Integrales multiples

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Integrales multiples

  1. 1. INTEGRALES MÚLTIPLES<br />Módulo 5<br />
  2. 2. Tópico generativo<br />¿Cómo puedo aplicar comprensivamente el cálculo en mi carrera?<br />
  3. 3. Hilo conductor<br />Los estudiantes apreciaran como el concepto de superficie es clave para la comprensión del cálculo.<br />
  4. 4. Metas de comprensión <br />Los alumnos comprenderán:<br />Los vectores en el plano y en el espacio representándolos geométricamente en diversas situaciones que ocurren en su entorno aplicándolos en los cursos vistos durante el semestre y en la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.<br />Los conceptos de derivadas parciales y direccionales como una generalización del concepto de derivada, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.<br />Integrales múltiples y de línea, a través de aplicaciones relacionadas con el entorno, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.<br />
  5. 5. Área de una región plana<br />Si R esta definida por y donde<br />Y son continuas en , entonces el área de R está dada por. <br />
  6. 6. Área de una región plana<br />Si R esta definida por y donde<br />Y son continuas en , entonces el área de R está dada por. <br />
  7. 7. Ejemplo:<br />Dibujar la región R de integración.<br />
  8. 8. Ejemplo:<br />Dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración.<br />
  9. 9. Ejercicios<br />Dibujar la región R de integración y cambiar el<br />Orden de integración.<br />
  10. 10. Área de una región rectangular<br />
  11. 11. Ejemplo:<br />Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región:<br />
  12. 12. Ejemplo:<br />Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región:<br />
  13. 13. Ejemplo:<br />Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región:<br />
  14. 14. Ejercicios<br />Utilizar una integral iterada para hallar el <br />área de la región:<br />1. 2. <br />
  15. 15. Integrales dobles y volumen de una región solida<br />Si es integrable sobre una región plana R y para todo en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la grafica de se define como:<br />
  16. 16. Interpretación geométrica<br />
  17. 17. Ejemplo:<br />Encontrar el volumen del tetraedro acotado por los planos <br />
  18. 18. El plano se puede escribir como<br />así que el volumen requerido se localiza debajo de la grafica de la función y arriba de las rectas y <br />Solución:<br />ó<br />
  19. 19. Ejemplo:<br />Hallar el volumen del sólido.<br />
  20. 20. Solución:<br />Haciendo , se ve que la base de la región, en el plano xy, es la circunferencia <br />
  21. 21. Ejercicios<br />Encuentre el volumen del solido que yace debajo del paraboloide<br /> , y arriba de la región R en el planos xy acotado por la línea y la parábola <br />
  22. 22. Integrales dobles en coordenadas polares<br />Hasta el momento se vio como resolver una integral doble por medio de coordenadas rectangulares. Algunas de estas integrales son mucho mas fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto ocurre especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardiodes y pétalos de una curva rosa y de integrandos que contienen <br />
  23. 23. Cambio de variables a forma polar<br />Si es continua en una región polar de la forma<br /> , entonces. <br />
  24. 24. Ejemplo:<br />Utilizar las coordenadas polares para describir la región.<br />
  25. 25. Ejemplo:<br />Utilizar una integral doble para calcular el área de la región sombreada.<br />
  26. 26. Solución<br />
  27. 27. Hallar el volumen del sólido que está por debajo del paraboloide y encima del disco<br />Ejemplo:<br />
  28. 28. Ejercicios<br />Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por las graficas de las ecuaciones.<br /> primer octante.<br />
  29. 29. Integrales triples<br />Si es continua sobre una región sólida acotada , entonces la integral triple de sobre se define como<br />
  30. 30. Evalúe , donde es el tetraedro solido acotado por los cuatro planos y <br />Ejemplo:<br />
  31. 31. Solución<br />
  32. 32. Ejemplo:<br />Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera el cilindro . <br />
  33. 33. Como y tomando a R como la proyección del solido sobre el plano los limites de integración son:<br />Solución<br />Proyección sobre el plano <br />
  34. 34. Por tanto utilizando integrales triples en coordenadas cilíndricas obtenemos: <br />Corte entre las superficies (región sólida)<br />
  35. 35. Ejercicios<br />Utilizar una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por las graficas de las ecuaciones.<br />y<br />y<br />
  36. 36. bibliografía<br />Ingresar palabras claves en diferentes buscadores tales como:<br /><ul><li> Applet integrales dobles.
  37. 37. Applet integrales triples.
  38. 38. Applet Doubleintegrals.
  39. 39. Applet Triple integrals.</li>

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