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La parabola nei problemi di scelta

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Le applicazioni economiche della parabola e breve sintesi sulla ricerca operativa

La parabola nei problemi di scelta

  1. 1. La parabola e la sua interpretazione economica<br />In questa presentazione tratteremo la Ricerca Operativa con le sue principali applicazioni nei problemi di scelta nel caso continuo<br />Ci soffermeremo in modo particolare, come oggetto del corso, nell’analizzare le applicazioni della parabola a fenomeni economici, in presenza ed in assenza di vincoli tecnici e con la presenza di vincoli di segno<br />Per una maggiore chiarezza sulla contestualizzazione dell’analisi sulla parabola, abbiamo ritenuto opportuno trattare brevemente anche temi collegati, quali una breve sintesi sulla disciplina economica oggetto di studio e una breve analisi sulle sue applicazioni alla funzione lineare sia nei problemi di scelta nel caso continuo sia nei problemi di scelta fra più alternative.<br />
  2. 2. La Ricerca Operativa:<br /> Storia e definizione<br /> Fasi<br /> Classificazione dei problemi di scelta<br />Problemi di scelta nel caso continuo<br />Problema con funzione obiettivo retta<br />Problema con funzione obiettivo parabola (con soli vincoli di segno)<br /> Problema con funzione obiettivo parabola (con vincoli tecnici oltre a quelli di segno)<br />Problemi di scelta fra più alternative<br />Caso minimo<br />Caso massimo<br />
  3. 3. Storia e definizione<br />Storia :<br />La ricerca operativa si sviluppò intorno al 1939, quando in Inghilterra si rivelò necessario risolvere il problema della difesa antiaerea degli attacchi dei bombardieri tedeschi.<br />Contemporaneamente i militari americani, per difendersi dai sommergibili tedeschi e non essendo sufficienti le strategie belliche, si rivolsero a gruppi di scienziati progettando questo nuovo modo di operare. Successivamente, le nuove metodologie furono applicate al mondo dell’economia e dell’industria.<br />Definizione :<br />La ricerca operativa è l’ applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a problemi che comportano il controllo di sistemi organizzati uomo-macchina al fine di raggiungere soluzioni che meglio servono all’ organizzazione del suo insieme.<br />
  4. 4. Fasi<br />Formulazione del problema :si esaminano i dati e le informazioni, si prefissano gli obiettivi da raggiungere e i vincoli che li limitano;<br />Raccolta delle informazioni :le informazioni devono essere il più possibile ampie e dettagliate per poi essere esaminate ed elaborate;<br />Costruzione del modello matematico :un modello matematico che rappresenti in modo chiaro il problema con le variabili d’azione, i vincoli tecnici e i vincoli di segno;<br />Risoluzione del modello :fatto con i metodi tradizionali della matematica;la soluzione ottima è un elemento della regione ammissibile che rende minima o massima la funzione obiettiva prefissata.<br />Controllo del modello e delle soluzioni ottenute :si verifica che il modello teorico rappresenti abbastanza bene la realtà e che preveda o no gli effetti dovuti a variazioni del fenomeno analizzato, con gli opportuni adattamenti;<br />
  5. 5. Classificazione dei<br />problemi di scelta<br />Problemi discreti e continui:<br /><ul><li>Discreti :quando le variabile d’azione possono assumere solo valori interni all’interno dei loro intervalli di variabilità;
  6. 6. Continui :quando le variabili possono assumere tutti i valori nel loro intervallo di variabilità; la scelta avviene fra un numero infinito di possibilità.</li></li></ul><li>Problemi in una o più variabili :<br /><ul><li>In condizioni di certezza : i dati sono sicuri e fissi e la conseguenza è determinata a priori;
  7. 7. In condizioni di incertezza : i dati dipendono da eventi casuali che hanno una certa probabilità di verificarsi.</li></ul>Problemi con effetti immediati o differiti :<br /><ul><li>Effetti immediati,se il tempo intercorrente fra la decisone e la realizzazione è rapido;
  8. 8. Effetti differiti,se invece bisogna valutare il tempo intercorrente fra la decisone e l’attuazione della scelta, come per esempio gli investimenti.</li></li></ul><li>Problemi di scelta <br />nel caso continuo<br />I termini più usati nei problemi di scelta sono i seguenti.<br />Costi : costituiti dalla somma dei costi fissi e dei costi variabili.<br /><ul><li>Costi Fissi : non dipendono dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti;
