsă la numere mari.
De obicei, o înmulțire precum: 88 × 98 este considerată dificilă pentru avem de a face cu cifre
mari, i.e. 8 și 9.
Dar, de când numerele 88 și 98 sunt apropiate de baza 100, există o metodă foarte simplă de
efectuare a acestui produs.
88 × 98 = 8624.
Așezam termenii înmulțirii ca mai jos:
88 este cu 12 mai mic decât 100, deci, scriem –12 imediat după acesta,
98 este 2 mai mic decât 100, deci, scriem –2 imediat după acesta.
Răspunsul, 8624 este alcătuit din două părți: 86 și 24.
88 – 12
98 – 2
86 / 24
Scădere pe diagonală înmulțire pe vericală: 12 × 2 = 24
adică, 88 – 2 = 86 sau 98 – 12 = 86
(oricare dintre cele două doriți),
Numim 12 și 2 deficiențe pentru că numerelor 88 și 98 le lipsesc 12, respectiv 2
pentru a deveni 100.
Pentru 93 × 96 ne lipsesc numerele 7 și 4, așadar: 93 - 07
96 - 04
89 / 28
93 – 4 = 89 or 96 – 7 = 89,
Iar, 7 × 4 = 28.
Pentru 98 × 97: 98 – 02
97 – 3
95 / 06
A se remarca ”0” inserat aici: pentru numerele apropiate de 100, sunt necesare două
cifre pentru partea dreaptă, ca în celelate exemple.
7.4 NUMERE APROPIATE DE 100
5
6
7

Pentru 89 × 89: 89 – 11
89 – 11
178 / 21 = 7921
Aici, fiecare număr este cu 11 mai mic decât 100, iar 11 × 11 = 121 este un număr de
trei cifre. Deci, cifra sutelor devine surplus.
Aplicația D Efectuați următoarele înmulțiri:
a 94 × 94 b 97 × 89 c 87 × 99 d 87 × 98 e 87 × 95
f 95 × 95 g 79 × 96 h 98 × 96 i 92 × 99 j 99 × 99
a 88/36 b 86/33 c 86/13 d 85/26 e 82/65
f 90/25 g 75/84 h 94/08 i 91/08 j 9801
Se poate întâmpla să avem un surplus.
k 88 × 88 l 97 × 56 m 44× 98 n 97 × 63
k 7744 l 5432 m 4312 n 6111
Explicație (bazată pe Examplul 5 de mai sus).
(1) 88 × 98 = 88 × 100 – 88 × 2
=8800 – (100 × 2 – 12 × 2)
=8800 – 200 + 12 × 2
=8600 + 24 = 8624
(2) În caz contrat, fie următoarea explicație geometrică:
88×98 este aria unui dreptunghi de dimensiuni 88, respectiv 98 unități; așadar, putem începe
cu un pătrat cu latura de 100 unități:
8
De fapt, o data ce am obținut numerele lipsă, aplicăm metoda Vertical și pe diagonală:
Efectuăm scăderea pe diagonală pentru a obține partea stângă a răspunsului, iar pentru
partea dreaptă înmulțim pe verticală.

98 2A B
CD
88
12
100
100
Puteți observa aria cerută colorată în desenul de mai sus.
De asemenea, puteți observa și numerele lipsă până la 100: adică 12, respectiv 2.
Atunci, aria dreptunghiului ABCD este 8800 pentru că baza este 100, iar înălțimea sa este 88.
8800 200
Din această scădem aria micului dreptunghi din partea dreaptă, adică 200:
Adică: 8800 – 200 = 8600.
Obținem aria dorită, numai că am scăzut și aria dreptunghiului colorat ce se formează în
partea dreaptă jos. Deci, această trebuie adăugată rezultatului, adică trebuie să adăugăm
12×2=24 la 8600 pentru a obține 8624.
Puteți observa că aceast procedeu funcționează pentru orice număr imediat inferior lui 100.
(3) Explicația algebrică este următoarea: (x – a)(x – b) = x(x – a – b) + ab,
unde x este baza (în acest exemplu, 100), iar a și b sunt numerele ce lipsesc pentru a forma
100 (în acest caz: 12, respectiv 2).
Numerele ce trebuie înmulțite sunt: (x – a) și (x – b); (x – a – b) primul număr din care
scădem deficiența celui de al doilea; iar efectul produs de x din dreapta parantezei constă în
mutarea cantității (x – a – b) la stânga de atâtea ori câte zerouri are baza.
MINTAL
Uitați-vă din nou la primul exemplu din această secțiune:
88 – 12
98 – 2
86 / 24
Calea cea mai eficientă de a efectua acest calcul este de a lua un număr și de a extrage
deficiența celuilat număr din el: 88–2=86, sau 98–12=86.
Apoi înmulțirea deficiențelor între ele: 12×2=24.
Iar, mintal, să ajustăm răspunsul dacă acesta conține și un surplus.
În această manieră, aritmetica mintală devine și facilă.

