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Silabus ets pnp pp 2013 1

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Silabus ets pnp pp 2013 1

  1. 1. 1 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA SÍLABO DESARROLLADO DE MATEMÁTICA PROGRAMA REGULAR 2013
  2. 2. 2 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SILABO LÓGICO-MATEMÁTICA (PROCESO REGULAR) I. DATOS GENERALES EJE CURRICULAR : Formación General AREA EDUCATIVA : Formación Científica Básica AREA COGNITIVA : Ciencias Lógico - Matemáticas AÑO DE ESTUDIO : PRIMER AÑO HORAS SEMESTRALES : 72 horas académicas HORAS SEMANALES : 04 CRÉDITOS : 3.5 PERIODO ACADEMICO : I Semestre II. SUMILLA La Asignatura de Lógica Matemática forma parte del Área de Formación Científica Básica del Currículo de Estudios de las Escuelas Técnico - Superiores de la Policía Nacional del Perú, siendo de naturaleza instrumental y de carácter teórico – práctico, cuyo propósito es desarrollar en el alumno los contenidos básicos, organizados en cuatro unidades de aprendizaje: Lógica Proposicional, Teoría de Conjuntos, Matemática Financiera y Estadística Descriptiva. III. OBJETIVOS A. OBJETIVO GENERAL Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógico- matemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, que contribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto sus competencias lógico matemática. Desarrollar en los alumnos habilidades que permitan traducir problemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- al lenguaje lógico-matemático.
  3. 3. 3 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesional- área de administración y ciencias policiales-, en las dimensiones que sean suceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguaje matemático o representación estadística. 2. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar, cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver problemas. 3. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada situación problemática, en singular, particular o general. IV. CONTENIDOS I UNIDAD LÓGICA PROPOSICIONAL COMPETENCIA Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional. PRIMERA SEMANA (04 hrs) Sesión 01 Presentación de la asignatura. Prueba de Entrada. LOGICA PROPOSIONAL:  Enunciado, Proposición.  Proposición atómica, molecular.  Variables proposicionales.  Conectivos lógicos:  Expresiones de la lengua española equivalentes a los conectivos lógicos.  Proposiciones en lenguaje natural u ordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización o simbolización de proposiciones).  Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en la sesión 1.  Reconoce, describe, analiza, expresa, clasifica y formaliza proposiciones.  Valora los conocimientos de la lógica proposicional como herramienta para analizar, interpretar y traducir hechos, situaciones o problemas, de la vida real, del área de la administración y ciencias policiales, al lenguaje de la lógica proposicional, con la finalidad de resolver situaciones o problemas.
  4. 4. 4 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SEGUNDA SEMANA (04 hrs) Sesión 02  Valores de verdad para las proposiciones moleculares o tablas de verdad de los conectivos lógicos.  Tabla de verdad: tautológica, contradictoria, contingente.  Ley lógica, características de la ley lógica. Leyes Lógicas: Modus PonendoPonens, Modus TollendoTollens, Modus TollendoPonens, Silogismo Hipotético, Dilema Constructivo, Dilema Destructivo, Dilema Simple.  Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en la sesión 2.  Identifica, analiza, compara y aplica los valores de verdad de los diferentes conectivos lógicos.  Clasifica las tablas de verdad según la naturaleza de su matriz de verdad. Caracteriza la ley lógica.  Describe el esquema o estructura de las leyes lógicas.  Aplica con propiedad los fundamentos y principios de la lógica proposicional en la solución de diversos problemas.  Muestra interés en los nuevos conocimientos, participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. TERCERA SEMANA (04 hrs) Sesión 03  Razonamiento Deductivo.  Las Argumentaciones  Reglas de Inferencia  Leyes Lógicas  Problemas lógicossobre razonamientos deductivos Evaluación Escrita: 01 hora  Conoce y comprende los conceptos básicos de la lógica proposicional, desarrollados en la sesión 3.  Elabora razonamientos deductivos utilizando las reglas lógicas.  Maneja las reglas y principios de la lógica proposicional para analizar la validez o invalidez de las inferencias.  Utiliza el razonamiento deductivo en la formulación de hipótesis y en su respectiva comprobación.  Infiere conclusiones válidas haciendo uso de las reglas de inferencia, principios lógicos y del análisis.  Valora el razonamiento deductivo como herramienta para hacer inferencias sobre hechos o problemas, de la vida real, del área de la administración y ciencias policiales, que permitan obtener conocimientos nuevos.  Demuestra alto sentido de responsabilidad y de compromiso con su formación personal y profesional.  Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga.
  5. 5. 5 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA II UNIDAD TEORÍA DE CONJUNTOS Competencia Resuelve problemas aplicando conceptos y las operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y colaboración con sus compañeros. CUARTA SEMANA (04hrs) Sesión 04 Teoría de conjuntos: Noción de conjunto. Conceptos no definidos de la teoría de conjuntos: elemento, relación de pertenencia. Determinación de conjuntos: Extensión y comprensión. Cardinal de un conjunto. Representación de conjuntos mediante diagramas de Venn - Euler  Conoce y comprende los conceptos básicos de la teoría de conjuntos.  Expresa de manera verbal y grafica el concepto de conjunto  Determina un conjunto por extensión y comprensión.  Demuestra alto sentido de responsabilidad, colaboración, participación y de compromiso con su formación personal y profesional.  Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. QUINTA SEMANA (04 hrs) Sesión 05  Clases de conjuntos: Vacío, unitario, finito, infinito, universal, conjunto potencia.  Relaciones entre conjuntos: inclusión, igualdad, disjuntos.  Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, diferencia y complemento, diferencia simétrica,  Problemas de conjuntos.  Conoce y comprende las clases, relaciones y operaciones con conjuntos.  Interpretay grafica las clases y operaciones de conjuntos.  Aplica las propiedades y operaciones entre conjuntos para resolver situaciones problemáticas.  Relaciona las operaciones entre conjuntos con las operaciones lógicas.  Interpreta enunciados y ejecuta estrategias para resolver problemas con conjuntos.  Participa de manera activa, dialoga, pregunta, analiza, sintetiza, investiga. SEXTA SEMANA (04 hrs) Sesión 06  2° Taller: Teoría de conjuntos: Problemas de cardinalidad de conjuntos. Problemas de operaciones entre conjuntos. (3 horas)  Evaluación: 1 hora  Resuelve problemas relacionados con la cordialidad, clases, relaciones y operaciones entre conjuntos.  Propone y resuelve situaciones problemáticas relacionados con conjuntos y que le sirvan como herramienta para hacer relaciones con hechos de la vida real.
  6. 6. 6 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA III UNIDAD MATEMATICA FINANCIERA COMPETENCIAS  Aplica propiedades en situaciones reales de su entorno utilizando las matemática financiera  Respeta la opinión de sus compañeros.  Es perseverante para resolver problemas propuestos sobre matemática financiera SEPTIMA SEMANA (04hrs) Sesión 7 Razones y proporciones  Razón  Definición  Clases de razón  Proporción  Definiciones  Clases de proporción  Ejercicios propuestos.  Identifica y compara razones.  Reconoce razones aritméticas y geométricas.  Infiere datos sobre razones.  Resuelve problemas relacionados sobre razones.  Infiere datos sobre proporciones.  Reconoce clases de proporciones.  Resuelve problemas de proporciones OCTAVA SEMANA (04 hrs) Sesión 8 Promedios  Concepto  Promedios importantes  Propiedad de los promedios.  Ejercicios propuestos.  Identifica los conceptos sobre los promedios.  Reconoce los promedios importantes.  Infiere datos sobre los promedios.  Resuelve problemas propuestos sobre promedios.
  7. 7. 7 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA NOVENA SEMANA (04 hrs) Sesión 9 Magnitudes proporcionales  Concepto  Magnitudes directamente proporcionales.  Magnitudes inversamente proporcionales.  Ejercicios propuestos.  Identifica magnitudes proporcionales.  Reconoce la relación entre magnitudes.  Infiere datos sobre magnitudes proporcionales.  Reconoce magnitudes directamente e inversamente proporcional.  Infiere datos sobre magnitudes inversamente proporcionales.  Identifica propiedades de magnitudes propiedades.  Resuelve problemas sobre magnitudes proporcionales. DECIMA SEMANA (04 hrs) Sesión 10 Regla de tres simple y compuesta:  Concepto.  Regla de tres simple directa  Regla de tres simple inversa  Regla de tres compuesta.  Regla de compañía.  Ejercicios propuestos.  Identifica el concepto de la regla de tres simple.  Infiere datos sobre la regla de tres simple directa e inversa.  Reconoce la regla de tres compuesta.  Resuelve problemas aplicando regla de compañía.  Reconoce la regla de compañía. DECIMA PRIMERA SEMANA (04hrs) Sesión 11  Taller de reforzamiento sobre:  Razones y proporciones, Promedios, Magnitudes proporcionales, Regla de compañía.  Identifica conceptos de matemática financiera  Resuelve ejercicios de matemática financiera.  Desarrolla práctica calificada. DECIMA SEGUNDA SEMANA (04hrs) Sesión 12 Regla de tanto por ciento  Concepto.  Porcentaje.  Operaciones con el tanto por ciento.  Descuentos y aumento sucesivos.  Aplicaciones comerciales de tanto por ciento.  Ejercicios propuestos.  identifica la regla de tanto por ciento.  Reconoce casos particulares de regla de tanto por ciento.  Infiere datos sobre la regla de tanto por ciento.  Resuelve problemas propuestos sobre tanto por ciento.
  8. 8. 8 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA DECIMA TRECERA SEMANA (04hrs) Sesión 13 Regla de interés  Concepto  Elementos de la regla de interés.  Clases de interés  Ejercicios propuestos.  Identifica los elementos de la regla de interés.  Reconoce la clasificación de regla de interés.  Evalúa problemas propuestos sobre regla de interés. DECIMA CUARTA SEMANA (04hrs) Sesión 14 Mezcla y aleación  Regla de Mezcla  Concepto.  Mezcla alcohólica.  Aleación.  Concepto Ejercicios propuestos.  Identifica el concepto sobre mezcla.  Resuelve problemas propuestos sobre mezcla.  Identifica mezcla alcohólica.  Evalúa problemas propuestos.  Identifica el concepto sobre aleación.  Resuelve problemas propuestos sobre aleación DECIMA QUINTA SEMANA (04hrs) Sesión 15 TALLER DE REFORZAMIENTO  Regla de tres simple y compuesta.  Tanto porciento  Asuntos comerciales  Aumento y descuentos.  Resuelve problemas y ejercicios sobre regla de tres simple, porcentajes,asuntos comerciales, aumentos y descuentos con margen de error de hasta el 8%.  Reconoce la importancia de resolver problemas aplicados a su vida profesional. III UNIDAD ESTADISTICA DESCRIPTIVA  Describe e interpreta las propiedades de estadística descriptiva en problemas reales.  Es asertivo con su opinión.  Participa activamente en forma individual y grupal.
