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Estudos de Controle - Aula 8: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 2)

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Estudos de Controle - Aula 8: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 2)

  1. 1. Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
  2. 2. Sistemas de Segunda Ordem • São sistemas diferenciais que envolvem derivadas segundas da saída. Exemplo de função de transferência da malha fechada: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾 • Pode ser reescrita como: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 𝐽 𝑠 + 𝐵 2𝐽 + 𝐵 2𝐽 2 − 𝐾 𝐽 𝑠 + 𝐵 2𝐽 − 𝐵 2𝐽 2 − 𝐾 𝐽 2
  3. 3. Sistemas de Segunda Ordem • É mais conveniente definirmos: 𝐾 𝐽 = 𝑤 𝑛 2 𝑒 𝐵 𝐽 = 2ζ𝑤 𝑛 = 2𝜎 ζ = 𝐵 𝐵𝑐 = 𝐵 2 𝐽𝐾 • Resultando na chamada forma-padrão: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑤 𝑛 2 𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑛 2 3
  4. 4. Sistemas de Segunda Ordem • Parâmetros: • 𝜎: atenuação. • 𝑤 𝑛: frequência natural não amortecida. • ζ: coeficiente de amortecimento. • B: amortecimento real. • 𝐵𝑐: amortecimento crítico. 4
  5. 5. Sistemas de Segunda Ordem • O comportamento dinâmico pode ser descrito em termos dos parâmetros ζ e 𝑤 𝑛. • Se 0 < ζ < 1 os pólos de malha fechada são complexos conjugados, o sistema é chamado subamortecido e a resposta transitória é oscilatória. • Se ζ = 0 a resposta transitória não decai. • Se ζ = 1 o sistema é chamado criticamente amortecido. • Se ζ > 1 o sistema é chamado superamortecido. 5
  6. 6. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1): 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑤 𝑛 2 (𝑠 + ζ𝑤 𝑛 + 𝑗𝑤 𝑑)(𝑠 + ζ𝑤 𝑛 − 𝑗𝑤 𝑑) onde 𝑤 𝑑 = 𝑤 𝑛 1 − ζ2 é chamada frequência natural amortecida do sistema. • Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 , temos: 𝐶 𝑠 = 𝑤 𝑛 2 𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑛 2 𝑠 = 𝑤 𝑛 2 𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑑 2 + (ζ𝑤 𝑛)2 𝑠 6
  7. 7. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1): • Expandindo em frações parciais: 𝐶 𝑠 = 1 𝑠 − 𝑠 + ζ𝑤 𝑛 𝑠 + ζ𝑤 𝑛 2 + 𝑤 𝑑 2 − ζ𝑤 𝑛 𝑠 + ζ𝑤 𝑛 2 + 𝑤 𝑑 2 • A transformada inversa de Laplace é: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 cos 𝑤 𝑑 𝑡 + ζ 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 + tan−1 1 − ζ2 ζ para 𝑡 ≥ 0. 7
  8. 8. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1): • Para 𝑤 𝑛 = 1 e diferentes valores de zeta: 8
  9. 9. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1): 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 + tan−1 1 − ζ2 ζ para 𝑡 ≥ 0. • Podemos observar que a frequência de oscilação transitória é a frequência natural amortecida do sistema 𝑤 𝑑. 9
  10. 10. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1): • Erro pode ser calculado como: 𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡 = 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 cos 𝑤 𝑑 𝑡 + ζ 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 para 𝑡 ≥ 0. • O erro possui uma oscilação senoidal amortecida e é anulado em regime permanente (𝑡 → ∞). 10
  11. 11. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema com ζ = 0: 𝑐 𝑡 = 1 − cos 𝑤 𝑛 𝑡 , para 𝑡 ≥ 0. • A resposta não é amortecida e as oscilações continuam indefinidamente. • 𝑤 𝑛 é a frequência natural do sistema sem amortecimento 11
  12. 12. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema criticamente amortecido (ζ = 1): • Os dois pólos são iguais, resultando na seguinte saída: 𝐶 𝑠 = 𝑤 𝑛 2 𝑠 + 𝑤 𝑛 2 𝑠 • A transformada inversa de Laplace é: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑤 𝑛 𝑡 1 + 𝑤 𝑛 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 12
  13. 13. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema criticamente amortecido (ζ = 1): 13
  14. 14. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema superamortecido (ζ > 1): • Os pólos são reais, não negativos e diferentes: 𝐶 𝑠 = 𝑤 𝑛 2 𝑠 + ζ𝑤 𝑛 + 𝑤 𝑛 ζ2 − 1 𝑠 + ζ𝑤 𝑛 − 𝑤 𝑛 ζ2 − 1 𝑠 • A transformada inversa da equação é: 𝑐 𝑡 = 1 + 𝑤 𝑛 2 ζ2 − 1 𝑒 − ζ+ ζ2−1 𝑤 𝑛 𝑡 ζ + ζ2 − 1 − 𝑒 − ζ− ζ2−1 𝑤 𝑛 𝑡 ζ − ζ2 − 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 14
  15. 15. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema superamortecido (ζ > 1): • De acordo com o valor de ζ, uma das exponenciais decrescentes predominam e o sistema pode ser aproximado a uma resposta de primeira ordem com a resposta: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒 − ζ− ζ2−1 𝑤 𝑛 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0. 15
  16. 16. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para o sistema superamortecido (ζ > 1): 16
  17. 17. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para os diferentes valores de ζ: 17Para 𝑤 𝑛 = 1. Para 𝑤 𝑛 = 0.5.