103 × 104 = 10712. 103 +03
104 + 4
107 / 12
Metoda este similară celei dinainte.
103 este cu 3 mai mare decât 100, deci, vom scrie +3 imediat după acesta.
Și 104 este cu 4 mai mare decât 100, deci, vom scrie +4 imediat după acesta.
Apoi, 103 + 4 = 107 sau 104 + 3 = 107,
Și, 4 × 3 = 12.
Acum efectuăm adunarea pe diagonal și înmulțim pe verticală.
Aplicația E Efectuați aceste înmulțiri mintal; scrieți doar rezultatul final:
a 87 b 79 c 98 d 94
97 98 93 95
e 96 f 88 g 89 h 93
96 96 98 96
i 93 j 97 k 96 l 95
99 97 67 75

m 8 9
? ?
8 2 7 7 aflați numerele lipsă
a 84/39 b 77/42 c 91/14 d 89/30
e 92/16 f 84/48 g 87/22 h 89/28
i 92/07 j 94/09 k 64/32 l 71/25
m 93
NUMERE PESTE 100
Înmulțirea numerelor ce trec de 100 este chiar mai ușoară decât a celor sub 100.
Presupunând că dorim să aflăm rezultatul calculului 103 × 104:
9

Aplicația F Efectuați mintal următoarele înmulțiri:
a 107 × 104 b 107 × 108 c 133 × 103 d 102 × 104
e 123 × 102 f 171 × 101 g 103 × 111 h 125 × 105
i 103 × 103 j 111 × 111 k 162 × 102 l 113 × 105

m 1 0 3
? ? ?
1 0 8 1 5 găsiți numărul lipsă.
a 11128 b 11556 c 13699 d 10608
e 12546 f 17271 g 11433 h 13125
i 10609 j 12321 k 16524 l 11865
m 105
MATEMATICA MENTALĂ
Tehnicile vedice sunt atât de ușoare încât sistemul Matematicii Vedice este, într-adevăr, un
sistem mintal. Acesta prezintă avantaje suplimentare, după cum se poate observa, copii fac
progrese rapide, iar matematica devine mult mai plăcută atunci când le este permis să
efectueze calculele în minte. La urma urmei, obiectivele matematicii sunt unele mintale, iar
scrierea rezultatlor constă într-o combinație de acțiuni mintale și fizice; astfel, atenția
copilului alternează între sferele mintalului și materialului. Această alternanță este o abilitate
ce trebuie dezvoltată, dar lucrând cu obiectele numai mintal obținem și multe alte avantaje.
Matematica mentală ne conduce la un plus de creativitate, iar copii înțeleg obiectele
matematice și relaționarea dintre acestea mult mai bine. Încep prin a experimenta (în special
dacă sunt încurajați să facă asta) și devin mult mai flexibili. Atât memoria cât și încrederea se
îmbunătățesc prin matematica mentală.
ÎNMULȚIREA ȚĂRĂNEASCĂ RUSEASCĂ
Aceasta constă în înmulțirea numerelor cuprinse între 5 și 9 cu numere cuprinse între 5 și 9 și
este similară metodei vedice prezentată aici.
Degetele sunt numerotare ca în figura de mai sus, degetul mare fiind numerotat cu 5 ș.a.m.d
până la degetele mici ce sunt numerotate cu 9. Pentru a înmulți, să spunem, 8 cu 7, așezăm
împreună ”degetul 8” de la mâna stângă cu ”degetul 7” de la mâna dreaptă. Apoi numărând
degetele de desupra celor ce trebuie înmulține obținem 5, apoi înmulțim numărul degetelor
rămase de la mâna stângă cu numărul degetelor rămase de la mâna dreaptă: 2 × 3 = 6.
Așadar, 8 × 7 = 56.
5
6 7 8
9
9
8 7 69
9 5

