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Limites de tolerancia

Límites de tolerancia, estimación de la diferencia entre
dos medias y observaciones pareadas

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Limites de tolerancia

  1. 1. LÍMITES DE TOLERANCIA FCC BUAP Luis Alfredo Moctezuma 5/14/2016 1Límites de tolerancia
  2. 2. Introducción • En algunos casos, el interés se centra en saber donde cae la mayoría de los valores de la población • Esto es útil para conocer el desempeño a largo plazo, no en la siguiente observación 5/14/2016 Límites de tolerancia 2
  3. 3. Introducción Permite realizar afirmaciones acerca de la población de la cual proviene tu muestra • Límite bilateral “Yo tengo _____% confianza de que _____% porciento de la población de la cual provienen mis datos se encuentra entre _____ y _____.” • Límite unilateral “Tengo _____% confianza de que _____% por ciento de la población de la cual provienen mis datos se encuentra en o debajo de _____.” 5/14/2016 Límites de tolerancia 3
  4. 4. Diferencia entre límites de confianza, predicción y de tolerancia • El intervalo de confianza se usa cuando se está interesado en la media de la población – Se necesita estimar la media de la población y el intervalo de confianza produce los límites apropiados 5/14/2016 Límites de tolerancia 4
  5. 5. Diferencia entre límites de confianza, predicción y de tolerancia • El intervalo de predicción se aplica cuando es importante determinar un límite para un solo valor – Ni la media ni la ubicación de la mayoría de la población son la cuestión clave, sólo se requiere la ubicación de una sola nueva observación – A partir de una muestra de 50 créditos hipotecarios, calcule un intervalo de predicción del 95% para la cantidad del crédito del siguiente cliente 5/14/2016 Límites de tolerancia 5
  6. 6. Diferencia entre límites de confianza, predicción y de tolerancia • El intervalo de tolerancia está enfocado en dónde cae la mayoría de las observaciones individuales – ¿Dónde estará la mayor parte de los valores de la población? 5/14/2016 Límites de tolerancia 6
  7. 7. Límites de tolerancia Al visualizar un muestreo aleatorio de una distribución normal con media conocida µ y varianza σ2; un límite que cubre el 95% de la población de observaciones es µ ± 1.96σ • Lo anterior denota un intervalo de tolerancia 5/14/2016 Límites de tolerancia 7
  8. 8. Límites de tolerancia • En la práctica µ y σ rara vez se conocen; se debe aplicar k se determina de modo que se pueda asegurar con una confianza de (1 – ƴ )100% que los límites dados contienen al menos la proporción 1–α de las mediciones La tabla de factores de tolerancia para distribuciones normales da valores de k para 1–α= 0.9,0.95,0.99; ƴ=0.05,0.01 5/14/2016 Límites de tolerancia 8
  9. 9. Límites de tolerancia, ejemplo • Un inspector de alimentos seleccionó aleatoriamente 30 paquetes de carne de res 95% magra. • La muestra dio como resultado una media de 96.2% con una desviación estándar muestral de 0.8% 5/14/2016 Límites de tolerancia 9
  10. 10. Límites de tolerancia, ejemplo,~ • Calcular un intervalo de tolerancia que proporcione límites bilaterales del 95% sobre el 90% de la distribución de paquetes de carne 95% magra • n=30 Ẍ=96.2 s= 0.8 • De la tabla se obtiene con n=30, 1-α=0.9, ƴ=0.05 k=2.14 • Ẍ ± ks = 96.2 ± (2.14)(0.8) – Limite inferior 96.2 -(2.14)(0.8) = 94.48 – Limite superior 96.2 +(2.14)(0.8)= 97.91 5/14/2016 Límites de tolerancia 10
  11. 11. Límites de tolerancia, ejemplo,~ • Intervalo de tolerancia con límites bilaterales del 95% sobre el 90% de la distribución de paquetes de carne 95% magra 5/14/2016 Límites de tolerancia 11 94.48 97.91
  12. 12. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras 5/14/2016 Límites de tolerancia 12
  13. 13. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras • Comparar el rendimiento promedio de dos tipos de motor A y B 5/14/2016 Límites de tolerancia 13
  14. 14. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras • Si se tienen dos poblaciones con medias μ1 y μ2, y varianzas σ1 2 y σ2 2, el estadístico que da un estimador puntual de la diferencia entre μ1 y μ2 es Ẍ1−Ẍ2 • Se seleccionan dos muestras aleatorias independientes, una de cada población, de tamaños n1 y n2 5/14/2016 Límites de tolerancia 14
  15. 15. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,~ • La estimación de la diferencia de dos medias de dos poblaciones μ1 – μ2, se hace por medio del teorema del límite central, se puede asegurar, con una probabilidad de 1 – α, que la variable normal estándar Z, caerá entre –Zα/2 y Zα/2 5/14/2016 Límites de tolerancia 15
