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Apostila estatica

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Apostila estatica

  1. 1. FÍSICA FUNDAMENTAL PARA ENGENHARIA ESTÁTICA Prof. Luciano Galdino
  2. 2. SUMÁRIO Cálculo vetorial para aplicação em estática.................................................................. 02 Decomposição de vetores......................................................................................................... 03 Soma vetorial................................................................................................................................. 06 Força ................................................................................................................................................. 10 Força resultante........................................................................................................................... 10 Leis de Newton ............................................................................................................................. 12 Tipos de Força .............................................................................................................................. 13 Equilíbrio ........................................................................................................................................ 20 Equilíbrio de um ponto material......................................................................................... 20 Equilíbrio de um corpo extenso........................................................................................... 27 Momento de uma força............................................................................................................ 28 Condições de equilíbrio de um corpo extenso.............................................................. 30
  3. 3. 2 Cálculo Vetorial para aplicação em Estática Em Física, as grandezas podem ser classificadas de duas formas: grandezas vetoriais e grandezas escalares. As grandezas vetoriais requerem um valor numérico absoluto (módulo) acompanhado de sua orientação (direção e sentido) e obedecem as definições matemáticas dos vetores. A direção indica se o vetor está orientado horizontalmente, verticalmente ou inclinado com um ângulo a partir de uma referência. Já o sentido especifica um pouco mais, isto é, determina se o vetor está para a direita, para esquerda, para baixo ou para cima. Também são utilizados como referência os pontos cardeais (norte, sul, leste, oeste, nordeste, sudeste, noroeste e sudeste). Exemplos: 1) Corpo em queda livre com velocidade de 10 m/s 2) Carro se deslocando com velocidade de 20 m/s 3) Força de 50 N sendo aplicada numa caixa. As grandezas que não tem necessidade de especificar sua orientação são chamadas de grandezas escalares. Por exemplo, quando aplicamos uma força Módulo: 10 m/s Direção: vertical Sentido: de cima para baixo ou de norte para sul. Módulo: 20 m/s Direção: horizontal Sentido: da esquerda para direita ou de oeste para leste Módulo: 50 N Direção: inclinada à 30º da horizontal. Sentido: para cima à 30º da horizontal ou de sudoeste para nordeste.
  4. 4. 3 num corpo, essa força tem uma direção e um sentido, portanto força é uma grandeza vetorial, mas para grandeza tempo fica estranho especificarmos uma direção e um sentido, imagina falarmos 1h 30 min horizontalmente para a direita, fica muito esquisito, portanto, tempo é uma grandeza escalar, pois não é necessário indicar a direção e sentido. A representação de uma grandeza vetorial é realizada através de uma “flecha” em cima da letra que indica essa grandeza. Por exemplo: ⃗ = vetor força. ⃗ = vetor velocidade. O quadro 1 indica a classificação de algumas grandezas físicas, isto é, se as grandezas são vetoriais ou escalares. Grandeza vetorial Grandeza escalar Força ( ⃗) Tempo (t) Velocidade ( ⃗) Potência (P) Aceleração ( ⃗) Energia (E) Torque ( ⃗⃗⃗ ) Frequência (f) Pressão ( ⃗) Rotação (n) Quadro 1: classificação de algumas grandezas físicas. Decomposição de vetores Em Física, o movimento ou a tendência de um movimento de um corpo normalmente são representados com referência aos eixos x (horizontal) e y (vertical). Como as grandezas vetoriais em Física estão sempre relacionadas a um movimento ou a uma tendência de um movimento, quando um vetor encontra-se inclinado é muito importante calcularmos as suas componentes (os seus valores) nos eixos x e y. Esse cálculo é chamado de decomposição vetorial. Na figura a seguir, observa-se um vetor força e suas componentes x e y.
  5. 5. 4 Existem algumas relações matemáticas entre esses vetores, sendo que essas relações são obtidas do triângulo retângulo formado no plano cartesiano: Pelo Teorema de Pitágoras, temos: Utilizando as relações trigonométricas seno e cosseno, obtemos: Exemplos: 1) Um corpo é pendurado pelos cabos representados na figura a seguir. Determine as componentes x e y da força no cabo 1, sabendo que o módulo da força que atua nele é de 30 N.
