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Solucionario onenm 2012 primera fase

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Solucionario onenm 2012 primera fase

  1. 1. 2012 ONEM 2012 – NIVEL I CON MÉTODO SENCILLO DE COMPRENDER JBMP - CAÑETE J. BORIS MENDOZA PORTOLATINO
  2. 2. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 1. Cuando viaje de Lima a Huancayo en bus me informaron que servían la cena justo a la mitad del viaje. Si salí de Lima a las 06:00 pm y llegue a Huancayo a las 11:20 pm. ¿a qué hora sirvieron la cena? A. 08:00 pm D. 08:40 pm B. 08:50 pm E. 08:45 pm C. 08:20 pm 2. Tengo 11 naranjas y 13 manzanas. ¿Cuántas frutas debo comer como mínimo para que el número de manzanas sea el doble del número de naranjas? A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 E. 9 RESOLUCIÓN: RESOLUCIÓN: Primero hay que saber cuánto tiempo transcurrió desde que partimos hasta que llegamos Es necesario comer una cantidad IMPAR de manzanas para que pueda quedarme una cantidad par. Y eso es: 11:20 pm - 06:00 pm. Nos da 5horas 20min Y en la mitad del camino sirvieron la CENA, es decir cuando pasó 2h y 40min. También es necesario comer una cierta cantidad de Naranjas. Sea “X” la cantidad de Naranjas que comeré y sea “Y” la cantidad de Manzanas que comeré. 2(11-X) = 13 – Y 22 – 2X = 13 – Y 9 = 2X - Y Ahora busquemos el mínimo. La CENA lo sirvieron a las 6:00 + 2h y 40min. 08:40 Página 2 Para comer la mínima cantidad es necesario que tanto “X” como “Y” sean los mínimos posibles. Eso ocurre cuando X = 5 y Y = 1 CLAVE B Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO CLAVE D Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  3. 3. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 3. En el colegio Laura tiene cada mañana 6 clases de 1 hora pedagógica cada una. Además tiene dos recreos de 20 minutos cada uno. Si se sabe que 1 hora pedagógica equivale a 45 minutos y que las clases de Laura empiezan a las 08:00a.m. ¿A qué hora terminan las clases? A. 01:20 pm D. 02:10 pm B. 12:30 pm E. 01:10 pm 4. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de la suma de sus dígitos? A. 2012 D. 2015 B. 2013 E. 2016 C. 2014 RESOLUCIÓN: C. 02:40 pm Haber: 2012 tiene como suma de cifras 5 RESOLUCIÓN: o Luego 2012  5 2013 tiene como suma de cifras 6 El tiempo que dura mi clase es: 6 clases de una hora pedagógica + 2 recreos o Luego 2013  6 2014 tiene como suma de cifras 7 o Luego 2014  7 2015 tiene como suma de cifras 8 Esto es: 6x45 + 2x20 = 270+40 = 310 min o Luego 2015  8 Por lo tanto la respuesta es 2016 ya que tiene como suma de cifras a 9 Además: 310 min es: 5 horas y 10min Luego Salgo a 8:00 +5h y 10min 01: 10 pm o 2016 = 9 CLAVE E Página 3 CLAVE E Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  4. 4. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 5. Dos equipos de futbol, a modo de entrenamiento, pactan a jugar 8 partidos durante el verano. En cada partido, el equipo ganador recibe 3 puntos y el perdedor 0 punto. En caso de empate cada equipo recibe 1 punto. Luego de los 8 partidos los dos equipos suman 22 puntos, ¿Cuántos partidos terminaron en empate? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 6. En un salón de clase, el 70% aprobó matemáticas, el 80% aprobó comunicación y el 60% aprobó ambos cursos. ¿Qué porcentaje no aprobó ninguno de los dos cursos? A. 10% B. 20% D. 40% E. 50% RESOLUCIÓN: RESOLUCIÓN: Consideremos al total de alumnos como el 100%, y como son dos cursos, eso nos da la idea de usar conjuntos. Llamemos a los equipos A y B, Si el equipo A gana “X” veces, entonces el equipo B pierde “X” veces Si el equipo A pierde “Y” veces, entonces el equipo B gana “Y” veces, entonces los partidos empatados sera 8 –(X+Y) C. 