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Estudos de Controle - Aula 11: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 5)

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Estudos de Controle - Aula 11: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 5)

  1. 1. Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
  2. 2. Sistemas de Controle Integral • O controlador integral elimina o erro residual do controlador proporcional, porque acumula o erro desde o momento inicial. • Porém, pode conduzir a uma resposta oscilatória, com amplitude que decresce lentamente, ou mesmo crescente. 2
  3. 3. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Considerando um sistema com a seguinte planta: 1 𝐺𝑝 𝑠 = 𝑇𝑠 + 1 • Temos a equação de malha fechada: 𝐾 𝐺 𝑠 = 𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 • Como: 𝐸(𝑠) 𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠) 𝑠 𝑇𝑠 + 1 = = 𝑅(𝑠) 𝑅(𝑠) 𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 • Para uma entrada em degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 : 𝑠 𝑇𝑠 + 1 1 𝐸 𝑠 = 𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠 • O erro estacionário será: 𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim 𝑠→0 𝑠→0 𝑠 =0 𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾 𝑠 𝑠 𝑇𝑠 + 1 3
  4. 4. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Exemplo: • Considere o sistema de primeira ordem: 𝐺𝑝 𝑠 = 1 5𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos: 4 Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾 𝑝 = 1.
  5. 5. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Exemplo: • Considere o sistema de segunda ordem: 𝐺𝑝 𝑠 = 1 𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos: 5 Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾 𝑝 = 1.
  6. 6. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta a distúrbios do tipo conjugado: • Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência entre C(s) e D(s) é: 𝐶(𝑠) 𝑠 = 𝐾 𝐷(𝑠) 3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 𝑠 + 𝑝 𝐽𝑠 𝑝 𝑇𝑖 • Então, o erro é definido como: 𝐸(𝑠) 𝐶 𝑠 𝑠 =− =− 𝐾 𝐷(𝑠) 𝐷 𝑠 3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 𝑠 + 𝑝 𝐽𝑠 𝑝 𝑇𝑖 6
  7. 7. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • O erro estacionário para um distúrbio em degrau, igual a 𝑇 𝑑 é dado: 𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 𝑠→0 𝑠 𝑠𝑇 𝑑 = lim − =0 𝐾 𝑠→0 3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 𝑠 + 𝑝 𝑠 𝐽𝑠 𝑝 𝑇𝑖 • Portanto, o erro estacionário causado por um distúrbio de pertubação em degrau também é eliminado. 7
  8. 8. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • Exemplo: 𝐺𝑝 𝑠 = 1 5𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos: 8 Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾 𝑝 = 1.
  9. 9. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado: • Exemplo: 𝐺𝑝 𝑠 = 1 𝑠 2 + 1,2𝑠 + 1 • Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos: 9 Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾 𝑝 = 1.
  10. 10. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta a distúrbios do tipo conjugado: • A ação do controle integral converteu um sistema de segunda ordem em um sistema de terceira ordem. • Nesse caso, se 𝐾 𝑝 tiver um valor muito alto, o sistema pode se tornar instável, já que as raízes passam a ter partes reais positivas. 10
  11. 11. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta a distúrbios do tipo conjugado: • Exemplos: 𝐺𝑝 𝑠 = 1 5𝑠+1 𝐺𝑝 𝑠 = 1 𝑠2 +1,2𝑠+1 11 Primeira ordem. Segunda ordem.