  9. 9. 9 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA DECIMA SEXTA SEMANA (04hrs) Sesión 16 Estadística descriptiva  Concepto  Medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados  Tabla de frecuencia para datos agrupados y no agrupados  Identifica conceptos de estadística.  Infiere datos sobre medidas tendencia central para datos agrupados y no agrupados  Reconoce la tabla de frecuencia para datos agrupados y no agrupados.  Evalúa problemas propuestos sobre tablas. DECIMA SEPTIMA SEMANA (04hrs) Sesión 17  Lectura e interpretación de tablas y gráficos para datos agrupados y no agrupados.  Varianza, desviación estándar.  Describe la Lectura e interpretación de tablas y gráficos para datos agrupados y no agrupados.  Reconoce varianza, desviación estándar.  Resuelve propuestos sobre tablas y gráficos. DECIMA OCTAVA SEMANA (04hrs) Sesión 18  Taller de estadística  Evaluación Final  Resuelve ejercicios propuesto sobre estadística descriptiva.  Desarrolla el examen final.
  10. 10. 10 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA DE LÓGICA MATEMÁTICA
  11. 11. 11 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA SILABO DESARROLLADO PRESENTACIÓN Presentación de la asignatura. Evaluación de Entrada. Lógica Proposicional. Enunciado. Proposición. Proposición Atómica. Proposición Molecular. Variables proposicionales. Conectivos lógicos. Expresiones de la lengua española equivalentes a los conectivos lógicos. Proposiciones en lenguaje natural u ordinario traducirlas al lenguaje lógico proposicional (Formalización o simbolización de proposiciones). Presentación de la Asignatura: La Escuela Técnica Superior de la PNP-Puente Piedra, en el periodo comprendido entre Setiembre 2013 y Enero 2014, Desarrollará el I Semestre Académico de Formación General del “Programa Regular” de Educación Presencial, Promoción 2013. Comprendiendo en dicho semestre académico la asignatura de Lógico- Matemática, con 72 horas académicas. Los docentes seleccionados y designados por la Dirección de la Escuela Técnico Superior PNP de Puente Piedra para impartir la asignatura de Lógico-Matemática, en esta oportunidad, han formulado el Sílabo pertinente, como aporte de su experiencia profesional y ejercicio docente en dicho centro de estudios. Las unidades académicas están orientadas a fortalecer y desarrollar competencias básicas en lógica proposicional, teoría de conjuntos, matemática financiera y estadística descriptiva, que son temáticas fundamentales para obtener una formación policial profesional-área de administración y ciencias policiales-, basada en la práctica reflexiva y en la explicitación de los principios científicos y técnicos que fundamentan el quehacer profesional del policía. Los objetivos y competencias de la asignatura se detallan a continuación: Objetivo General Fortalecer las capacidades de comunicación y de pensamiento lógico-matemático en los alumnos a partir de materiales educativos que contextualicen su práctica profesional- área de administración y ciencias policiales-, contribuyan a ejercitar, desarrollar y poner a punto estas competencias. Desarrollar habilidades que permitan traducir problemas de la vida real- área de administración y ciencias policiales- al lenguaje lógico-matemático. Objetivos Específicos 4. Reconocer un problema de la vida real, vinculado a su quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales, en las dimensiones que sean suceptibles de ser traducidas, formalizadas u operables en lenguaje lógico o lenguaje matemático o representación estadística.
  12. 12. 12 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 5. Fortalecer las capacidades de pensar ordenadamente, razonar, argumentar, cuantificar, efectuar mediciones, interpretar situaciones del área de la administración y ciencias policiales, comunicarse con otros códigos, modelar situaciones problemáticas, interpretar el lenguaje formal y simbólico, resolver problemas. 6. Promover la producción de soluciones lógicas-matemáticas a las situaciones problemáticas, vinculadas al quehacer profesional-área de administración y ciencias policiales-, como vía tendiente a posibilitar la toma de decisiones que permitan operar con seguridad sobre las dimensiones que comprenda cada situación problemática, en lo singular, particular o general. COMPETENCIAS LÓGICO-MATEMÁTICAS COMPETENCIA EN LÓGICA PROPOSICIONAL: Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional COMPETENCIA EN TEORIA DE CONJUNTOS Aplica la teoría de conjuntos para modelar y resolver problemas, expresando un comportamiento solidario, colaborativo y participativo con sus compañeros. COMPETENCIA EN MATEMATICA FINANCIERA Conoce, comprende y aplica la matemática financiera para su aplicación como herramienta en la resolución de problemas de la vida real, vinculados al quehacer policial-área de administración y ciencias policiales. COMPETENCIA EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Aplica técnicas para organizar, analizar e interpretar información,relacionada con hechos reales o hipotéticos, utilizando adecuadamente las herramientas de la estadística descriptiva para la correcta toma de decisiones. EVALUACIÓN La asistencia a las sesiones teóricas es obligatoria en un 70% y a los Talleres en el 90%, en caso contrario de no existir justificación alguna por la Sub Dirección Académica de la ETS PNP, el Alumno (a) desaprobará la asignatura. El proceso de evaluación del aprendizaje será permanente, comprenderá: A. Evaluación Diagnóstica o de Entrada para valorar el nivel de conocimiento de la asignatura. B. Evaluación Formativa Interactiva, en relación a la participación activa del Alumno (a) en el aula. El promedio de las intervenciones orales constituirá Nota de Paso Oral. C. EvaluaciónFormativa o de Proceso para comprobar el rendimiento académico, pronosticar posibilidades de desarrollo de los Alumnos (a) y reorientar la metodología, para lo cual se aplicará: 1. Prácticas Calificadas 2. Dos exámenes escritos parciales (8ª y 13ª semana), enmarcados en los modelos de las Pruebas que son propias de la naturaleza de la Asignatura.
  13. 13. 13 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA D. EvaluaciónSumativa para comprobar el nivel de desarrollo cognoscitivo, reflexivo y del pensamiento lógico, para lo cual se aplicará un examen final (17ª semana), de similar característica empleada en los exámenes parciales. E. El Promedio General se calculará en concordancia con las disposiciones establecidas en el Manual de Régimen de Educación de las Escuelas de Formación de la PNP y con la naturaleza de la asignatura, conforme se detalla a continuación: Promedio General: PG = PEP (3) + EO (1) + ETA (2) +EF (4) 10 PEP = Promedio de Evaluaciones Parciales EO = Evaluación Oral ETA = Evaluación de Trabajo Aplicativo EF = Evaluación Final EVALUACIÓN DE ENTRADA Los docentes aplican la evaluación de entrada conforme al anexo 01. (Duración 1 hora)
  14. 14. 14 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA LÓGICA PROPOSICIONAL COMPETENCIA: Desarrolla conceptos y procedimientos de manera lógica y coherente, utilizando el lenguaje proposicional.
  15. 15. 15 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA LOGICA La lógica es una ciencia muy importante que sirve de apoyo a la matemática moderna, aunque en la vida diaria, nos ayuda a resolver situaciones que ocurren a nuestro alrededor, como por ejemplo: desentrañar el misterio de un asesinato o determinar la paternidad de un niño. Sin embargo, la lógica no está en lo que acontece, no pertenece al mundo concreto; sino surge de la mente del hombre y refleja cierta estructura y procesos mentales, productos de la creación de la mente humana. No obstante, el conocimiento o saber lógico, no tan solo se usa dentro del campo filosófico o del pensamiento, sino en todas las formas del conocimiento, dado que en todas las áreas se requiere de un ordenamiento de los elementos que implica un razonamiento. Los principios y las reglas de la lógica, se usan en la construcción del buen análisis de un problema específico y nos permiten establecer un orden de las partes a tratar y hacer un razonamiento que nos lleve a establecer un juicio objetivo. Por ejemplo, si necesitas calcular el área de un triángulo, ¿qué harías? Queda pues claro que en la vida diaria del hombre común, así como en el campo de la ciencia, la lógica nos da las herramientas necesarias para argumentar bien. Lógica Proposicional.- Es aquella parte de la lógica formal que estudia a las proposiciones como un todo indiviso, como bloques unitarios, con total abstracción de su estructura interna. No analiza las palabras individuales que componen la proposición. Examina las conexiones lógicas existentes entre las proposiciones consideradas, es decir las conexiones lógicas que existen entre las proposiciones a través de los conectivos lógicos u operadores lógicos. Toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas, evaluando primero las proposiciones atómicas o simples y luego evalúa las proposiciones compuestas o moleculares, formadas mediante el uso de los conectivos proposicionales. El cálculo proposicional recurre a símbolos: variables proposicionales, conectivos lógicos u operadores lógicos (constantes lógicas), reglas de formación de expresiones (sintaxis), símbolos auxiliares o signos de agrupación, valores veritativos (valores de verdad). ENUNCIADOS Son frases u oraciones que utilizan las palabras “el , ella “ o los símbolos x,y,z ; que pueden ser ecuaciones e inecuaciones. Ejemplos : ¡ Alto ! ¿ Quien anda ahí? Perro que labra no muerde Mi auto nuevo x + 3 = 7 5x + y > 34 “x gira alrededor del sol”. “x es mecánico”. “x + y = 0” “x es número real”. “x es padre de y”. “x > y” PROPOSICIONES Es un enunciado lingüístico aseverativo, libre de ambigüedades, que afirma o niega algo, y que tiene la propiedad de decir de él que es verdadero o falso; pero no ambos a la vez. La proposición lógica es el pensamiento completo que describe algún hecho o aspecto del universo fáctico o formal Ejemplo: P: Lima es capital del Perú ( ) Q :Mozart escribió Trilce ( ) R : 4 + 9 = 13 ( ) Existen dos tipos proposiciones -Proposición Simple o Atómica: Es aquella proposición que carece de conectivos lógicos u operador lógico. Pueden ser predicativas o relacionales. -Proposición Compuesta o Molecular: Es aquella proposición que tienen conectivo lógico u operador lógico. Los conectivos lógicos u operadores lógicos se representan o SESIÓN N°01
  16. 16. 16 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA denotan así: “” , “”, “”, “”, “”, “”, “”, “”, “” Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos CONECTIVO LÓGICO NOMBRE OPERACIÓN LÓGICA FÓRMULA SIGNIFICADO  Negación p No p  Conjunción pq p y q  Disyunción Débil pq p o q  Disyunción Exclusiva pq O p o q  Implicación pq Si p entonces q  Replicador pq p si q  Bicondicional pq p si sólo si q  Negación Conjuntiva pq Ni p ni q  Binegación Disyuntiva pq No p o no q Nota: El conectivo lógico “” es un operador para la “negación conjuntiva”, llamada también “Binegación”. El conectivo lógico “” es un operador para la “Binegación disyuntiva”, también se le llamada “Negación alternativa”, o “Incompatibilidad”. 1. Escribe “e" si es un enunciado y “p” si es proposición en: a) 3 es mayor que 2. ………. b) ¡Viva el Perú! ………. c) Prohibido hacer bulla. .……… d) 5 < 6 ……….. e) Cuatro es divisible por 2. ……….. f) Quito es capital de Bolivia. ……….. g) 7  5 ……….. h) César Vallejo escribió “Los dados eternos” ………… i) Copérnico es el autor de la teoría heliocéntrica. ………. j) x 3 ………. k) Si me pagan en la UNMSM, entonces viajaré al Cuzco. ………. l) José C. Mariátegui es autor de “El artista y la Época” o “Temas de Educación” …….…. m) No es el caso que un número sea divisible entre dos y que no sea par. ………. n) Si a un número par le sumo otro número par, entonces el número resultante es también par. ………. o) ¿Quién es el Rector de la UNMSM? ………. 2. Escribe “C” si es una proposición compuesta o molecular y “S” si es proposición simple o atómica: 1) Pizarro jugó, aunque estuvo lesionado. ………………. 2) 9 es múltiplo de 3 y 12 es múltiplo de 2 y 3. …………….. 3) La paz engrandece a los hombres. ……………….. 4) Nací en el Perú, entonces amo a mi país.………………… 5) La I.E. Miguel Grau es buena. ………..……….. 6) La honradez es un gran valor y la verdad también lo es. ……..….……….
