Superficies

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Superficies

  1. 1. SUPERFICIES<br />Módulo 4<br />
  2. 2. ¿Cómo puedo aplicar comprensivamente el cálculo en mi carrera?<br />Tópico generativo<br />
  3. 3. Los estudiantes apreciaran como el concepto de superficie es clave para la comprensión del cálculo.<br />Hilo conductor<br />
  4. 4. Los alumnos comprenderán:<br />Los vectores en el plano y en el espacio representándolos geométricamente en diversas situaciones que ocurren en su entorno aplicándolos en los cursos vistos durante el semestre y en la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.<br />Los conceptos de derivadas parciales y direccionales como una generalización del concepto de derivada, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.<br />Integrales múltiples y de línea, a través de aplicaciones relacionadas con el entorno, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.<br />Metas de comprensión <br />
  5. 5. CURVAS EN EL ESPACIO<br />Consideremos curvas en plano tridimensional, pero definidas sobre uno de los planos XY, XZ o YZ y con ecuaciones del tipo:<br />En el plano XY F(x,y)=0<br />En el plano XZ F(x,z)=0<br />En el plano YZ F(y,z)=0<br />
  6. 6. La recta <br />Ejemplo:<br />
  7. 7. La hiperbola <br />Ejemplo:<br />
  8. 8. La parábola <br />Ejemplo:<br />
  9. 9. La elipse <br />Ejemplo:<br />
  10. 10. Una curva  sobre un plano x=a , y=b o z=c, se describe <br />dando la ecuación de la curva y el plano sobre la cual se <br />encuentra.<br />Ejemplo: <br />Dibujar las curvas:<br />1. Parábola , sobre el plano x=2.<br />2. Elipse , sobre el plano z=3.<br />3. Hipérbola , sobre el plano y=3.<br />Curvas sobre los planos <br />
  11. 11. Solución.<br />Para dibujar cada una de las curvas, primero trasladamos los <br />ejes. <br />1. Parábola. trasladamos los ejes YZ hasta X=2 y dibujamos <br /> sobre estos ejes.<br />
  12. 12. 2. Elipse: trasladamos los ejes X e Y hasta Z=3 y <br /> dibujamos sobre estos ejes.<br />
  13. 13. Hipérbola:  trasladamos los ejes X y Z hasta Y=3<br /> dibujamos sobre estos ejes.<br />
  14. 14. Algunas superficies se generan a partir de una curva que se mueven en <br />el espacio, siguiendo una trayectoria determinada , por ejemplo:<br />Superficie generada por<br />Superficies cilíndricas<br />
  15. 15. Superficie generada por z=sen(x)<br />
  16. 16. Variable libre<br />Si en la ecuación F(x,y,z)=0 algunas de las variables <br />X,Y o z es libre (no aparece en la ecuación), entonces <br />su gráfica corresponde a un cilindro y trazarla resulta <br />muy simple : primero dibujamos la traza de la superficie <br />F(x,y,z)=0 sobre el plano coordenado correspondiente a <br />las variables no libres y luego movemos esta curva en la <br />dirección del eje coordenado correspondiente a la variable <br />libre.<br />
  17. 17. Ejemplo:<br />Trazar la gráfica de la superficie cilíndrica<br />Solución<br />La variable libre es z entonces dibujamos la traza sobre el plano z=0 (plano xy) y la desplazamos a lo largo del eje z.<br />
  18. 18. Ejemplo:<br />Trace la gráfica del plano y+z=3<br />Solución<br />La variable libre es x entonces dibujamos la traza del plano y+z=3<br />sobre el plano x=0 y luego la desplazamos en la dirección del eje x.<br />
  19. 19. Ejercicios:<br />Trazar la gráfica de la superficie cilíndrica.<br />
  20. 20. Coordenadas polares<br />Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto O, llamado polo y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares <br /> distancia dirigida de O a P.<br />ángulo dirigido, desde el eje polar Hasta el segmento <br />
  21. 21. Representación de puntos<br />
  22. 22. Representación de puntos<br />
  23. 23. Las coordenadas polares de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares de ese punto como se muestra a continuación .<br />Transformación de coordenadas<br />
  24. 24. Ejemplo:<br />Dado el punto , transformarlo a coordenadas rectangulares.<br />y<br /> Por lo tanto, las coordenadas rectangulares son <br />
  25. 25. Ejemplo:<br />Dado el punto , transformarlo a coordenadas polares.<br /> además,<br />Ahora como se eligió en el <br />mismo cuadrante que <br />entonces <br />
  26. 26. Ejercicios:<br />Dado el punto , transformarlo a coordenadas rectangulares.<br />Dado el punto , transformarlo a coordenadas polares.<br />
  27. 27. Gráficas polares<br />Ejemplo:<br />Describir la grafica de las siguientes ecuaciones polares:<br />r=2<br />Solución.<br />Sabemos que , por lo tanto tenemos que <br />Utilicemos la relación , de lo cual obtenemos:<br />
  28. 28. Graficas Ejemplo<br />r=2<br />
  29. 29. Trazado de una grafica polar<br />
  30. 30. Coordenadas cilíndricas<br />El sistema de coordenadas cilíndricas, es una extensión de las coordenadas polares del plano al espacio.<br />
  31. 31. Cilíndricas a rectangulares:<br />Rectangulares a cilíndricas :<br />Transformación entre coordenadas<br />
  32. 32. Ejemplo:<br />convertir la ecuación rectangular a coordenadas cilíndricas. <br />Solución.<br />Como ,<br />entonces decimos que:<br /> , de lo cual <br />Paraboloide<br />
  33. 33. Ejemplo:<br />convertir la ecuación cilíndrica a coordenadas rectangulares. <br />Solución.<br /> ,<br />Hiperboloide de dos hojas<br />
  34. 34. Ejemplo:<br />Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para la ecuación <br />Solución.<br /> ,<br />Esfera<br />
  35. 35. Ejercicios:<br />Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para:<br />
  36. 36. bibliografía<br />Ingresar palabras claves en diferentes buscadores tales como:<br /><ul><li> Applet coordenadas polares.
  37. 37. Applet superficies cuádricas.
  38. 38. Applet superficies cilíndricas.</li>

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