Găsiți 568 × 998.
În acestă operație, numerele sunt aproape 1000, iar deficiențele lor sunt 432,
respectiv 2. Deficiența lui 568 este găsită aplicând formula: Toate din 9, iar ultimul
din 10.
568 – 432
998 – 2 Metoda este acceași, numai că trebuie să avem 3 cifre
566 / 864 în partea dreaptă pentru că baza este acum 1000.
Cum deficiențele sunt: 432, respectiv 2.
Diferența pe diagonal este: 568 – 2 = 566,
Iar pe vertical avem: 432 × 2 = 864.
De unde: 568 × 998 = 566864.
Aflați 68777 × 99997.
Chiar și numere mari precum acestea pot fi ușor înmulțite în gând prin aceeași
metodă.
68777 – 31223
99997 – 3
68774 / 93669
Acum, ce spuneți de numere apropiate de baze precum 1000 10,000 etc?
Aplicația G
Efectuați următoarele înmulțiri în gând:
a 667 × 998 b 768 × 997 c 989 × 998 d 885 × 997
e 883 × 998 f 467 × 998 g 891 × 989 h 8888 × 9996
i 6999 × 9997 j 90909 × 99994 k 78989 × 99997 l 9876 × 9998
a 665/666 b 765/696 c 987/022 d 882/345
e 881/234 f 466/066 g 881/199 h 8884/4448
i 6996/9003 j 90903/54546 k 78986/63033 l 9874/0248
Numărul de cifre necesar în partea dreaptă este egal cu numărul de zerouri din baza
numărului.
7.5 NUMERE MARI
10
11

1234 × 1003 = 1237702. (1234+3=1237, 234×3=702)
10021 × 10002 = 100230042. (10021+2=10023, 0021×2=0042)
Cu o bază egală cu 10 000 avem nevoie de 4 cifre în partea dreaptă a rezultatului.
Găsiți 309 × 104.
Putem observa că 309 este 3 × 103.
Asta înseamnă că: putem efectua întâi 103 × 104 (pentru care avem o metodă simplă
de calcul), iar apoi putem înmulți rezultatul cu 3.
103 × 104 = 10712.
Și: 10712 × 3 = 32136.
Putem utiliza metoda de separare a numerelor pentru a afla 10712 × 3, astfel: 1|07|12
× 3 = 3|21|36.
NUMERE MAI MARI DECÂT BAZA
Presupunem că avem numere mai mari decât baza.
Aplicația H
a 1222 × 1003 b 1051 × 1007 c 1123 × 1002
d 1007 × 1006 e 15111 × 10003
a 1225/666 b 1058/357 c 1125/246
d 1013/042 e 15115/5333
Proporțional înseamnă că obținem rezultatul final prin dublarea (sau triplarea etc.)
rezultatului intermediar.
Am tot făcut acest lucru.
7.6 PROPORȚIONAL
12
13
14

Găsiți 47 × 98.
Aici putem dubla numărul 47 pentru că dublul său, adică 94, cât și celalat număr sunt
apropiate de 100.
Astfel, calculăm 94 × 98 și împărțim la 2 rezultatul.
94 × 98 = 9212
Iar jumătatea lui 9212 este 4606.
Încă o data, putem folosi metoda de separare a numerelor pentru jumătatea
numărului 9212 (gândiți-vă la 92|12).
Găsiți 192 × 44.
Aici: putem înjumătăți numărul 192 și dubla numărul 44.
Astfel, obținem 96 × 88 și nu mai este nevoie să dublăm sau să înjumătățim pentru a
afla rezultatul final pentru că s-au anulat una pe cealaltă.
Deci: 192 × 44 = 96 × 88 = 8448.
Găsiți 192 × 92.
Aici, putem observa că: înjumătățind numărul 192, obținem 96.
Așadar: este sufficient să aflăm 96 × 92, iar apoi să dublăm rezultatul.
96 × 92 = 8832, prin metoda Vertical și pe diagonală,
Astfel, obținem: 192 × 92 = 17664, (prin dublarea lui 8832).
Aplicația I
a 212 × 103 b 106 × 208 c 182 × 98 d 93 × 186
a 21836 b 22048 c 17836 d 17298
Aplicația I continuare
e 93 × 46 f 56 × 104 g 306 × 118 h 51 × 104
i 206 × 54 j 44 × 99 k 48 × 184 l 228 × 212
e 4278 f 5824 g 36108 h 5304
i 11124 j 4356 k 8832 l 48336
15
16
17