  17. 17. 17 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA CONECTIVOS LÓGICOS La lógica considera una clase de objetos llamados enunciados elementales o proposiciones elementales y tres términos de enlace ( no, y , o ) llamados conectivos lógicos que al aplicarlos a las proposiciones elementales forman nuevos enunciados llamados proposiciones compuestas. Regla Metalógica de laconjunción: “Sólo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas. Es falsa en todos los demás casos”.  Se le simboliza:"pΛ q", y se lee: "p y q".  Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, a la vez,además, etc Su tabla de verdad es: p q p  q V V V F F V F F V F F F Regla Metalógica de la disyunción Débil “Es verdadera, en todos los casos, excepto, cuando ambas proposiciones atómicas son falsas.”  Se le simboliza: "p V q", y se lee: "p o q”.  Palabras conectivas: o Su tabla de verdad es: p q p  q V V V F F V F F V V V F Regla Metalógica de la Disyunción Fuerte: “Sólo es verdadera, cuando sólo una de las proposiciones atómicas es verdadera. En todos los demás casos es falsa.”  Se simboliza: “,” ,  Palabras conectivas: O ......... o ..... O bien .... o bien .... a menos que .... .... salvo que ...... Su tabla de verdad es: p q p  q V V V F F V F F F V V F Regla Metalógica del Condicional o Implicación: “Sólo es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los demás casos es verdadera.”  Se le simboliza “p  q”, y se lee: "si p entonces q”,“implica que".  Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q… Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..paraque..q.. Es condición necesaria...q..paraque..p.. .........q........ sólo si ......p....... Su tabla de verdad es: p q p  q V V V F F V F F V F V V Regla Metalógica del Replicador.- “Sólo es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En todos los demás casos es verdadera.” p q p  q V V V F F V F F V V F V Ejemplo: p : Carlos juega fútbol. q : Juan juega fútbol. p Λq : Carlos juega fútbol y Juan juega fútbol. Ejemplo: p: José es futbolista q: José estudia francés p v q : José es futbolista o estudia francés Ejemplo: p: Ana es estudiosa. q: Ana aprobó el examen de aritmética. p  q: Si Ana es estudiosa entonces aprobó el examen de aritmética Otras palabras que equivalen al condicional son: porque, puesto que, si cada vez que, etc.
  18. 18. 18 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Regla Metalógica del Bicondicional o Biimplicación: “Sólo es verdadero, cuando ambas proposiciones atómicas son verdaderas o ambas son falsas. En los demás casos es falsa”.  Se le simboliza: "p  q"; y se lee: “p si y sólo si q, “cuando y solo cuando". p q p qp  q V V V F F V F F V F F V La negación: “Si p es verdadera, p es falsa; y viceversa”.Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra proposición denotada por ~ ó , a la cual se le asigna el valor de verdad opuesto al de p. Su tabla de verdad es: p p V F F V PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) Basta que el antecedente sea falso para que la proposición condicional sea falsa. ( )Una proposición bicondicional es verdadera solamente cuando sus dos componentes son verdaderas. A) VV B) VF C) FV D) FF E) No se puede determinar 02. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) Solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la proposición condicional es falso. ( ) Basta que el consecuente sea verdadero para que la proposición condicional sea verdadera. A) FV B) FF C) VV D) VF E) No se puede determinar 03. Señale verdadero (V) o falso (F): ( ) “Si y sólo sí” es una conectiva bicondicional ( ) Basta que uno de los componentes de una proposición conjuntiva sea verdadero, para que la proposición conjuntiva sea verdadera. A) VV B) VF C) FV D) FF E) No se puede determinar 04. Es una proposición que admite el valor V sólo cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas: A) Conjunción B) Disyunción débil C) Disyunción fuerte D) Implicación E) Negación 05. Es una proposición en la cual basta que una de las proposiciones sea verdadera, para que toda ella sea verdadera A) Conjunción B) Disyunción C) Bicondicional D) Implicación E) Negación 06. Es una proposición que es verdadera sólo cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: p: Carla estudia ingles q: Carla viaja al extranjero p  q: Carla estudia ingles si y solo si viaja al extranjero.  Palabras conectivas:si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; entonces y solamente entonces. etc.: Ejemplo: p: Lima es capital del Perú. ~ p: Lima no es capital del Perú. Las palabras: no es verdad que, es falso que, no ocurre que, etc. equivalen a una negación
  19. 19. 19 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA A) Disyunción B) Bicondicional C) Conjunción D) Implicación E) Negación 07. Es un proposición que es falsa sólo cuando forman la combinación V y F, en ese orden. A) Disyunción B) Bicondicional C) Conjunción D) Implicación E) Negación 08. Dada la proposición : “Si estudio triunfo. Estudio, por lo tanto triunfo”. Corresponde a un esquema: A) Tautológico B) Consistente C) Contradictorio D) Indeterminado E) Falso 09. Dada la proposición: “Si llueve, el suelo se moja”. Los valores de la matriz principal de su tabla de verdad son: A) FVFV B) VFVF C) VVVV D) VFVV E) FFVV 10. Si la proposición : “No es cierto que, estudiemos y no aprobemos”, es verdadera, entonces podemos afirmar. A) Aprobamos y no estudiamos B) Estudiamos o aprobamos C) Estudiamos o no aprobamos D) Aprobamos o no estudiamos E) Estudiamos y aprobamos 11. Si se sabe que: p  r es F r  q es V q V t es F Determine los valores de verdad de p, q, r y t A) VVVV B) VVFF C) VFVF D) FVFF E) FFF 12. Si la proposición compuesta: ( p  q)  (r V t ) es falsa Indicar las proposiciones que son verdaderas: A) p y r B) p y q C) r y t D) q y t E) p; r y t 13. Si la proposición: ( p  q)  r, es falsa, determinar, ¿Cuáles de las proposiciones son falsas? A) p y q B) p y r C) p; q y r D) q y r E) r y q 14. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son respectivamente V, F, F, V. Obtener los valores de verdad de: ( ) [(p V q) V r ]  s ( ) r  (s  q) ( ) (p V r)  (r s) A) VFF B) VVV C) FFF D) FVV E) VVF 02
  20. 20. 20 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES A LOS CONECTIVOS LÓGICOS EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO UN OPERADOR LÓGICO “” 1. No A 2. Nunca A 3. Jamás A 4. Tampoco A 5. Es absurdo que A 6. Es imposible que A 7. No ocurre que A 8. No es verdad que A 9. Es inadmisible que A 10. No acaece que A 11. No es innegable que A 12. Es erróneo que A 13. Es incierto que A 14. De ninguna forma se da que A 15. No es el caso que A 16. No es cierto que A 17. Es Inconcebible que A 18. Es mentira que A 19. Es incorrecto que A 20. Es falso que A 21. Es negable que a. 22. Es refutable que A 23. Es objetable que A 24. En modo alguno A 25. En forma alguna A 26. De ningún modo A 27. De ninguna manera A. 28. Nunca sucede que A 29. Bajo ninguna condición A 30. No siempre que A 31. No es inobjetablemente cierto que A 32. No es innegable que A 33. Nadie que sea A 34. No es que A. 35. No se da la posibilidad que A 36. No es inobjetable que A Ejemplos de proposiciones con el conectivo lógico de negación “”. 1) Es absurdo que el Edgar patee con las dos piernas. 2) No es cierto que el cuadrado sea un polígono. 3) Francisco Pizarro nunca descubrió América. 4) Nunca Francisco Pizarro descubrió América. 5) De ningún modo iré a tu casa. 6) Es inadmisible que 3 + 3 = 9. 7) No es verdad que toma refrescos. 8) Es objetable que salga a pasear. 9) Es falso que tenga dinero. 10) Es inconcebible que Martín salda desaprobado. 11) En modo alguno los ofidios poseen extremidades. 12) En forma alguna los peces son anfibios. 13) No hay cumplimiento de leyes. 14) No ocurre que María canta. 15) No acaece que el carro es blanco. 16) No es el caso que Luís sea propietario del computador. 17) Es irrefutable que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 360 grados. 18) Es mentira que en el Perú hay democracia. 19) Jamás vayas al cine en la mañana. 20) Es imposible que existe vida en el planeta Venus. 21) Es incorrecto que 2 + 3 = 10. 22) Es erróneo que 16 = 9. 23) Nunca sucede que los peces no nadan en el aire. 24) Es incierto que los alumnos de primaria ingresan a la universidad. 25) Es innegable que las ballenas tengan extremidades. 26) No es innegable que ballenas sean ovíparas. 27) De ninguna forma se da 5<2. 28) No es inobjetable cierto que el elefante no demora 20 meses para nacer. 29) No es falso que sea imposible que el pulpo sea un molusco. 30) Tampoco el elefante demora 20 meses para nacer.
  21. 21. 21 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA EXPRESIONES DE LA LENGUA ESPAÑOLA EQUIVALENTES AL CONECTIVO LÓGICO U OPERADOR LÓGICO “” 1) A y B 2) A también B 3) A asimismo B 4) A así mismo B 5) A del mismo modo que B 6) A aunque B 7) A sin embargo B 8) Cierto A lo mismo que B 9) A así como B 10) A igualmente B 11) Así como A, B 12) A pero B 13) A al igual que B 14) A tal como B 15) A no obstante B 16) No sólo A también B 17) No sólo A sino también B 18) Que A es compatible con que B 19) A incluso B 20) A a la vez B 21) A a la vez también B 22) A al mismo tiempo que B 23) A y al mismo tiempo B 24) A de la misma manera B. 25) Simultáneamente A con B. 26) A tanto como B. 27) A además B 28) A es compatible con que B. 29) A aún cuando B 30) A empero B 31) A sino B 32) Si A e incluso B 33) A a pesar de B 34) Aún cuando A , B  A B 35) Tanto A como B 36) Tanto a como cuando B 37) Tomar A como cuando B 38) A , B también 39) Siempre ambos A con B 40) A vemos que también B Ejemplos de proposiciones con el conectivo lógico de conjunción “ 1) Juan y Luís son deportistas. 2) Es verano sin embargo hace frío. 3) Juan es médico y deportista. 4) La batalla ha terminado aunque la guerra continúa. 5) Roxana no sólo bailo sino también cantó. 6) Grau fue un héroe, Bolognesi también. 7) Lidia es muy sensual pero inocente. 8) No sólo es aplicado también bondadoso. 9) No sólo es sabio, también bueno. 10) No sólo Pedro sino también Luís estudian. 11) Que Pedro estudia es compatible con que Ana estudia. 12) Tanto Pedro como Ana estudian. 13) Gustavo es profesor tanto como artista. 14) Claudia ingreso a la universidad al mismo tiempo que José ingresó a la marina. 15) El sueldo mínimo equivale a S/. 600, no obstante las familias hacen esfuerzos para conseguir más dinero. 16) El sol es una estrella además un planeta. 17) El número dos es par, también es primo. 18) No sólo el número dos es par sino también número primo. 19) La boa es un ofidio al igual que carece de extremidades. 20) Así como trabajas, te alimentas. 21) Te alimentas así como trabajas. 22) Te alimentas así mismo trabajas.
