Logica de Primer Orden.

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Logica de Primer Orden.

  1. 1. Lógica de Primer Orden (FOL o LPO) Cuantificadores
  2. 2. Listado de tópicos <ul><li>Proposición abierta / Proposición cerrada. </li></ul><ul><li>Variables en una proposición </li></ul><ul><li>Predicado </li></ul><ul><li>Cuantificadores: Universal y existencial </li></ul><ul><li>Variables libres y atadas. </li></ul><ul><li>Cuándo son ciertas? </li></ul><ul><li>Algunas equivalencias </li></ul>
  3. 3. Proposiciones abiertas <ul><li>Una oración declarativa es una proposición abierta si: </li></ul><ul><ul><li>Contiene una o más variables. </li></ul></ul><ul><ul><li>No es una proposición, pero </li></ul></ul><ul><ul><li>Se puede convertir en una proposición cuando las variables se sustituyen por ciertos valores permisibles especificados en un Universo de Discurso . </li></ul></ul>
  4. 4. Ejemplos <ul><li>El universo de discurso es el conjunto de todos los numeros enteros. </li></ul><ul><li>q(x): El número x+2 es un entero impar </li></ul><ul><li>r(y): 2y es un entero par </li></ul><ul><li>s(x, y): (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 </li></ul><ul><li>t(x, y): x 2 + y 2 = 25 </li></ul>
  5. 5. Proposiciones cuantificadas <ul><li>Cuantificador Universal: </li></ul><ul><ul><li> x ... Para toda x ... Para cada x ... Para cualquier x ... </li></ul></ul><ul><ul><li> x  y ...  x,y ... Para toda x y toda y ... </li></ul></ul><ul><ul><li> Ejemplo:  y r(y) </li></ul></ul>
  6. 6. Proposiciones cuantificadas <ul><li>Cuantificador Existencial: </li></ul><ul><ul><li> x ... Para alguna x ... Para al menos un valor de x ... Existe una x tal que ... </li></ul></ul><ul><ul><li> x  y ...  x,y ... Para alguna x y alguna y ... </li></ul></ul><ul><ul><li> Ejemplo:  x,y t(x,y) </li></ul></ul>
  7. 7. Ejemplo <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Toda x tal que x es un número real. </li></ul></ul><ul><li>Sea p(x): x  0 </li></ul><ul><li>Sea q(x): x 2  0 </li></ul><ul><li> x [ p(x)  q(x)] </li></ul><ul><li> x [ p(x)  q(x)] </li></ul>
  8. 8. Equivalencias e implicaciones <ul><li>Se dice que q(x) y q(x) son lógicamente equivalentes (  x [ p(x)  q(x)] ) para un universo dado, cuando p(a)  q(a) es verdadera para toda “a” en ese universo. </li></ul><ul><li>Se dice que p(x) implica lógicamente a q(x) (  x [ p(x)  q(x)] ) para un universo dado, cuando p(a)  q(a) es verdadera para toda “a” en ese universo. </li></ul>
  9. 9. Ejemplo <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los triángulos del plano. </li></ul></ul><ul><li>p(x): x es un equilatero. </li></ul><ul><li>q(x): x es equiangular. </li></ul>
  10. 10. Implicaciones, contrapositivas, recíprocas e inversas <ul><li> x [ p(x)  q(x)] </li></ul><ul><li> x [ ~q(x)  ~p(x)] </li></ul><ul><li> x [ q(x)  p(x)] </li></ul><ul><li> x [ ~p(x)  ~q(x)] </li></ul>
  11. 11. Ejemplo <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los cuadriláteros del plano. </li></ul></ul><ul><li>r(x): x es un cuadrado. </li></ul><ul><li>s(x): x es equilatero. </li></ul>
  12. 12. Valores de verdad <ul><li>Cuándo es verdad? ... ...Cuándo es metira? </li></ul><ul><ul><li> x p(x) </li></ul></ul><ul><ul><li> x p(x) </li></ul></ul><ul><ul><li> x ~ p(x) </li></ul></ul><ul><ul><li> x ~ p(x) </li></ul></ul>
