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Estudos de Controle - Aula 2: Laplace

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Estudos de Controle - Aula 2: Laplace

  1. 1. Estudos de Controle- Laplace1
  2. 2. Transformada de Laplace๐น ๐‘  = ๐‘“(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘ ๐‘ก๐‘‘๐‘กโˆž0๐‘“ ๐‘ก =12๐œ‹๐‘—๐น(๐‘ )๐‘+โˆž๐‘โˆ’โˆž๐‘’ ๐‘ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ onde c รฉ a abscissa de convergรชncia, umaconstante real escolhida com valor superior ร parte real de todos os pontos singulares de F(s).2
  3. 3. Transformada de Laplaceโ€ข Funรงรฃo transladada:โ€ข Seja F(s) a transformada de Laplace de f(t) e afunรงรฃo transladada ๐‘“ ๐‘ก โˆ’ ๐›ผ 1 ๐‘ก โˆ’ ๐›ผ , onde๐›ผ โ‰ฅ 0๐‘‡๐ฟ ๐‘“ ๐‘ก โˆ’ ๐›ผ 1 ๐‘ก โˆ’ ๐›ผ = ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ ๐น(๐‘ )3
  4. 4. Transformada de Laplaceโ€ข Funรงรฃo pulso retangular:๐‘“ ๐‘ก =๐ด๐‘ก0, ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž 0 < ๐‘ก < ๐‘ก00, ๐‘๐‘Ž๐‘ ๐‘œ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ก๐‘Ÿรก๐‘Ÿ๐‘–๐‘œ๐‘‡๐ฟ ๐‘“ ๐‘ก =๐ด๐‘ก0 ๐‘ (1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ ๐‘ก0)4
  5. 5. Transformada de Laplaceโ€ข Funรงรฃo impulso:๐‘“ ๐‘ก =lim๐‘ก0โ†’0๐ด๐‘ก0, ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž 0 < ๐‘ก < ๐‘ก00, ๐‘๐‘Ž๐‘ ๐‘œ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ก๐‘Ÿรก๐‘Ÿ๐‘–๐‘œ๐‘‡๐ฟ ๐‘“ ๐‘ก = ๐ด๐‘‡๐ฟ ๐›ฟ ๐‘ก = 15
  6. 6. Transformada de Laplaceโ€ข Multiplicaรงรฃo por ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ก:๐‘‡๐ฟ ๐‘’โˆ’๐›ผ๐‘ก ๐‘“ ๐‘ก = ๐น(๐‘  + ๐›ผ)โ€ข Mudanรงa de escala de tempo:๐‘‡๐ฟ ๐‘“๐‘ก๐›ผ= ๐›ผ๐น(๐›ผ๐‘ )6
  7. 7. Teoremas da Transformada deLaplaceโ€ข Teorema da derivaรงรฃo real๐‘‡๐ฟ๐‘‘๐‘‘๐‘ก๐‘“ ๐‘ก = ๐‘ ๐น ๐‘  โˆ’ ๐‘“(0)โ€ข De forma anรกloga, para a derivada de ordem n๐‘‡๐ฟ๐‘‘ ๐‘›๐‘‘๐‘ก ๐‘› ๐‘“ ๐‘ก = ๐‘  ๐‘› ๐น(๐‘ ) โˆ’ ๐‘  ๐‘›โˆ’1 ๐‘“ 0 โˆ’ ๐‘  ๐‘›โˆ’2 ๐‘“ 0 โ€ฆ โˆ’ ๐‘ 0 ๐‘“ ๐‘›โˆ’1 (0)7