  22. 22. 22 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA LAS TABLAS DE VERDAD Utilizando los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones compuestas para obtener otras cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad; en tales tablas se indican los valores resultantes de - estas proposiciones compuestas para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus proposiciones componentes. Por ejemplo, la tabla de verdad de la proposición compuesta siguiente: (p Λ q)  ( ~p V q) p q (p Λ q)  ( ~p V q) CLASIFICACION DE LOS ESQUEMAS MOLECULARES Tabla de verdad tautológica, Una fórmula proposicional es tautológica cuando los valores de verdad del operador lógico principal contiene sólo valores verdaderos. Ejemplo: p q r [(pq) r  q]  r p V VV V F FF V VVF F V V F V VVVVV F V F V F V F FF V F V V F F V F F F F V F FVF V F F V V V F FF V VVVV F V F V VVVVVVVV F F V V V F V FVVVV F FF V F V F FVVVV Tabla de verdad contradictoria Una fórmula proposicional es contradictoria cuando los valores de verdad del operador lógico principal contiene sólo valores falsos. Ejemplo: p q r [p(q  r)]  [qr p] V VV V VFFF V V V F F FFV VV V F V F FF V VV V F F F FF V VV F V V F V F F V F F V F V F FV FF F F V V F F V F F F FF V F F V FF Tabla de verdad contingente Una fórmula proposicional es contingente cuando los valores de verdad del operador lógico principal contiene valores verdaderos y valores falsos. p q r  p  q  (r  p) V VV V F V F F V V F V V F V F V F V V F V F F V F F V V F V F F V V V VVVV F V F V F FF V F F V F VVVV F FF F V F F V Evaluación de fórmulas mediante tablas de verdad Evaluar una fórmula mediante las tablas de verdad consiste en obtener los valores de verdad (V y F) del operador lógico o conectivo lógico principal de la fórmula, a partir de todas las opciones de verdad o falsedad que tiene cada una de las variables proposicionales. SESIÓN N° 02
  23. 23. 23 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Numero de opciones o combinaciones de las tablas de verdadsegún el número de variables proposicionales VARIABLES PROPOSICIONALES 1 2 3 4 …… 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 …… p p q p q r p q r s V V V V VV V VVV F V F V V F V VV F F V V F V V V F V F F V F F V V F F F V V V F V V F V F V F V F F F V V F F V F FF V F FF F V VV F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F FF V F FFF Ejercicio 1. Evaluar la fórmula:  p  qq r  p q r  p  qq r  V VV F F V F V F F V V V F F F V F FFV F V F V F F V VF V VV V F F F F V VF V V F F V V V V F FV F F V F V F V V F FV F V F F F V F V VVF V VV F FF F V VVF VV F Ejercicio 2. Evaluar la fórmula: (pq)(qr p q r (p  q)  (q r V VV V VVV F V V F V VVVV V F V V V F V F V F F V V F F V F V V F F V V F F V F F F V VV F F V V V F V F F FF V V F F V PROBLEMAS APLICACIÓN 1. Sean p: “José es estudioso ” , y q: “él es alto ”. Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica, con p y q: a) José es estudioso y es alto. ………………. b) José no es estudioso o no es alto. ………………. c) No es verdad que José es bajo o estudioso. ………………. d) Es falso queJosé es alto o que es estudioso. ……………….. e) José es alto, pero no es estudioso. ………………. 2. Simbolizar: "José estudia y trabaja, pero practica fútbol" a) (pq)  r b) p (q  r) c) p  q d) pqr e) (p  q)  r 3. Simbolizar: "No es cierto que, Rubén canta y toca cajón" a) ~ p q b) ~p V q c) ~p  ~ q d) ~(p  q) e) p V ~q 4. Simbolizar: "No es el caso que, hace frío y no se congele" a) ~(p~ q) b) ~p ~ q c) p ~q d) ~p V ~ q e) ~(p V ~q) 5. Simbolizar: "Es falso que si el ciclotrón bombardea al átomo, entonces no se acelera la velocidad de los protones". a) ~p ~q b) ~p q c) ~(p ~q) d) ~p q e) (p ~q) f)
  24. 24. 24 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 6. Sean p “ el es estudioso ” , y q “ el es alto ”. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica con “ p y q “. a) El es estudioso y es alto p Λ q b) El no es estudioso o no es alto -p v-q c) No es verdad que el es bajo o estudioso p v q d) Es falso que es alto o que es estudioso –p v – p e) El es alto pero no es estudioso 7. Completa : a) V v F = V b) F vF = F c) V  V= V d) F Λ F = F e) V  F=F f) F V V= V g) V Λ V= V h) F  V=F i) F  V=V j) V Λ F= F 8. Si la proposición es verdadero, hallar el valor de cada variable en: ~ [ ( ~ p y q) ( ~ r ~ s) ] a) f fff b) f v v f c) f v f v d) v v f f 9. Se sabe que la negación de : P  ( ~ q V r ) ; e s verdadera , entonces el valor de verdad de: ( q r )  { ( q  r )  t } e s : O b s . T n o e s t a d e f i n i d a a ) V b ) F c ) V ó F d ) N A 10.Los valores de verdad de p,q, r son : ~[(~ p V q) V ( r  q)] [ ( ~pV q)  ( q  ~ p)]si el enunciado es verdadero a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff 11. Si la proposición ( p~q)  ( r ~ s) es falsa , el valor de verdad de las proposiciones : q , p , r , s respectivamente son a) f v vv b) f v f f c) v vvv d) v f v v 12. De la falsedad de: ( p  ~ q ) V ( ~ r ~ s), se deduce que: a ) ~ (~ q V ~ s)  ~ p b ) ~ (~ r  s)  ( ~ p  ~ q) c) P  ~ [ q  ~(s r ) ] Son respectivamente : a) f f v b) v v f c) v f f d) v f v e) f ff 13. Si ( p ) = V ( ~ q) = F ( r ) = V Determinar el valor de verdad o falsedad a ) [ ( p q )  ( ~ r V q ) ] ~ q b) [ ( ~ p r )  ( q V p ) ] c) [ ( pr ) V x ]  ( ~ q ~ r ) 14. Si se sabe que : S p = V,rs = F , q  p  f Determinar el valor de los siguientes diagramas: a) ( ~ r  q) ( s p ) b) [ ( p V ~ s) r ]  ~ r c) ( p  ~ q ) V ( ~ r ~ s ) 15. Si la negación de la siguiente formula lógica es verdadera , hallar los valores de verdad de cada uno de ellos. ~{( p s ) [ ( p  r ) V ( ~ qs)] } a) f fff b) f v v f c) f v f v d) v v f f e) v f ff 16. Mediante la aplicación de las reglas metalógicas de los operadores o conectivos lógicos y el uso de tablas de verdad ejecute la evaluación de las fórmulas lógicas siguientes: 1) p  q 2) p  q 3) p  q 4) p q 5) pq  r 6) p q  r)
  25. 25. 25 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 7) (p q)  (r  s  8) (p  q)  r 9) {[p  r q]  r  s}  q 10) {[ p  s q]  r q}  [( p ( r  s] 11) [(pq)  (pr)  (p p)]  [(q  s] 12) {[(p q)  (r  s)]  (p  s)}  ( r  q) 13) {[(p q)  (r  s)]  (p vs)}  ( r  q) 14) {(p q)  [ p(q r)]}(r p) 15) (p  q)  (r  s) 16) [(p  q) q]  p 17) [(p  q r] r 18) [(pq) q r)]  (p r) 19) [(pq) q r)]  (p vr) 20) p  (q  r) 21) Evalúe el siguiente esquema: pq. El esquema es de tipo : A) Contradictorio B) Consistente C) Tautológico D) Indeterminado E) B y D 22) Simplificar: (p q)  ( q V p) a. Tautología b. Contradicción c. Contingencia d. p e. q 23) Sea el esquema: (A V B), la matriz correspondiente es: 1. VVVV 2. Consistente 3. VFVV 4. Contradictoria 5. Tautológica. Son ciertas: A) 2 y 3 B) 1 y 5 C) Sólo 4 D) 2 y 4 E) Sólo 5 24) Si la proposición: (p q)  (r s] es falsa, el valor de verdad de q, p, r, s ( en ese orden es) A) FVVV B) VVVF C) VFVV D) FVFF E) VVFF 25) Determine si las siguientes proposiciones son tautologías o contradicciones. I. ( r  s)  ( r s) II. [(p V q)  p] p III. (pq)[(pq)(pVq)p] A) C, T, C B) T, C, T C) T, T,T D) C, C, C E) C, C,T 26) Hallar la tabla de verdad de : (p  q) (q V p) A) VVFF B) VVFV C) VFFV D) VFFF E) VVVF 27) Si : [(p  q)  (p p)]  [(r  s)  q] Es verdadera, cuáles son los valores de p, q, r, s respectivamente. A) VFFF B) VFVV C) FVFF D) FVVV E) Sin solución 28) Si se sabe que: [(p  r)  q]  [(p V p) V (p q)] es verdadera, hallar los valores de p,q,r A) VVV B) FFF C) FVF D) VFV E) No se determina 29) Si la proposición: [(p  q) (p V w)]  s es falsa, se afirma que la siguiente proposición: [s V( p W) ] V (p  q) es: A) Verdadera B) Falsa C) No se afirma nada D) Toma ambos valores de verdad E) Faltan datos 30) Si la siguiente proposición compuesta es falsa: ( p  q)  (q  r) Luego: I. (p  q) no es falsa II. q V s es verdadera III. q  p es verdadera Son ciertas: A) I y II B) I y III C) II y III D) Todas E) Sólo II 31) Si la proposición: ( p  q) (p  r) es verdadera ¿Cuántas son verdaderaS? I. ( s  r)  ( p V s) II. (s  q )  (p V r) III. ( q  r) V ( p  r) A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) Todas
  26. 26. 26 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS I. LEYES LÓGICAS O TAUTOLOGÍAS Ley Lógica.- Fórmula formalmente válida, es decir, fórmula lógica verdadera independiente de la asignación de los valores de verdad a sus variables. También se le denomina tautología. Las leyes lógicas no deben ser confundidas con las reglas de inferencia, ya que éstas pertenecen al metalenguaje del cálculo Características fundamentales de la ley lógica: 1)La ley permanece al plano teórico; 2) Su enunciado es susceptible de verdad o falsedad; 3) Se expresa en el interior del cálculo lógico; 4) Su expresión es un enunciado lógico; 5) La ley pertenece al lenguaje lógico. 6) La ley usa los functores o conectivos u operadores lógicos. Fuente: "http://symploke.trujaman.org/index.php ?title=Ley_l%F3gica" “Introducción a la Lógica de Bernardo Rea Ravello” LEYES LÓGICAS IMPORTANTES 1. LEY DEL MODUS PONENDO PONENS O MODUS PONENS [(p  q)  p]  q 2. LEY DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS O MODUS TOLLENS [(p  q)  q]  p 3. LEYES DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO [(p  q)  p]  q [( p  q)  q]  p 4. LEYES DE TRANSITIVIDAD O SILOGISMO HIPOTÉTICO DEL CONDICIONAL [(p  q)  (q  r)]  (p  r) DEL BICONDICIONAL [(p  q)  (q  r)]  (p  r) 5. LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p  q)  (r  s) (p  r)]  (q  s ) 6. LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO [(p  q)  (r  s)( q s)]  ( p r) 7. LEY DEL DILEMA SIMPLE [(p  r)  (q  r) (p  q)] r