30% Mat. 70% 10% Com. 80% 60% 20% Se puede hacer una tabla de puntajes Gana Pierde Empata A X Y 8-(X+Y) B Y X 8-(X+Y) PTS 3(X+Y) 0 16-2(X+Y) Del gráfico podemos observar que en los conjuntos hay un total de 90%, entonces el 10% faltante está fuera de ellos (NO APROBÓ LOS CURSOS) Sumando los puntos de ambos equipos tenemos 16+(X+Y) y esto por dato del problema es 22, entonces: 16+(X+Y) = 22 (X+Y) = 6 (Entre ganados y perdidos) y como se han jugado 8 partidos, entonces empatan 2 Página 4 CLAVE A Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO CLAVE B Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  5. 5. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 7. Los números de tres dígitos a7b , b8a y 9ac tienen suma 2012. Calcula el valor de b. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 RESOLUCIÓN: Al sumar en forma vertical tenemos: a7b + 8. Considere todos los números naturales que usan exclusivamente los dígitos 0, 1, y 2 estos números son ordenados de menor a mayor para formar una lista infinita: 1, 2, 10, 11, 12,…, 2010, 2011, 2012, a, b, c, d,… Calcula el valor de d – a. A. 81 b8a 9ac B. 88 C. 80 D. 89 E. 82 RESOLUCIÓN: 2012 En las unidades tenemos que: a + b + c =…2 Ahora podemos pensar que es 2 ,12 o 22 Después del continua 2020, 2022, 2100, …. Ahora lo que puedo llevar en la columna de las decenas es 2 , 1 o bien nada. Con esto se puede deducir en la columna de las decenas que “a” puede ser … 4 , 5 ó 6 2012 2021, Entonces a = 2020 d = 2100 d – a = 2100 -2020 d – a = 80 Si a + b + c=2 Entonces a= 6 (IMPOSIBLE) Si a + b + c= 12 Entonces a= 5 y b + c=7 y llevaría 2 en las decenas y tendría que a + b = 9 por lo que b = 4 CLAVE C Página 5 Si a + b + c = 22, entonces a = 4 y b + c = 18 , por lo que b= 9 y c= 9 ,además en la columna de las centenas tendría que a + b = 9 y como a=4 entonces b= 5 (que contradice lo anterior) Por lo tanto b = 4 Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO CLAVE B Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  6. 6. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 9. Los números del 1 al 8 deben ser ubicados en los círculos (uno numero en cada circulo) de tal forma que la suma de los números de tres círculos alineados sea siempre 14. ¿Cuál es el número que debe ser ubicado en el círculo que está marcado con una X? 10. ¿Cuántos días martes, como máximo, puede haber en 60 días consecutivos? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 RESOLUCIÓN: X Podemos encontrar la máxima cantidad de martes, cuando dicho mes empieza en este día 7 A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8 RESOLUCIÓN: Como la suma en la cada línea de 3 círculos es 14 y al observar la figura nos damos cuenta que el 7 está al centro de tres líneas. Entonces los extremos del 7, tienen que sumar 7, por lo que en ningún extremo se encontrará el 8 Y el único lugar para el 8 es donde se encuentra la X. D L 6 13 20 27 3 10 17 24 7 14 21 28 4 11 18 25 M 1 8 15 22 29 5 12 19 26 X 2 9 16 23 30 6 13 20 27 J 3 10 17 24 31 7 14 21 28 V 4 11 18 25 1 8 15 22 29 S 5 12 19 26 2 9 16 23 30 8 1 Y en este año lo podemos encontrar en los meses de MAYO y JUNIO 4 X=8 5 2 7 6 Página 6 3 Por lo tanto podemos encontrar como máximo 9 martes en 60 días consecutivos Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO CLAVE C CLAVE E Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  7. 7. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 11. José debe comprar alfajores para 5 personas, dándole a cada uno la misma cantidad de alfajores. En la panadería solo venden alfajores en cajas de 2 ó 7 unidades. ¿Cuántas cajas debe comprar José como mínimo? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. Halla el mayor entero positivo “ n ” para el cual se n cumple que 3 es un divisor del número 112266. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 E. 5 RESOLUCIÓN: Empezaremos a resolver este problema descomponiendo el número 112266: 11x10000 + 22x100 +66 6 11(10206) = 11x2x3 x7 Se compra alfajores para 5 personas y a cada uno se da por igual cantidad, esto quiere decir que se comprará una cantidad múltiplo de 5 Se “X” la cantidad de cajas de 2 alfajores y sea “Y” la cantidad de cajas de 7 alfajores. Luego tendremos: Como podemos apreciar el máximo valor de “n” es 6 0 2X + 7Y = 5 Luego: 0 0 2X + (2+ 5 ) Y = 5 0 2X + 2Y = 5 0 2(X + Y) = 5 CLAVE D 0 X+Y= 5 El mínimo es: X + Y = 5 Página 7 Por ejemplo puedo comprar 3 cajas de 2 alfajores cada uno y 2 cajas de 7 alfajores cada uno y tendría: 3x2 + 2x7 = 6 +14 = 20 alfajores Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO CLAVE E Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  8. 8. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 13. Sea N un número de cuatro dígitos tal que sus cuatro son distintos. Al multiplicar N por 9 se obtiene un número de 4 dígitos, que tiene los mismos dígitos de N pero en orden inverso. Calcula la suma de los cuadrados de los dígitos de N . A. 112 B. 130 C. 132 D. 146 2 3 14. Sean a, b, c dígitos tales que ba = cb . Calcula el valor de a + b + c. A. 11 B. 12 C. 15 D. 18 E. 19 RESOLUCIÓN: E. 227 RESOLUCIÓN: De la condición del problema se puede observar que ba  3 cb , esto nos quiere decir que cb es un cuadrado perfecto Sea abcd el número. Luego según el problema: 9 x abcd = abcd x 9 dcba dcba Se deduce que “a” debe ser 1, ya que si fuera otro valor el resultado ya no sería de 4 cifras cb cb 16 25 36 49 64 81 4 5 6 7 8 9 cb 64 125 216 343 512 729 3 1bc9 x Como a =1  d = 9 y b= 0 ó 1, entonces: 9cb1 C .9 + 8 =…b Además Si b= 1 Se tendría que C=7 ¡NO cumple con los datos! 9 Del cuadro anterior podemos ver que el único valor que cumple las condiciones es cuando cb =16, por lo que ba =64, luego: a + b + c = 4 + 6 + 1 = 11 Si b=0, entonces: Se tendría en C .9 + 8 =…b que: C=8 CLAVE A ¡Cumple con todos los datos! Página 8 Luego el número N es: 1089 y la suma del cuadrado de 2 2 2 2 sus cifras será: 1 +0 +8 +9 = 146 Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO CLAVE D Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  9. 9. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 15. En un concurso de matemática están participando algunos colegios con una delegación de 3 alumnos por cada colegio. Todos los alumnos participantes hicieron una cola para recoger sus credenciales. Sandra, Raúl y Tomas son alumnos del mismo colegio. Cuando todos los alumnos estaban en la cola, Sandra se dio cuenta que adelante de ella había la misma cantidad de alumnos que había detrás de ella, además, Raúl y Tomas estaban algunos lugares más atrás que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomas en el lugar 28. ¿En que lugar estaba Sandra? A. 14 B. 17 C. 15 D. 18 “n” alumnos … 19º … 28º A. S/.5, 00 D. S/. 6, 00 B. S/. 5, 40 E. S/. 7, 20 C. S/. 5, 80 RESOLUCIÓN: Sea “X” la cantidad de latas de COCOA. Sea “m” el precio de cada lata de COCOA. E. 16 RESOLUCIÓN: ... 16. Una lata de café cuesta S/. 10 y se vende a S/. 