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Newton raphson

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Newton raphson

  1. 1. Método de Newton-Raphson para la búsqueda de raíces Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia del método anterior, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
  2. 2. Supongamos que tenemos la aproximación x i a la raíz x r de f (x) Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ( x i , f (x i ) ) ; ésta cruza al eje x en un punto x i+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz x r .
  3. 3. <ul><li>Para calcular el punto x i+1 , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente </li></ul><ul><li>Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: </li></ul><ul><li>Hacemos y=0 : </li></ul><ul><li>Y despejamos x : </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación: </li></ul><ul><li>; si </li></ul>
  5. 5. <ul><li>NOTA: El método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no se tiene ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. </li></ul><ul><li>También observe que en el caso de que f ’(x i )=0 , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso x i mismo es una raíz de f (x). </li></ul>
  6. 6. METODOLOGÍA. <ul><li>Se calcula o determina la primera derivada de la función dada. </li></ul><ul><li>2. Se sustituye la función dada y la derivada obtenida de esta en la formula de Newton-Raphson. </li></ul><ul><li>3. Se selecciona un punto cualquiera de la función original, el cual será el punto de partida o valor inicial de x (x 0 ) para la determinación de la raíz aproximada de la función. </li></ul><ul><li>4. Se sustituye el valor inicial de x en la formula de Newton-Raphson que se obtuvo en el punto 2 para obtener una aproximación a la raíz a la cual nombraremos x 1 . </li></ul><ul><li>5. Se calcula su error de aproximación tomando como valor real el valor obtenido y como valor aproximado el anterior que en este caso es el inicial. </li></ul><ul><li>Error relativo: |(x actual - x anterior )/x actual |*100 </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Se repiten los pasos 4 y 5 sustituyendo en la formula de Newton-Raphson el valor obtenido con anterioridad, obteniendo una nueva aproximación a la raíz. Esto se repetirá hasta llegar a obtener un valor de error relativo satisfactorio o pedido. </li></ul><ul><li>Por este último punto es que se dice que este método es iterativo ya que se repite tantas veces sea necesario hasta llegar a obtener un valor satisfactorio para uno. </li></ul><ul><li>FORMULA DE NEWTON-RAPHSON. </li></ul>
  8. 8. Ejemplo Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .  Solución En este caso, calculando la primera derivada de la función dada se tiene: La cual sustituimos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener: Primera iteración. Comenzamos sustituyendo para obtener: x 1 = 0 – {(arctan(0)+0-1)/[(1/(1+0 2 ))+1]} = 0.5 en la fórmula de Newton-Raphson
  9. 9. En este caso tenemos un error aproximado de: Eaprox=|(0.5-0)/0.5|*100%=100% Segunda iteración. Ahora sustituyendo x 0 =0.5 como el valor anterior calculado para obtener: X2= 0.5 – {(arctan(0.5)+0.5-1)/[(1/(1+0.52))+1]} = 0.5201957728 En este caso tenemos un error aproximado de: Eaprox=|(0.5201957728-0)/ 0.5201957728|*100%=3.88%
  10. 10. Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultado en la siguiente tabla: De lo cual concluimos que la aproximación obtenida es: Aprox. a la raíz Error aprox. 0   0.5 100% 0.5201957728 3.88% 0.5202689918 0.01%

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