Ecuaciones diferenciales homogeneas

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Describe brevemente los pasos para resolver ecuaciones diferenciales homogeneas

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  • Muy interesante como resuelve ecuaciones, pero conozco un sitio wed, donde resuelven los ejercicios no solo de ecuaciones, también otros ejercicios se lo recomiendo se llama profecasa.com
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Ecuaciones diferenciales homogeneas

  1. 1. Curso:<br />Ecuaciones Diferenciales<br />Nombre del maestro:<br />César Octavio Martínez Padilla<br />Tema:<br />Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)<br />Autor:<br />Luis Angel León González<br />Registro:<br />10310209<br />Salón:<br />B: 212<br />25 de Febrero de 2011<br />
  2. 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas (E.D.H.)<br />Si la ecuación diferencial está escrita en la forma:<br />M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 //forma ordinaria<br />sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes M(x,y)y N(x,y) <br />son funciones homogéneas del mismo grado. <br />
  3. 3. Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea<br />1.Por Inspección<br />M(tx,ty) <br />N(tx,ty) <br />tnf(x,y) // n = grado del exponente<br />
  4. 4. Ejemplo (por inspección)<br />f(x,y) = (x3y – x2y2)/(x + 8y)//ecuacion original<br /> = [(tx)3ty – (tx)2(ty)2]/(tx + 8ty) //multiplicamos cada termino por ‘t’<br /> = (t3x3ty – t2x2t2y2)/(tx + 8ty) //eliminamos paréntesis<br /> = (t4x3y – t4 x2y2)/(tx + 8ty) //simplificamos un poco<br /> = (t4 (x3y – x2y2))/((t(x + 8y)) //se factoriza ‘t’ en ambos lados<br /> = t 3 ((x3y – x2y2)/(x + 8y)) // al dividir t4/t queda t3<br />//indica el grado de la ecuacion homogénea<br /> //este es el primer paso (saber el grado de la ecuacion homogénea)<br />
  5. 5. Forma de sacar el grado de la ecuación homogénea<br />2. Suma de los exponentes de c/literal o de c/término <br />Ejemplo:<br /> f(x,y) = 6x2y1 + 5y3 <br />3° 3°<br />//aquí podemos ver que la ecuación es homogénea, por tener el mismo grado en ambos términos<br />
  6. 6. Elementos claves para las E.D.H. (cambio de variables)<br />1. y = uxdy = udx + xdu<br />2. x = uydx = udy + ydu<br />3. u = x + y y = u –x<br />dy = du - dx<br />
  7. 7. Ejemplo<br />Resuelve la E.D. por homogéneas<br />(x2 + xy + 3y2)dx – (x2 + 2xy)dy = 0 //ecuacion original<br /> M(x2 + xy + 3y2) 2° //verificamos que fuera homogénea<br /> N(x2 + 2xy)2°//por el método de suma de exponentes de cada término<br />
  8. 8. //resolviendo paréntesis<br />(x2 + x2u + 3u2x2)dx – [x2 + 2x2u][udx + xdu]<br />//se factoriza x2 en ambos lados para poder eliminarla<br />x2 (1 + u + 3u2)dx – x2(1 + 2u)(udx + xdu) = 0<br />//quitando paréntesis<br />dx + udx + 3u2dx – udx – xdu – 2u2dx – 2xudu = 0<br />//agrupamos términos semejantes<br />dx + u2dx – xdu – 2xudu = 0<br />//factorizamos “dx” y “xdu”<br />(1 + u2)dx – (1 + 2u)xdu = 0<br />//despejando<br />(1 + u2)dx = (1 + 2u)xdu<br />//reacomodando<br />dx/x = (du + 2udu)/(1 + u2)<br />Simplificación para separar variables<br />
  9. 9. Solución:<br />//usando el primer elemento clave, sustituimos ‘y’ por ‘ux’.<br />[x2 + x(ux) + 3(ux)2]dx – [x2 + 2x(ux)][udx + xdu] = 0 <br />//separamos variables y resolvemos por ese método<br /> (dx/x) - du/(1 + u2) + (2udu)/(1 + u2) = 0<br />//resolvemos las integrales<br />ln x – arctg u – ln |1 + u2| = cte<br />//sustituimos el valor de ‘u’ (u = y/x) para dar el resultado<br />ln x – arctg (y/x) – ln |1 + y2/x2) = cte<br />

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