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Algebra de Boole

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Conceptos y operaciones básicas utilizadas en técnicas digitales

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Algebra de Boole

  1. 1. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Unidad 2 – Álgebra de BooleTemasIntroducciónÁlgebra de BooleOperaciones básicas (suma lógica, producto lógico y negación lógica)Axiomas y Leyes FundamentalesLeyes de De MorganEstados Lógicos y Función LógicaTabla de verdadFunción booleanaTérminos canónicosMaxtérminos y mintérminosFormas canónicas de una funciónRepresentación de una función por su tabla de verdadForma numérica de una función lógica 1
  2. 2. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Introducción En 1847 un matemático inglés llamado George Boole (1815 – 1864), desarrollaunos símbolos matemáticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas delógica deductiva. Hacia el año 1854, publicó un libro en el que explicaba cómo convertirlas proposiciones lógicas en símbolos matemáticos y cómo aplicar ciertas reglas muysimples para determinar la verdad o falsedad de proposiciones relacionadas entre sí. La matemática desarrollada por Boole se conoce en la actualidad como álgebrabooleana, álgebra de Boole o lógica simbólica. Después de su muerte, algunos matemáticos perfeccionaron su sistema parahacerlo más utilizable, nos interesa particularmente la aplicación que en 1938 ideó elcientífico Claude E. Shannon. En su tesis de graduación del Instituto Tecnológico deMassachuset, Shannon demostró cómo podía aplicarse el álgebra de Boole al diseño y lasimplificación de los relés y circuitos de conmutación que se utilizan en los complejoscircuitos que forman las computadoras electrónicas, pues permite simplificar lasconexiones físicas reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario paraalojarlo. En este tema nos ocuparemos brevemente de esta lógica de la conmutación, comopodríamos llamarla, pero limitándonos a los circuitos de conmutación y las compuertas(llamadas también “puertas lógicas”). Nos interesa la lógica del circuito, no la electrónica.No obstante, los conceptos que expondremos a continuación son los mismos que seaplican a la película delgada, los núcleos magnéticos, los transistores y demáscomponentes de los circuitos empleados en las computadoras. Definición del Álgebra de Boole El álgebra de Boole es una estructura matemática que posee tres operacionesbinarias denominadas suma lógica (+), producto lógico (•) y negación lógica (not). Estáestrechamente relacionada con la lógica proposicional y con el álgebra de conjuntos,constituyéndose en la base fundamental para el análisis y el desarrollo de los circuitosdigitales. Suma Lógica: Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguientetabla: A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2
  3. 3. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Producto Lógico: Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguientetabla: A B A·B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Negación Lógica: Denominada también operación "N" (NOT). Esta operación responde a la siguientetabla: A  0 1 1 0 Axiomas y Leyes Fundamentales del Álgebra de Boole Ley de cierre o clausura Sean A y B dos elementos pertenecientes a un conjunto llamado Álgebra de Boole(  ): La suma lógica y el producto lógico de elementos booleanos dan como resultadootros elementos que también pertenecen al álgebra de Boole. En símbolos resulta: ,    A  B      A  B    Ley conmutativa La suma lógica y el producto lógico son operaciones conmutativas: A+B=B+A A.B=B.A Ley asociativa Las dos operaciones (suma y producto) del álgebra de Boole son asociativas: A+(B + C) = (A+B) +C A.(B.C)-(A.B). C 3
  4. 4. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Ley distributiva La suma lógica es distributiva respecto del producto lógico y viceversa: A + ( B . C) = (A + B). (A + C) A.(B + C) = (A.B) +(A.C) Elementos neutros Para todo elemento perteneciente al álgebra de Boole, existen y son únicos loselementos "0" ( neutro aditivo) y "1" ( neutro multiplicativo) pertenecientes al álgebra deBoole, tal que operando con el elemento dado no lo modifiquen. En símbolos: A  , , y es único, 0   / A  0  A A  , , y es único, 1  / A 1  A Complemento Para todo elemento booleano (A) existe y es único otro elemento booleano llamadocomplemento (A), tal que se verifique que: A A 1 y A A  0 Ley de Involución(o doble complemento) A A Idempotencia A A  A A A  A Ley de Absorción A  ( A  B)  A A  ( A  B)  A 4
  5. 5. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Propiedades del 0 y del 1(Identidad de los elementos 0 y 1) A 1  1 A0  0 0 1 1 0 Leyes de De Morgan A  B  A B A B  A  B Teorema A  A B  A  B A  ( A  B)  A  B Otras operaciones lógicas A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operacionesbooleanas, las cuales son: NAND NOR A B A B A B A B 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 XOR O EXOR, también XNOR O EXNOR llamada OR EXCLUSIVA A B A B A B A B 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 5