  9. 9. Costi variabili : dipendono dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti.</li></ul>La somma di questi da il costo totale, indicato con C(x).<br />La funzione costo sarà quindi: C(x)= C.f. + C.v.<br />
  10. 10. Ricavo : ciò che ottiene un’azienda dalla vendita dei suoi prodotti. <br />Può essere con concorrenza perfetta, quando il prezzo è fisso ed è indicato con la funzione R(x)= p·x, cioè prezzo di vendita moltiplicato per la quantità di prodotto venduto, oppure con monopolio, dove il prezzo dipende dalla domanda.<br />Guadagno (o utile o ricavo) : è la differenza fra il ricavo e il costo totale.<br />La funzione guadagno sarà quindi : G(x)= R(x) – C(x) <br />
  11. 11. Il grafico di una funzione obiettivo può essere una retta, una parabola, un’iperbole oppure è espressa da più funzioni.<br />Se la funzione obiettivo è una retta (crescente), il grafico risulterà diviso in due sezioni: la parte superiore sarà la zona di guadagno o utile mentre quella inferiore la zona di perdita. (Fig.1)<br />Volevo rappresentare la funzione costo e la funzione ricavo, noteremo che le due rette si intersecano in un punto che divide le due zone: questo è detto break- evenpoint, punto di rottura o di equilibrio economico. (Fig.2)<br />Fig.1<br />Fig.2<br />
  12. 12. PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO RETTA<br />Per produrre una certa merce, si sostengono costi fissi di € 700 e un costo per ogni chilogrammo di merce di € 3,45. La produzione massima consentita è di 650 kg. La merce viene rivenduta a € 5,72 il chilogrammo. Determiniamo quanta merce bisogna vendere per avere il massimo guadagno.<br />La nostra funzione ricavo è R(x)= 5,72x<br />e la funzione costo è C(x)= 3,45x + 700<br />Possiamo svolgere il problema in due modi.<br />1°MODO.<br />Mettendo a sistema le due funzioni otterremo il punto di intersezione P.1<br />{<br />{<br />{<br />y = 5,72x<br />y =5,72x<br />y = 5,72x<br />y =3,45x + 700<br />5,72x = 3,45x + 700<br />2,27x – 700 = 0<br />{<br />{<br />{<br />y = 5,75<br />y = 5,75<br />y = 5,75 · (308,37) = 1763,88<br />x = 308,37<br />x = 308,37 <br />2,27x = 700<br />P(308,37);(1763,88)<br />
  13. 13. Rappresentiamo graficamente le due funzioni ricavo e costo.<br />Vediamo che per 308,37 kg i costi eguagliano i ricavi, dopodichè i ricavi sono superiori ai costi e si ha un guadagno che cresce fino al massimo consentito di produzione di 650 kg.<br />Il guadagno massimo sarà quindi:<br />R(650) – C(650) = 5,75 · 650 – 3,45 · 650 – 700 = 775,50.<br />
  14. 14. 2°MODO<br />Determiniamo la funzione guadagno G(x) = R(x) – C(x), dopodichè la rappresentiamo graficamente.<br />y = 5,75x – (3,45x + 700) y = 2,27x - 700<br />Determiniamo il punto in cui incontra l’asse delle x, cioè il punto per cui la funzione vale zero, attraverso il sistema<br />{<br />y = 0<br />A(308,37;0)<br />y = 2,27x - 700<br />Prima di A il guadagno è negativo, in A è zero, dopo A cresce fino al massimo consentito dalla produzione, cioè per x = 650.<br />Il massimo guadagno è pertanto y(650) = 2,27· 650 – 700 = 775,50.<br />In entrambi i modi abbiamo ottenuto lo stesso risultato: il massimo guadagno è di € 775,50 per 650 kg di merce prodotta.<br />
  15. 15. PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO PARABOLA (con soli vincoli di segno)<br />Una ditta produttrice di detersivi per lavatrici ha costi al litro di € 2 e sostiene una spesa fissa settimanale di € 100. La ditta prevede di ricavare dalla vendita € 3 al litro con una spesa di vendita per ogni litro pari a del numero di litri<br />venduti. Calcolare il numero di litri che la ditta deve produrre per ottenere il massimo guadagno e quanti per non essere in perdita.<br />Dati<br />C(x) = 2x + 100 R(x) = 3x – (0,001x)x G(x) = 3x – 0,001x ² - 2x – 100 = - 0,001x² + x – 100<br />Troviamo ora le coordinate del vertice.<br />V(500;150)<br />Calcoliamo poi le coordinate dei punti di intersezione con l’asse delle x.<br />G(x) = -0,001x ² + x – 100<br /><ul><li>0,001x ² + x – 100 = 0</li></ul>xa = 112,7 xb = 887,3 A(112,7;0) B(887,3;0)<br />
  16. 16. Otterremo questo grafico :<br />CONCLUSIONI<br />Notiamo che con la produzione di 112,7 litri di detersivo il guadagno della ditta è ancora nullo e inizia a crescere da lì in poi, raggiungendo il massimo di 150 € con la produzione di 500 litri, corrispondenti, rispettivamente, all’ordinata e all’ascissa del vertice.<br />
