Programacion lineal entera

PROGRAMACIÓN LINEAL
ENTERA
FCC BUAP
Luis Alfredo Moctezuma
5/24/2016 1Programación lineal entera

Introducción
• PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA
– Ramificación y acotamiento
– Método de plano de corte
5/24/2016 Programación lineal entera 2

Introducción
• Algunas o todas las variables están restringidas a tener
valores enteros (o discretos)
– Personas necesarias para realizar una tarea
• No existe un programa de cómputo para programas
lineales enteros que pueda resolverlos en forma
consistente
O(2n)

Introducción
• Problema lineal entero
– Puro
• Todas las variables son enteras
– Mixto
• No todas las variables son enteras

ALGORITMOS DE PROGRAMACIÓN
ENTERA
• En la estrategia de esos algoritmos intervienen tres
pasos
1. Relajar el espacio de soluciones del programa lineal
entero omitiendo la restricción entera en todas las
variables enteras, y sustituyéndola con cualquier
variable binaria y que tenga el intervalo continuo 0 ...
y ... 1

ALGORITMOS DE PROGRAMACIÓN
ENTERA,~
2. Resolver el programa lineal e identificar su óptimo
continuo
3. Iniciar en el punto óptimo continuo e ir agregando
restricciones especiales que modifiquen en forma
iterativa el espacio de soluciones del programa lineal,
en una forma que al final produzca un punto extremo
que satisfaga los requisitos enteros
1. Método de ramificación y acotamiento
2. Método del plano cortante

Algoritmo de ramificación y
acotamiento(B&B)
• Detecta en qué ramificación, las soluciones dadas ya no
están siendo óptimas, para podar esa rama del árbol y
no continuar malgastando recursos y procesos

acotamiento, ejemplo
Maximizar z = 5x1 + 4x2
Sujeto a x1+x2 ≤ 5
10x1+6x2 ≤ 45
x1,x2 enteros no negativos

acotamiento, ejemplo,~
• Los puntos de red de la
f i g u r a d e f i n e n e l
espacio de soluciones
del programa lineal
entero.
• E l p r o b l e m a l i n e a l
asociado, el “0”, se
define eliminando las
restricciones enteras.
Su solución óptima es:

• Como la solución óptima del programa lineal 0 no
satisface los requisitos enteros, el algoritmo de
ramificación y acotamiento modifica el espacio de
soluciones de tal manera que al final se identifica el
programa lineal entero óptimo
• Primero se selecciona una de las variables enteras,cuyo
valor óptimo en el programa 0 no sea entero

• Si se selecciona x1=3.75 en forma arbitraria, la región
3<x1<4 del espacio de soluciones del programa 0 no
contiene valores enteros de x1 y se puede eliminar
• Eso equivale a reemplazar el programa lineal 0 original
con dos nuevos programas lineales, el 1 y el 2 (PL1 y
PL2):
– Espacio de PL1 = Espacio de PL0 + (x1 ≤ 3)
– Espacio de PL2 = Espacio de PL0 + (x1 ≥ 4)
• x1 es la variable de ramificación

• Se deben examinar ambos subproblemas. En forma
arbitraria se examinará primero PL1,asociado con x1≤3
• Maximizar z = 5x1 + 4x2
x1 + x2 ≤ 5
10x1 + 6x2 ≤ 45
x1 ≤ 3
x1 , x2 ≥ 0

• Esta solución satisface los requisitos de ser entero para
x1 y x2 . Por consiguiente, se dice que PL1 está agotado.
No puede producir una solución mejor del programa
lineal entero
z* = 23 es una cota inferior

• Se examina el PL2.
– Como la z* es 23.75 en el programa 0 y sucede que todos los
coeficientes de la función objetivo son enteros, es imposible que
el PL2 produzca una mejor solución entera. En consecuencia se
descarta al PL2 y se llega a la conclusión que se ha agotado

acotamiento, resumen
• Suponiendo un problema de maximización, se establece una
cota inferior inicial z=-∞ del valor objetivo óptimo del
programa lineal entero. i=0
• Paso 1
– (Agotamiento/acotamiento). Se selecciona PLi, el siguiente
subproblema a examinar. Se resuelve PLi y se trata de
agotarlo, usando una de las tres siguientes condiciones.
• a) El valor de z óptimo del PLi no puede producir un
valor objetivo mejor que la cota inferior actual
• b) PLi produce una solución entera factible mejor, que
la cota inferior actual
• c) PLi no tiene solución factible