213 × 203 = 43239. 213 + 13
203 + 3
2 × 216 / 39 = 43239
Observăm că numerele nu se află în apropierea vreunei baze utilizate până acum:
10, 100, 1000 etc, dar sunt aproape de 200, cu deficiențele 13, respective 3 așa cum
sunt ilustrate mai sus.
Aplicând procedura obișnuită obținem: 216/39 (213+3=216, 13×3=39).
Dar, baza noastră fiind 200 adică 100×2 multiplicăm cu 2 doar partea stângă a
răspunsului obținând astfel 43239.
29 × 28 = 812.
Baza este 30 (3×10), 29 – 1
iar deficiențele sunt –1, respectiv –2. 28 – 2
Prin scăderea pe diagonal obținem 27, 3 × 27 / 2 = 812
apoi înmulțind pe vericală partea dreaptă obținem 2,
În final, avem 3×27 = 81.
Așadar, aceste înmulțiri se efectuează la fel ca și celelalte numai că avem o
înmulțire în plus (doar pentru partea stângă) la sfârșit.
Găsiți 33 × 34.
În acest exemplu avem un surplus: 33 + 3
34 + 4
13 37 / 2 = 111 /12 = 1122
De notat faptul că de vreme ce partea dreaptă nu este înmulțită cu 3, vom înmulți
doar partea stângă cu trei înainte de a adăuga surplusul părții din stânga.
ANOTHER APPLICATION OF PROPORTIONATELY
O altă manieră de folosire a formulei Proporțional permite extinderea aplicabilității acestei
metode de înmulțire.
Aplicația J Efectuați următoarele înmulțiri în gând:
a 41 × 42 b 204 × 207 c 321 × 303 d 203 × 208
e 902 × 909 f 48 × 47 g 188 × 196 h 199 × 198
i 189 × 194 j 207 × 211 k 312 × 307 l 5003 × 5108
m 63 × 61 n 23 × 24 o 79 × 77
18
20
19

9998 × 94 = 9398/12
Aici, numerele sunt apropiate de baze diferite: 10,000 și 100,
iar deficiențele sunt –2, respectiv –6.
Scriem, sau ne imaginăm, operația ilustrată astfel: 9998 –02
94 – 6
9398 / 12
Este important să așezăm numerele exact ca mai sus pentru că 6 nu este scăzut din 8,
ca de obicei, ci din 9 (din 9998) așezat deasupra lui 4 din 94, adică a doua coloană
din stânga:
Astfel 9998 devine 9398.
Apoi înmulțim deficiențele între ele: 2×6 = 12.
Remarcați faptul că numărul cifrelor din partea dreaptă a răspunsului corespunde bazei
numărului mai mic (94 este apropiat de 100, drept urmare trebuie să avem două cifre în
partea dreaptă).
a 172/2 b 422/28 c 972/63 d 422/24
e 8199/18 f 225/6 g 368/48 h 394/02
i 366/66 j 436/77 k 957/84 l 25555/324
m 3843 n 552 o 6083
Uneori avem de înmulțit numere ce sunt apropiate de baze diferite.
În exemplul de mai jos unul din numere este apropiat de 10 000, iar celălalt de 100.
Putem observa că această metodă funcționează uitându-ne la 9998 × 9400, ce este de 100 de
ori mai mare decât operația de dinainte:
9998 – 0002
9400 – 600
9398 / 1200
Acum, putem observa că: 9998 × 9400 = 93981200,
deci 9998 × 94 = 939812.
Acest lucru ne arată și de ce 6 este scăzut din a doua coloană din stânga.
7.7 ÎNMULȚIREA NUMERELOR CU BAZE DIFERITE
21

