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Estudos de Controle - Aula 3: Modelagem (1)

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Estudos de Controle - Aula 3: Modelagem (1)

  1. 1. Estudos de Controle– Modelagem (1)1
  2. 2. Modelos Matemáticos• Modelagem matemática de sistemas dinâmicos:• Analisar características dinâmicas.• São conjuntos de equações que representamcom precisão ou razoavelmente bem a dinâmicado sistema.• Não é único. Geralmente utilizam-se equaçõesdiferenciais.• É considerada a parte mais importante da análisede sistemas de controle.2
  3. 3. Propriedades• Sistemas lineares:• Definição: um sistema é dito linear se oprincípio da superposição se aplicar a ele. Ouseja, a resposta produzida pela aplicaçãosimultânea de duas funções diversas é a somadas duas respostas individuais.• Nesses sistemas, a resposta para cada entradapode ser calculada tratando uma de cada vez esomando o resultado.• Geralmente, se causa e efeito sãoproporcionais, o sistema é linear. 3
  4. 4. Propriedades• Sistemas lineares invariantes no tempo:• Os sistemas dinâmicos cujos coeficientes dasequações diferenciais são constantes sãochamados de sistemas lineares invariantes notempo.• Exemplo: termostato.• Sistemas lineares variantes no tempo:• São os sistemas cujos coeficientes dasequações diferenciais variam no tempo.• Exemplo: veículo espacial (massa).4
  5. 5. Função de transferência• Caracterizam as relações de entrada e saída dossistemas.• Geralmente escritas por equações diferenciaislineares invariantes no tempo.• Definição: relação entre a transformada deLaplace da saída (função de resposta) e atransformada de Laplace da entrada (função deexcitação), admitindo-se as condições iniciaisnulas.5
  6. 6. Função de transferência• Dada a equação diferencial de um sistema linearinvariante no tempo:𝑎0𝑑 𝑛 𝑦𝑑𝑡 𝑛 + 𝑎1𝑑 𝑛−1 𝑦𝑑𝑡 𝑛−1 + … + 𝑎 𝑛−1𝑑𝑦𝑑𝑡+ 𝑎 𝑛 𝑦 =𝑏0𝑑 𝑚 𝑥𝑑𝑡 𝑚 + 𝑏1𝑑 𝑚−1 𝑥𝑑𝑡 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏 𝑚−1𝑑𝑥𝑑𝑡+ 𝑏 𝑚 𝑥onde 𝑛 ≥ 𝑚, y é a saída do sistema e x é a entrada.Então, a função de transferência é𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)𝑋(𝑠)=𝑏0 𝑠 𝑚 + 𝑏1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ 𝑏 𝑚−1 𝑠 + 𝑏 𝑚𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑠 + 𝑎 𝑛 6
  7. 7. Função de transferência• Muito utilizada na análise e projeto de sistemaslineares invariantes no tempo.• É um método operacional para expressar aequação diferencial que relaciona a variável desaída à variável de entrada.• É uma propriedade inerente ao sistema,independentemente da magnitude e da naturezada função de entrada.• Não fornece nenhuma informação relativa àestrutura física do sistema. 7
  8. 8. Função de transferência• Permite estudar a saída do sistema para váriasmaneiras de entrada, fornecendo informaçõesda natureza do sistema.• Se a função de transferência não é conhecida,ela pode ser determinada experimentalmentecom o auxílio de entradas conhecidas e análisedas respectivas respostas do sistema.8
  9. 9. Função de transferência• Exemplo:• Sistema de controle de posição de um satélite,considerando apenas um eixo. Dois jatoslocalizados em A e B aplicam força de reaçãopara girar o corpo, com empuxo igual a𝐹2e otorque resultante seja T=Fl.9
  10. 10. Função de transferência• Exemplo:• Como os jatos são aplicados por um certotempo, o torque é uma função do tempo 𝑇 𝑡 .• O momento de inércia em relação ao eixo derotação no centro da massa é J.• Obtenha a função de transferência admitindoque a entrada é o torque 𝑇 𝑡 e odeslocamento angular 𝜃(𝑡) é a saída.10
  11. 11. Função de transferência• Exemplo:• Aplicando a segunda lei de Newton:𝑇 𝑡 = 𝐽𝑑2 𝜃(𝑡)𝑑𝑡2• Transformada de Laplace:𝑇 𝑠 = 𝐽𝑠2𝜃(𝑠)• Função de transferência:𝐺 𝑠 =𝜃(𝑠)𝑇 (𝑠)=1𝐽𝑠211
  12. 12. Função de transferência• Integral de Convolução• Dada a função de transferência, podemosescrevê-la também da seguinte forma𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋(𝑠)• Que equivale no domínio do tempo a integralde convolução𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑥 𝜏 𝑑𝜏𝑡012
  13. 13. Função de transferência• Função de resposta impulsiva:• A saída de um sistema a um impulso unitáriocom condições iniciais nula é dado por𝑌 𝑠 = 𝐺(𝑠)• No domínio do tempo g(t) é chamada defunção de resposta impulsiva, que também échamada de função característica do sistema.• Logo, é possível obter informações sobre ascaracterísticas dinâmicas do sistema por meioda excitação por um impulso de entrada. 13
  14. 14. Função de transferência• Diagrama de blocos:• Representação gráfica das funçõesdesempenhadas por cada componente e ofluxo de sinais entre eles.• Blocos funcionais – símbolo da operaçãomatemática aplicada ao sinal de entrada dobloco, produzindo uma saída.• Somador e ponto de ramificação.14G(s)
  15. 15. Função de transferência• Diagrama de blocos de um sistema de malhafechada:• Quando a saída é realimentada para comparaçãocom a entrada, é necessário converter a formado sinal de saída à do sinal de entrada.• Elemento de realimentação, cuja função detransferência é H(s).15
  16. 16. Função de transferência• Função de transferência de malha aberta:• Relação entre o sinal de realimentação e osinal de erro atuante.𝐵(𝑠)𝐸(𝑠)= 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)• Função de transferência do ramo direto:• Relação entre o sinal de saída e o sinal de erroatuante.𝐶(𝑠)𝐸(𝑠)= 𝐺 𝑠 16
  17. 17. Função de transferência• Malha fechada• Relaciona o sinal de saída e o sinal de entrada.𝐶(𝑠)𝑅(𝑠)=𝐺(𝑠)1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)17
  18. 18. Obrigada!ays@icmc.usp.brwww.lsec.icmc.usp.br18

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