Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Proposiciones logicas

71,075 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Proposiciones logicas

  1. 1. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” I CICLO PROPOSICIONES LÓGICAS MATEMÁTICAS I. CONCEPTO DE PROPOSICION Las proposiciones constituyen los elementos de inferencia, es decir, son parte de todo proceso de razonamiento lógico, por eso es preciso estudiar todo lo concerniente a ellas. Consideremos en primer lugar, que a toda expresión u oración del lenguaje se le denomina enunciado. Así por ejemplo, consideremos los siguientes enunciados: 1. El rectángulo es cuadrilátero 2. La suma de dos números impares es impar 3. Fujimori fue presidente del Perú 4. ¿Cuándo es el examen? 5. ¡Viva la matemática! 6. No ensucie la pared. II. CLASES DE PROPOSICIONES Consideremos los ejemplos: a) La proposición “Juan es un abogado y profesor”, se puede descomponer en las proposiciones. “Juan es abogado” y “Juan es profesor”, que son proposiciones en su forma más elemental, que constan de un sujeto: Juan y de un predicado: es abogado, en el primer caso, o es profesor en el segundo. Estas proposiciones reciben el nombre de proposiciones simples o atómicas. De ahí que, la proposición “Juan es un abogado y profesor”, no es simple, y se llama compuesta o molecular. b) La proposición “Rosa y María son amigas”, no se puede descomponer en otras proposiciones simples, pues si las descompondríamos en “Rosa es amiga” y “María es amiga”, estas no son proposiciones porque no tiene sentido decir que son verdaderas o No son proposiciones porque no se puede saber si es “V” o “F” V F V PROPOSICION, es todo enunciado al cual, con buen sentido, se le puede asignar uno y sólo uno de los llamados valores de verdad o valores veritativos: VERDADERO(1) o FALSO(0)
  2. 2. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” falsas. Por lo tanto, esta proposición es simple, y consta de dos sujetos y un predicado y equivale a decir “Rosa es amiga de María”. c) La proposición “Un número no es positivo”, es la negación de la proposición “Un número es positivo”, que es una proposición simple o atómica, de tal manera que la negación de ésta, no constituye una proposición simple, sino molecular o compuesta. 2.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS Ejemplos: a) 8 es un número par. b) Juan tiene más edad que Pedro. c) 7, 9, 11 son primos entre sí. d) Seré un buen profesional en mecánica automotriz(Aquí el sujeto está tácito y es “yo”) Notación: Las proposiciones simples o atómicas se simbolizan por letras: p, q, r, s, t P1, P2, P3 P, Q, R, S, T Así por ejemplo, la proposición “Hoy día hay clases de matemática”, lo podemos representar por la variable p, de tal forma que resulta. P= “Hoy día hay clases de matemática” 2.2. PROPOSICIÓN MOLECULA Ejemplo: “La matemática es divina” “La lógica es interesante” Con ellas se puede formar proposiciones compuestas tales como: a) La matemática es divina y la lógica es interesante. b) La matemática es divina o la lógica es interesante. c) Si la matemática es divina, entonces la lógica es interesante. d) La matemática no es divina. Es la proposición en su forma más elemental, consta de uno o varios sujetos y de un solo predicado que afirma algo en torno a dichos sujetos. VARIABLES PROPOSICIONALES Porque reemplazan a cualquier proposición. Es la proposición que está constituida por dos o más proposiciones simples o atómicas, o es una negación.
  3. 3. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” III. CONECTIVOS LÓGICOS CONECTIVO LÓGICO SÍMBOLO OPERACIÓN ASOCIADA SIMBOLIZACIÓN SIGNIFICADO …y… Conjunción P y q … o… Disyunción Inclusiva P o q o ambos O…o… Disyunción Exclusiva P o q pero no ambos Si…, entonces Condicional Si p, entonces q …Si y sólo si… Bicondicional P si y sólo si q …no… Negación No p Ni…ni… Negación Conjunta Ni p ni q No…o no… Negación Alterna No p o no q TABLAS DE VERDAD  Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada P  P 1V 0F 0F 1V  Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta. P Q P  Q 1V 1V 1V 1V 0F 0F 0F 1V 0F 0F 0F 0F
  4. 4. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas”  Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes. P Q P  Q 1V 1V 1 V 1V 0F 1 V 0F 1V 1 V 0F 0F 0 F  Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad. P Q PQ 1V 1V 1V 1V 0F 0F 0F 1V 1V 0F 0F 1V  Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad. P Q P Q 1V 1V 1V 1V 0F 0F 0F 1V 0F 0F 0f 1V EJERCICIOS RESUELTOS (p Λ ¬ p) → q 1 1 0 0 0 0 0 0 2º 0 0 1 1 1º 1 1 0 0 1 1 1 1 3º 1 0 1 0 (p V q) ↔ (q V p) 1 1 0 0 1 1 1 0 1º 1 0 1 0 1 1 1 1 2º 1 0 1 0 1 1 1 0 1º 1 1 0 0
