1. Estudos de Controle –
Análise de Resposta
Transitória e de
Regime Estacionário
1

2. Sistemas de Segunda Ordem
• São sistemas diferenciais que envolvem derivadas
segundas da saída. Exemplo de função de transferência
da malha fechada:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾
• Pode ser reescrita como:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝐽
𝑠 +
𝐵
2𝐽
+
𝐵
2𝐽
2
−
𝐾
𝐽
𝑠 +
𝐵
2𝐽
−
𝐵
2𝐽
2
−
𝐾
𝐽
2

3. Sistemas de Segunda Ordem
• É mais conveniente definirmos:
𝐾
𝐽
= 𝑤 𝑛
2 𝑒
𝐵
𝐽
= 2ζ𝑤 𝑛 = 2𝜎
ζ =
𝐵
𝐵𝑐
=
𝐵
2 𝐽𝐾
• Resultando na chamada forma-padrão:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑤 𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑛
2
3

4. Sistemas de Segunda Ordem
• Parâmetros:
• 𝜎: atenuação.
• 𝑤 𝑛: frequência natural não amortecida.
• ζ: coeficiente de amortecimento.
• B: amortecimento real.
• 𝐵𝑐: amortecimento crítico.
4

5. Sistemas de Segunda Ordem
• O comportamento dinâmico pode ser descrito
em termos dos parâmetros ζ e 𝑤 𝑛.
• Se 0 < ζ < 1 os pólos de malha fechada são
complexos conjugados, o sistema é chamado
subamortecido e a resposta transitória é
oscilatória.
• Se ζ = 0 a resposta transitória não decai.
• Se ζ = 1 o sistema é chamado criticamente
amortecido.
• Se ζ > 1 o sistema é chamado superamortecido.
5

6. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
subamortecido (0 < ζ < 1):
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑤 𝑛
2
(𝑠 + ζ𝑤 𝑛 + 𝑗𝑤 𝑑)(𝑠 + ζ𝑤 𝑛 − 𝑗𝑤 𝑑)
onde 𝑤 𝑑 = 𝑤 𝑛 1 − ζ2 é chamada frequência natural
amortecida do sistema.
• Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
, temos:
𝐶 𝑠 =
𝑤 𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑛
2
𝑠
=
𝑤 𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑑
2
+ (ζ𝑤 𝑛)2 𝑠
6

7. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
subamortecido (0 < ζ < 1):
• Expandindo em frações parciais:
𝐶 𝑠 =
1
𝑠
−
𝑠 + ζ𝑤 𝑛
𝑠 + ζ𝑤 𝑛
2 + 𝑤 𝑑
2 −
ζ𝑤 𝑛
𝑠 + ζ𝑤 𝑛
2 + 𝑤 𝑑
2
• A transformada inversa de Laplace é:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 cos 𝑤 𝑑 𝑡 +
ζ
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡
𝑐 𝑡 = 1 −
𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡 + tan−1
1 − ζ2
ζ
para 𝑡 ≥ 0.
7

8. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
subamortecido (0 < ζ < 1):
• Para 𝑤 𝑛 = 1 e diferentes valores de zeta:
8

9. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
subamortecido (0 < ζ < 1):
𝑐 𝑡 = 1 −
𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡 + tan−1
1 − ζ2
ζ
para 𝑡 ≥ 0.
• Podemos observar que a frequência de
oscilação transitória é a frequência natural
amortecida do sistema 𝑤 𝑑.
9

10. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
subamortecido (0 < ζ < 1):
• Erro pode ser calculado como:
𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡
= 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡
cos 𝑤 𝑑 𝑡 +
ζ
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡
para 𝑡 ≥ 0.
• O erro possui uma oscilação senoidal amortecida
e é anulado em regime permanente (𝑡 → ∞). 10

11. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema com
ζ = 0:
𝑐 𝑡 = 1 − cos 𝑤 𝑛 𝑡 , para 𝑡 ≥ 0.
• A resposta não é amortecida e as oscilações
continuam indefinidamente.
• 𝑤 𝑛 é a frequência natural do sistema sem
amortecimento
11

12. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
criticamente amortecido (ζ = 1):
• Os dois pólos são iguais, resultando na
seguinte saída:
𝐶 𝑠 =
𝑤 𝑛
2
𝑠 + 𝑤 𝑛
2 𝑠
• A transformada inversa de Laplace é:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑤 𝑛 𝑡 1 + 𝑤 𝑛 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
12

13. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
criticamente amortecido (ζ = 1):
13

14. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
superamortecido (ζ > 1):
• Os pólos são reais, não negativos e diferentes:
𝐶 𝑠 =
𝑤 𝑛
2
𝑠 + ζ𝑤 𝑛 + 𝑤 𝑛 ζ2 − 1 𝑠 + ζ𝑤 𝑛 − 𝑤 𝑛 ζ2 − 1 𝑠
• A transformada inversa da equação é:
𝑐 𝑡 = 1 +
𝑤 𝑛
2 ζ2 − 1
𝑒
− ζ+ ζ2−1 𝑤 𝑛 𝑡
ζ + ζ2 − 1
−
𝑒
− ζ− ζ2−1 𝑤 𝑛 𝑡
ζ − ζ2 − 1
,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
14

15. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
superamortecido (ζ > 1):
• De acordo com o valor de ζ, uma das
exponenciais decrescentes predominam e o
sistema pode ser aproximado a uma resposta
de primeira ordem com a resposta:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒
− ζ− ζ2−1 𝑤 𝑛 𝑡
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0.
15

16. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para o sistema
superamortecido (ζ > 1):
16

17. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para os diferentes
valores de ζ:
17Para 𝑤 𝑛 = 1. Para 𝑤 𝑛 = 0.5.

18. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta ao degrau unitário para os diferentes valores de
ζ:
• Se os sistemas tiverem o mesmo valor de ζ, mas
valores de 𝑤 𝑛 diferentes, eles irão apresentar os
mesmos sobre-sinais e andamento oscilatório.
Portanto, diz-se que eles possuem a mesma
estabilidade relativa.
• Um sistema com ζ entre 0,5 e 0,8 se aproxima do valor
final mais rapidamente que do que um sistema
criticamente amortecido ou superamortecido.
• Entre os que não apresentam oscilação, o criticamente
amortecido se aproxima mais rapidamente.
• O sistema superamortecido é sempre mais lento.
18

19. Sistemas de Segunda Ordem
• Análise da resposta transitória:
• Os sistemas possuem energia armazenada e
não conseguem responder instantaneamente.
• Resposta transitória acontece sempre que o
sistema estiver sujeito a um sinal de entrada
ou distúrbio.
• Geralmente, as características de desempenho
de um sistema de controle são especificadas
de acordo com a resposta ao degrau unitário.
19

20. Análise de Resposta Transitória
• Na prática, antes de atingir o regime
permanente, a resposta apresenta oscilações
amortecidas. E assim, define-se o seguinte:
20
• Tempo de atraso 𝑡 𝑑
• Tempo de subida 𝑡 𝑟
• Tempo de pico 𝑡 𝑝
• Máximo sobre-sinal 𝑀 𝑝
• Tempo de acomodação
𝑡 𝑠

21. Análise de Resposta Transitória
• Especificações:
• Tempo de atraso, 𝑡 𝑑, é o tempo requerido para
que a resposta alcance metade do valor final
pela primeira vez.
• Tempo de subida, 𝑡 𝑟, é o tempo requerido
para que a resposta passe de 10% a 90% do
valor final.
• Tempo de pico, 𝑡 𝑝, é o tempo para que a
resposta atinja o primeiro pico de sobre-sinal.
21

22. Análise de Resposta Transitória
• Máximo sobre-sinal, 𝑀 𝑝, é o valor máximo de
pico da curva medida a partir da unidade. É
comum utilizar em porcentagem. Indica
diretamente a estabilidade relativa do sistema:
𝑀 𝑝 =
𝑐 𝑡 𝑝 − 𝑐(∞)
𝑐(∞)
× 100
• Tempo de acomodação, 𝑡 𝑠, é o tempo
necessário para que a resposta alcance valores
em uma faixa (2% ou 5%) em torno do valor
final, permanecendo aí indefinidamente. 22

23. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de
segunda ordem com entrada degrau unitário:
• Tempo de subida: precisamos encontrar 𝑐 𝑡 𝑟 = 1.
𝑐 𝑡 𝑟 = 1 − 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 𝑟 cos 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 +
ζ
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟
Como 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 𝑟 não é igual a 0 nunca, então
cos 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 +
ζ
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 = 0
tan 𝑤 𝑑 𝑡 𝑟 =
1 − ζ2
ζ
= −
𝑤 𝑑
𝜎
𝑡 𝑟 =
1
𝑤 𝑑
tan−1 −
𝑤 𝑑
𝜎
• Portanto, para um menor 𝑡 𝑟 utiliza-se um 𝑤 𝑑 maior.
23

24. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas de
segunda ordem com entrada degrau unitário :
• Tempo de pico: pode ser obtido derivando-se a resposta no tempo e
igualando a 0.
𝑑𝑐 𝑡
𝑑𝑡
= ζ𝑤 𝑛 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡
cos 𝑤 𝑑 𝑡 +
ζ
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡
+ 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡
𝑤 𝑑sin 𝑤 𝑑 𝑡 −
ζ𝑤 𝑑
1 − ζ2
cos 𝑤 𝑑 𝑡
𝑑𝑐 𝑡
𝑑𝑡 𝑡=𝑡 𝑝
= 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 𝑝
𝑤 𝑛
1 − ζ2
sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑝
sin 𝑤 𝑑 𝑡 𝑝 = 0
𝑤 𝑑 𝑡 𝑝 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …
• Como o tempo de pico corresponde ao primeiro pico, então
𝑤 𝑑 𝑡 𝑝 = 𝜋 e 𝑡 𝑝 =
𝜋
𝑤 𝑑
.
• O tempo de pico corresponde a meio ciclo da frequência de
oscilação amortecida.
24

25. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para
sistemas de segunda ordem com entrada degrau
unitário :
• Máximo sobre-sinal:
𝑀 𝑝 = 𝑐 𝑡 𝑝 − 1
= 𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝜋 𝑤 𝑑 cos 𝜋 +
ζ
1 − ζ2
sin 𝜋
𝑀 𝑝 = 𝑒− 𝜎 𝑤 𝑑 𝜋 = 𝑒
− ζ 1−ζ2 𝜋
𝑀 𝑝 % = 𝑀 𝑝 × 100 25

26. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para
sistemas de segunda ordem com entrada degrau
unitário :
• Tempo de acomodação:
• Existem curvas envoltórias a resposta 1 ±
𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡
1−ζ2
:
26

27. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para
sistemas de segunda ordem com entrada degrau
unitário :
• Tempo de acomodação:
• A constante de tempo das envoltórias é 𝑇 =
1 ζ𝑤 𝑛.
• O tempo de acomodação pode ser medido através
dessa constante
𝑡 𝑠 = 4𝑇 =
4
ζ𝑤 𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 2%
𝑡 𝑠 = 3𝑇 =
3
ζ𝑤 𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 5% 27

28. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para sistemas
de segunda ordem com entrada degrau unitário :
• O valor do tempo de acomodação é inversamente
proporcional a ζ e 𝑤 𝑛.
• O valor de ζ é em geral determinado a partir da
especificação do sobre-sinal máximo.
• Portanto, o valor do tempo de acomodação é
determinado principalmente pela frequência
natural não amortecida 𝑤 𝑛.
• Todas essas equações foram obtidas para a forma-
padrão do sistema de segunda ordem e portanto
só valem para esses sistemas.
28

29. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para
sistemas de segunda ordem com entrada degrau
unitário :
• Relação entre o máximo sobre-sinal e ζ :
29

30. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso
unitário:
• A resposta ao impulso unitário (𝑅 𝑠 = 1) é:
𝐶(𝑠) =
𝑤 𝑛
2
𝑠2 + 2ζ𝑤 𝑛 𝑠 + 𝑤 𝑛
2
• As transformadas inversas de Laplace são:
• Para 0 ≤ ζ < 1:
c t =
𝑤 𝑛
1 − ζ2
𝑒−ζ𝑤 𝑛 𝑡 sin 𝑤 𝑛 1 − ζ2 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
• Para ζ = 1:
c t = 𝑤 𝑛
2
𝑡𝑒−𝑤 𝑛 𝑡
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0
• Para ζ > 1:
c t =
𝑤 𝑛
2 1 − ζ2
𝑒−(ζ− ζ2−1)𝑤 𝑛 𝑡 − 𝑒−(ζ+ ζ2−1)𝑤 𝑛 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 30

31. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta para sistemas de segunda ordem com
entrada impulso unitário:
31

32. Sistemas de Segunda Ordem
• Resposta para sistemas de segunda ordem com
entrada impulso unitário:
• No caso de subamortecimento a resposta
oscila em torno de zero a assume valores
negativos e positivos.
• No caso do amortecimento crítico e
superamortecimento a resposta é sempre
positiva ou nula.
32

33. Análise de Resposta Transitória
• Especificações da resposta transitória para
sistemas de segunda ordem com entrada
impulso unitário:
• Tempo de pico:
𝑡 𝑝 =
tan−1 1 − ζ2
ζ
𝑤 𝑛 1 − ζ2
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1
• Máximo sobre-sinal:
𝑀 𝑝 = 𝑤 𝑛 exp −
ζ
1 − ζ2
tan−1
1 − ζ2
ζ
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1
33

34. Análise de Resposta Transitória
• Análise com o MATLAB:
• Para encontrar as especificações para a
entrada degrau unitário basta usar a função
stepinfo(sys)
34
freqN = 1;
zeta = 0.6;
num = [freqN*freqN];
den = [1 2*zeta*freqN freqN*freqN];
sys = tf(num,den)
stepinfo(sys)

35. Obrigada!
ays@icmc.usp.br
www.lsec.icmc.usp.br
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