  6. 6. 5 Resolução: Fazendo um plano cartesiano para o vetor F1, que está na direção do cabo 1 da figura, temos: 2) Uma caixa se desloca horizontalmente conforme figura a seguir. Sabendo que para vencer o atrito a componente x deve ser de 80 N no mínimo, determine a força (F) que deve ser aplicado na corda. Montando o plano cartesiano e destacando um triângulo retângulo, temos: 𝐹1𝑦 𝐹1 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐹1𝑦 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑜 𝑭 𝟏𝒚 𝟏𝟎 𝟐𝟔 𝑵 𝐹1𝑥 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐹1𝑥 3 𝑐𝑜𝑠2 𝑜 𝑭 𝟏𝒙 𝟐𝟖 𝟏𝟗 𝑵
  7. 7. 6 Soma vetorial Soma de vetores é diferente da soma algébrica que estamos acostumados, pois os vetores, além do módulo, possuem direção e sentido e essas características devem ser levadas em consideração. A forma mais simples de se somar vetores é através da representação geométrica dessa soma. A regra é bastante simples, basta juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e não importando a ordem. Após esse procedimento, cria-se um vetor do ponto final do último vetor associado ao ponto inicial do primeiro vetor associado. Esse vetor é o vetor soma. Nota-se que sempre será formado um polígono e por esse motivo o método de resolução é chamado de regra do polígono. Exemplos: 1) Determine geometricamente a soma dos vetores a, b e c que estão a seguir: Resolução: 1º passo: juntar os vetores mantendo suas direções e sentidos e em qualquer ordem.
  8. 8. 7 2º passo: Criar um vetor ligando o ponto final ao ponto inicial. Esse é o resultado da soma vetorial. Vetor soma 2) Somar os mesmos vetores, mas em ordem diferentes. Existe outro método geométrico, chamado de regra do paralelogramo, que é aplicado visando facilitar a resolução, mas ele só é utilizado quando a soma é realizada com dois vetores. A resolução é simples, basta juntar as origens dos dois vetores, traçar linhas paralelas a ele e ligar a intersecção da origem dos vetores à intersecção das linhas paralelas. Este segmento de reta é o vetor soma. Exemplo: Somar os vetores a e b da figura a seguir. 1º passo: unir os vetores pela origem. Vetor soma (ele é igual ao do primeiro exemplo, provando que a ordem da soma não interfere no resultado).
  9. 9. 8 2º passo: traçar linhas paralelas aos vetores. 3º passo: ligar a origem à intersecção das linhas paralelas. Observação: o método do paralelogramo é utilizado apenas na soma de dois vetores, já o método do polígono pode ser utilizado para qualquer quantidade de vetores. Exemplo 2: Resolver o exercício anterior pelo método do polígono. Percebe-se que o vetor soma é igual ao do exercício anterior.
  10. 10. 9 Vale ressaltar que quando os vetores estão numa mesma direção a soma vetorial é resolvida como uma soma ou uma subtração comum, se eles estiverem num mesmo sentido é só somar seus valores e se estiverem em sentidos opostos é só subtrair o maior do menor. Exemplo: Sendo |⃗⃗| 2 , |⃗⃗| 3 e |⃗| , determine o vetor soma nos casos a seguir: a) | ⃗| 2 3 Direção: horizontal; Sentido: da esquerda para direita b) Resolução: | ⃗| 2 3 3 Direção: horizontal; Sentido: da esquerda para direita Soma Vetor Soma
  11. 11. 10 Força Força é um agente físico que tende a proporcionar aceleração ou desaceleração no corpo que está sendo submetido a essa força. A força pode ser de contato ou de campo. Força de contato, como o próprio nome diz, tem que ocorrer um contato físico entre os corpos, já a de campo é quando a força age à distância (força gravitacional, elétrica, magnética...). A unidade de medida no sistema internacional de unidades de medidas (SI) de qualquer força é o newton (N) em homenagem ao grande físico Isaac Newton. Outras unidades de medida de força muito utilizadas são o quilograma força (kgf), a libra (lb) e a dina (dyn), e as suas relações com o newton são: 1N 0,102 kgf. 1N = 0,2248 lb 1N dyn. O quilograma força (kgf) é uma unidade muito utilizada na engenharia como unidade da grandeza força e é definido como o peso de um corpo de 1kg de massa sujeito a aceleração da gravidade média na superfície da Terra, a qual possui um valor aproximado de 9,8 m/s2 . Assim: 1kgf = 9,8 N. O Instrumento de medição utilizado para medir força é o dinamômetro. Força resultante É a soma vetorial dos vetores forças que estão atuando num sistema, isto é, seria uma força que, sozinha, produziria o mesmo efeito no sistema que todas as forças reunidas. Exemplos: a) 1
  12. 12. 11 b) 1 c) √ 1 d) √ 1 2 1 e) Quando temos mais de dois vetores, deve-se uni-los mantendo-se as suas direções e sentidos, sendo a soma (força resultante) a distância da origem do primeiro vetor à extremidade da seta do último vetor.