  27. 27. 27 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO 1. Leyes Lógicas.- Son fórmulas lógicas cuyas tablas de verdad tienen por resultado únicamente valores de verdad “verdaderos”. También se les denomina “tautologías”. Las características fundamentales de las leyes lógicas son: a. La ley permanece en el plano teórico. b. Su enunciado es susceptible de verdad o falsedad. c. Se expresa en el interior del cálculo (pertenece al cálculo mismo). d. Su expresión es un enunciado lógico. e. La ley pertenece al lenguaje lógico (lengua lógica proposicional). f. La ley usa los símbolos, functores u operadores lógicos. 2. Reglas de Inferencia.- Son normas, prescripciones, licencias que indican como debe hacerse la operación de deducción, al mismo tiempo que justifica, garantiza la legitimidad o validez del acto llamado “operación deductiva” o “inferencia.” Razonamiento Deductivo u operación de deducción es aquella operación que consiste en que dadas ciertas proposiciones, llamadas “premisas” se obtenga, se infiera, se derive se deduzca con el carácter de necesidad una proposición, llamada “conclusión.”, es decir, se pretende que una de ellas, llamada “conclusión”, se infiera en forma necesaria de la/s premisa/s. Una deducción es una secuencia de enunciados, los cuales pueden ser o bien premisas o bien se han obtenido de la aplicación de un conjunto de reglas de inferencia a enunciados anteriores. Las características fundamentales de las reglas lógicas son: a. La regla se sitúa en el plano práctico, dice cómo debe hacerse una operación deductiva. b. Su enunciado es normativo, prescriptivo, y, por eso, la regla puede ser buena o mala, útil o inútil, eficiente o deficiente. c. Se expresa al exterior del cálculo, justifica, garantiza la legitimidad o validez de la deducción. d. Su expresión es enunciado metalógico. e. La regla pertenece al metalenguaje. f. La regla menciona los functores u operadores lógicos. A toda ley lógica le corresponde su respectiva regla lógica. 3. Las Argumentaciones Por argumentación entenderemos una expresión lingüística que presenta o representa un razonamiento. Un razonamiento es un sistema de proposiciones (dos o más) en el que una de ellas, llamada conclusión, se pretende que esté fundada en o se infiera de la/s otra/s, llamada/s premisa/s. Un razonamiento deductivo es un sistema de proposiciones (dos o más) en el que se pretende que una de ellas, llamada “conclusión”, se infiera o derive con el carácter de necesidad de la/s premisa/s. La argumentación puede ser inductiva o deductiva, de acuerdo al tipo de razonamiento. Por consiguiente, la argumentación es un sistema de proposiciones. La lógica es una ciencia eminentemente deductiva, por eso sólo tiene en cuenta los razonamientos deductivos. Estos se basan en fundamentos comprobados o aceptados como postulados primordiales. Una argumentación deductiva tendrá siempre un esquema, estructura o forma implicativa o condicional, en símbolos: AB, es decir, sus principales componentes-antecedente (premisa/s) y consecuente (conclusión)- están unidos o enlazados por el conectivo lógico “”. SESIÓN 03
  28. 28. 28 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Ejemplo de un razonamiento deductivo: “El ladrón entró por la puerta o la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, el ladrón entró por la ventana.” Tomando el razonamiento deductivo del ejemplo dado, líneas arriba, procedemos a formalizarlo como fórmula lógica, teniendo como resultado la fórmula de la lógica proposicional: [(p  q) p]  q), que es una ley lógica (tautología) denominada “Modus TollendoPonens o Silogismo Disyuntivo.” Este conjunto de proposiciones, formalizadas, también podemos verlas o percibirlas como una representación del argumento o razonamiento deductivo dado. Los componentes de los razonamientos deductivos son las premisas (proposiciones que implican a la conclusión), la conclusión (proposición implicada por las premisas) y las expresiones derivativas. Las expresiones derivativas tienen por objeto indicar cuál es la conclusión y cuáles son las premisas. No siempre figuran en los razonamientos, algunas veces están implícitas. Son de dos tipos: las que se anteponen a la conclusión, como “luego”, “por tanto”, “por consiguiente”, etc., y las que se colocan después de la conclusión, antepuestas a alguna de las premisas, como “ya que”, “puesto que”, “dado que”, “como” y otras. Un signo lógico que hace las veces de las expresiones derivativas (que separa a las premisas de la conclusión) es una barra “ _______/“ que se coloca después de las premisas encolumnadas, al lado derecho se escribe la conclusión. En los ejemplos que siguen a continuación se podrá observar la barra, que hace las veces de las expresiones derivativas. Los siguientes ejemplos ilustran los dos tipos de expresiones derivativas. Ejemplo 1. “El ladrón entró por la puerta o por la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, (expresión derivativa que se antepone a la conclusión) el ladrón entró por la ventana.” Los componentes del razonamiento deductivo dado son: Premisa 1: El ladrón entró por la puerta o por la ventana. Premisa 2: Por la puerta no entró./ Conclusión: Por lo tanto, el ladrón entró por la ventana. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Premisa 1: p  q Premisa 2: __ p / Conclusión: q La regla lógica “Modus TollendoPonens o Silogismo Disyuntivo” prescribe lo siguiente: “A partir de una disyunción débil y la negación de uno de sus disyuntivos es legítimo inferir u obtener el otro disyuntivo”, de esta manera justifica, garantiza la legitimidad o validez de la operación de deducción. Es decir, este conjunto de proposiciones están relacionadas de modo tal, que la proposición, llamada conclusión: “El ladrón entró por la ventana.” Está fundada o se infiere de las otras dos proposiciones, llamadas premisas. En éste caso, la regla lógica del modus tollendoponens o silogismo disyuntivo, nos autoriza, nos prescribe ha inferir u obtener la conclusión: “El ladròn entró por la ventana.” En símbolos: A  B, _A__/  B .
  29. 29. 29 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Ejemplo 2. “El agua hervirá, dado que (expresión derivativa que se coloca después de la conclusión) si la temperatura está a 1000 C entonces el agua hervirá. La temperatura está a 1000 C” Al formalizarlo, tenemos como resultado la fórmula lógica proposicional q  [(pq)  p], que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica del Modus PonendoPonens.” Procedemos a reestructurar el razonamiento deductivo dado, para obtener un razonamiento deductivo equivalente, tal como: “Si la temperatura está a 1000 C entonces elagua hervirá. La temperatura está a 1000 C. Por consiguiente, el agua hervirá.” Este sistema de proposiciones formalizadas, equivalente al sistema de proposiciones inicialmente dado, también podemos verla o percibirla como una representación del argumento o razonamiento deductivo dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si la temperatura está a 1000 C entonces el agua hervirá. Premisa 2: La temperatura está a 1000 C./ Conclusión: Por consiguiente, El agua hervirá. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Premisa 1: p q. Premisa 2: _p_____/ Conclusión: q. La regla lógica, “Modus PonendoPonens”, prescribe lo siguiente: “A partir de un condicional y la afirmación de su antecedente es legítimo inferir su consecuente.” Ejemplo 3. “Si hace calor, Juan va a la piscina. Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar.”Procedemos a formalizarlo como fórmula lógica, teniendo como resultado la fórmula de la lógica proposicional [(pq)  (q r)]  (pr), que es una ley lógica (tautología) denominada “Ley Lógica Silogismo Hipotético o Transitividad” Este conjunto de proposiciones, formalizadas, también podemos verlas o percibirlas como una representación del argumento orazonamiento deductivo, dado. Los componentes, reestructurados, de éste razonamiento deductivo son: Premisa 1: Si hace calor, Juan va a la piscina. Premisa 2: Si Juan va a la piscina, arregla la casa después de almorzar. Conclusión: Luego, si hace calor, se arregla la casa después de almorzar. Formalizando el razonamiento deductivo, dado, tenemos: Premisa 1: p  q. Premisa 2: q  r/ Conclusión: p r. La regla lógica, “Silogismo Hipotético o Transitividad”, prescribe lo siguiente: “A partir de dos condicionales, donde el consecuente del primero es el antecedente del segundo es legítimo inferir el condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo” ¿Cuándo un conjunto de proposiciones no es un razonamiento deductivo? Cuando no hay ninguna proposición, de las dadas, que se afirme sobre la base de las otras. Tomemos como ejemplo las proposiciones siguientes: “Llueve mucho. Será mejor que no salgamos. Podemos postergar la excursión para mañana.” Efectuando la formalización se tiene la siguiente fórmula: p q  r. Si bien estas proposiciones están relacionadas en cuanto al contenido, no hay ninguna que se afirme sobre la base de las otras. En consecuencia, no se trata de un razonamiento deductivo. Conclusión y premisas son términos relativos. Una misma proposición puede ser premisa en un razonamiento deductivo y conclusión en otro. Esta circunstancia origina cadenas de razonamientos deductivos.
  30. 30. 30 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA PROBLEMAS LÓGICOS SOBRE RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS A. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS PONENDOPONENS [(p  q)  p]  q Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 1. Si Venus es un planeta entonces Venus brilla con luz refleja. Venus es un planeta. 2. Si son las cinco, la oficina está cerrada. Son las cinco. 3. Si Juan va a la Unión, se encuentra con Pedro. Juan va a la Unión. 4. Si llovió anoche, las pistas están mojadas. Llovió anoche. 5. Si voy de paseo, me encuentro con Ana. Voy de paseo. 6. Si la policía hace patrullaje urbano, captura a los delincuentes. La policía hace patrullaje urbano. Resolución Formalización: (p  qp Razonamiento P1: p  q P2: p_____/q: La policía captura a los delincuentes. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus PonendoPonens. 7. Si el Atestado Policial prueba que estafaste, serás privado de tu libertad. El Atestado Policial prueba que estafaste. Resolución Formalización: (p  qp Razonamiento P1: p  q P2: p_____/q: serás privado de tú libertad Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus PonendoPonens. 8. Si los terremotos son fenómenos naturales, los terremotos obedecen a leyes físicas. Los terremotos son fenómenos naturales. 9. Si Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos, será un policía disciplinado y responsable. Gabriel es un alumno-policía que práctica buenos hábitos. 10.Si hay igualdad de oportunidades, hay justicia social. Hay igualdad de oportunidades. 11. Si las computadoras bajan de precio, las personas se educaran. Las computadoras bajan de precio. 12. Dado que los objetos caen, existe gravedad. Los objetos caen. 13. Si Luís no ha pasado de año, no viaja a la Argentina. Luís no ha pasado de año. 14. Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución es un ácido. El papel de tornasol se vuelve rojo. 15. Si el satélite entra en órbita, el proyecto espacial será un éxito. El satélite entra en órbita. B. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS [(p  q)  q]  p Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 1. Dado que los objetos caen entonces existe gravedad. No es cierto que los objetos caén. 2. Si es estrella, ese astro tiene luz propia. Ese astro no tiene luz propia. Resolución Formalización: (p  q (q) Razonamiento P1: p  q P2: q _____/p: no es estrella. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus TollendoTollens.