14, es decir, ganando el 40% (sobre el precio de costo). En cambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20%. Si la cantidad de latas de café vendidas es el doble de las de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del 36%, ¿a cuánto se vendió cada lata de cocoa? … “n” alumnos Partimos de que la cantidad de alumnos en la fila es múltiplo de 3. Si Sandra está más adelante que Raúl (que esta en 19º puesto), entonces ella podría estar en el puesto 18 y delante de ella habría 17 alumnos y detrás de ella también (cosa que es imposible) ya que en la fija habría 35 alumnos (que no es múltiplo de 3) En CAFÉ: El precio de compra es 20X y se gana 4. (2X) En COCOA: El precio de compra es mX y se gana 20%m.X Luego: 8X +20% m X =36% (20X +m X ) 8+20% m =36% (20+m ) 800+20m =36(20+m ) Si Sandra estaría en el puesto 17, entonces la cantidad de alumnos en la fila seria 33 (si es posible), Si estaría en el puesto 16, entonces la cantidad de alumnos en la fila seria 31 (NO es posible), Si estaría en el puesto 15, entonces la cantidad de alumnos en la fila seria 29 (NO es posible) y si estaría en el puesto 14, o antes No sería posible ya que se tendría una cantidad de alumnos que es menor que 28 (que es el CLAVE B lugar que se encuentra TOMAS). 800+20m =720+36m 80=16m S /.5 =m Por lo tanto cada lata de lata de COCOA Se vende en 5 + 20%5 = S/.6 Página 9 CLAVE D Sandra esta el puesto 17 Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  10. 10. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 17. En clase de matemática, el profesor a pedido a sus alumnos que encuentran n números enteros cuya suma es 0 y cuyo producto sea n. Después de varios minutos algunos de sus alumnos dijeron lo siguiente:     Ana dice: Yo creo que no existe un número “n” con esas propiedades. Beatriz dice: Yo creo que si existe y que dicho numero es par. Carlos dice: Yo en cambio, creo que “n” debe ser impar. David dice: Yo creo que “n” puede ser par y que también puede ser impar. ¿Cuál de ellos tiene razón? A. Ana D. David B. Beatriz C. Carlos E. Ninguno tiene razón RESOLUCIÓN: Empecemos el análisis diciendo que si tengo una suma formada sólo por 1 y -1, estos se podrán anular siempre y cuando la cantidad de 1 sea igual a la cantidad de -1 Echemos un vistazo que pasaría si el “n” fuera una cantidad impar. Para que el producto de los números sea “n”, deben aparecer los factores de “n” (que puede ser PAR o IMPAR) y los 1 y -1. Si la cantidad de factores de “n” es PAR tendría que aparecer también una cantidad PAR de -1 para que lo anulen, pero como: #PAR + #PAR = #PAR Estarían faltando otra cantidad IMPAR formada por 1 y -1, pero estos no podrán anularse, ya que estos se anulan solo para cantidades pares. Si la cantidad de factores de “n” es IMPAR tendría que aparecer también una cantidad IMPAR de 1 para que lo anulen, pero como: #IMPAR + #IMPAR = #PAR Estarían faltando una cantidad IMPAR formada por 1 y -1, pero estos no podrán anularse ya que siempre se anulan de dos en dos Ahora un número impar se puede descomponer como el producto de una cantidad par de factores o una cantidad impar de factores. Ejemplo: 105 = 1 x 105 105 = 5 x 21 105 = 3 x 5 x 7 Con esto concluimos que “n” no puede ser IMPAR, pero si puede ser PAR, como por ejemplo. n=4 -1+1+2-2 =4 CLAVE B Página 10 Es decir la cantidad de 1 y -1 como grupos de dos elementos tiene que ser PAR: (1-1) + (1-1) + (1-1) +…. (1-1) =0 Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  11. 11. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 18. Andrés le dice a Raquel que él ha escrito en su cuaderno 5 enteros distintos y también le dice la suma de esos 5 números. Con esa información Raquel puede saber con seguridad que números escribió Andrés. ¿Cuántos valores puede tomar la suma de los números de Andrés? A. 1 B. 5 C. 2 D. 4 E. 3 ¿Y se podrá con 17? 