  13. 13. 12 Leis de Newton Em 1687 Isaac Newton publicou a sua grande obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) onde, entre outras coisas, estava o enunciado de suas três grandes leis sobre o movimento dos corpos. 1ª Lei - Inércia: Todo corpo tende a manter o seu estado inicial de movimento a não ser que uma força o obrigue a sair desse estado de movimento, isto é, um corpo que está em repouso em relação a um referencial continuará em repouso até uma força tirá-lo desse estado ou um corpo em movimento em relação a um referencial só poderá mudar o seu movimento se uma força agir sobre ele. Exemplos: 1. Freada de um veículo: quando um veículo freia o nosso corpo vai para frente, pois ele tende a continuar o seu estado inicial de movimento devido à inércia. 2. Aceleração de um veículo: quando um veículo acelera para sair da condição de repouso, sentimos nosso corpo indo para trás, pois ele tende a continuar no seu estado inicial que é o repouso. 2ª Lei - Princípio fundamental: a aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à força resultante e possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante, mas é inversamente proporcional à massa do corpo. Matematicamente pode-se escrever: ⃗⃗⃗⃗= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Assim: ⃗⃗⃗⃗⃗ = m. ⃗
  14. 14. 13 Exemplo: Uma caixa de 20kg é puxada por um cabo de aço com uma força de 200 N, conforme figura. Determine a aceleração adquirida, sabendo que a força de atrito é de 120 N. Resolução: 2 2 3ª Lei - Ação e Reação: A toda força de ação que age num corpo existe uma força de reação deste corpo de mesma intensidade, mesma direção, mas de sentido oposto. Esse par de forças (ação e reação) fica evidente quando uma mola fica submetida a uma força F, conforme figura a seguir: Quando se alonga ou comprime-se uma mola, ela reage com uma força de sentido oposto, denominado força elástica (Fel), tentando retornar à sua posição de repouso. Tipos de força A seguir serão apresentadas algumas forças que aparecem com muita frequência no estudo de estática. Força peso (W): É a força de atração gravitacional que um determinado corpo está submetido. Todo corpo que possui massa, automaticamente possui força peso, sendo ela diretamente proporcional a aceleração da gravidade local e 𝑎 𝐹𝑅 𝑚 𝑎 2 𝒂 𝟒 𝒎/𝒔 𝟐
  15. 15. 14 apontada no sentido do centro de massa do corpo celeste que o está atraindo, por exemplo, um corpo de massa m sujeito a força gravitacional da Terra terá um vetor força peso verticalmente para baixo (no sentido do centro da Terra) e proporcional à aceleração da gravidade terrestre local, conforme figura a seguir. A força resultante que age no corpo de massa m da figura é a força peso (W). Como a aceleração proporcionada é a aceleração da gravidade (g) e sabendo que a lei do princípio fundamental de Newton é dada por ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗, teremos: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ A aceleração da gravidade na superfície da Terra possui o valor médio de 9,8m/s2 , mas vale destacar que quanto mais distante do centro da Terra, menor o valor da aceleração da gravidade, sendo que esse valor começa a ficar difere de 9,8 m/ a grandes altitudes (a partir de 22 km). Alguns valores da aceleração da gravidade estão destacados na tabela 1, considerando o raio médio da Terra de 6371 km e a massa de 5,97.1024 kg. Altitude (km) Aceleração gravitacional (m/s2 ) 0 9,8 1 9,8 5 9,8 10 9,8 15 9,8 20 9,8 22 9,7 25 9,7 30 9,7 Tabela 1: Valores da aceleração da gravidade em função da altitude. Força Elástica (Fel): É a força de reação que um corpo elástico executa quando é alongado ou comprimido. A intensidade da força é proporcional à deformação
  16. 16. 15 (x), isto é, se alongarmos uma mola com força F a sua deformação será x, se aumentarmos a força para 2F sua deformação aumentará para 2x e assim sucessivamente. Outros fatores que estão relacionados com a força e a deformação são geometria e o material do corpo elástico o qual é representado pela constante elástica da mola (K). A constante elástica é definida como a razão da força elástica (Fel) pela deformação elástica (x). ⃗ ⃗ Assim: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Reação Normal (N ou R): É uma força de reação que um corpo executa quando recebe uma força, isto é, todo corpo que se apoia em uma superfície realiza uma força na mesma e pela lei da ação e reação, essa superfície realiza uma força de mesma intensidade, mesma direção, mas sentido oposto ao corpo. Esse vetor força é chamado de reação normal e estará sempre formando um ângulo de 90° com a superfície de apoio. Exemplos: Comprimento inicial
  17. 17. 16 a) b) c) Tração (T): É um esforço mecânico que os corpos ficam submetidos quando estão sujeitos a forças que tendem a alongá-los. É comumente aplicado em cabos, cordas, correntes, fios, linhas e outros. Quando tracionamos um cabo, por exemplo, toda a extensão dele estará tracionada com a mesma intensidade. A representação da tração é realizada da seguinte maneira. Corpo apoiado num plano horizontal: R = W Corpo apoiado num plano inclinado: R = Wy 𝑅 𝐴 𝑅 𝐵 𝑊 Viga apoiada em duas extremidades: 𝑅 𝐴 𝑊 𝑅 𝐴𝐵 𝑊 Força de atrito
  18. 18. 17 Note que o corpo move-se devido à força de tração, mas ao mesmo tempo, a força de atrito tenta frear o tambor, tracionando no sentido oposto, portanto, a força de tração deve ser indicada nas duas extremidades do cabo e em sentidos opostos. Exemplos: a) Corpo em repouso pendurado por um cabo de aço: b) Dois corpos em repouso pendurados por cabos de aço: c) Corpo em repouso pendurado por um sistema de cabos: Tambor enrolando o cabo para puxar a caixa 𝑻 𝑾 𝑻 𝟏 𝑾 𝑨 𝑻 𝟐 𝑾 𝑩 𝑻 𝟏 𝑻 𝟏 𝑾 Para calcular as trações 𝑇 e 𝑇3, devem-se utilizar algumas técnicas que serão apresentadas no próximo capítulo.