  12. 12. Sistemas de Controle Integral • Resposta a distúrbios do tipo conjugado: • Nesse caso, se o controlador for apenas integral, o sistema se torna instável, pois a equação característica 𝐽𝑠 3 + 𝑏𝑠 2 + 𝐾 passa a ter raízes com partes reais positivas. 12
  13. 13. Sistemas de Controle Integral • Resposta a distúrbios do tipo conjugado: • Exemplo: 1 𝐺𝑝 𝑠 = 2 𝑠 + 1,2𝑠 13
  14. 14. Sistemas de Controle Proporcional Integral • Portanto, geralmente a ação proporcional é responsável por estabilizar o sistema, enquanto a ação integral tende a eliminar ou reduzir o erro estacionário. 14
  15. 15. Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • A parte derivativa responde a uma taxa de variação do erro atuante e permite uma correção significativa antes que o valor do erro se torne muito elevado. • Permite que se obtenha um controlador de alta sensibilidade. • Prevê o erro atuante e toma medidas corretivas antecipadamente e tende a aumentar a estabilidade do sistema. • Aumenta o amortecimento do sistema. • Nunca é usado sozinho. 15
  16. 16. Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • Considerando o sistema com carga inercial: • Relembrando que o controle proporcional não estabilizava esse sistema. • A função de transferência da malha fechada é: 𝐾𝑝 𝐶(𝑠) = 2 𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝 • Como as raízes da da equação característica são imaginárias, para uma entrada degrau unitário o sistema irá oscilar indefinidamente. 16
  17. 17. Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • Efeito do controle proporcional-derivativo no sistema com carga inercial: • Função de transferência de malha fechada: 𝐾 𝑝 (1 + 𝑇 𝑑 𝑠) 𝐶(𝑠) = 2 𝑅(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝐾 𝑝 𝑇 𝑑 𝑠 + 𝐾 𝑝 • As raízes da equação característica tem agora duas raízes com partes reais negativas. • Amortecimento adicionado. 17
  18. 18. Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • Resposta a um sistema com carga inercial: • Exemplo: 𝐺𝑝 𝑠 = 1 5𝑠 2 • Aplicando-se um controle proporcional derivativo com diferentes ganhos: 18 Para 𝑇 𝑑 = 1. Para 𝐾 𝑝 = 1.
  19. 19. Erros Estacionários • Um sistema pode não apresentar erro estacionário para uma entrada degrau unitário, mas pode apresentar erro estacionário não nulo para uma entrada em rampa. • O erro estacionário depende do tipo de função de transferência de malha aberta do sistema. 19
  20. 20. Erros Estacionários • Classificação dos sistemas de controle: • De acordo com a habilidade de seguir sinais de entrada do tipo degrau, rampa, parábola, etc. • Considerando um sistema com realimentação unitária, temos uma forma geral da função de transferência de malha aberta: 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐺(𝑠) = 𝑁 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) • Conforme o valor de N, um sistema é classificado como tipo 0 (N=0), tipo 1 (N=1), etc. 20
  21. 21. Erros Estacionários • Classificação dos sistemas de controle: • Essa classificação é diferente da ordem do sistema. • O termo 𝑠 𝑁 determina o pólo de multiplicidade N na origem. • Geralmente, conforme o tipo N aumenta, aumenta a precisão do sistema, porém agrava a sua estabilidade. 21
  22. 22. Erros estacionários • Considerando o sistema: • A função de transferência de malha fechada é: 𝐶(𝑠) 𝐺(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠) • A função de transferência entre o sinal de erro e o sinal de entrada é: 𝐸(𝑠) 𝐶 𝑠 1 =1− = 𝑅(𝑠) 𝑅 𝑠 1 + 𝐺(𝑠) • O erro estacionário será: 𝑠𝑅(𝑠) 𝑒 𝑠𝑠 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim 𝑠→0 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 22
  23. 23. Erros Estacionários • Para uma entrada degrau unitário, temos: 𝑠 1 1 𝑒 𝑠𝑠 = lim = 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠 1 + 𝐺(0) • Constante de erro estático de posição é definida como: 𝐾 𝑝 = lim 𝐺(𝑠) = 𝐺(0) 𝑠→0 • Então, 𝑒 𝑠𝑠 1 = 1 + 𝐾𝑝 23
  24. 24. Erros Estacionários • Para um sistema do tipo 0: 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑝 = lim = 𝐾 𝑠→0 1 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 1 𝑒 𝑠𝑠 = 1+ 𝐾 • Para um sistema do tipo 1: 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑝 = lim =∞ 𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 𝑒 𝑠𝑠 = 0 • Portanto, a resposta ao degrau unitário de um sistema conterá erro estacionário se não houver integração no ramo direto. 24