  16. 16. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,~ • Al sustituir para Z, establecemos de manera equivalente que: • Que conduce al siguiente intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μ1 – μ2 5/14/2016 Límites de tolerancia 16
  17. 17. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,~ 5/14/2016 Límites de tolerancia 17
  18. 18. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,ejemplo1 • Se llevó a cabo un experimento donde se compararon dos tipos de motores A y el B. Se midió el rendimiento de combustible en millas por galón. Para el motor tipo A se realizaron 50 experimentos y 75 con el motor tipo B. La gasolina utilizada y las demás condiciones se mantuvieron constantes • El rendimiento promedio de gasolina para el motor A fue de 36 millas por galón y el promedio para el motor B fue de 42 millas por galón • Suponga que las desviaciones estándar de la población son 6 y 8 para los motores A y B, respectivamente 5/14/2016 Límites de tolerancia 18
  19. 19. Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,ejemplo1 • Calcule un intervalo de confianza del 96% sobre μB–μA, donde μA y μB corresponden a la media de la población del rendimiento de millas por galón para los motores A y B, respectivamente • La estimación puntual de μB – μA es ẌB-ẌA = 42 - 36= 6 • Con α = 0.04, obtenemos z0.02 = 2.05. El intervalo de confianza del 96% es 3.43 < μB – μA < 8.57 5/14/2016 Límites de tolerancia 19
  20. 20. Estimación de la diferencia entre dos medias,~ • Varianzas desconocidas pero iguales Si σ1 2 = σ2 2 = σ2 5/14/2016 Límites de tolerancia 20
  21. 21. Estimación de la diferencia entre dos medias,~ Estimado agrupado de la varianza Se puede obtener una estimación puntual de la varianza común desconocida σ2 agrupando las varianzas muestrales. Si se representa con Sp 2 al estimador agrupado, obtenemos lo siguiente 5/14/2016 Límites de tolerancia 21
  22. 22. Estimación de la diferencia entre dos medias,~ • Si Ẍ1 y Ẍ2 son las medias de muestras aleatorias independientes con tamaños n1 y n2 respectivamente, tomadas de poblaciones más o menos normales con varianzas iguales pero desconocidas, un intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μ1–μ2 es dado por – Donde Sp es la estimación agrupada de la desviación estándar de la población y tα/2 es el valor t con v = n1 + n2 – 2 grados de libertad, que deja una área de α/2 a la derecha 5/14/2016 Límites de tolerancia 22
  23. 23. Estimación de la diferencia entre dos medias,~ Consideraciones – Cuando σ1 = σ2 = σ pero ésta se desconoce, requiere suponer que las poblaciones son normales – Si las varianzas de la población son considerablemente diferentes, aún obtenemos resultados razonables cuando las poblaciones son normales, siempre y cuando n1 = n2 5/14/2016 Límites de tolerancia 23
  24. 24. Estimación de la diferencia entre dos medias,~ Varianzas desconocidas y distintas • Al calcular el estimado de un intervalo de μ1–μ2 cuando no es probable que las varianzas de la población desconocidas sean iguales tiene aproximadamente una distribución t con v grados de libertad V se redondea al entero menor más cercano El estimado de los grados de libertad se denomina aproximación de Satterthwaite 5/14/2016 Límites de tolerancia 24
  25. 25. Estimación de la diferencia entre dos medias,~ • Intervalo con el estadístico T' donde tα/2 es el valor de la distribución t con v grados de libertad 5/14/2016 Límites de tolerancia 25
  26. 26. Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2 • El Departamento de zoología de una universidad llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes de un rio. • Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2 5/14/2016 Límites de tolerancia 26
  27. 27. Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2 – Las 15 muestras de la estación 1 tuvieron un contenido promedio de 3.84 mg/L y una desviación estándar de 3.07 mg/L – Las 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 mg/L y una desviación estándar de 0.80 mg/L 5/14/2016 Límites de tolerancia 27
  28. 28. Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2 • Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en el contenido promedio verdadero de ortofósforo en estas dos estaciones. Suponga que las observaciones provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes • Para la estación 1: Ẍ1=3.84, s1=3.07 y n1 = 15 • Para la estación 2: Ẍ2=1.49, s2=0.80 y n2 = 12 Se busca un intervalo de confianza del 95% para μ1 – μ2 5/14/2016 Límites de tolerancia 28
