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# Estudos de Controle - Aula 2: Laplace

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### Estudos de Controle - Aula 2: Laplace

1. 1. Estudos de Controle- Laplace1
2. 2. Transformada de Laplace๐น ๐  = ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ0๐ ๐ก =12๐๐๐น(๐ )๐+โ๐โโ๐ ๐ ๐ก ๐๐ onde c รฉ a abscissa de convergรชncia, umaconstante real escolhida com valor superior ร parte real de todos os pontos singulares de F(s).2
3. 3. Transformada de Laplaceโข Funรงรฃo transladada:โข Seja F(s) a transformada de Laplace de f(t) e afunรงรฃo transladada ๐ ๐ก โ ๐ผ 1 ๐ก โ ๐ผ , onde๐ผ โฅ 0๐๐ฟ ๐ ๐ก โ ๐ผ 1 ๐ก โ ๐ผ = ๐โ๐ผ๐ ๐น(๐ )3
4. 4. Transformada de Laplaceโข Funรงรฃo pulso retangular:๐ ๐ก =๐ด๐ก0, ๐๐๐๐ 0 < ๐ก < ๐ก00, ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐รก๐๐๐๐๐ฟ ๐ ๐ก =๐ด๐ก0 ๐ (1 โ ๐โ๐ ๐ก0)4
5. 5. Transformada de Laplaceโข Funรงรฃo impulso:๐ ๐ก =lim๐ก0โ0๐ด๐ก0, ๐๐๐๐ 0 < ๐ก < ๐ก00, ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐รก๐๐๐๐๐ฟ ๐ ๐ก = ๐ด๐๐ฟ ๐ฟ ๐ก = 15
6. 6. Transformada de Laplaceโข Multiplicaรงรฃo por ๐โ๐ผ๐ก:๐๐ฟ ๐โ๐ผ๐ก ๐ ๐ก = ๐น(๐  + ๐ผ)โข Mudanรงa de escala de tempo:๐๐ฟ ๐๐ก๐ผ= ๐ผ๐น(๐ผ๐ )6
7. 7. Teoremas da Transformada deLaplaceโข Teorema da derivaรงรฃo real๐๐ฟ๐๐๐ก๐ ๐ก = ๐ ๐น ๐  โ ๐(0)โข De forma anรกloga, para a derivada de ordem n๐๐ฟ๐ ๐๐๐ก ๐ ๐ ๐ก = ๐  ๐ ๐น(๐ ) โ ๐  ๐โ1 ๐ 0 โ ๐  ๐โ2 ๐ 0 โฆ โ ๐ 0 ๐ ๐โ1 (0)7
8. 8. Teoremas da Transformada deLaplaceโข Teorema do valor finalโข Se ๐ ๐ก ๐ ๐๐(๐ก) ๐๐ก forem transformรกveis porLaplace e se lim๐กโโ๐(๐ก) existir, entรฃolim๐กโโ๐(๐ก) = lim๐ โ0๐ ๐น(๐ )โข Ou seja, o comportamento em regimeestacionรกrio de f(t) รฉ o mesmo que ocomportamento de sF(s) nas proximidades de s=0.Conseguimos obter o valor de f(t) em t = โdiretamente de F(s). 8
9. 9. Teoremas da Transformada deLaplaceโข Teorema do valor inicialโข Se ๐ ๐ก ๐ ๐๐(๐ก) ๐๐ก forem transformรกveis porLaplace e se lim๐ โโ๐ ๐น(๐ ) existir, entรฃo๐ 0+= lim๐ โโ๐ ๐น(๐ )9
10. 10. Teoremas da Transformada deLaplaceโข Teorema da integraรงรฃo real๐๐ฟ ๐ ๐ก ๐๐ก =๐น ๐ ๐ +๐โ1(0)๐ onde ๐โ10 = ๐ ๐ก ๐๐ก avaliada em t=0.10