  6. 6. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Estados Lógicos y Función Lógica Los elementos que constituyen los circuitos digitales se caracterizan por admitirsólo dos estados. Es el caso por ejemplo de un conmutador que sólo puede estarENCENDIDO o APAGADO, o una válvula hidráulica que sólo pueda estar ABIERTA oCERRADA. Para representar estos dos estados se usan los símbolos ‘0’ y ‘1’. Generalmente, el‘1’ se asociará al estado de conmutador CERRADO, ENCENDIDO, VERDADERO, y el ‘0’se asocia al estado de conmutador ABIERTO, APAGADO o FALSO. La función lógica es aquella que relaciona las entradas y salidas de un circuitológico. Puede expresarse mediante: 1. Tabla de verdad: Es ella se representan a la izquierda todos los estados posiblesde las entradas y a la derecha los estados correspondientes a la salida. 2. Función booleana: Es una expresión matemática que emplea los operadoresbooleanos. Una función lógica (F) es un polinomio booleano que puede estar formado por “n”variables, complementadas o no, vinculadas por las operaciones de suma y productológicos. Veamos un ejemplo de una función lógica de 3 variables (A,B,C): F= ABC + AB + B (A+C) Tabla de verdad de la función lógica F ABC ABC AB B( A  C ) F 000 0 1 1 1 001 0 1 0 1 010 0 0 0 0 011 0 0 0 0 100 0 0 1 1 101 1 0 1 1 110 0 0 0 0 111 0 0 0 0 Términos canónicos Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma en el cualaparecen todas las variables de que depende esa función. A los términos productos se lesllama productos canónicos o mintérminos, y a los términos sumas, sumas canónicas omaxtérminos. 6
  7. 7. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Formas canónicas Cuando una función se expresa como suma de productos canónicos o comoproducto de sumas canónicas, se dice que dicha función se encuentra expresada en suforma canónica. Como cada variable puede estar complementada, para una función de “n” variablespueden existir 2n mintérminos y 2n maxtérminos. Por ejemplo : para una función de 3 variables hay 8 mintérminos posibles y también8 maxtérminos, los cuales son:Mintérminos:A BC, A BC, ABC, ABC, A BC, A BC, ABC, ABCMaxtérminos:A  B  C, A  B  C, A  B  C, A  B  C, A  B  C, A  B  C, A  B  C, A  B  C Puede demostrarse, aplicando las leyes de De Morgan, que estos dos términos queacabamos de definir son expresiones complementarias, es decir, el complemento de unmintérmino es un maxtérmino y viceversa. Por ejemplo, para una función de 4 variables el producto ABCD es uno de los 16mintérminos posibles y al complementarlo se obtiene un maxtérmino: A BCD  A  B  C  D Existen teoremas referidos a mintérminos y maxtérminos, los cuales son de granaplicación en el desarrollo algebraico de circuitos: Teorema 1: Para una función de “n” variables, la suma lógica de todos susmintérminos es igual a 1. Ejemplo para 2 variables: AB  A B  AB  A B  1 Teorema 2: Para una función de “n” variables , el producto lógico de todos susmaxtérminos es igual a 0. Ejemplo para 2 variables: (A  B) (A  B) (A  B) (A  B)  0 Teorema 3: Para una función de “n” variables, el complemento de la suma dealgunos mintérminos es igual a la suma de los restantes. 7
  8. 8. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Ejemplo para 2 variables: AB  A B  AB  A B Teorema 4: Para una función de n variables , el complemento del producto dealgunos maxtérminos es igual al producto de los restantes. Ejemplo para 2 variables: (A  B) (A  B)  (A  B) (A  B) Representación canónica de una función De los diferentes polinomios con los que se pueden representar las funcioneslógicas existen dos que se denominan expresiones canónicas (o Formas Normales), lascuales se llaman "suma de mintérminos o suma de productos - SP" (primera expresióncanónica o forma normal disyuntiva) y "producto de maxtérminos o producto de sumas -PS" (segunda expresión canónica o forma normal conjuntiva). Para poder obtenerlas partiremos de un polinomio cualquiera, por ejemplotrabajaremos con una función de 3 variables dada por la siguiente función lógica: F  A BC  (A  C). B La primera expresión canónica tiene una estructura del tipo suma de productos, porlo tanto el primer paso será transformar la ecuación dada en una suma de productos, paralo cual se aplicará la ley de De Morgan: F  A BC  A  C  B F  ABC  AC  B La expresión así obtenida es una suma de productos, pero no es canónica, puesdos de sus términos no son mintérminos; debemos entonces transformarlos para lo cualhacemos lo siguiente: En virtud de los axiomas de la definición del álgebra de Boole, el término AC semultiplica por 1 y ese 1 se escribe como la suma de la variable B más su complemento(obsérvese que B es la variable faltante para que AC sea mintérmino). Al término B le faltan 2 variables para convertirlo en mintérmino, luego el mismo semultiplicará dos veces por 1(en virtud de la propiedad de idempotencia), escribiendo cada1 como la suma de la variable que falta más su complemento. Por lo tanto resulta: 8