  19. 19. 18 Exercícios Resolvidos 1) Determine o peso de um corpo que possui massa de 20 kg, sabendo que a aceleração da gravidade é de 9,8 m/ . Resolução: W = m.g W = 20.9,8 W = 196 N 2) Se o corpo do exercício anterior fosse para Lua, qual seria a sua massa e o seu peso na superfície lunar sabendo que a aceleração da gravidade é de 1,6m/ ? Resolução: A massa não altera seu valor (m = 20 kg), pois massa é a quantidade de matéria do corpo e na mudança de local essa propriedade do corpo não se altera. Já o peso depende da aceleração da gravidade, assim: W = m.g W = 20.1,6 W = 32 N 3) Uma força de 200 N é aplicada sobre uma mola alongando-a conforme figura. Sabendo que a mola possui constante elástica K = 1000 N/m, determine a sua deformação elástica. Resolução: A força F aplicada na mola fará surgir uma força elástica no sentido contrário de mesma intensidade (200N), assim:
  20. 20. 19 Fel = K.x 200 = 1000.x x= 0,2m 4) A placa superior de um estampo de corte de possui massa de 40 kg e está sob uma mola de constante elástica K = 7200 N/m. Determine quanto a mola deforma. Resolução: Primeiro deve-se calcular a força peso da base superior do estampo: W = m.g W = 40.9,8 W = 392 N A força elástica possui a mesma intensidade da força peso (392 N), porém de sentido aposto, assim: Fel = K.x 392 = 7200.x x = 0,054 m
  21. 21. 20 Equilíbrio Para um corpo adquirir a condição de equilíbrio em relação a um referencial ele deve se encontrar em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo e uniforme, isto é, com velocidade linear constante (equilíbrio dinâmico). Em ambos os casos podemos dizer que a somatória das forças que atuam no corpo é nula, pois a aceleração será nula nas duas situações. Exemplos: Equilíbrio de um ponto material O estudo de equilíbrio é realizado em corpos considerados como ponto material e corpos considerados como corpo extenso. Um ponto material é um corpo que possui dimensões desprezíveis para aquele determinado estudo e a única preocupação é verificar a condição de equilíbrio na translação retilínea (movimento retilíneo). Os cálculos relacionados ao equilíbrio de um ponto material devem obedecer as seguintes condições: A força resultante na vertical (eixo y) é dada por: 𝐹𝑦 𝑚 𝑎 𝑦; Como o corpo está em equilíbrio, a aceleração será nula, assim: 𝐹𝑦 . Carro em movimento retilíneo uniforme na horizontal, isto é, sua aceleração horizontal é nula, assim: 𝐹𝑥 𝑚 𝑎 𝑥, então, 𝑭 𝒙 𝟎. O carro não possui movimento vertical, portanto sua aceleração vertical é nula, assim: 𝐹𝑦 𝑚 𝑎 𝑦, então, 𝑭 𝒚 𝟎.
  22. 22. 21 1ª) 2ª) Exercícios resolvidos 1) Calcule a tração que o cabo da figura está submetido para suportar um pacote de 100 kg. Resolução: 1º passo: Indicar as forças que atuam no pacote (diagrama de força): 2º passo: Aplicar as condições de equilíbrio: As forças que estão agindo no pacote são verticais, assim: Como temos vetores força em sentidos opostos, a resultante ( ) tem que ser a subtração deles, portanto: T – W = 0 T = W (este resultado é óbvio, pois para obter o equilíbrio, as duas forças devem ter o mesmo valor). Como W = m.g, então: T = m.g T = 100.9,8 T = 980 N
  23. 23. 22 2) Calcule a deformação elástica das molas de um carro de 1200 kg que se encontra parado, sabendo que a constante elástica de cada mola é de 15000N/m. Resolução: Um carro é composto por quatro molas, assim, o diagrama de forças fica: Portanto, 4.Fel – W= 0 4.Fel = W Como Fel=Kx e W=mg, então: 4.K.x = m.g 4.15000.x = 1200.9,8 60000.x = 11760 x = 0,196 m = 19,6 cm 3) Na figura a seguir está representado um engradado de 150 kg suspenso pelos cabos 1, 2 e 3. Qual o valor das trações que estes cabos estão submetidos? Resolução: 1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema:
  24. 24. 23 Diagrama de forças que atuam no engradado Nesse diagrama pode-se perceber que para o engradado estar em equilíbrio, a força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W). 1 1 1 1 Diagrama de forças que atuam entre os cabos Nesse diagrama, como a tração T3 está inclinada, deve-se utilizar alguma técnica matemática para calcular as trações não conhecidas, sabendo-se que T1 =1470N. 2º passo: Escolher o método de resolução adequado: Existem dois métodos possíveis de resolução, o da triangulação e o da decomposição vetorial: Método da triangulação: Para o corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor coincide com a seta do último vetor formando um triângulo:
  25. 25. 24 Como T1=1470N então, por trigonometria: 1 3 3 1 Assim, como agora temos os valores de T1 e de T3, para calcular T2 pode ser utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria: Método da decomposição vetorial: Neste método, deve-se fazer a decomposição do vetor que está inclinado (no caso o T3) e, como o sistema está em equilíbrio, a componente T3x deve ser igual a T2 e a componente T3y deve ser igual a T1, portanto: Da figura podemos extrair o seguinte triângulo: 0 1 2 1 2 0 2 40 40 1751,88 T tg T T T tg T N    3 1 3 1470 y y T T W T N   
  26. 26. 25 E a resolução é igual ao do método da triangulação, assim, por trigonometria: 3 3 3 3 Como agora temos os valores de T3 e de T3y, para calcular T3x pode ser utilizando o teorema de Pitágoras ou trigonometria: Como T2=T3x, então: A pergunta que fica é: “Qual o melhor método?”. Bom isso depende da aplicação, na situação do exemplo anterior, onde temos três vetores força e um deles está inclinado, tanto faz o método, pois a resolução fica bem parecida, mas quando temos dois vetores inclinados, o método da triangulação é o mais simples, pois será resolvido apenas com a resolução dos valores de cada vetor que forma o triângulo, enquanto que pelo método da decomposição deve-se decompor os dois vetores inclinados. Agora, quando temos mais de três vetores, o método da triangulação fica impossível, pois não formará um triângulo e nesse caso deve-se aplicar o método da decomposição. 30 3 3 3 0 3 40 40 1751,88 y x y x x T tg T T T tg T N    2 1751,88T N
  27. 27. 26 4) Determine a força que é aplicada na mola, de constante elástica k=12000N/m, da figura a seguir e também o quanto ela está alongada, sabendo que a carga que está suspensa é de 180 kg. Resolução: 1º passo: Montar o diagrama de forças do sistema: Diagrama de forças que atuam na carga Nesse diagrama pode-se perceber que para a carga estar em equilíbrio, a força de tração (T1) deve ser igual a força peso (W). 1 1 1 1 Diagrama de forças que atuam entre os cabos
  28. 28. 27 Lembre-se que Fel representa a força elástica, isto é, a força que a mola está submetida. 2º passo: Escolher o método de resolução: O método que será utilizado nessa resolução é o da triangulação. Para o corpo estar em equilíbrio a soma dos vetores deve ser nula, assim se juntarmos os vetores, o ponto inicial do primeiro vetor deve coincidir com a seta do último vetor formando um triângulo: Como T1=1764 N então, por trigonometria: Com isso, já calculamos a força que está atuando na mola. Agora falta determinar o quanto a mola está alongada, e para isso basta utilizar a seguinte equação: Equilíbrio de um corpo Extenso No equilíbrio de um corpo extenso, além de analisar a condição de equilíbrio para o movimento retilíneo (translação retilínea), devemos também analisar o equilíbrio na rotação que é definido através da grandeza momento de uma força ou momento torçor ou simplesmente torque. 0 1 0 20 1764 20 4846,55 el el el T tg F F tg F N    . 4846,55 12000. 0,4 el F k x x x m   
  29. 29. 28 Momento de uma Força É a capacidade que uma força possui de rotacionar um determinado corpo. Matematicamente é definido como o produto da intensidade de uma força pela distância dessa força ao eixo de rotação, sendo que esse vetor força deve estar perpendicular a uma linha que passe pelo eixo de rotação. Como o corpo pode rotacionar nos sentidos horário e anti-horário, deve-se fazer uma distinção entre eles, é usual considerar positivo quando o corpo tende a rotacionar no sentido horário e negativo quando tende a rotacionar no sentido anti-horário, mas se utilizar o inverso não terá problema o importante é fazer a distinção entre os sentidos de rotação. Assim: Exemplos: Determine o momento das forças nas situações indicadas nas figuras a seguir: 1) Considere F1=80 N: 2) Considere F1=80 N: 3) Considere F1=100 N: 1 . 80.0,5 40 M F d M M Nm    1 . 80.0,5 40 M F d M M Nm    0M  O momento neste caso é nulo, pois da forma que esta força está sendo aplicada, a chave não terá a capacidade de rotação. Negativo porque a chave tende a rotacionar no sentido anti-horário.