11. 11. Teoremas da Transformada deLaplaceโข Teorema da derivada complexaโข Se f(t) for transformรกvel por Laplace, entรฃo,exceto nos pรณlos de F(s)๐๐ฟ(๐ก๐ ๐ก ) = โ๐๐๐ ๐น(๐ )11
12. 12. Teoremas da Transformada deLaplaceโข Convoluรงรฃo๐1 ๐ก โ ๐2 ๐ก = ๐1 ๐ก โ ๐ ๐2 ๐ ๐๐๐ก0โข Integral de Convoluรงรฃo๐๐ฟ(๐1 ๐ก โ ๐2 ๐ก ) = ๐น1 ๐  ๐น2 ๐ 12
13. 13. Teoremas da Transformada deLaplaceโข Produto de duas funรงรตes no tempo๐๐ฟ(๐1 ๐ก ๐2 ๐ก ) =12๐๐๐น1 ๐  โ ๐ ๐น2 ๐ ๐๐๐+โ๐โโ13
14. 14. Transformada Inversa deLaplace๐ ๐ก =12๐๐๐น(๐ )๐+โ๐โโ๐ ๐ ๐ก ๐๐ โข Outra maneira, รฉ utilizar mรฉtodos para aobtenรงรฃo a partir de transformadas de Laplaceconhecidas.14
15. 15. Transformada Inversa deLaplaceโข Mรฉtodo de expansรฃo em fraรงรตes parciaisโข ๐น ๐  =๐ต(๐ )๐ด(๐ ), onde A(s) e B(s) sรฃo polinรดmiosem s.โข A maior potรชncia de s em A(s) deve ser maiordo que a maior potรชncia de s em B(s)๐ต(๐ )๐ด(๐ )= ๐พ๐  + ๐ง1 ๐  + ๐ง2 โฆ (๐  + ๐ง ๐)๐  + ๐1 ๐  + ๐2 โฆ (๐  + ๐ ๐), ๐๐๐๐ ๐ < ๐15
16. 16. Transformada Inversa deLaplaceโข Quando F(s) possui apenas pรณlos distintos,temos๐ต(๐ )๐ด(๐ )=๐1๐  + ๐1+๐2๐  + ๐2+ โฏ +๐ ๐๐  + ๐ ๐โข Os coeficientes ๐ ๐sรฃo chamados de resรญduo dopรณlo๐ ๐ = (๐  + ๐ ๐)๐ต ๐ ๐ด ๐  ๐ =โ๐ ๐=๐1(๐  + ๐ ๐)๐  + ๐1+๐2(๐  + ๐ ๐)๐  + ๐2+ โฏ +๐ ๐(๐  + ๐ ๐)๐  + ๐ ๐ ๐ =โ๐ ๐ 16
17. 17. Transformada Inversa deLaplaceโข Como๐๐ฟโ1๐ ๐๐  + ๐ ๐= ๐ ๐ ๐โ๐ ๐ ๐ก๐ ๐ก = ๐๐ฟโ1 ๐น(๐ )= ๐1 ๐โ๐1 ๐ก+๐2 ๐โ๐2 ๐ก+ โฏ + ๐ ๐ ๐โ๐ ๐ ๐กpara ๐ก โฅ 0.17
18. 18. Transformada Inversa deLaplaceโข Quando inclui pรณlos mรบltiplosโข Utiliza-se as derivadas de F(s) para obter osresรญduos.โข Exemplo:๐น ๐  =๐ 2+ 2๐  + 3(๐  + 1)3๐น ๐  =๐ต(๐ )๐ด(๐ )=๐1๐  + 1+๐2(๐  + 1)2+๐3(๐  + 1)3(๐  + 1)3๐ต(๐ )๐ด(๐ )= ๐1(๐  + 1)2+๐2(๐  + 1) + ๐3 18
19. 19. Transformada Inversa deLaplaceโข Quando inclui pรณlos mรบltiplos(๐  + 1)3๐ต(๐ )๐ด(๐ ) ๐ =โ1= ๐3๐๐๐ (๐  + 1)3๐ต(๐ )๐ด(๐ ) ๐ =โ1= ๐2 + 2๐1(๐  + 1)๐๐๐ (๐  + 1)3๐ต(๐ )๐ด(๐ ) ๐ =โ1= ๐2๐2๐๐ 2(๐  + 1)3๐ต(๐ )๐ด(๐ ) ๐ =โ1= 2๐119
20. 20. MATLABโข Expansรฃo em fraรงรตes parciais no MATLAB:๐ต(๐ )๐ด(๐ )=๐๐ข๐๐๐๐=๐0 ๐  ๐+ ๐1 ๐  ๐โ1+ โฏ + ๐ ๐๐  ๐ + ๐1 ๐  ๐โ1 + โฏ + ๐ ๐๐ต(๐ )๐ด(๐ )=๐(1)๐  โ ๐(1)+๐(2)๐  โ ๐(2)+ โฏ +๐ ๐๐  โ ๐ ๐+ ๐(๐ )๐, ๐, ๐ = ๐๐๐ ๐๐๐ข๐(๐๐ข๐, ๐๐๐)20