  9. 9. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri F  A BC  AC(B  B)  B (A  A) (C  C) Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma: F  A BC  ABC  A BC  B (AC  AC  AC  AC) Se puede observar que la expresión que figura entre paréntesis y que multiplica ala variable B es igual a 1, en razón del primer teorema de los mintérminos. F  A BC  ABC  A BC  A BC  A BC  A BC  A BC Finalmente, eliminando los términos repetidos (por propiedad de idempotencia), laexpresión que se obtiene está formada por mintérminos y es una suma lógica; F  A BC  ABC  A BC  A BC  A BC Forma normal disyuntiva (suma de mintérminos) Para hallar la segunda expresión canónica partimos de la primera expresióncanónica y hallamos su complemento: F  ABC  ABC  ABC Complementando ambos miembros tenemos: F  ABC  ABC  ABC El primer miembro de la igualdad es el valor de la función F (por ley de Involución)y, resolviendo el segundo miembro, resulta: F  ABC  ABC  ABC F  (A  B  C) (A  B  C) (A  B  C) Forma normal conjuntiva (producto de maxtérminos) Como vemos, esta segunda expresión canónica tiene una estructura del tipoproducto de sumas, donde cada suma es un maxtérmino. Representación de una función por su tabla de verdad Tomando el polinomio del ejemplo anterior confeccionaremos la tabla de verdadcorrespondiente al mismo. F  A BC  (A  C). B 9
  10. 10. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Términos ABC A BC (A  C) (A  C). B F canónicos mintérmino Maxtérmino 000 0 1 1 1 A BC m0 M7 001 0 0 1 1 A BC m1 M6 010 0 1 0 0 (A  B  C) m2 M5 011 0 0 1 1 ABC m3 M4 100 0 1 1 1 A BC m4 M3 101 1 1 1 1 A BC m5 M2 110 0 1 0 0 (A  B  C) m6 M1 111 0 1 0 0 ( A  B  C) m7 M0 La función F se obtiene sumando las columnas señaladas con una flecha. De lacolumna de F pueden extraerse las dos expresiones canónicas directamente, es decir sinnecesidad de efectuar el desarrollo algebraico expuesto anteriormente. Para obtener las dos expresiones canónicas directamente de la tabla de verdadprocedemos según la siguiente convención de lectura: Cada combinación binaria de las variables puede leerse como un producto ytambién como una suma. Para leer una combinación como producto se debe tener encuenta que los "0" indican el valor complementado de la variable, mientras que los "1" nosdan el valor original de la misma. Por ejemplo: la combinación 101 (A=1, B =0, C= 1) debeleerse como A BC y así sucede con el resto de la combinaciones binarias. Para leer una combinación como suma, la convención es inversa a la anterior, esdecir, los "0" representan a la variable sin negar y los "1" a la variable negada. Porejemplo: la combinación 110 (A=1, B=1, C=0) debe leerse como A  B  C y así para elresto. La primera expresión canónica se extrae de los "1" lógicos de F y la segunda de los"0" lógicos: F  A BC  ABC  A BC  A BC  A BC  (A  B  C) (A  B  C) (A  B  C) Ambas expresiones son lógicamente equivalentes pues cumplen con la mismatabla de verdad. La función lógica puede expresarse en forma literal (como lo venimos haciendohasta ahora) o en forma numérica, de la siguiente, manera: F   3 (0,1,3,4,5) SP – Suma de Productos F   3 (0,1,5) PS – Producto de Sumas 10
  11. 11. ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Desarrollo de apuntes para Distrito Escolar XIII Electrónica Técnicas asignaturas específicas del área Región V Digitales electrónica 5º Año Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri Formas equivalentes Dos expresiones booleanas, F1 y F2, son equivalentes, es decir F1=F2, sí y sólo sí describen la misma función de conmutación, o de otra forma, poseen la misma tabla de verdad. Formas booleanas diferentes pero equivalentes, conducirán a circuitos de conmutación distintos aunque realicen la misma función. Bibliografía Problemas de Circuitos y Sistemas Digitales - Carmen Baena Oliva; Manuel Jesús Bellido Díaz; Alberto Jesús Molina Cantero; María del Pilar Parra Fernández; Manuel Valencia; Barrero. Ed. McGraw-Hill, 1997. Arquitectura de Computadoras - Ingeniería en Sistemas de Información Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Santa Fe. Circuitos Y Sistemas Digitales - Departamento de Electrónica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid - Apuntes de clase Electrónica Digital - Cuesta - Gil Padilla – Remiro - Ed. Mc Graw Hill. 1992 Técnicas Digitales - Telefónica De Argentina – Dirección de RRHH, Gerencia de Capacitación.Internet http://www.unicrom.com/default.asp http://medusa.unimet.edu.ve/sistemas/bpis03/algebradeboole.htm http://electronred.iespana.es/alg_boole.htm http://usuarios.lycos.es/bnunez/Archivos%20propios/Digitales/Algebra_Boole.pdf http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/boole.pdf http://www.ing.uc.edu.ve/aulavirtual/mod/resource/view.php?id=473 11

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