  17. 17. PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO PARABOLA (con vincoli tecnici oltre a quelli di segno)<br />Riprendiamo ora il problema precedente introducendo un vincolo tecnico.<br />La stessa ditta, infatti, la prima settimana può produrre al massimo 400 litri di detersivo (Fig. 1) e la seconda 650 (Fig.2).<br />Fig.2<br />Fig.1<br />CONCLUSIONI<br />Essendo il vincolo tecnico prima del vertice, il massimo guadagno si ha in corrispondenza della massima produzione settimanale consentita, cioè 400 litri, ed è di 140 €.<br />CONCLUSIONI<br />Il vincolo tecnico si trova dopo il vertice, pertanto il massimo guadagno sarà di 150 €, uguale a quello raggiunto nel problema iniziale senza vincoli.<br />
  18. 18. PROBLEMI DI SCELTA FRA PIU’ ALTERNATIVE<br />Lo scopo è determinare per quali intervalli di variabilità della x una funzione è superiore o inferiore a un’altra,scegliendo tra funzioni dello stesso tipo oppure di tipo diverso.<br />I punti di incontro fra le funzioni obiettivo sono chiamati Punti di Indifferenza.<br />Questi problemi possono essere di minimo o dimassimo: se il problema è di minimo viene scelta l’ alternativa rappresentata dalla funzione al di sotto, se il problema è di massimo dalla funzione al di sopra.<br />L’esempio presentato qui di seguito è un problema di minimo.<br />Un artigiano necessita per la sua attività di un autofurgone per trasporto merci. Con le caratteristiche desiderate,in commercio ne esistono 3 diversi tipi. Il tipo A ha un costo d’acquisto di 9000 € e costi successivi di manutenzione di 0,6 € per chilometro. Il tipo B ha un costo d’acquisto 15 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,20 € per chilometro. Il tipo C ha un costo d’acquisto di 18 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,1375 € per chilometro. Determinare quale autofurgone gli conviene acquistare.<br />Indichiamo con la x il numero di km che l’artigiano prevede di percorrere e con Ya, Yb e Yc le funzioni costo; abbiamo quindi:<br />Ya = 0,6 x + 9000 Yb = 0,20 x + 15 000 Yc = 0,1375 x + 18 000<br />Determiniamo poi in quali intervalli di variabilità della x una delle funzioni assume valori inferiori a quelle delle altre due.<br />Ya = 0,6 x + 9000<br />Yb = 0,20 x + 15 000 con x ≥ 0 <br />Yc = 0,1375 x + 18 000<br />
  19. 19. Per rispondere al problema, però, è necessario ricavare le coordinate dei punti Q e R in cui cambiano le situazioni.<br />{<br />{<br />y = 0,6 x + 9000<br />x = 15 000<br />Q( 15 000; 18 000)<br />y = 0,20 x + 15 000<br />y = 18 000<br />{<br />{<br />y = 0,1375 x + 18 000<br />x = 48 000<br />R(48 000; 24 000)<br />y = 0,20 x + 15 000<br />y = 24 000<br />L’alternativa A (P) è più conveniente se l’artigiano prevede di percorrere meno di 15 000 km.<br />L’alternativa B (Q) se prevede di percorrere da 15 000 a 48 000 km.<br />L’alternativa C (R) se prevede di percorrere più di 48 000 km.<br />
  20. 20. Esaminiamo ora un problema di massimo.<br />Una ditta che produce articoli da vendere a domicilio,deve assumere rappresentanti di commercio ai quali offre le tre seguenti possibilità di retribuzione.<br />A) Stipendio fisso mensile di 1000 € più 0,25 € per ogni articolo venduto.<br />B) Stipendio fisso mensile di 800 € più 0,50 € per ogni articolo venduto.<br />C) Stipendio fisso mensile di 500 € più 0,65 € per ogni articolo venduto.<br />Qual è la retribuzione più conveniente per un rappresentante?<br />Indichiamo con y1, y2 e y3 i tre stipendi e individuiamo quale delle tre funzioni risulta superiore alle altre due:<br />Y1= 0,25 x + 1000<br />Y2= 0,50 x + 800 x ≥ 0<br />Y3= 0,65 x + 500<br />
  21. 21. Calcoliamo poi le coordinate dei punti P e Q.<br />{<br />{<br />y = 0,5 x + 800<br />x = 800<br />P(800;1200)<br />y = 0,25 x + 1000<br />y = 1200<br />{<br />{<br />y = 0,65 x + 500<br /> x = 2000<br />Q(2000;1800)<br />y = 0,5 x + 800<br />y = 1800<br />Dal grafico notiamo che, per un numero di articoli venduti inferiore a 800, l’alternativa più redditizia risulta essere la P.<br />Per un numero di articoli venduti tra 800 e 2000 la più redditizia è la Q.<br />Invece, per un numero di articoli venduti superiori a 2000, l’alternativa più conveniente è la terza.<br />
  • NicoleGurin

    Mar. 18, 2020
  • TizianaA1

    Feb. 23, 2019
  • NitashaAfzal

    Apr. 6, 2016

Le applicazioni economiche della parabola e breve sintesi sulla ricerca operativa

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