  31. 31. 31 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 3. Si llueve, la ropa se moja. La ropa no se moja. Resolución Formalización: (p  q (q) Razonamiento P1: p  q P2: q _____/p: no llueve. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Modus TollendoTollens. 4. Si Carlos no viaja a Tumbes, no se encontrará con Gabriel. Carlos se encontró con Gabriel. 5. Si Juan no ésta en clase entonces está de servicio. Juan no está de servicio. 6. Si Pedro compró el libro entonces es propietario del libro. Pedro no es propietario del libro. 7. Si un objeto flota en el agua entonces es menos denso que el agua. No es menos denso que el agua. 8. Si eres bondadoso y honrado, serás premiado. No serás premiado. 9. Si  = 1500 entonces Sen = ½. Sen ½. 10. Si Víctor es un graduado universitario entonces Víctor no es mecánico. Víctor es mecánico. 11. Teniendo en cuenta que hace frió, bien se ve que la gente se abriga. La gente no se abriga. 12. Si hoy es día de pago, iré de compras. No iré de compras. 13. Si Pedro se encuentra en casa, la luz está encendida. La luz no está encendida. 14. Si vienes, me voy. No me voy. 15. Si estudio lógica matemática, mejoro mi razonamiento deductivo. No mejoro mi razonamiento. 16. Si son las siete de la mañana, el avión partió. El avión no partió. C. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO [(p  q)  p]  q [( p  q)  q]  p Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 1. Me llamo Julio o Jorge. No me llamo Julio. 2. No viajo a Trujillo o no viajo a Arequipa. Viajo a Arequipa. 3. El policía viajó en auto o avión. El policía no viajó en avión. 4. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional del Perú van al Estadio Nacional o al Mercado de Santa Anita. Las Fuerzas Operativas de la Policía Nacional no van al Estadio Nacional. 5. Maria juega Voley o Básquet. Maria no juega básquet. 6. El paciente tiene sarampión o tifoidea. El paciente no tiene sarampión. 7. En Piura llueve o hace calor. En Piura no llueve. 8. El sol es estrella o satélite. El sol no es satélite. 9. En Irak hay guerra o paz. En Irak no hay paz. 10. Fujimori será extraditado o liberado. Fujimori no será liberado. 11. Los funcionarios policiales trabajan con hipótesis o refutaciones de hipótesis. Los funcionarios policiales no trabajan con refutaciones de hipótesis. 12. El reo es culpable o inocente del delito que se le imputa. El reo no es inocente del delito que se le imputa. 13. 13. El ladrón entró por la puerta o la ventana. Por la puerta no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. 14. Maritza se dedica a la función policial o se dedica a la función jurisdiccional. Maritza no se dedica a la función jurisdiccional. 15. El accidente de tránsito fue causado por ebriedad del chofer o falla mecánica del
  32. 32. 32 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA vehículo. El accidente de tránsito no fue causado por falla mecánica, de acuerdo a la investigación policial. D. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DE SILOGISMO HIPOTÈTICO O TRANSITIVIDAD DEL CONDICIONAL: [(p  q)  (q  r)]  (p  r) DEL BICONDICIONAL: [(p  q)  (q  r)]  (p  r) Dadas las premisas infiera o derive una conclusión Dadas las premisas infiera o derive una conclusión. 1. Si un policía es profesional y ético, es responsable de su buena conducta. Si es responsable de su buena conducta, evita realizar acciones delictivas. Resolución Formalización: [(pq)  r]  (r s) Razonamiento P1: (pq)  r P2: r s /(pq)  s: Si un policía es profesional y ético, entonces evita realizar acciones delictivas 2. Si se denuncia la comisiòn de un delito, la policìaefectùa la investigaciòn.Si la policía efectúa la investigación, establece la responsabilidad de los involucrados. Resolución Formalización: (p  q)  (q r) Razonamiento P1: p  q P2: q r /p  r: Conclusión: p  r: Si se denuncia la comisión de un delito, entonces la policía establece la responsabilidad de los involucrados. 3. Si Elizabeth viaja a Estados Unidos, visitará a su papá. Si visita a su papá, pasará buenas vacaciones. 4. Si los ladrones asaltan el Banco de la Nación, el cajero aprieta el botón de alarma. Si el cajero aprieta el botón de alarma, la patrulla policial interviene a los ladrones. 5. Si el Gobierno está a favor de las nacionalizaciones de las empresas, está en contra de la empresa privada. Si el Gobierno está en contra de la empresa privada, es comunista. 6. Si Bertrand Russell fue neopositivista, conformó el Circulo de Viena. Si conformó el Circulo de Viena, confiaba en la Lógica Simbólica. 7. Si Luisa obtiene buenas notas, le dan una beca. Si le dan una beca, viaja a Colombia. 8. Si hay abundancia de peces, habrá abundante harina de pescado. Si hay abundante harina de pescado, se incrementa la exportación. 9. Si sube la gasolina, subirá la harina de trigo. Si sube la harina de trigo, subirá el precio del pan. E. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO [(p  q)  (r  s) (p  r)]  (q  s ) Dados los razonamientos deductivos siguientes. Verifique, si dichos razonamientos son válidos o inválidos, utilizando cualesquiera de las técnicas de validación que se le ha enseñado y usted ha aprendido. 1. Si llueve, jugaremos ajedrez. Si el campo está seco, jugaremos fútbol. O llueve o el campo está seco. / O jugaremos al ajedrez o fútbol. 2. Si voy al cine, no estudio. Si no voy a la fiesta, viene Felipe a Estudiar. Voy al cine o no voy a la fiesta. / No estudio o viene Felipe a estudiar. Resolución
  33. 33. 33 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Formalización: (p q)  (r s)  (p r ) Razonamiento P1: p q P2: r s P3: p r / (q s): No estudio o viene Felipe a estudiar. 3. Si se mantiene la paz, las ciencias progresan. Si se fomenta la guerra, los pueblos se empobrecen. O se mantiene la paz o se fomenta la guerra. / Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen. Resolución Formalización: (p  q)  (r s)  (p  r ) Razonamiento P1: p  q P2: r s P3: p  r / (q s): Las ciencias progresan o los pueblos se empobrecen. F. APLICANDO LA REGLA DE INFERENCIA DEL DILEMA DESTRUCTIVO [(p  q)  (r  s)( q s)]  ( p r) Dados los razonamientos deductivos siguientes. Verifique, si dichos razonamientos son válidos o inválidos, utilizando cualesquiera de las técnicas de validación que se le ha enseñado y usted ha aprendido. 1. Si me encuentro con Pedro, voy a Chosica. Si me encuentro con Eduardo, voy a Barranco. No voy a Chosica o no voy a Barranco. / O no me encuentro con Pedro o no me encuentro con Eduardo. 2. Si voy a Chosica, no me encuentro con Pedro. Si me encuentro con Eduardo, no voy a Barranco. O me encuentro con Pedro o voy a Barranco. / O voy a Chosica o me encuentro con Eduardo. Resolución Formalización: (p q)  (rs)  (q s ) Razonamiento P1: p  q P2: r s P3: q  s / (pr): No voy a Chosica o no me encuentro con Eduardo. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo. 3. Si te dedicas a la ciencia, serás un científico. Si cultivas las artes, serás un artista. O no serás un científico o no serás un artista. / O no te dedicas a las ciencias o no cultivas las artes. Resolución Formalización: (p  q)  (r s)  (q s ) Razonamiento P1: p  q P2: r s P3: q s / (pr): No te dedicas a la ciencia o no cultivas las artes. Regla lógica utilizada para hacerla inferencia: Dilema destructivo.
  34. 34. 34 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA I UNIDAD TEORIA DE CONJUNTOS COMPETENCIA: Resuelve problemas aplicando conceptos en operaciones entre conjuntos, muestra solidaridad y colaboración con sus compañeros.