  30. 30. 29 4) Considere F1=120000 N: 5) Considere F1=150 N, F2=100 N e F3=200 N: 6) Considere F = 500 N: Neste caso temos que lembrar que o vetor força deve ser perpendicular à distância até uma linha que passa pelo centro de rotação, assim, para facilitar o cálculo, podemos decompor o vetor F na sua componente no eixo y e utilizar a distância horizontal até o eixo de rotação (50 cm ou 0,5 m): O valor de Fy é dado por: Assim o momento dessa força será: 0M  O momento neste caso também é nulo, pois da forma que esta força está sendo aplicada, a chave não terá a capacidade de rotação. 1 2 3 1 2 3 .0,5 .0,2 .0,3 150.0,5 100.0,2 200.0,3 95 60 35 F F F M M M M M F F F M M M Nm             0 0 0 cos30 .cos30 500.cos30 433,01 y y y y F F F F F F N    
  31. 31. 30 Condições de equilíbrio de um corpo extenso Um corpo extenso para estar em equilíbrio deve obedecer as seguintes condições: 1ª) 2ª) 3ª) Lembre-se que o equilíbrio pode ser estático (repouso) ou dinâmico (movimento retilíneo uniforme). Estes conceitos são muito importantes para se projetar um mecanismo, pois é necessário analisar os esforços que alguns pontos estratégicos do projeto estão sujeitos para poder dimensioná-los. Exercícios Resolvidos 1) Na figura a seguir a viga horizontal, homogênea e de massa 50 kg está presa nas duas colunas por meio de parafusos dispostos nas duas extremidades. Qual o esforço que cada parafuso está submetido? Resolução: 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema: . 433,01.0,5 216,51 F y F F M F d M M N   
  32. 32. 31 Observa-se que a força peso (W) está indicada no centro da viga, pois é no centro de massa (ponto de equilíbrio) que podemos representar a força peso de qualquer corpo, assim, fica indicado que todo peso do corpo está concentrado no centro de massa, que neste caso é o centro geométrico. O esforço que cada parafuso está submetido são as reações RA e RB, que nada mais são do que as forças verticais que os parafusos devem fazer para sustentar a força peso. Percebe-se que nesse caso a força peso é distribuída igualmente para os parafusos, assim: 2º passo: calcular a força peso: 3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as reações: 1ª) Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste sistema. 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e a forças para baixo positivas, assim: 0A B W R R   Como RA=RB, então: 50.9,8 490 W mg W W N   
  33. 33. 32 0 490 2 0 490 2 245 , 245 A B A A A A B W R R R R R N Assim R R N          Nota-se que neste exemplo era só dividir o peso por dois que teríamos encontrado o esforço em cada parafuso, mas foi apresentada a técnica de resolução através das condições de equilíbrio para provar que se chega ao mesmo resultado e também para já ir se acostumando com essa técnica que será a utilizada para se resolver questões mais complexas. 2) Colocando-se uma carga homogênea de 20 kg a 1m do apoio da esquerda do exemplo anterior, conforme figura a seguir, qual será a nova força que cada parafuso estará sujeito? Resolução: 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
  34. 34. 33 Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da carga que está em cima da viga. Como a carga não está centralizada, então os esforços que os parafusos estão submetidos são diferentes, isto é, as suas reações RA e RB são diferentes. 2º passo: calcular as forças peso: 3º passo: aplicar as condições de equilíbrio até conseguir calcular as reações: 1ª) Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste sistema. 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e a forças para baixo positivas, assim: 1 2 0 196 490 0 686 A B A B A B W W R R R R R R           Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio: 3ª) Observação: Lembre-se que momento é o produto da força pela distância até um eixo de rotação e que o momento é positivo para rotação tendendo ao sentido horário e negativo para rotação tendendo ao sentido anti-horário. Nesse caso será adotado como eixo de rotação o parafuso da esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita RA durante o cálculo por possuir distância zero, portanto: 1 1 1 1 20.9,8 196 W m g W W N    2 2 2 2 50.9,8 490 W m g W W N   