  18. 18. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta ao degrau unitário para os diferentes valores de ζ: • Se os sistemas tiverem o mesmo valor de ζ, mas valores de 𝑤 𝑛 diferentes, eles irão apresentar os mesmos sobre-sinais e andamento oscilatório. Portanto, diz-se que eles possuem a mesma estabilidade relativa. • Um sistema com ζ entre 0,5 e 0,8 se aproxima do valor final mais rapidamente que do que um sistema criticamente amortecido ou superamortecido. • Entre os que não apresentam oscilação, o criticamente amortecido se aproxima mais rapidamente. • O sistema superamortecido é sempre mais lento. 18
  19. 19. Sistemas de Segunda Ordem • Análise da resposta transitória: • Os sistemas possuem energia armazenada e não conseguem responder instantaneamente. • Resposta transitória acontece sempre que o sistema estiver sujeito a um sinal de entrada ou distúrbio. • Geralmente, as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas de acordo com a resposta ao degrau unitário. 19
  20. 20. Análise de Resposta Transitória • Na prática, antes de atingir o regime permanente, a resposta apresenta oscilações amortecidas. E assim, define-se o seguinte: 20 • Tempo de atraso 𝑡 𝑑 • Tempo de subida 𝑡 𝑟 • Tempo de pico 𝑡 𝑝 • Máximo sobre-sinal 𝑀 𝑝 • Tempo de acomodação 𝑡 𝑠
  21. 21. Análise de Resposta Transitória • Especificações: • Tempo de atraso, 𝑡 𝑑, é o tempo requerido para que a resposta alcance metade do valor final pela primeira vez. • Tempo de subida, 𝑡 𝑟, é o tempo requerido para que a resposta passe de 10% a 90% do valor final. • Tempo de pico, 𝑡 𝑝, é o tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobre-sinal. 21
  22. 22. Análise de Resposta Transitória • Máximo sobre-sinal, 𝑀 𝑝, é o valor máximo de pico da curva medida a partir da unidade. É comum utilizar em porcentagem. Indica diretamente a estabilidade relativa do sistema: 𝑀 𝑝 = 𝑐 𝑡 𝑝 − 𝑐(∞) 𝑐(∞) × 100 • Tempo de acomodação, 𝑡 𝑠, é o tempo necessário para que a resposta alcance valores em uma faixa (2% ou 5%) em torno do valor final, permanecendo aí indefinidamente. 22
  23. 23. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário: • Tempo de subida: precisamos encontrar 𝑐 𝑡 𝑟 = 1. 𝑐 𝑡 𝑟 = 1 − 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 𝑟 cos 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 + ζ 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 Como 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 𝑟 não é igual a 0 nunca, então cos 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 + ζ 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 = 0 tan 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 = 1 − ζ2 ζ = − 𝑤 𝑑 𝜎 𝑡 𝑟 = 1 𝑤 𝑑 tan−1 − 𝑤 𝑑 𝜎 • Portanto, para um menor 𝑡 𝑟 utiliza-se um 𝑤 𝑑 maior. 23
  24. 24. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • Tempo de pico: pode ser obtido derivando-se a resposta no tempo e igualando a 0. 𝑑𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ζ𝑤 𝑛 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 cos 𝑤 𝑑 𝑡 + ζ 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 + 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 𝑤 𝑑sin 𝑤 𝑑 𝑡 − ζ𝑤 𝑑 1 − ζ2 cos 𝑤 𝑑 𝑡 𝑑𝑐 𝑡 𝑑𝑡 𝑡=𝑡 𝑝 = 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 𝑝 𝑤 𝑛 1 − ζ2 sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑝 sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑝 = 0 𝑤 𝑑 𝑡 𝑝 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, … • Como o tempo de pico corresponde ao primeiro pico, então 𝑤 𝑑 𝑡 𝑝 = 𝜋 e 𝑡 𝑝 = 𝜋 𝑤 𝑑 . • O tempo de pico corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida. 24