• Se presentarán dos casos:
a) Si PLi está agotado y se encuentra una solución mejor,
actualizar la cota inferior. Si todos los subproblemas se
han agotado, detenerse; el programa lineal entero óptimo
corresponde a la cota inferior actual, si la hay. En caso
contrario, i=i + 1 y repetir el paso 1.
b) Si PLi no está agotado, seguir en el paso 2, para
ramificar

• Paso 2. (Ramificación.) Seleccionar uno de los valores
enteros, xj , cuyo valor óptimo x*j en la solución del PLi
no sea entero. Eliminar la región
(en la que [v] define el mayor entero ≤ v) creando dos
subproblemas lineales que corresponden a
i =i +1 e ir al paso 1

Algoritmo de plano de corte
• Como en el algoritmo de B&B, el del plano cortante
también se inicia en la solución óptima del programa
lineal continuo
• Al espacio de soluciones se agregan restricciones
especiales, llamadas cortes, en una forma que produzca
un punto extremo entero
• Requisitos
– Los cortes agregados no deben eliminar alguno de los puntos
enteros factibles originales, pero deben pasar por al menos un
punto entero, factible o no factible

Algoritmo de plano de corte
• En el siguiente ejemplo se demostrará cómo se usan los
cortes en forma gráfica para producir una solución
entera y después implementar algebraicamente esta
idea

Algoritmo de plano de corte, ejemplo
• Max Z= 7x1 + 10x2
s.a -x1 + 3x2 ≤ 6
7x1 + x2 ≤ 35
x1,x2 ≥0 y enteras
Este algoritmo modifica el espacio de soluciones
agregando cortes que producen un punto extremo entero
óptimo

Algoritmo de plano de corte, ejemplo,~
• Se parte del óptimo del programa lineal continuo,
z= 66.5 x1=4.5 x2=3.5
• Se agrega el corte I, que produce la solución lineal
óptima continua, z=62 x1=4.57143 x2= 3

• Se agrega el corte II, que junto con el corte I y las
restricciones originales, llega al óptimo del programa
lineal, z= 58 x1=4 x2=3

• La cantidad de cortes es independiente del tamaño del
problema
– aunque finita, en el sentido que un problema con una cantidad
pequeña de variables y restricciones puede necesitar más cortes
que un problema mayor
• En este caso sólo fue casualidad que un problema con 2
variables necesitara de exactamente 2 cortes para llegar
a la solución entera óptima

• Resuelto algebraicamente

• Se sacan todos los coeficientes de la ecuación como
factor común, con un valor entero y un componente
fraccionario, siempre y cuando el componente
fraccionario que resulte sea estrictamente positivo

• Como x3 y x4 son no negativas, y todas las fracciones
originalmente son estrictamente positivas, el lado
derecho debe satisfacer la siguiente desigualdad:
• Ahora, como z + 2x3+ 1x4 - 66, el lado izquierdo, por
construcción tiene valor entero, el lado derecho, tambien
debe ser entero
– Es el corte que se desea, y representa una condición necesaria para obtener una solución
entera
– También se le llama corte fraccionario, porque todos sus coeficientes son fracciones

• Cómo se pueden obtener los cortes de las ecuaciones
de restricción
• Corte asociado

• Si en forma arbitraria se selecciona el corte generado a
partir del renglón x2, se puede escribir como sigue, en
forma de ecuación:
– La tabla es óptima, pero no factible. Aplicar el método dual
símplex para recuperar la factibilidad

• La última solución todavía no es entera en x1 y x3. Se
selecciona a x1, en forma arbitraria, como el siguiente
renglón de fuente; esto es
• Corte asociado

• Con el método símplex dual se obtiene el siguiente
cuadro:

• La solución óptima es x1=4, x2=3 z=58
– Todas las variables básicas son enteras

Referencias
• Hamdy A. Taha. (2004). Investigación de operaciones.
México: Pearson.
•
• Código

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