  13. 13. Ejemplo <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los números enteros. </li></ul></ul><ul><li>t(x): 2x + 1 = 5. </li></ul><ul><li>u(x): x 2 = 9. </li></ul><ul><li> x [ t(x)  u(x)] ... ? </li></ul>
  14. 14. Distribución de cuantificadores <ul><li>Para cualesquiera proposiciones abiertas de una sola variable p(x) y q(x) y un universo dado: </li></ul><ul><li> x [ p(x)  q(x)]   x p(x)   x q(x) </li></ul><ul><li> x [ p(x)  q(x)]   x p(x)   x q(x) </li></ul><ul><li> x [ p(x)  q(x)]   x p(x)   x q(x) </li></ul><ul><li> x p(x)   x q(x)   x [ p(x)  q(x)] </li></ul>
  15. 15. Ejemplo <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los números reales. </li></ul></ul><ul><li>p(x): x es un número racional. </li></ul><ul><li>q(x): x es un número irracional. </li></ul><ul><li> x [ p(x)  q(x)] </li></ul>
  16. 16. Ejemplos <ul><li>Sean p y q proposiciones abiertas para algún Universo dado. </li></ul><ul><li> x ~ ~ p(x)   x p(x) </li></ul><ul><li> x ~ [ p(x)  q(x)]   x [ ~ p(x)  ~ q(x)] </li></ul>
  17. 17. Negación de cuantificadores <ul><li>Para cualesquiera proposicion abierta con un quatificador y un universo dado: </li></ul><ul><li>~ [  x p(x)]   x ~ p(x) </li></ul><ul><li>~ [  x p(x)]   x ~ p(x) </li></ul><ul><li>~ [  x ~ p(x)]   x p(x) </li></ul><ul><li>~ [  x ~ p(x)]   x p(x) </li></ul>
  18. 18. Ejemplo <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los números enteros. </li></ul></ul><ul><li>p(x): x es impar. </li></ul><ul><li>q(x): x 2 - 1 es par. </li></ul><ul><li>Si x es impar, entonces x 2 - 1 es par. </li></ul>
  19. 19. Ejemplo re-visitado <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los números enteros. </li></ul></ul><ul><li>t(x): 2x + 1 = 5. </li></ul><ul><li>u(x): x 2 = 9. </li></ul><ul><li> x [ r(t)  u(x)] ... ? </li></ul>
  20. 20. Más de un cuantificador! <ul><li>Una proposición abierta puede contener más de un cuantificador ! </li></ul>
  21. 21. Ejemplos <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los números reales. </li></ul></ul><ul><li> x  y [x + y = y + x] </li></ul><ul><li> x  y [x + y = 6] </li></ul>
  22. 22. Conmutación de cuantificadores <ul><li>Cuando tenemos proposiciones con únicamente cuantificadores del mismo tipo: </li></ul><ul><li> x  y p(x,y)   y  x p(x,y) </li></ul><ul><li> x  y p(x,y)   y  x p(x,y) </li></ul>
  23. 23. Mezclando cuantificadores! <ul><li>Cuando la proposiciones lleva ambos cuantificadores al mismo tiempo ... </li></ul><ul><li>¡¡¡ CUIDADO !!! </li></ul>
  24. 24. Ejemplo <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los números enteros. </li></ul></ul><ul><li>Sea p(x, y): x + y = 17 </li></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li> x  y p(x,y) </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li> y  x p(x,y) </li></ul></ul></ul></ul></ul>
  25. 25. ... Bailamos? <ul><li>Universo de discurso: </li></ul><ul><ul><li>Todos los seres humanos. </li></ul></ul><ul><li>p(x): x es hombre. </li></ul><ul><li>q(y): y es mujer. </li></ul><ul><li>R(x, y): x baila con y. </li></ul><ul><li> x  y {[ p(x)  q(y)]  r(x,y)} </li></ul><ul><li> y  x {[ p(x)  q(y)]  r(x,y)} </li></ul>
  26. 26. Simplificando <ul><li>Universo de discurso: todos los números reales. </li></ul><ul><li>Refute y simplifique la siguiente proposición: </li></ul><ul><li> x  y [(x > y)  (x - y  0)] </li></ul>

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