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De aquí podemos deducir también que senθ ≈θ, para valores muy pequeños de θ.
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( ) sen ; ( ) cos ; ( ) sen ; ( ) cosf x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = = − = −
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Funciones trigonometricas con expansion en series

  1. 1. 18 1.3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS: EXPANSIONES EN SERIES Y REPRESENTACION POLAR (1.3_CvR_T_061, Revisión: 29-08-06, C4, C5) 1.3.1 NOCIONES FUNDAMENTALES. -Definidas en términos de los lados de un triángulo rectángulo: h sen ; cos ; tan o a o h h a θ θ θ= = = o -Derivadas de las funciones trigonométricas: a Para deducir las derivadas de estas funciones, comencemos por demostrar que: p 0 sen lim 1 θ θ θ→ = (θ en radianes) De la figura podemos ver que: r OPQOPCOPR AAA ≤≤ (comparando áreas de los triángulos) 0 R C Q ARCO DE UN CÍRCULO (S) Las áreas para cada triángulo son explícitamente 1 cos sen 2 OPRA r rθ θ= AOPC = Fracción del círculo contenida en el arco con ángulo θ= 2 2 2 2 r r θ θ π π   =    21 1 tan tan 2 2 OPQA rr rθ θ= = Podemos entonces establecer la comparación de áreas de los triángulos de acuerdo a: 2 2 21 1 cos sen tan 2 2 2 r r r θ θ θ θ≤ ≤ Dividiendo entre r2 senθ : 1 cos sen cos θ θ θ θ ≤ ≤ Para 0θ → tenemos 0 sen 1 1, lim 1 sen θ θ θ θ θ→ ≤ ≤ ⇒ = θ θ
  2. 2. 19 De aquí podemos deducir también que senθ ≈θ, para valores muy pequeños de θ. Además, a partir de la identidad trigonométrica cos2 θ+sen2 θ = 1 podemos obtener: ( ) ( ) 1 1 2 22 2 cos 1 sen 1θ θ θ= − = − Utilizando el teorema del binomio: ( ) 2 3( 1) ( 1)( 2) 1 1 2! 3! p p p p p p x xp x x − − − + ≡ + + + + ( ) ( ) 1 2 2 32 0 1 cos 1 1 , limcos 1 2 O θ θ θ θ θ θ → = − = − + ⇒ = Utilizando estas deducciones y recordando que sen(A+B)=senAcosB+cosAsenB, podemos obtener las derivadas de las funciones, e.g.: 0 sen( ) sen sen lim d d θ θ θ θ θ θ θ∆ → + ∆ − = ∆ 0 sen cos cos sen sen lim θ θ θ θ θ θ θ∆ → ∆ + ∆ − = ∆ 0 sen (cos 1) cos sen lim θ θ θ θ θ θ∆ → ∆ − + ∆ = ∆ Sabemos que: 0 0 sen lim 1, sen limcos 1 θ θ θ θ θ θ θ → → = ⇒ ≈ = 0 0 sen (cos 1) cos sen cos lim lim θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ∆ → ∆ → ∆ − + ∆ ∆ ∴ = ∆ ∆ ⇒ Similarmente: cos sen d d θ θ θ = − Utilizando las reglas para derivar productos y cocientes de funciones pueden obtenerse las derivadas del resto de las f unciones trigonométricas (i.e., tanθ, secθ, etc.) 1.3.2 EXPANSIÓN EN SERIE DE TAYLOR. Expandiendo estas funciones alrededor de x0=0 obtenemos: ( ) 0 ( ) ( ) (0) ! k k k x f x f k ∞ = = ∑ sen cos d d θ θ θ =
  3. 3. 20 ( ) sen ; ( ) cos ; ( ) sen ; ( ) cosf x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = = − = − Evaluando las derivadas en el punto de interés: (0) 0; (0) 1; (0) 0; (0) 1f f f f′ ′′ ′′′= = = = − 3 5 7 2 1 0 ( ) ....... ( 1) sen( ) 3! 5! 7! (2 1)! n n n x x x x f x x x n +∞ = → = − + − + = − = + ∑ Similarmente se obtiene: )!2( )1(.... !6!4!2 1)cos()( 2 0 642 n xxxx xxf n n n ∑ ∞ = −=+−+−== 1.3.3 FUNCIONES INVERSAS. Para evitar ambigüedades por la periodicidad y la simetría de estas funciones, el ángulo se restringe al intervalo. →≤≤− 22 π θ π Con esto se garantiza una función inversa única. Las derivadas de estas funciones pueden obtenerse mediante manipulación algebraica de las funciones originales, e.g.: 1 seny x− = 2 2 sen cos( ) 1 sen ( ) 1 dx x y y y x dy = → = = − = − 2 1 1 xdx dy − =⇒ 1.3.4 REPRESENTACION POLAR DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Utilizando la serie de Taylor alrededor de x0=0 para la función exponencial, i.e.: 2 3 4 1 ..... 2! 3! 4! ex x x x x= + + + + + , podemos hacer un cambio de variable para obtener: 2 3 4 2 3 4 5 ( ) ( ) 1 ( ) .... 1 ..... 2! 3! 4! 2! 3! 4! 5! eix ix ix ix x ix x ix ix ix= + + + + + = + − − + + +
  4. 4. 21 Manipulando la serie podemos obtener: 2 4 6 3 5 1 ...... ...... 2! 4! 6! 3! 5! cos sen eix x x x x x i x x x     = − + − + + − + −        Reconociendo esto y recordando la fórmula de Euler podemos establecer que: coseix x isenx= + Además: ( ) ( ) 1 cos 2 1 sen 2 e e e e ix ix ix ix x x i − − = + = −

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