  8. 8. Teoremas da Transformada deLaplaceโ€ข Teorema do valor finalโ€ข Se ๐‘“ ๐‘ก ๐‘’ ๐‘‘๐‘“(๐‘ก) ๐‘‘๐‘ก forem transformรกveis porLaplace e se lim๐‘กโ†’โˆž๐‘“(๐‘ก) existir, entรฃolim๐‘กโ†’โˆž๐‘“(๐‘ก) = lim๐‘ โ†’0๐‘ ๐น(๐‘ )โ€ข Ou seja, o comportamento em regimeestacionรกrio de f(t) รฉ o mesmo que ocomportamento de sF(s) nas proximidades de s=0.Conseguimos obter o valor de f(t) em t = โˆždiretamente de F(s). 8
  9. 9. Teoremas da Transformada deLaplaceโ€ข Teorema do valor inicialโ€ข Se ๐‘“ ๐‘ก ๐‘’ ๐‘‘๐‘“(๐‘ก) ๐‘‘๐‘ก forem transformรกveis porLaplace e se lim๐‘ โ†’โˆž๐‘ ๐น(๐‘ ) existir, entรฃo๐‘“ 0+= lim๐‘ โ†’โˆž๐‘ ๐น(๐‘ )9
  10. 10. Teoremas da Transformada deLaplaceโ€ข Teorema da integraรงรฃo real๐‘‡๐ฟ ๐‘“ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก =๐น ๐‘ ๐‘ +๐‘“โˆ’1(0)๐‘ onde ๐‘“โˆ’10 = ๐‘“ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก avaliada em t=0.10
  11. 11. Teoremas da Transformada deLaplaceโ€ข Teorema da derivada complexaโ€ข Se f(t) for transformรกvel por Laplace, entรฃo,exceto nos pรณlos de F(s)๐‘‡๐ฟ(๐‘ก๐‘“ ๐‘ก ) = โˆ’๐‘‘๐‘‘๐‘ ๐น(๐‘ )11
  12. 12. Teoremas da Transformada deLaplaceโ€ข Convoluรงรฃo๐‘“1 ๐‘ก โˆ— ๐‘“2 ๐‘ก = ๐‘“1 ๐‘ก โˆ’ ๐œ ๐‘“2 ๐œ ๐‘‘๐œ๐‘ก0โ€ข Integral de Convoluรงรฃo๐‘‡๐ฟ(๐‘“1 ๐‘ก โˆ— ๐‘“2 ๐‘ก ) = ๐น1 ๐‘  ๐น2 ๐‘ 12
  13. 13. Teoremas da Transformada deLaplaceโ€ข Produto de duas funรงรตes no tempo๐‘‡๐ฟ(๐‘“1 ๐‘ก ๐‘“2 ๐‘ก ) =12๐œ‹๐‘—๐น1 ๐‘  โˆ’ ๐‘ ๐น2 ๐‘ ๐‘‘๐‘๐‘+โˆž๐‘โˆ’โˆž13
  14. 14. Transformada Inversa deLaplace๐‘“ ๐‘ก =12๐œ‹๐‘—๐น(๐‘ )๐‘+โˆž๐‘โˆ’โˆž๐‘’ ๐‘ ๐‘ก ๐‘‘๐‘ โ€ข Outra maneira, รฉ utilizar mรฉtodos para aobtenรงรฃo a partir de transformadas de Laplaceconhecidas.14
  15. 15. Transformada Inversa deLaplaceโ€ข Mรฉtodo de expansรฃo em fraรงรตes parciaisโ€ข ๐น ๐‘  =๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ ), onde A(s) e B(s) sรฃo polinรดmiosem s.โ€ข A maior potรชncia de s em A(s) deve ser maiordo que a maior potรชncia de s em B(s)๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ )= ๐พ๐‘  + ๐‘ง1 ๐‘  + ๐‘ง2 โ€ฆ (๐‘  + ๐‘ง ๐‘š)๐‘  + ๐‘1 ๐‘  + ๐‘2 โ€ฆ (๐‘  + ๐‘ ๐‘›), ๐‘๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž ๐‘š < ๐‘›15