  29. 29. Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2 • Grados de libertad 5/14/2016 Límites de tolerancia 29
  30. 30. Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2 • Intervalo – Intervalo de confianza del 95% – α=0.05 de la tabla A.4(distribución t ) t0.025=2.120 0.599< µ1-µ2< 4.100 5/14/2016 Límites de tolerancia 30
  31. 31. Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2 • Se tiene un 95% de confianza de que el intervalo de 0.60 a 4.10 miligramos por litro contiene la diferencia del promedio verdadero del ortofósforo que contienen estos dos lugares 5/14/2016 Límites de tolerancia 31
  32. 32. Observaciones pareadas 5/14/2016 Límites de tolerancia 32
  33. 33. Observaciones pareadas • Procedimiento de estimación para la diferencia de dos medias – cuando las muestras no son independientes y las varianzas de las dos poblaciones no son necesariamente iguales – La intención al parear es reducir σD 5/14/2016 Límites de tolerancia 33
  34. 34. Observaciones pareadas • Al realizar una prueba de una nueva dieta con 15 individuos, los pesos antes y después de seguir la dieta conforman la información de las dos muestras • Las dos poblaciones son “antes” y “después”, y la unidad experimental es el individuo • Para determinar si la dieta es efectiva consideramos las diferencias d1, d2,..., dn en las observaciones pareadas 5/14/2016 Límites de tolerancia 34
  35. 35. Observaciones pareadas • Estas diferencias son los valores de una muestra aleatoria D1, D2,..., Dn de una población de diferencias, que supondremos distribuidas normalmente, con media μD = μ1 – μ2 y varianza σD 2 – Se estima σD 2 mediante sd 2 , la varianza de las diferencias que constituyen nuestra muestra • La i-ésima diferencia del par es: 5/14/2016 Límites de tolerancia 35
  36. 36. Observaciones pareadas • Elegir n pares de sujetos, donde cada par tenga una característica similar, como el coeficiente intelectual (CI), la edad o la raza • Luego para cada par seleccionar un miembro al azar para obtener un valor de X1, el otro miembro proporciona el valor de X2 opcional 5/14/2016 Límites de tolerancia 36
  37. 37. Observaciones pareadas • X1 y X2 podrían representar las calificaciones obtenidas por dos individuos con igual CI – Individuo uno es asignado al azar a un grupo que usa el método de enseñanza convencional – Individuo dos es asignado al azar a un grupo que utiliza materiales programados opcional 5/14/2016 Límites de tolerancia 37
  38. 38. Observaciones pareadas • Se puede establecer un intervalo de confianza del 100(1–α)% para μD escribiendo • Donde, t es un valor de la distribución t con n – 1 grados de libertad 5/14/2016 Límites de tolerancia 38
  39. 39. Observaciones pareadas • Si y sd son la media y la desviación estándar, respectivamente, de las diferencias distribuidas normalmente de n pares aleatorios de mediciones, un intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μD=μ1–μ2 es • Donde tα/2 es el valor t con v = n – 1 grados de libertad, que deja una área de α/2 a la derecha 5/14/2016 Límites de tolerancia 39
  40. 40. Observaciones pareadas, ejemplo • Un estudio reporta los niveles de la dioxina TCDD en 20 veteranos de Vietnam, quienes posiblemente estuvieron expuestos al agente naranja. En la tabla se presentan los niveles de tcdd en plasma y tejido adiposo 5/14/2016 Límites de tolerancia 40
  41. 41. Observaciones pareadas, ejemplo • Calcule un intervalo de confianza del 95% para μ1 – μ2, donde μ1 y μ2 representen las medias verdaderas de los niveles de TCDD en plasma y en tejido adiposo, respectivamente. • Suponga que la distribución de las diferencias es casi normal 5/14/2016 Límites de tolerancia 41
  42. 42. Observaciones pareadas, ejemplo • Como las observaciones están pareadas, μ1 – μ2 = μD • La estimación puntual de μD es = – 0.87. La desviación estándar sd de las diferencias muestrales es 5/14/2016 Límites de tolerancia 42
  43. 43. Observaciones pareadas, ejemplo • Con α = 0.05, en la tabla A.4 t0.025 = 2.093 v =n–1= 19 grados de libertad Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% es –2.2634 < μD < 0.5234 No hay diferencia significativa entre el nivel medio de TCDD en plasma y el nivel medio de TCDD en tejido adiposo 5/14/2016 Límites de tolerancia 43
  44. 44. Referencias • Walpole,Myers.Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias: Pearson • Editor de formulas: www.mathway.com • Notación Ẍ= media muestral 5/14/2016 Límites de tolerancia 44

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