  25. 25. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • Máximo sobre-sinal: 𝑀 𝑝 = 𝑐 𝑡 𝑝 − 1 = 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝜋 𝑤 𝑑 cos 𝜋 + ζ 1 − ζ2 sin 𝜋 𝑀 𝑝 = 𝑒− 𝜎 𝑤 𝑑 𝜋 = 𝑒 − ζ 1−ζ2 𝜋 𝑀 𝑝 % = 𝑀 𝑝 × 100 25
  26. 26. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • Tempo de acomodação: • Existem curvas envoltórias a resposta 1 ± 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 1−ζ2 : 26
  27. 27. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • Tempo de acomodação: • A constante de tempo das envoltórias é 𝑇 = 1 ζ𝑤 𝑛. • O tempo de acomodação pode ser medido através dessa constante 𝑡 𝑠 = 4𝑇 = 4 ζ𝑤 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 2% 𝑡 𝑠 = 3𝑇 = 3 ζ𝑤 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 5% 27
  28. 28. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • O valor do tempo de acomodação é inversamente proporcional a ζ e 𝑤 𝑛. • O valor de ζ é em geral determinado a partir da especificação do sobre-sinal máximo. • Portanto, o valor do tempo de acomodação é determinado principalmente pela frequência natural não amortecida 𝑤 𝑛. • Todas essas equações foram obtidas para a forma- padrão do sistema de segunda ordem e portanto só valem para esses sistemas. 28
  29. 29. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • Relação entre o máximo sobre-sinal e ζ : 29
  30. 30. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário: • A resposta ao impulso unitário (𝑅 𝑠 = 1) é: 𝐶(𝑠) = 𝑤 𝑛 2 𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑛 2 • As transformadas inversas de Laplace são: • Para 0 ≤ ζ < 1: c t = 𝑤 𝑛 1 − ζ2 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 sin 𝑤 𝑛 1 − ζ2 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 • Para ζ = 1: c t = 𝑤 𝑛 2 𝑡𝑒−𝑤 𝑛 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 • Para ζ > 1: c t = 𝑤 𝑛 2 1 − ζ2 𝑒−(ζ− ζ2−1)𝑤 𝑛 𝑡 − 𝑒−(ζ+ ζ2−1)𝑤 𝑛 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 30
  31. 31. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário: 31
  32. 32. Sistemas de Segunda Ordem • Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário: • No caso de subamortecimento a resposta oscila em torno de zero a assume valores negativos e positivos. • No caso do amortecimento crítico e superamortecimento a resposta é sempre positiva ou nula. 32
  33. 33. Análise de Resposta Transitória • Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário: • Tempo de pico: 𝑡 𝑝 = tan−1 1 − ζ2 ζ 𝑤 𝑛 1 − ζ2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1 • Máximo sobre-sinal: 𝑀 𝑝 = 𝑤 𝑛 exp − ζ 1 − ζ2 tan−1 1 − ζ2 ζ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1 33
  34. 34. Análise de Resposta Transitória • Análise com o MATLAB: • Para encontrar as especificações para a entrada degrau unitário basta usar a função stepinfo(sys) 34 freqN = 1; zeta = 0.6; num = [freqN*freqN]; den = [1 2*zeta*freqN freqN*freqN]; sys = tf(num,den) stepinfo(sys)
  35. 35. Obrigada! ays@icmc.usp.br www.lsec.icmc.usp.br 35

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