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Fundamentos de Lógica    ¿Qué es una proposición?¿Cuáles son los conectivos lógicos?¿Cómo utilizar las tablas de verdad?  ...
Proposiciones Una proposición es una declaración sobre la que se   puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es    ...
Proposiciones ¿Cuáles de los siguientes enunciados son   proposiciones?   (Explica por qué lo son o no lo son)1)   “ El tr...
NotaciónPara denotar o representar las proposiciones se usan letras  minúsculas: p, q, r, s, ...    p: “El salón de 11º es...
Proposición Atómica  Una proposición es atómica si no puede ser   descompuesta en proposiciones más simples.  Las propos...
Proposición Molecular  Una proposición es molecular si no es   atómica, es decir, si puede ser   descompuesta en proposic...
Conectivos LógicosConectivo Simbolizació          Tipo               n     no           ¬ó   ~    Negación      y         ...
EjemploSi llegas después de las ocho ymedia, entonces encontrarás lapuerta cerrada y no podrásentrar al teatro.        p →...
Proposiciones Compuestas o Moleculares  Ejemplos      Vamos en bicicleta o vamos a pie.      No es cierto que Juan lleg...
Simbolización Para     simbolizar un proposición   Identificar las proposiciones atómicas   Simbolizar las proposicione...
Simbolización Ejemplos    Vamos en bicicleta o vamos a pie.      p : “Vamos en bicicleta”.      q : “Vamos a pie”      S...
Simbolización Ejemplo      La medalla no es de plata y el diploma       parece falso.        p : “La medalla es de plata...
Tabla de Verdad La tabla de verdad de una proposición  molecular muestra todas las posibles  combinaciones de valores de ...
NegaciónEl enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada“la negación de p” y se denota por ¬p.La negación de una p...
ConjunciónLa conjunción de p y q es la proposición “p y q”que se denota por “p ∧ q”. También se puede leer “p pero  q”La c...
Tabla de verdad para la conjunción                p          q           p^q                V          V            V     ...
DisyunciónLa disyunción de p y q, es la proposición   “p o q”, que se  denota por “p ∨ q”.La disyunción es falsa, únicamen...
Tabla de verdad para Disyunción                p          q            pvq                V          V             V      ...
Tablas de verdadLas tablas de verdad de los dos conectivosanteriores son:            p        q      p∧q      p∨q         ...
ImplicaciónLa implicación es la proposición “Si p entonces q ”,que se denota por p → q  A p se le llama hipótesis (o antec...
ImplicaciónEjemplo:p: “Los polvos de jardín contienen veneno”q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.La propos...
Tabla de Verdad para Implicación“Si p entonces q ” es falsa únicamente en el caso de que el   antecedente p sea verdadero ...
Ejemplosp: “La respuesta automática se puede enviar”q: “El sistema de archivos está lleno”.¬p → q :“Si la respuesta automá...
Doble Implicación o BicondicionalLa proposición “p si y sólo si q” se denomina bicondicional y sedenota por “p ↔ q”Es verd...
Tabla de Verdad   La tabla de verdad para el bi-condicional es                     p          q       p ↔q               ...
Tautología y contradicciónUna tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de...
Ejemplo de razonamiento Si llueve entonces no iremos a caminar.  Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar.   p = “llueve”...
FormalizaciónLa formalización es el proceso en el que se traducen    proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje form...
Formalización2) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus”        q: “ El mensaje fue enviado desde un siste...
   3)    Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p ∨ ¬q ) → q b) ( p ∧ q ) → ( p ∨ q ) c...
Ejercicios 4) Halla los valores de verdad de las proposiciones si   sabes que       p → q es falsa.  a) ¬p ∧ q       b) q ...
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1.clase introduccion-logica

