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Estudos de Controle - Aula 7: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário

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Estudos de Controle - Aula 7: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário

  1. 1. Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 1
  2. 2. Sinais de Teste • Sinais de entrada usados para projetar o sistema de controle. • Geralmente, são suficientes para modelar o comportamento do sistema para outras entradas. • Possibilitam a comparação de desempenho dos sistemas em relação a uma mesma base. • São funções de tempo muito simples: degrau, rampa, impulso, senoidais e outras. 2
  3. 3. Resposta Temporal • Constituída de duas partes: • Resposta transitória: do estado inicial ao estado final. • Resposta estacionária: comportamento a medida que o tempo tende ao infinito. 𝑐 𝑡 = 𝑐𝑡𝑟 𝑡 + 𝑐 𝑠𝑠(𝑡) 3
  4. 4. Estabilidade • Estabilidade absoluta: • Se o sistema é estável ou instável. • Sistema de controle linear e invariante no tempo: • Estável se a saída sempre retorna ao estado de equilíbrio a partir de uma condição inicial. • Criticamente estável se as oscilações do sinal de saída se repetirem de maneira contínua a partir de uma condição inicial. • Instável se a saída divergir sem limites a partir de uma condição inicial. 4
  5. 5. Estabilidade 5 Copyright © 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
  6. 6. Sistemas de Primeira Ordem • São sistemas diferenciais que envolvem apenas a primeira derivada da saída: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 1 𝑇𝑠 + 1 6
  7. 7. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: • Degrau unitário: 𝑢 𝑡 = 0, 𝑡 < 0 1, 𝑡 ≥ 0 𝑈 𝑠 = 1 𝑠 • Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 𝑠 , temos: 𝐶 𝑠 = 1 𝑇𝑠 + 1 × 1 𝑠 7
  8. 8. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: • Para analisar a resposta no tempo, devemos obter a transformada inversa de Laplace. • Expandindo em frações parciais: 𝐶 𝑠 = 1 𝑠 − 1 𝑠 + (1 𝑇) • Inversa: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 8
  9. 9. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 9
  10. 10. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao degrau unitário: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 • Analisando a resposta, podemos observar: • Varia de 0 a 1. • Em t = T, o valor de c(T) é 0,632, o que representa 63,2% da sua variação total. • Quanto menor o T, mais rapidamente o sistema responde. • A derivada em t=0 é 1/T. Ou seja, se fosse mantida a velocidade inicial de resposta, o valor final seria alcançado em t=T. 10
  11. 11. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: • Rampa unitária: 𝑢 𝑡 = 0, 𝑡 < 0 𝑡, 𝑡 ≥ 0 𝑈 𝑠 = 1 𝑠2 • Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 𝑠2 , temos: 𝐶 𝑠 = 1 𝑇𝑠 + 1 × 1 𝑠2 11
  12. 12. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: • Expandindo em frações parciais: 𝐶 𝑠 = 1 𝑠2 − 𝑇 𝑠 + 𝑇2 𝑇𝑠 + 1 • A transformada de Laplace inversa é: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇 , para t ≥ 0 12
  13. 13. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 13
  14. 14. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta à rampa unitária: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 • Analisando a resposta, podemos observar: • Existe um erro estacionário: 𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡 = 𝑇(1 − 𝑒−𝑡 𝑇) • Conforme t tende ao infinito, o erro se aproxima de T. • Quanto menor a constante T, menor o erro. 14
  15. 15. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao impulso unitário: • Impulso unitário: 𝛿 𝜖 = 0, 𝑡 < 0 1 𝜖 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜖 0, 𝑡 > 𝜖 𝛿 𝑡 = lim 𝜖→0 𝛿 𝜖 𝛿 𝑠 = 1 15
  16. 16. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao impulso unitário: • Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1 , temos: 𝐶 𝑠 = 1 𝑇𝑠 + 1 • A transformada de Laplace inversa é: 𝑐 𝑡 = 1 𝑇 𝑒−𝑡 𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 16
  17. 17. Sistemas de Primeira Ordem • Resposta ao impulso unitário: 𝑐 𝑡 = 1 𝑇 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 17
  18. 18. Sistemas de Primeira Ordem • Propriedade de sistemas lineares invariantes no tempo: • Resposta à rampa unitária: 𝑐 𝑡 = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒−𝑡 𝑇 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 • Resposta ao degrau unitário (derivada da rampa): 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 • Resposta ao impulso unitário (derivada do degrau): 𝑐 𝑡 = 1 𝑇 𝑒−𝑡 𝑇, para t ≥ 0 18
  19. 19. Sistemas de Primeira Ordem • Propriedade de sistemas lineares invariantes no tempo: • A resposta à derivada de um sinal pode ser obtida diferenciando-se a resposta do sinal original. • A resposta à integral do sinal original pode ser obtida pela integração da resposta do sinal original e pela determinação da constante a partir da condição inicial de resposta nula. 19
  20. 20. Sistemas de Primeira Ordem • Análise com o MATLAB: • Representação de sistemas lineares como função de transferência: tf(num, den). • Exemplo: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 1 5𝑠 + 1 • Resposta ao degrau unitário: step(sys) ou step(num,den). 20 num = [1] den = [5 1] sys = tf(num,den) num = [1] den = [5 1] sys = tf(num,den) step(sys) num = [1] den = [5 1] step(num, den)
  21. 21. Sistemas de Primeira Ordem • Análise com o MATLAB: • Resposta ao impulso unitário: impulse(sys) ou impulse(num,den). • Resposta a uma entrada arbitrária: lsim(num, den, r, t) 21 num = [1] den = [5 1] sys = tf(num,den) impulse(sys) num = [1] den = [5 1] impulse(num, den) num = [1] den = [5 1] t = 0:0.1:10 r = t lsim(num, den, r, t)
  22. 22. Obrigada! ays@icmc.usp.br www.lsec.icmc.usp.br 22

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