  25. 25. Erros Estacionários • Exemplo de respostas ao degrau unitário: • Sistema do tipo 0: • Sistema do tipo 1: 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠2 +7𝑠+10 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠3 +7𝑠2 +10𝑠 25
  26. 26. Erros Estacionários • Para uma entrada rampa unitária, temos: 𝑠 1 1 𝑒 𝑠𝑠 = lim = lim 2 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠 𝑠→0 𝑠𝐺(𝑠) • Constante de erro estático de velocidade é definida como: 𝐾 𝑣 = lim 𝑠𝐺(𝑠) 𝑠→0 • Então, 𝑒 𝑠𝑠 1 = 𝐾𝑣 26
  27. 27. Erros Estacionários • Para um sistema do tipo 0: 𝑠𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑣 = lim =0 𝑠→0 1 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 𝑒 𝑠𝑠 = ∞ • Para um sistema do tipo 1: 𝑠𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑣 = lim = 𝐾 𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 1 𝑒 𝑠𝑠 = 𝐾 • Para um sistema do tipo 2 ou maior: 𝑠𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑣 = lim 𝑁 =∞ 𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 𝑒 𝑠𝑠 = 0 27
  28. 28. Erros Estacionários • Exemplo de respostas a rampa unitária: • Sistema do tipo 0: • Sistema do tipo 1: 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠2 +7𝑠+10 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠3 +7𝑠2 +10𝑠 28
  29. 29. Erros Estacionários • Exemplo de respostas a rampa unitária: • Sistema do tipo 2: • Sistema do tipo 2: 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2 𝐺 𝑠 = 𝐾(𝑠+1) 𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2 29
  30. 30. Erros Estacionários • Um sistema do tipo 0 é incapaz de seguir uma entrada em rampa. • Um sistema do tipo 1 segue a entrada em rampa mas com um erro estacionário. • Um sistema do tipo 2 ou maior pode seguir uma entrada em rampa com erro nulo. • O erro estático de velocidade tem a mesma dimensão do erro do sistema, e não está relacionada a um erro na velocidade do sistema, e sim ao erro de uma entrada rampa. 30
  31. 31. Erros Estacionários • Para uma entrada parábola unitária, temos: 𝑠 1 1 𝑒 𝑠𝑠 = lim = lim 2 3 𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠 𝑠→0 𝑠 𝐺(𝑠) • Constante de erro estático de aceleração é definida como: 𝐾 𝑎 = lim 𝑠 2 𝐺(𝑠) 𝑠→0 • Então, 𝑒 𝑠𝑠 1 = 𝐾𝑎 31
  32. 32. Erros Estacionários • Para um sistema do tipo 0: 𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑎 = lim =0 𝑠→0 1 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 𝑒 𝑠𝑠 = ∞ • Para um sistema do tipo 1: 𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑎 = lim =0 𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 𝑒 𝑠𝑠 = ∞ • Para um sistema do tipo 2: 𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑎 = lim 2 = 𝐾 𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 1 𝑒 𝑠𝑠 = 𝐾 • Para um sistema do tipo 3 ou maior: 𝑠 2 𝐾 𝑇 𝑎 𝑠 + 1 𝑇 𝑏 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑚 𝑠 + 1) 𝐾 𝑎 = lim 𝑁 =∞ 𝑠→0 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … (𝑇 𝑝 𝑠 + 1) 𝑒 𝑠𝑠 = 0 32
  33. 33. Erros Estacionários • Exemplo de respostas a parábola unitária: • Sistema do tipo 0: • Sistema do tipo 1: 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠2 +7𝑠+10 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠3 +7𝑠2 +10𝑠 33
  34. 34. Erros Estacionários • Exemplo de respostas a parábola unitária: • Sistema do tipo 2: • Sistema do tipo 2: 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2 𝐺 𝑠 = 𝐾(𝑠+1) 𝑠4 +7𝑠3 +10𝑠2 34
  35. 35. Erros Estacionários • Exemplo de respostas a parábola unitária: • Sistema do tipo 3: • Sistema do tipo 2: 𝐺 𝑠 = 𝐾 𝑠5 +7𝑠4 +10𝑠3 𝐺 𝑠 = 𝐾(𝑠2 +0,02𝑠+0.001) 𝑠5 +7𝑠4 +10𝑠3 35
  36. 36. Erros Estacionários • Tanto os sistemas do tipo 0 ou do tipo 1 não conseguem seguir uma entrada do tipo parábola. • O sistema do tipo 2 segue uma entrada do tipo parábola com erro estacionário. • Os sistemas do tipo 3 ou maior seguem a entrada do tipo parábola sem erro estacionário. 36
  37. 37. Erros Estacionários • As constantes 𝐾 𝑝 , 𝐾 𝑣 e 𝐾 𝑎 descrevem a habilidade de um sistema com realimentação unitária para reduzir ou eliminar o erro estacionário. • São indicativos de desempenho do regime estacionário. • Geralmente é desejável aumentar essas constantes de erro, mas é necessário manter a resposta transitória dentro de um limite aceitável. 37
  38. 38. Obrigada! ays@icmc.usp.br www.lsec.icmc.usp.br 38

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