  35. 35. 34 1 2 0 196.1 490.1,5 .0 .3 0 196 735 .3 0 931 .3 310,33 W W R RA B A B B B B M M M M R R R R R N              Para determinar RA é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver a equação, assim: 686 310,33 686 375,67 A B A A R R R R N      Observe que, por a carga está mais próxima do parafuso da esquerda, ele terá que suportar uma força maior que o da direita. 3) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração exercida no cabo e a força que o pino está submetido. Resolução: 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
  36. 36. 35 Nesse caso temos duas forças peso, uma da viga horizontal e a outra da carga que está em cima da viga, uma força de tração no cabo de aço e uma força de reação no pino devido à ação das forças peso. Não é necessário calcular as forças peso, pois os valores já foram determinados no enunciado do exercício. 2º passo: aplicar as condições de equilíbrio: 1ª) Esta condição está atendida, pois não existem forças horizontais neste sistema. 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e as forças para baixo positivas, assim: 1 2 0 200 600 0 800 W W T R T R T R           Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio: 3ª) Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que está à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita R durante o cálculo por possuir distância zero, portanto:
  37. 37. 36 1 2 0 200.2,5 600.3 .5 .0 0 500 1800 .5 0 2300 .5 460 W W T R M M M M T R T T T N              Para determinar R é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver a equação, assim: 800 460 800 340 T R R R N      4) Na figura abaixo encontra-se uma caixa de 600N sobre uma viga horizontal homogênea de 200 N mantidos em equilíbrio por um cabo de aço na extremidade direita e um pino na extremidade esquerda. Determine a tração exercida no cabo e a força que o pino está submetido. Resolução: Este exercício é muito parecido com o anterior, a única diferença é que o cabo de aço encontra-se inclinado, assim, a resolução torna-se também muito parecida. 1º passo: indicar as forças que estão atuando no sistema:
  38. 38. 37 2º passo: aplicar as condições de equilíbrio: 1ª) Neste caso, existem forças horizontais e para determinar a reação R, é imprescindível calcular as suas componentes. Como as forças estão em sentidos opostos, serão consideradas como positivas as forças que estão apontadas para direita e negativas as forças que estão para a esquerda. Portanto: 0x x x x R T R T    Neste caso pode-se considerar também que, para estar em equilíbrio, as forças que estão para direita devem ter a mesma intensidade das forças que estão para esquerda, isto é: x x R T 2ª) Para aplicar esta condição será adotado que as forças para cima serão negativas e a forças para baixo positivas, assim: 1 2 0 200 600 0 800 y y y y y y W W T R T R T R           Não é possível resolver essa equação, pois existem duas incógnitas, assim, teremos que partir para a terceira condição de equilíbrio:
  39. 39. 38 3ª) Observação: Nesse caso será adotado como eixo de rotação o eixo que está à esquerda, pois assim eliminaremos a incógnita Ry durante o cálculo por possuir distância zero, portanto: 1 2 0 200.2,5 600.3 .5 .0 0 500 1800 .5 0 2300 .5 460 W W T Ry y y y y y y M M M M T R T T T N              Para determinar Ry é só voltar na segunda condição de equilíbrio e resolver a equação, assim: 800 460 800 340 y y y y T R R R N      Para determinar o valor da tração do cabo (T) e sua componente Tx, deve-se utilizar o triângulo formado entre T, Tx e Ty, assim: Percebe-se que a tração no cabo é maior quando ele está inclinado do que quando ele está na vertical (caso do exercício anterior), pois com ele inclinado origina-se um força horizontal no sistema. Para determinar Rx é só voltar na primeira condição de equilíbrio, assim: 548,21 x x x R T R N  
  40. 40. 39 E para terminar, basta calcular a reação no pino (R) através do teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2548,21 340 645,08 x y R R R R R N     
  41. 41. 40 Referências Bibliográficas RAMALHO, F.; CARDOSO, J; FERRARO, N & TOLEDO, P. Os Fundamentos da Física, 1. Moderna, São Paulo, 2000. DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J. & VILLAS, N. Tópicos de Física, 1. Saraiva, São Paulo, 2001. RESNICK, R.; HALLIDAY, D. & KRANE, K. Física 1. LTC, EUA, 2003. MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. Érica. São Paulo, 1999.

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