  35. 35. 35 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA CONJUNTO No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección, agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos. Notación: Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos:  N 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre llaves, determinan el conjunto N. Determinación de un conjunto: (I)POR EXTENCION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos.       A 2;4;6;8 M a;e;i;o;u B 1;8;27;64;......;1000    (II) POR COMPRENSIÓN: Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x: “x tal x”  A x / x es par;2 x 8    B x / x es una vocal  3 C x / x ;x 10   RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Relación De Pertenencia Es una relación que vincula un elemento con un conjunto. * Si un elemento esta en un conjunto, se dice que pertenece  * Si no esta en un conjunto, se dice que no pertenece  Ejemplo: Dado:   A 2;3; 5;6 Así diremos que:   2 A 4 A 3 A 5 A 5;6 A 6 A       2. Relación De Inclusión O Subconjunto Se dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se denota como: A B ”A incluido en B” Si: A B x A x B      Ejemplo:     A n;3;5 B 4;n;m;6;3;p;5   Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego: A B . PROPIEDADES *Pr opiedad reflexiva : A A *Pr opiedad antisimetrica : Si : A B B A A B *Pr opiedad transitiva : Si : A B B C A C            SESIÓN N° 04
  36. 36. 36 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 3. Relación de igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si: A B A B B A     Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. 4. Relación de contabilidad de conjuntos Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo numero de elementos.     A 1;3;5;7;9 son coordinables B a;e;i;o;u            Graficándolos: 1).- Determina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: A = {x / x  N ; 1 < x  5} B = {x / x  N ; 3  x  6} C = {x 2 / x  N ; 5 x  8} D = { 5 1x2  / xN ; x = 3} 2).- Expresa por extensión el conjunto: A = { x 2 + 1 / x  Z  4  x < 9 } a) {16, 25, 36, 49, 64} b) {15, 24, 35, 48, 63} c) {4, 5, 6, 7, 8} d) {27, 36, 47, 60, 68} e) {17, 26, 37, 50, 65} 3).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A = {x 2 + 4 / x  N  x  4} a) {4, 5, 8, 13, 20} b) {0, 1, 2, 3, 4} c) {5, 8, 13, 20} d) {0, 4, 5, 8, 13} e)  4).- Expresa el conjunto: A = { 3x – 2 / x  N  2< x  5 } por extensión. a) {7,10} b) {10, 13, 16} c) {7, 10,13 } d) {5, 7, 10} e) {3, 4, 5} 5).- Determina por extensión el conjunto A y dar respuesta la suma de sus elementos: A = {x 2 + 1 / x  Z  - 3 < x < 3 } a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 6).- El conjunto E = {x  N / 32 < 4x < 60, x es número compuesto} determinado por extensión es: a) {8,9,10,14} b) {8,10,14} c) {8,14} d) {9,10,12,14} e) N.A. 7).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A = { x 2 -3 / x  N  2  x  5 } a) {1,6,13,22} b) {2,3,4,5} c) {2,5,6,13} d) {4,5,6,22} e) {1,5,13,22} 8).- Si el conjunto R={7a + 4, b – 3, 25} es un conjunto unitario, calcule a 25b  a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 9).- Hallar a + b si A = {4a +1, 2b + 9, 3a + 4} es unitario. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 10).- Dado el conjunto unitario: A = {a + b, a + 2b – 3, 12}, calcule a 2 + b 2 1 3 5 7 9      a e i o u      A B Cardinal de un conjunto El cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(A).              A 2;4;7;9 n A 4 M a;b; m;n n M 3 B 2,3;2;2;5;6;7 n B 5         
  37. 37. 37 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA a) 60 b) 7 c) 80 d) 90 e) 104 11).- Dado A = {a 2 + b 2 + c 2 , d + e}, B = {c 2 + 1, d – e + 4, 5}. Si A=B, A es unitario c>a>b y son negativos. Hallar a + b + c + d.e a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 12).- Los conjuntos A={a 3 + 1,10}, B = {a + b, 65} son iguales, calcular el valor de a-b. a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 13).- Hallar el valor de (m+n) si el conjunto A={2n + 1, 13, m-n} es unitario. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 14).- Si se sabe que A ={m+n, m+2n-2, 10} es un conjunto unitario. Dar el valor de 3m 2 -n 2 a) 198 b) 188 c) 178 d) 168 e) 158 15).- Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios, calcular a + b + c si : A = {a + 3, 3b + 1} , B = {6c + 1, 8c - 1} a) 6 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 16).- Dado los conjunto unitarios: A = {m, 3}, b = {n, 7}. Hallar m + n a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 17).- Dados los conjuntos unitarios: A = {x + 7,2x + 5} ; B = {y – 3,5y–15}. Hallar el valor de x + y. a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 18).- Sean los conjuntos iguales “A” y “B”, A = {x + 7,6}; B = {y, 12}, calcular la suma de cifras y dar como respuesta “x.y”. a) 11 b) 20 c) 30 d) 33 e) 12 19).- Si A, B y C son unitarios A={a + 4,b-2, 2a-4} ; B = { 3 3c,3 2 b  }; C ={ 1 3 c  , d – 4 } Hallar a + b + c + d a) 20 b) 25 c) 30 d) 37 e) 12 20).- Dados los conjuntos unitarios: A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc} Donde: b > c Calcular: a –2b + 3c a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6 21).- Si los conjuntos “A” y “B” son iguales: A = {3a + 5; 7} y B = {b/3 – 2; 5} Calcular b – a a) 26 b) 27 c) 18 d) 16 e) 28 22).- Si los conjuntos A y B son unitarios: A = {2m; 12; n + 2} B = {20; 5p; q} Calcule la suma m + n + p + q a) 36 b) 40 c) 48 d) 46 e) 60 23).- Determina por extensión el siguiente conjunto: A = {x 2 + 1 / x  Z  -3< x  4} Dar como respuesta la suma de sus elementos. a) 43 b) 18 c) 35 d) 38 e) 42 24).- Si el siguiente conjunto es unitario: P= { m -7 ; 33 ; 4p + 9 } Calcula ( m + p2 ) a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67 25).- Si el siguiente conjunto es unitario: H = { a+15 ; b2 –4 ; 45 } Calcula ( a + b ) a) 33 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37
  38. 38. 38 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 1. CONJUNTO FINITO Cuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes. Ejemplos:     A 3;6;9;12 B 1;3;5;7;......;29   2. CONJUNTO INFINITO Cuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite. Ejemplos:     A x / x esun número real B x / x esun planeta deluniverso   3. CONJUNTO VACIO Llamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como:    *El conjunto vació se le considera incluido en cualquier otro conjunto. *El conjunto vació no tiene ningún subconjunto propio y su número cardinal:  n 0  Ejemplos:     2 A x / x x 1 0 B loscabellosde un calvo        4. CONJUNTO UNITARIO Llamado también singlé ton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos:       A x / 2 x 4 B Bety C         5. CONJUNTO UNIVERSAL U Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas rectangulares. 6. CONJUNTO POTENCIA Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como  P A . Ejemplos: * Dado:  A 4;7 Su conjunto potencia será:         P A 4 ; 7 ; 4;7 ;  * Dado:               A 2;3;4 P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;       3;4 ; 2;3;4 ;  El número de elementos de  P A o numero de subconjuntos de A, está dado por:   n n P A 2   Donde “n” representa el numero de elementos del conjunto A. Ejemplos: Si:     2 A 4;7 n P A 2 4      Si:     3 A 2;3;4 n P A 2 8      Si:  A a;b;c;d;e    5 n P A 2 32    C LAS ES D E C O N J U N TO S M N P A B U Numero de subconjuntos propios: Dado el conjunto A, su número de subconjuntos propios será: n 2 1 .No se considera el mismo conjunto A. SESIÓN N° 05
  39. 39. 39 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. UNIÓN O REUNIÓN (U) Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. Se denota como A B.  A B x / x A x B     Si:     A 2;3;4;6 B 1;3;4;5   Luego:  A B 1;2;3;4;5;6  2. INTERSECCIÓN   Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (elementos comunes). Se denota como A B .  A B x / x A x B     Si:  A ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 1 3  B ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 2 3 Luego:  A B ; 4 ; 5  3 3. DIFERENCIA (–) Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, al conjunto formado por todos los elementos de A, que no son elementos de B, Se denota por A–B.  A B x / x A x B     Si:  A ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 2  B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 Luego:  A B 6 ; 8                              1) P A , puesto que A 2) A P A , puesto que A A 3) P 4) SiA B P A P B 5) SiA B P A P B 6) P A P B P A B 7) P A P B P A B                      PROPIEDADES A B U                   1) A A AIdempotencia 2) A B B AConmutativa 3) A B C A B C Asociativa 4) A 5) A A 6) Si :A B A B B 7) SiAyBson disjuntos n A B n A n B 8) SiAyBson dosconjuntosno compa rables,con una región común : n A B n A n B n A B                              PROPIEDADES A B U         1) A A A Idempotenc ia 2) A B B A Conmutativa 3) A B C A B C Asociativa 4) Si : A B A B A 5) A 6) A U A 7) Si :A B A y B son disjuntos 8) A A C A 9) Si: A B C                                         A B A C 10) A B C A B A C A B C A B A C                PROPIEDADES A B U
  40. 40. 40 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA A B A B 4. DIFERENCIA SIMETRICA   Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B; pero no pertenecen a la intersección de A y B. Se denota por: A B     A B x / x A B x A B       Formas usuales:    A B A B A B        A B A B B A     Si:  A ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 2  B ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 1 Luego:    A B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4    A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9  5. COMPLEMENTACIÓN Para dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B. Se denota BC A ; se lee complemento de A respecto a B. BC A B A  * El complemento de un subconjunto A respecto del conjunto universal U. C A A' U A    A' x / x U x A    Ejemplo: Si:  A 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8  B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar: B AC Resolución: Como: B A B AC      B AC 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8   B AC 1 , 5 , 9  1 , 5 , 9 Rpta.               1) A A 2) A 3) A B B A 4) A B B 5) A B A B A B 6) A B A B 7) A B A B B A A B 8) A B A B A                                  PROPIEDADES A B U       1) A' U A 2) U'= 3) ' U 4) A A'=U 5) A A'= 6) A' ' A 7) A B ' A' B' Leyes de Morgan A B ' A' B'                   PROPIEDADES
  41. 41. 41 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA  1) a ;b A B a A b B 2) A B B A ; A B 3) A O            O                         4) A B C A B A C 5) A B C A B A C 6) A B C A B A C 7) n A B n A n B 8) Si: A B A C B C                           Propiedades PRODUCTO CARTESIANO Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados  a ; b , tales que a A y b B . Se denota por: A B   A B a ; b / a A b B     Ejemplo: Si:  A 1 ; 2 ; 3  B 1 ; 2 Hallar: A B Resolución:             A B 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2  Grafica de A B Diagonal de un Conjunto: Dado el conjunto A, la diagonal del producto A A que se denota  A , se define por:     A x ; y Ejemplo:  A a ; b ; c  B 1 ; 2 ; 3 ; 4 Hallar:    A y B  Resolución:         A a a ; b b ; c c; ; ;           B 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4; ; ; ; NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si: A B O       n A B n A n B    Si: A y B son dos conjuntos cualesquiera      n A B n A n A B    Si: A y B son conjuntos tales que A B O         n A B n A n B n A B         2 1 1 2 3 A B A B A B A B
  42. 42. 42 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Si: A B C O          n A B C n A n B n C        n A B n A C       n B C n A B C     PAR ORDENADO: Par ordenado es un ente matemático constituido por dos elementos (a ;b) par ordenado Se cumple que:    a ;b b ;a Si:    a ;b c ;d a= c b= d   Para los problemas 1 Si:  A 3,6  B 2, 4, 6 Hallar la suma de los términos del conjunto:    A B A B   a) 10 b) 12 c)14 d) 13 e) 11 Resolución:     A B 2,3,4,6 A B 3     Luego:           A B A B 2,3,4,6 3 2,4,6      Piden: 2 4 6 12   2 Hallar: x 3y , si: 3 x 2x 1, y 5 23, 2 3               a) 14 b) 13 c)11 d) 15 e) 16 Solución: Por pares ordenados iguales * 2x 1 23 x 12 3 12 2 * y 5 y 2 3 3          Luego piden: 2 12 3 3 12 2 14          3 Si:   A 5, 2 ,9 Señale la expresión falsa: a)  2 A b)   2 A c) 9 A d)  5,9 A e)   5, 2 A A B C 1 2 3 A B 1 : sólo A 2: A y B 3: sólo B 1 y 2: A 2 y 3: B 1 , 2 y 3: A ó B 1 2 3 4 5 6 7 A B C 1 : sólo A 3: sólo B 7: sólo C 2: sólo A y B 4: sólo B y C 6: sólo A y C 5: A , B y C 25: A y B 45: B y C 56: A y C SESIÓN N° 06