  16. 16. Transformada Inversa deLaplaceโ€ข Quando F(s) possui apenas pรณlos distintos,temos๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ )=๐‘Ž1๐‘  + ๐‘1+๐‘Ž2๐‘  + ๐‘2+ โ‹ฏ +๐‘Ž ๐‘›๐‘  + ๐‘ ๐‘›โ€ข Os coeficientes ๐‘Ž ๐‘˜sรฃo chamados de resรญduo dopรณlo๐‘Ž ๐‘˜ = (๐‘  + ๐‘ ๐‘˜)๐ต ๐‘ ๐ด ๐‘  ๐‘ =โˆ’๐‘ ๐‘˜=๐‘Ž1(๐‘  + ๐‘ ๐‘˜)๐‘  + ๐‘1+๐‘Ž2(๐‘  + ๐‘ ๐‘˜)๐‘  + ๐‘2+ โ‹ฏ +๐‘Ž ๐‘›(๐‘  + ๐‘ ๐‘˜)๐‘  + ๐‘ ๐‘› ๐‘ =โˆ’๐‘ ๐‘˜ 16
  17. 17. Transformada Inversa deLaplaceโ€ข Como๐‘‡๐ฟโˆ’1๐‘Ž ๐‘˜๐‘  + ๐‘ ๐‘˜= ๐‘Ž ๐‘˜ ๐‘’โˆ’๐‘ ๐‘˜ ๐‘ก๐‘“ ๐‘ก = ๐‘‡๐ฟโˆ’1 ๐น(๐‘ )= ๐‘Ž1 ๐‘’โˆ’๐‘1 ๐‘ก+๐‘Ž2 ๐‘’โˆ’๐‘2 ๐‘ก+ โ‹ฏ + ๐‘Ž ๐‘› ๐‘’โˆ’๐‘ ๐‘› ๐‘กpara ๐‘ก โ‰ฅ 0.17
  18. 18. Transformada Inversa deLaplaceโ€ข Quando inclui pรณlos mรบltiplosโ€ข Utiliza-se as derivadas de F(s) para obter osresรญduos.โ€ข Exemplo:๐น ๐‘  =๐‘ 2+ 2๐‘  + 3(๐‘  + 1)3๐น ๐‘  =๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ )=๐‘1๐‘  + 1+๐‘2(๐‘  + 1)2+๐‘3(๐‘  + 1)3(๐‘  + 1)3๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ )= ๐‘1(๐‘  + 1)2+๐‘2(๐‘  + 1) + ๐‘3 18
  19. 19. Transformada Inversa deLaplaceโ€ข Quando inclui pรณlos mรบltiplos(๐‘  + 1)3๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ ) ๐‘ =โˆ’1= ๐‘3๐‘‘๐‘‘๐‘ (๐‘  + 1)3๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ ) ๐‘ =โˆ’1= ๐‘2 + 2๐‘1(๐‘  + 1)๐‘‘๐‘‘๐‘ (๐‘  + 1)3๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ ) ๐‘ =โˆ’1= ๐‘2๐‘‘2๐‘‘๐‘ 2(๐‘  + 1)3๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ ) ๐‘ =โˆ’1= 2๐‘119
  20. 20. MATLABโ€ข Expansรฃo em fraรงรตes parciais no MATLAB:๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ )=๐‘›๐‘ข๐‘š๐‘‘๐‘’๐‘›=๐‘0 ๐‘  ๐‘›+ ๐‘1 ๐‘  ๐‘›โˆ’1+ โ‹ฏ + ๐‘ ๐‘›๐‘  ๐‘› + ๐‘Ž1 ๐‘  ๐‘›โˆ’1 + โ‹ฏ + ๐‘Ž ๐‘›๐ต(๐‘ )๐ด(๐‘ )=๐‘Ÿ(1)๐‘  โˆ’ ๐‘(1)+๐‘Ÿ(2)๐‘  โˆ’ ๐‘(2)+ โ‹ฏ +๐‘Ÿ ๐‘›๐‘  โˆ’ ๐‘ ๐‘›+ ๐‘˜(๐‘ )๐‘Ÿ, ๐‘, ๐‘˜ = ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ ๐‘–๐‘‘๐‘ข๐‘’(๐‘›๐‘ข๐‘š, ๐‘‘๐‘’๐‘›)20
  21. 21. Obrigada!ays@icmc.usp.brwww.lsec.icmc.usp.br21

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