  5. 5. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” 1. Simboliza las siguientes proposiciones: a. No vi la película, pero leí la novela: ¬p ˄ q b. Ni vi la película ni leí la novela: ¬p ˄ ¬q c. No es cierto que viese la película y leyese la novela: ¬ (p ˄ q) d. Vi la película aunque no leí la novela: p ˄ ¬q e. No me gusta trasnochar ni madrugar: ¬p ˄ ¬q f. O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído: p ˅ q (p Λ q) → p 1 1 0 0 1 0 0 0 1º 1 0 1 0 1 1 1 1 2º 1 1 0 0 (p V q) → q 1 1 0 0 1 1 1 0 1º 1 0 1 0 1 0 1 1 2º 1 0 1 0 [(p → q) Λ ¬ q] → ¬ p 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
  6. 6. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” g. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí: ¬p → ¬q h. Llueve y o bien nieva o sopla el viento: p ˄ (q ˅ r) i. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento: (p ˄ q) ˅ r) j. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles: p → (¬q ˄ ¬r) k. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura: p ↔ q l. Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis: p → q, r → q |- (p ˅ r) → 2. Simboliza: a. Si p, entonces q: p → q b. No es el caso que p y q: ¬ (p ˄ q) c. p solamente si q y no-r: p ↔ (q ˄ ¬r) d. p o no-q: p ˅ ¬q e. Si p y q, entonces no-r o s: (p ˄ q) → (¬r ˅ s) f. Si p, entonces q, y si q, entonces p: (p → q) ˄ (q → p)
  7. 7. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” g. Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r: (p ˄ q) → r, p |- q → r h. Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t (p ˄ q) → r, (r ˄ s) → t |- (p ˄ q ˄ s) → t TAREA Construye las tablas de verdad de: a. ¬p ˄ q b. ¬p ˄ ¬q c. (p ˅ ¬q) ˅ p d. (p → q) ˄ p e. (p ↔ q) ˄ ¬p f. [¬(p → q) ˅ (p ↔ q)] ˄ [(¬p → q) ˅ ¬p]
  8. 8. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” LÓGICA Y FUNCIONES PRÁCTICA DIRIGIDA PARTE I Analice y marcar con una X, en caso sea SI o No, y explique el Por qué en ambos casos. Nº LISTA DE PROPOSICIONES Y NO PROPOSICIONES ES PROPOSICIÓN? EXPLICAR ¿POR QUÉ? 1 Saturno gira en torno al sol. SI NO 2 Dime mejor muchacho si no es mejor esperar a la muerte dormido SI NO 3 Cada paso del teorema de Thales. SI NO 4 Mañana será feriado. SI NO 5 Hay vida en Júpiter SI NO 6 Yo soy aquel SI NO 7 ¡Dios mío que la profesora me apruebe! SI NO 8 El reglamento debe ser cambiado por otro mejor. SI NO 9 El presidente del Perú debe ser elegido por un periodo de cuatro años. SI NO 10 Si yo llegara a las estrellas SI NO 11 ¡Ya llegó mi turno! SI NO 12 ¿Me odias? SI NO 13 Desearía que te comportaras mejor SI NO 14 Todo rombo es un cuadrado SI NO 15 La adición de pares ordenados de números naturales. SI NO 16 Dos rectas paralelas determinan un plano SI NO
  9. 9. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” 17 Estudiar es triunfar SI NO 18 Cada vez que te miro Casimiro. SI NO 19 Llueve SI NO 29 Juan ama a Rosa. SI NO 30 Quisiera ira a la fiesta que me invitaron. SI NO 31 ¿Qué es Lógica? SI NO 32 4 + 4 = 8 SI NO 33 Quisiera poderte ayudar. SI NO 34 !Por Júpiter!, !Casi me saco la lotería! SI NO 35 ¡Espero que te mejores! SI NO 36 El número dos es par, pero el número tres es impar. SI NO 37 Ojalá apruebe el módulo de matemática. SI NO 38 Lorenzo es inteligente, sin embargo es floja SI NO 39 3 > 5 SI NO 40 La materia ni se crea ni se destruye. SI NO
  10. 10. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” PARTE II  Analice si las siguientes proposiciones son Atómicas o Moleculares, en caso de ser moleculares subrayar los conectores lógicos. 1. Carlos vive en Perú o en Chile. 2. Si los mamíferos son mortales, entonces la especie está en extinción 3. Los turistas enamoran y se van 4. El principito no podía comprender a la gente adulta 5. Mark y Ana son actores. 6. Manuel es hermano de Abel y Sofía 7. Un polígono es un pentágono si y solo sí tiene cinco lados. 8. Dos de los congresistas son Cajamarquinos 9. Los estudiantes peruanos tienen mucha personalidad 10. Roberto y Sandra son limeños 11. Los peces son acuáticos porque respiran por branquias 12. Iré a verte aunque llueva 13. Este libro tiene más páginas que aquel otro 14. Tan bueno es Juan como Pedro 15. Sin libertad de expresión no hay democracia 16. La materia no se crea ni se destruye 17. Si la memoria no me engaña mañana es tu cumpleaños 18. Callar es otorgar 19. La matemática es una ciencia exacta sin embargo es muy formativa 20. Ni estudias ni trabajas
  11. 11. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas” LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL Dos esquemas o dos proposiciones, por ejemplo A y B, son equivalentes, cuando unidos por bicondicional el resultado es una tautología. A ≡ B que se lee “A es equivalente a B”
  12. 12. INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA MÓDULO: MATEMÁTICA UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES ____________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu Dios estará contigo en donde quiera que vayas”

×