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Estudos de Controle - Aula 1: Introdução

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Estudos de Controle - Aula 1: Introdução

  1. 1. Estudos de Controle- Introdução1
  2. 2. Motivação• Controles automáticos são muito utilizados emdiversas aplicações:• Máquinas nas indústrias manufatureiras;• Sistemas de piloto automático na indústriaaeroespacial;• Sistemas de carros e caminhões na indústriaautomotiva;• Operações industriais como monitoramente detemperatura, pressão, umidade, viscosidade evazão.2
  3. 3. Histórico• Na década de 40 e 50:• Métodos de resposta em frequência(diagramas de Bode) e lugar das raízes são aessência da teoria clássica de controle.• Na década de 60 a 80:• Controle ótimo de sistemas determinísticos eestocásticos.• Controle Adaptativo e de aprendizagem.• A partir da década de 80 até hoje:• Controle robusto e H infinito . 3
  4. 4. Terminologia• Variável controlada: grandeza ou condição que émedida e controlada. Geralmente é a saída dosistema.• Variável manipulada: grandeza ou condiçãomanipulada pelo controlador, de modo que afeta avariável controlada.• Planta: sistema a ser controlado.• Sistemas: combinação de componentes que agemem conjunto para atingir determinado objetivo.• Distúrbios: sinal que afeta de maneira adversa osinal da variável de saída do sistema. Pode serinterno ou externo.4
  5. 5. Controle de Malha Aberta• O sinal de saída não exerce nenhuma ação decontrole no sistema, não é medido nemrealimentado.• Cada entrada corresponde a uma condição fixade operação.• O controle não funciona na presença dedistúrbios.• Exemplos: Máquina de lavar roupas e tráfego porsinais.5
  6. 6. Controle de Malha Fechada• Também chamados de controle comrealimentação.• Estabelece uma relação de comparação entre asaída e a entrada de referência, utilizando adiferença como meio de controle.• Robusto a distúrbios.• Exemplo: controle de temperatura portemostato, temperatura corporal e pressãosanguínea.6
  7. 7. Transformada de Laplace• Método operacional para solucionar equaçõesdiferenciais linerares.• Fornece simplificações:• Funções senoidais e exponenciais se tornamfunções algébricas;• Diferenciação e integração se tornamoperações algébricas para variáveis complexas.• Soluções fornecem tanto a componentetransitória quanto a componente estacionária.7
  8. 8. Variáveis complexas• Número complexo: possui uma parte real e umaparte imaginária, ambas constantes:𝑅 + 𝑗𝐼• Se alguma das partes for variável, temos umavariável complexa. Na transformada de Laplaceutiliza-se a notação s:𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔8
  9. 9. Funções complexas• São funções que possuem uma parte real e umaparte imaginária:𝐺 𝑠 = 𝐺 𝑥 + 𝑗𝐺 𝑦• Módulo:|𝐺 𝑠 | = 𝐺 𝑥2+ 𝐺 𝑦2• Argumento angular de G(s):𝜃 = 𝑡𝑔−1(𝐺 𝑥/ 𝐺 𝑦)9Módulo:
  10. 10. Função complexa analítica• Uma função complexa é dita analítica em umaregião se G(s) e suas derivadas existirem nessaregião.• Derivada de G(s):𝑑𝑑𝑠𝐺 𝑠 = lim∆𝑠→0𝐺 𝑠 + ∆𝑠 − 𝐺(𝑠)∆𝑠= lim∆𝑠→0∆𝐺(𝑠)∆𝑠• Como ∆𝑠 = ∆𝜎 + 𝑗∆𝜔, ∆𝑠 pode tender a 0 porinfinitos diferentes caminhos. Por isso, aderivada pode não existir. 10
  11. 11. Condições de Cauchy-Riemann• Se as derivadas calculadas ao longo de doiscaminhos específicos (∆𝑠 = ∆𝜎 𝑒 ∆𝑠 = 𝑗∆𝜔)forem iguais, então a derivada será a mesmapara qualquer outro percurso.• Com as duas condições satisfeitas:𝜕𝐺 𝑥𝜕𝜎=𝜕𝐺 𝑦𝜕𝜔e𝜕𝐺 𝑦𝜕𝜎= −𝜕𝐺 𝑥𝜕𝜔• Então a derivada de G(s) é única e G(s) éanalítica.• Exemplo: 𝐺 𝑠 =1𝑠+111
  12. 12. Derivada de uma funçãoanalítica• Pode ser obtida simplesmente pela derivação deG(s) em relação a s.• Exemplo: 𝐺 𝑠 =1𝑠+1𝑑𝑑𝑠1𝑠 + 1= −1(𝑠 + 1)212
  13. 13. Função complexa analítica• Pontos ordinários: pontos nos quais a funçãoG(s) é analítica.• Pontos singulares: pontos nos quais a funçãoG(s) não é analítica.• Pólos: pontos singulares que a função G(s) esuas derivadas tendem a infinito.• Zeros: pontos singulares que a função G(s) esuas derivadas tendem a 0.13
  14. 14. Pólos e Zeros• Dada a função:𝐺(𝑠)(𝑠 + 𝑝) 𝑛• Considerando que G(s) tende ao infinito quandos se aproxima de -p, mas a função acima sejafinita e não nula, então s=-p é chamado pólo deordem n.• Os pólos podem ser simples (n=1), de segundaordem (n=2) e assim por diante.14
  15. 15. Teorema de Euler𝑒 𝑗𝜃= cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃𝑒−𝑗𝜃 = cos 𝜃 − 𝑗 sin 𝜃• Ou:cos 𝜃 =12𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃sin 𝜃 =12𝑗(𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃)15
  16. 16. Transformada de Laplace𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞0𝑓 𝑡 =12𝜋𝑗𝐹(𝑠)𝑐+∞𝑐−∞𝑒 𝑠𝑡 𝑑𝑠onde c é a abscissa de convergência, umaconstante real escolhida com valor superior àparte real de todos os pontos singulares de F(s).16
  17. 17. Transformada de Laplace• Condição de existência:• A integral deve convergir.• f(t) contínua em todo intervalo finito de tempopara t > 0 e se ela for de ordem exponencialquanto t tender a infinito.• Ordem exponencial: 𝑒−𝛼𝑡|𝑓 𝑡 | deve tender a 0quando t tende a infinito.• Funções do tipo 𝑡, sin 𝜔𝑡 𝑒 𝑡 sin 𝜔𝑡 semprepossuem a transformada de Laplace.17
  18. 18. Transformada de Laplace• Propriedades:• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠• 𝑇𝐿 𝐴𝑓 𝑡 + 𝐵𝑔 𝑡 = 𝐴𝐹 𝑠 + 𝐵𝐺(𝑠)18
  19. 19. Transformada de Laplace• Exponencial:𝑇𝐿 𝐴𝑒−𝛼𝑡 =𝐴𝑠 + 𝛼• Função degrau:𝑇𝐿 𝐴 =𝐴𝑠• Função rampa:𝑇𝐿 𝐴𝑡 =𝐴𝑠2• Função senoidal:𝑇𝐿 𝐴 sin 𝜔𝑡 =𝐴𝜔𝑠2+𝜔2 𝑇𝐿 𝐴 cos 𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑠2+𝜔219
  20. 20. Obrigada!ays@icmc.usp.brwww.lsec.icmc.usp.br20

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