1+2+3+4+7 = 17 1+2+3+5+6 =17 ¡NO, tiene que ser sólo de una forma, para que exista certeza! RESOLUCIÓN: Del problema puedo darme cuenta que cuando Andrés le dice la suma de los 5 números enteros, Raquel ESTÁ SEGURA de cuáles son los números. Esto quiere decir que NO existe otra posibilidad para los números cuando se conoce la suma. Pensemos ahora en los posibles números. Una estrategia seria empezar en los NUMEROS menores: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 No hay otra forma de expresar 15 como la suma de cinco números diferentes. Si la suma toma valores mayores que 16 se incrementa la cantidad de formas de expresarlo como la suma de cinco números. Ejemplo: 1+2+3+5+7 =18 1+2+3+4+8 =18 1+2+3+4+9 =19 1+2+3+5+8 =19 . . . Por lo tanto, sólo existen 2 formas de expresar la suma de estos cinco números y estar seguros de cuáles son los números. 11 Vamos si es posible expresar 16 como la suma de cinco números diferentes y que sea sólo de una forma. 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 Página CLAVE C Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  12. 12. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 19. Al sumar tres números de dos dígitos cada uno, se obtuvo como resultado un número de 3 dígitos, como se muestra a continuación: + Si los 9 dígitos empleados son diferentes y ninguno es igual a cero, determine el mayor valor que puede tomar el número de 3 dígitos y de cómo respuesta el producto de esos 3 dígitos. A. 12 B. 20 C. 24 D. 40 Hagamos algún intercambio de uno de los números de las decenas por uno de las unidades, pero siempre tratando de mantener el máximo valor del número de 3 cifras E. 50 RESOLUCIÓN: Pensemos en un primer intento que pasaría si las cifras de las decenas de los números de 2 cifras fueran máximas Es decir: 9 7 1 4 3 + De esta manera hemos podido acomodar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 + Y podemos decir que el resultado es el mayor, porque sólo se intercambio el menor número de las decenas. 8 7 2 5 8 2 6 9 Es decir: Bueno la suma es 243 y sólo puede ser 243, para que sea máximo. 5 Por lo tanto el producto de los dígitos del número de tres cifras es: 2 x 4 x 3 =24 En el caso anterior no sería posible acomodar al CLAVE C 1, 3, 4 y 6 Página 12 en las unidades Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361
  13. 13. SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I 20. ¿De cuantas formas se pueden ordenar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en una fila de tal forma que los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, aparezca en ese orden pero en cambio, los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 no aparezcan en ese orden? Entonces la cantidad total formas de elegir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de los 9 que hay es: 36 x 2! = 72 Ejemplo: Una forma de ordenar los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de tal forma que se cumplan las condiciones requeridas es 129384567. A. 63 B. 56 C. 64 D. 55 E. 72 RESOLUCIÓN: Que los números aparezcan en el orden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, no quiere decir que aparezcan en forma consecutiva Ahora a esta cantidad hay que quitarle todos los que estarán en este orden: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ya que estos grupos estarán incluidos en el grupo anterior y de manera similar procedemos hallarlo. --------Primero escogeremos 7 casilleros de los 9 que hay para los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de tal manera que mantengan ese orden Para ello utilizamos una técnica de conteo “LA COMBINACION”, esto nos permitirá saber la cantidad de GRUPOS de: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 9 C7  9 C8  9! =9 8!.1! Y por cada grupo formado el que queda no tendrá opción a cambiar de lugar. Finalmente restamos las dos cantidades halladas: 72 – 9 = 63 9! = 36 7!.2! CLAVE A Página 13 Y las otras dos casillas restantes pueden cambiar de lugar 2! Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: uni451@msn.com RPC: 993074361

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