962
= 92/16.
96 este cu 4 mai mic decât 100, așadar, îl reducem pe 96 cu 4, obținând astfel prima
parte a răspunsului, adică 92.
Ultima parte se obține prin ridicarea la pătrat a numărului 4: 42
=16, așa cum spune
formula.
10007 × 1003 = 10037021.
Aliniind numerele astfel: 10007 + 007
1003 + 3
10037 / 021
observăm că avem nevoie de trei cifre în partea dreaptă și că surplusul, adică 3,
trebuie adăugat coloanei a 4a, obținând astfel 10037.
Aplicația K Găsiți:
a 97 × 993 b 92 × 989 c 9988 × 98 d 9996 × 988
a 963/21 b 909/88 c 9788/24 d 9876/048
În următorul exemplu, numerele sunt apropiate de baze diferite, dar sunt mai mari decât
acestea.
Aplicația L Găsiți:
a 103 × 1015 b 106 × 1012 c 10034 × 102 d 1122 × 104
a 1045/45 b 1072/72 c 10234/68 d 1166/88
Cu ajutorul acestei metode, găsirea pătratului unui număr apropiat de o bază este foarte
ușoară.
Să ne amintim faptul că ridicarea la pătrat însemnă înmulțirea unui număr cu el însuși (ca 96
× 96).
Această metodă este cuprinsă în sub-sutra Reducere (sau Augmentare) prin deficiența și
folosind pătratul numărului.
7.8 RIDICAREA LA PĂTRAT A NUMERELOR APROPIATE
DE O BAZĂ
22
23

3042
= 3×308/16 = 92416.
Se efectuează în mod similar numai că, baza fiind 300, partea din stânga va fi
înmulțită cu 3.
10062
= 1012/036.
Aici, 1006 este mărit cu 6 la 1012, iar 62
= 36: dar pentru baza 1000 avem nevoie de
3 cifre în partea dreaptă, deci, vom scrie 036.
Aplicația M Ridicați la pătrat următoarele numere:
a 94 b 103 c 108 d 1012
e 98 f 88 g 91 h 10006
i 988 j 997 k 9999 l 9989
m 111 n 13 o 987
a 8836 b 10609 c 11664 d 1024144
e 9604 f 7744 g 8281 h 100120036
i 976144 j 994009 k 99980001 l 99780121
m 12321 n 169 o 974169
Aplicația N Ridicați la pătrat următoarele numere:
a 206 b 212 c 302 d 601
e 21 f 72 g 4012 h 511
a 424/36 b 449/44 c 912/04 d 3612/01
e 44/1 f 518/4 g 16096/144 h 2611/21
Sunt o multitudine de metode speciale de înmulțire în sistemul vedic: vedeți Lecția 10. Iar
metoda generală (Lecția 11) este întotdeauna actuală dacă nu ne vine în minte nicio altă
metodă specială.
24
25

Aici putem rezuma multitudinea de metode de înmulțire și ridicare la pătrat întâlnite până
acum.
1. Înmulțirea cu 4, 8 etc. se obține dublând de două sau de trei ori etc. De exemplu, 37×4.
2. Putem folosi dublarea pentru a extinde tablele de înmulțire. De exemplu, 14×8.
3. Putem înmulți de la stânga la dreapta folosind Semnalizatorul. De exemplu, 456×3.
4. Putem folosi Toate din 9 și ultimul din 10 pentru a înmulți numerele apropiate de o bază.
De exemplu, 98×88, 103×104, 203×204.
5. Și putem înmulți numere apropiate de baze diferite. De exemplu, 998×97.
6. Aceeași sutră poate fi folosită și pentru ridicarea la putere a numerelor apropiate de o bază.
De exemplu, 97², 1006², 203².
Aplicația O Exercițiul următor grupează la un loc toate metodele învățate până acum:
a 654 × 3 b 86 × 98 c 97 × 92
d 73 × 4 e 7 × 22 f 16 × 24
g 798 × 997 h 8899 × 9993 i 106²
j 996² k 103 × 109 l 123 × 104
m 203 × 209 n 188 × 197 o 87 × 97
p 32 × 33 q 2004 × 2017 r 9997 × 98
s 1023 × 102
a 1962 b 8428 c 8924
d 292 e 154 f 384
g 795606 h 88927707 i 11236
j 992016 k 11227 l 12792
m 42427 n 37036 o 8439
p 1056 q 4042068 r 979706
s 104346
7.9 UN REZUMAT
“tot ceea ce trebuie să facă un student este să caute anumite
caracteristici, să le detecteze, să identifice tipul particular și
să aplice formula convenabilă.”

Vedic Math - Teachers manual 1 romanian edition

Vedic Math - Teachers manual 1 romanian edition

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Recently uploaded

Recently uploaded (7)

Vedic Math - Teachers manual 1 romanian edition