  43. 43. 43 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Resolución: Se observa en el conjunto A que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto  5, 9 , luego  5,9 A , lo falso seria (d). 4 5 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 3 Resolución: Del gráfico, se tiene: * y w z 15 41    y+ w+ z= 26 ….. ( I ) * w 15 28 w= 13   * y 15 25 y= 10   Reemplazando en ( I ) 13 10 z 26   z  3 Rpta. 6 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: Formando ecuaciones: x 3 13 x= 10   y 3 4 y= 1   10 3 1 z 17    z  3 Rpta. 7 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Resolución: “x”: # banderas que tienen 3 colores No hay banderas de un solo color De la figura se tiene que: 25 x x 35 x 15 x 65       10 2x x=  5 Rpta. 8 Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántos días come fréjoles con tallarines? a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13 Resolución: 19 x x 23 x 29     x  13 Rpta. En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas? a) 40 b) 37 c) 25 d) 22 e) 38 41 15 Estudian Trabajan y z w 17 z con bigote calvos x 3 y 13 4 15 x 35 x 25 x R A B x 35 15 25 19 x 23 xx F T
  44. 44. 44 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Resolución: Del grafico se tiene que: a b c x y z 50      …. ( I ) a x y 20   b y z 27   c x z 28      a b c 2 x y z 75      …. ( II ) ( I ) en ( II ) 50 x y z 75    x y z   25 Rpta. 9 ¿Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos? a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a. Resolución: Recordado que: n # Subconjuntos 2= 6n 2 2 64=   # Subconjuntos = 64 Rpta. 10 Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo, si:    A B B A A B     . ¿ Cual de las siguientes proposiciones es falsa? a) A A B  b) A B O  c) B B A  d) B A' e)  A B ' A B   Resolución: Como:    A B B A A B     Quiere decir que A y B son conjuntos disjuntos, para las alternativas se tendrá que: A A B  (Verdadero) A B O  (Falso) B B A  (Verdadero) B A' (Verdadero)  A B ' A B   (Verdadero) A B O  Rpta. 11 Si:  A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 Determinar el conjunto dado por compresión a)  2 x 1/ x x 7    b)  2 x x / x x 6    c)   x x+ 1 / x x 7   d)  2 x x / x 1< x 8    e)  2 x x / x x 8    Resolución:  A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56  A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8        Lo elementos son de la forma:  x x 1 Donde: x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7   x x+ 1 / x x 7   Rpta. x y z a b c  I 25  F 32  A 33 5
  45. 45. 45 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA Cuantos sub conjuntos tiene “A”   2 A x 2 / x 1 x 5       a) 16 b) 8 c) 32 d) 64 e) n.a. Resolución: x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4  Reemplazando en:  2 x 2  9 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4  A 9 , 4 , 1 , 0 Total de sub conjuntos es: 4 2  16 Rpta. 12 Si  A 3 , 6  B 2 , 4 , 6 Hallar la suma de los términos del conjunto:    A B A B   a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 13 Resolución:  A B 2 , 3 , 4 , 64   A B 3  Luego:    A B A B        2 , 3 , 4 , 6 3 2 , 4 , 6  Piden: 2 4 6   12 Rpta. 13 Hallar: x 3y , si: 3 x 2x 1 ; y 5 23 ; 2 3              a) 14 b) 11 c) 16 d) 13 e) 15 Resolución: Por pares ordenados iguales 2x 1 23 x= 12   3y 12 2 5 y= 2 3 3     Luego piden: 2 x 3y 12 3 3           14 Rpta. 14 Si:   A 5 , 2 , 9 Señale la expresión falsa: a)  2 A b)   2 A c)  5 , 9 A d)   5 , 2 A e) 9 A Resolución: Se observa en el conjunto “A” que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto  5 , 9 . Luego:  5 , 9 A 15 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define:     A B x / x A B A B       Si se define los conjuntos:  U x / x x< 10    A x / x U x es divisor de 12    B x / x U x es impar   ¿Cuántos elementos tiene  C A B ? a)  1 , 3 , 8 b)  1 , 4 , 8 c)  1 , 8 , 3 d)  3 , 1 , 8 e) n.a. Resolución: A 2 4 6 1 3 5 7 9 8 B U
  46. 46. 46 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA  U 1 , 2 , 3 , ....... , 9  A 1 , 2 , 4 , 6  B 1 , 3 , 5 , 7 , 9  A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9   C A B   1 , 3 , 8 Rpta. 16 Dado:  A n m , n+ p , 8   B m p , 10  Unitarios Hallar: m n p  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: m n n p m= p    m p 10 2m= 10   De donde: m p 5  n m 8 n= 3   Luego: m n p   3 Rpta. 17 Si:   # P A 256   # P A B 16    # P B 64 Calcular:   # P A B a) 1 024 b) 2 048 c) 360 d) 512 e) 256 Resolución:     8 # P A 256 2 # A 8        6 # P B 64 2 # B 6        4 # P A B 16 2 # A B 4         # A B # A # B # A B     8 6 4   10    10 # P A B 2   1 024 Rpta. 18 En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudian R.M.? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) n.a. Resolución: El número de mujeres que no estudian R.M. es: 15 5 10  El número de hombres que estudian R.M. está dado por: x 28 20   8 Rpta. 19 De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: Castellano, Inglés y Francés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Inglés, 35 hablan Francés, además los que hablan Castellano no participan nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos de dichos idiomas? a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a. Resolución: Hablan Ingles: I 46 Hablan Castellano: C 40 Hablan Francés: F 35 Hablan 2 Idiomas:  x y Luego: I C F 80        40 x x 46 x y y 35 y 80         De donde se tiene que: x y  41 Rpta. 20 x 10 5 H 28 M 15 40 x x y 35 y C I F
  47. 47. 47 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 21 En una ciudad de cada 100 hombres, 85 son casados 70 son abonados al teléfono, 75 tienen auto y 80 son propietarios de su casa ¿Cuál es el numero mínimo de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono oculto y casa propia. a) 5 b) 10 c) 65 d) 25 e) 45 Resolución:    C Hombres casados n C 85      T Abonados al telefono n T 70      A Poseen auto n A 75      P Poseen casa propia n P 80   Se pide calcular el numero mínimo de  C T A P   Graficando: Luego piden:  c x a m í n imo  Siendo x C T P A    , entonces el valor de “x” el mínimo valor se tiene: 85 v a c d p q r x....        (1) 70 w a b d q n s x.....        (2) 80 y b c d r s m x.....        (3) 75 y b c d r s m x....        (4) 100 y w z y a b c d p q r s n m s........                (5) Sumando (1) (2) (3) y (4)     310 v w z y 3 a b c d 2 p q r s n m 4x...                (  ) La ecuación (5) se multiplica por 3 tenemos(agrupando convenientemente)       300 3 v w z y 3 a b c d 3 p q r s n m 3x.......                  Luego: ( )-  10 x 2v 2w 2y 2z p q r s m n                      10 x   Como “x” mínimo entonces  es mínimo es decir  = 0. Entonces: x 10 Graficando: Como  =0 entonces: v w y z p q r s m n 0          Luego: 85 b 100 b 15    70 c 100 c 30    75 a 100 a 25    80 d 100 d 20    Finalmente:  n C T A P c 10 a 65         En el problema el “x” mínimo es igual: (son 4 conjuntos)     x 85 70 75 80 4 1 100      x  10 Rpta.  C 85  T 70  A 75 P 80 v w z p q y m na bc d xn s  C 85  T 70  A 75 P 80 a bc d 10
  48. 48. 48 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 22 Cual de las siguientes alternativas le corresponde al diagrama mostrado, si”x” es el complemento de “x” en el universo. I    C B A A B C           II    C ' B A B C '      III    C B ' A B C      a) I b) II c) III d) I y III e) Todas Resolución: (1)= A B C  (2)=  B C A  Luego:    (1) (2) A B C B C A                  A B C B C A           Rpta. 23 Se tiene los conjuntos A, B, C subconjuntos de los números naturales, A es el conjunto de los múltiplos de 3, B es el conjunto de los múltiplos de 4v menores que 24 y C es el conjunto de los divisores de 48. Hallar la suma de los elementos de la diferencia:  C A B  a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 Resolución:  A,B,C N  A x / x 3 0;3;6;..............;3n          B x / x 4 x 24            B 0;4;8;12;16;20  C x / x es divisor de 48  C 1;2;3;4;8;12;16;24;48    C A B 1;2   Por lo tanto la suma de los elementos: 1 2  3 Rpta. 24 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la unión de A y B tiene 36 elementos, el numero de elementos de A es a la mitad del numero de elementos de B. Los elementos comunes de A y B son la mitad de los elementos no comunes, hallar el numero de elementos de B. a) 12 b) 24 c) 32d) 30 e) 80 Resolución:  n A B 36...............  (1)    1 n A n B 2     n B 2n A Se sabe:    n A B nA nB n A B      36 nA 2nA n A B       3n A n A B 36   Además:        n A B n A n B 2n A B            2n A B n A n B 2n A B        4n A B 3n A  De (1) y (2)    n A B 12 n A 16     n B  32 Rpta. A B C A B C 1 2
  49. 49. 49 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 1. Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas? a) 15 b) 20 c) 25d) 30e) 35 3. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado? a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 15% 4. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos? I) Unión II) Intersección III) Diferencia IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas 5. Sean:  A 1 , 2 , 3 y  ,B 4 5 ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas? *  ,2 4 A B  *  ,4 2 A B  *  ,5 2 B A  *  ,3 4 A B  *  ,3 4 B A  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a. 6.¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos? a) 32 b) 23 c) 46 d) 64 e) 128 7. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando el conjunto A contiene uno o más elementos que no contiene B, diremos que B es un subconjunto propio de A. II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal III. Al conjunto universal se le designa el valor de 1 IV. El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto. a) VFVV b) FVVV c) VVVV d) VVFV e) FVFV 8. Si se determina por comprensión el conjunto:  M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ...... se tiene: a)  M x / x es un número par b)  M x / x 2n ; 0 n   c)  M x / x N N= serie de números pares;  d)  M 2x / x   e) n. a. 9. Dado el conjunto:  3 2 F x / x 2x 2x 2 0     ¿Cuál es su valor determinado por extensión? a)  F 1 , 0 , 2  b)  F 2 , 1 , 1   c)  F 2 , 1 , 0 , 1   d)  F 1 , 1 , 2  e) n.a.
  50. 50. 50 ESCUELA TECNICA SUPERIOR PNP PUENTE PIEDRA 10. ¿A que operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? a)  BUC A b)  B A C  c)  A C B  d)  B C A  e)  AUC B 11. Si el conjunto:  3 2 A x / x , 4x 11x 30 0    se interfecta con el conjunto de los números naturales, el número de elementos de la intersección es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)n.a. 12. En un salón de clases de 65 alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la biblioteca les presta en libro de química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. ¿Cuántos hombres se compraron el libro de química, si se supone que todos los alumnos tienen el libro? a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 13. Al encuestar a un grupo de alumnos se observó que la mitad de ellos postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas universidades y los 220 alumnos restantes aun no decidían donde postular. ¿Cuántos fueron los alumnos encuestados? a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640 d) 3 520 e) 3 125 14. En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos 42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 los tres exámenes; además 10 aprobaron solamente los 2 primeros. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes? a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 15. El conjunto:   C A CB CA  equivalente a: a)  CA CB A  b)  A B B  c)  CA A B  d)  A CA B  e) El conjunto universal 16. El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% no ve el canal B, si el 55% ve el canal A o el canal B, pero no los dos canales, el porcentaje de la población que ve ambos canales es: a) 20% b) 18% c) 13% d) 12% e) n.a. 17. 17. De 81 personas se sabe que 48 van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la playa y al teatro, además todos van por lo menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a los 3 lugares? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 18. Ciertos datos obtenidos en un estudio de un grupo de 1 000 empleados referente a la raza, sexo y estado civil, arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres, 470 son casados, además habían 42 varones de color, 147 personas de color eran casados y habían 25 hombres de color casados. ¿Cuántas mujeres eran solteras? a) 129 b) 219 c) 294 d) 315 e) 351 19. Durante el mes de febrero de 1984 Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en las mañanas o en las tardes o en ambas horas, si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio en las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambas horas? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 AB C

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