Introducción a Lógica Matemática

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1.clase introduccion-logica

  1. 1. Fundamentos de Lógica ¿Qué es una proposición?¿Cuáles son los conectivos lógicos?¿Cómo utilizar las tablas de verdad? ¿Qué es una tautología? ¿Qué es una contradicción?
  2. 2. Proposiciones Una proposición es una declaración sobre la que se puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es falsedad un enunciado verdadero o es un enunciado falso, pero no puede ocurrir ambas cosas. Por ejemplo SON PROPOSICIONES NO SON PROPOSICIONES “El 2 es un número primo”. “ ¡Buenos días!” “¿15 y 18 tienen la misma “ 25 es divisible entre 3 ”. cantidad de divisores?”. “ 6 + 5 = 10 ”. “ En realidad, ¿a qué se refiere?”. “El salón de 11º está en el “ Lávalo”. 2do piso”.
  3. 3. Proposiciones ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? (Explica por qué lo son o no lo son)1) “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”.2) “ 2 es divisor de 15”.3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.4) “ El salón de 11º del Fontanar tiene más de 50 mts. cuadrados”.5) “ x + 3 es un entero positivo”.6) “ Tranquilícese”. Respuestas: Sólo son proposiciones los enunciados dados en 2 y 4
  4. 4. NotaciónPara denotar o representar las proposiciones se usan letras minúsculas: p, q, r, s, ... p: “El salón de 11º está en el 2do piso” q: “El salón de 11º es iluminado” r: “El 5 es un entero par” s: “1 + 4 = 5 ” t: “Mañana es miércoles” u: “Una decada tiene 10 años”
  5. 5. Proposición Atómica  Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples.  Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa.  Ejemplos:  La casa es grande. (es atómica)  La casa no es grande. ( no es atómica)  Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)
  6. 6. Proposición Molecular  Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples.  Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.
  7. 7. Conectivos LógicosConectivo Simbolizació Tipo n no ¬ó ~ Negación y ∧ Conjunción o ∨ Disyunciónsi .., entonces => Implicación si y sólo si  doble implicación
  8. 8. EjemploSi llegas después de las ocho ymedia, entonces encontrarás lapuerta cerrada y no podrásentrar al teatro. p → (q^¬r)
  9. 9. Proposiciones Compuestas o Moleculares  Ejemplos  Vamos en bicicleta o vamos a pie.  No es cierto que Juan llegó temprano  Juan no llegó temprano  Luis es arquitecto y Martín es médico.  La medalla no es de plata y el diploma parece falso.  Matías aprobó pero Lucas no.
  10. 10. Simbolización Para simbolizar un proposición Identificar las proposiciones atómicas Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas. Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.
  11. 11. Simbolización Ejemplos  Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q  No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización :¬ p
  12. 12. Simbolización Ejemplo  La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización: ¬p ^ q
  13. 13. Tabla de Verdad La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
  14. 14. NegaciónEl enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada“la negación de p” y se denota por ¬p.La negación de una proposición es aquella que modifica la proposición dándole el sentido contrario.Ejemplo p: Nuestro salón está en el 2do piso.¬p : Nuestro salón no está en el 2do piso.¬p : No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso.Si p es verdadera entonces ¬p es falsa. En cambio, si p esfalsa, ¬p es verdadera.La tabla de verdad de la negación es: p ¬p V F F V
  15. 15. ConjunciónLa conjunción de p y q es la proposición “p y q”que se denota por “p ∧ q”. También se puede leer “p pero q”La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambasproposiciones que la componen son verdaderas.EjemploSea p: “2 divide a 68” q: “2 divide a 25”.p ∧ q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”.Valor de verdad: p ∧ q es falsa
  16. 16. Tabla de verdad para la conjunción p q p^q V V V V F F F V F F F F Indica el valor de verdad de : • 6 es un número par y divisible por 3. •(2+5=7) y(2*3=9)
  17. 17. DisyunciónLa disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se denota por “p ∨ q”.La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambasproposiciones son falsas.Ejemplo:Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7” p ∨ q : “ 3 divide a 6 ó a 7”Valor de verdad: p ∨ q es verdadera.
  18. 18. Tabla de verdad para Disyunción p q pvq V V V V F V F V V F F F Indica el valor de verdad de : • 2 es primo o es impar. • (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)
  19. 19. Tablas de verdadLas tablas de verdad de los dos conectivosanteriores son: p q p∧q p∨q V V V V V F F V F V F V F F F F pyq poq
  20. 20. ImplicaciónLa implicación es la proposición “Si p entonces q ”,que se denota por p → q A p se le llama hipótesis (o antecedente) y a q se le llama tesis (o consecuente).La proposición p → q, se puede leer también como Si p, q p sólo si q p es suficiente para q q es necesaria para p p implica q q se deduce de p
  21. 21. ImplicaciónEjemplo:p: “Los polvos de jardín contienen veneno”q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.La proposición p → q puede estar expresada como:“Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores brillantes”;“Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes”;“Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que contienen veneno”;“Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen veneno”.
  22. 22. Tabla de Verdad para Implicación“Si p entonces q ” es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso de q.La tabla de verdad para la implicación es p q p→q V V V V F F F V V F F V
  23. 23. Ejemplosp: “La respuesta automática se puede enviar”q: “El sistema de archivos está lleno”.¬p → q :“Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno”.q → ¬p :“La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno”.q → ¬p :“La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno”.p→ ¬ q:“Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno”.
  24. 24. Doble Implicación o BicondicionalLa proposición “p si y sólo si q” se denomina bicondicional y sedenota por “p ↔ q”Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores deverdad, es decir, es verdadera si ambas componentes sonverdaderas o ambas son falsas. “p si y sólo si q” se puede expresar como “p es condición necesaria y suficiente para q”.Ejemplop : 24 es un número par.q : 24 es divisible por 2.p ↔ q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.
  25. 25. Tabla de Verdad La tabla de verdad para el bi-condicional es p q p ↔q V V V V F F F V F F F V
  26. 26. Tautología y contradicciónUna tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Por ejemplo: p ∨ ¬p “ Soy un hombre o no soy un hombre”Una contradicción es una proposición compuesta quees falsa para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Por ejemplo: p ∧ ¬p “Soy un hombre pero no soy un hombre”
  27. 27. Ejemplo de razonamiento Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar. p = “llueve” q = “iremos a caminar” ((p→¬ q) ∧ p) →¬ q Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es una tautología
  28. 28. FormalizaciónLa formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.1) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve”a) La temperatura está sobre los 17°C pero llueve.b) Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve.c) No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C.d) Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C.e) Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva.f) O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.
  29. 29. Formalización2) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus” q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido”Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya enviado desde un sistema desconocido.b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revisó para buscar ningún virus.c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no se revisa para buscar ningún virus.d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se reviso para buscar ningún virus.
  30. 30.  3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p ∨ ¬q ) → q b) ( p ∧ q ) → ( p ∨ q ) c) q ↔ (¬p ∨ ¬q)  ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? ¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?
  31. 31. Ejercicios 4) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p → q es falsa. a) ¬p ∧ q b) q → p c) p ∨ ¬p d) ¬p ∨ q Piensa un rato y justifica tus respuestas 5) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que (p∧ q)∧ r → (s∨ t) sea falsa

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