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Tema 8
Transformada de Laplace
8.1 Introducci´on. Transformadas Integrales
Puede decirse que los m´etodos cl´asicos para l...
2 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
En este tema no se har´a un estudio te´orico riguroso de la transformada de Laplace,
sin...
8.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3
8.2 Transformada de Laplace
Definici´on 8.2 Sea f(t) una funci´on definida en [0, +∞) . Se de...
4 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema 8.2 Si f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden exponencial α,
entonc...
8.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 5
Teorema 8.9 Si en el teorema anterior f(t) no es continua en x = 0, pero en lim
t→0...
6 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definici´on 8.5 La transformada inversa de Laplace de F(s) es aquella funci´on ´unica f(t...
8.5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 7
8.5.1 Transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones
raci...
8 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Recordemos que L{cos bt} =
s
s2 + b2
y L{eat
cos bt} =
s − a
(s − a)2
+ b2
An´alogamente...
8.7. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES 9
Sean Y (s) y F(s) las transformadas de laplace de y(t) y f(t) respec...
10 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Muchas funciones discontinuas se pueden expresar en t´erminos de funciones escal´on
uni...
8.8. LA FUNCI ´ON DELTA DE DIRAC 11
Integrando en el intervalo [0, ∞) se tiene
∞
0 ( ∞
0 e−st
f(t)dt)ds = ∞
0 F(s)ds =⇒ ∞
...
12 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
8.9 La integral de convoluci´on
Ya ve´ıamos anteriormente, que al resolver problemas de...
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Derivada de la transformada

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DErivada de una transformada

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Derivada de la transformada

  1. 1. Tema 8 Transformada de Laplace 8.1 Introducci´on. Transformadas Integrales Puede decirse que los m´etodos cl´asicos para la resoluci´on de problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva t´ecnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de Heaviside (electrot´ecnico ingl´es de fines del siglo pasado), ha sido desarrollada durante los ´ultimos a˜nos, y tiene ciertas ventajas sobre el m´etodo cl´asico. Heaviside (aproximadamente 1.890) se interes´o originalmente en la resoluci´on de E.D.O. con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ıa de circuitos el´ectricos. M´as tarde, ´el mismo extendi´o su m´etodo a las E.D.P. que aparecen en electromagnetismo y conducci´on de calor. Fue tal el poder de su m´etodo, que resolvi´o muchos problemas hasta entonces irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma m´as adaptable al C´alculo Num´erico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van der Pool, fundamentaron el c´alculo de Heaviside sobre una base m´as s´olida. En un trabajo reciente, efectuado por Doetsch y otros, sobre la transformaci´on de Laplace, se unifica la teor´ıa desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. General- mente, el empleo de una transformada integral reducir´a una E.D.P. en n variables independientes a una con n − 1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del pro- blema en estudio. En algunos casos, operaciones sucesivas de este tipo pueden reducir el problema a la resoluci´on de una E.D.O. cuya teor´ıa ha sido ampliamente desarrollada. De hecho, operaciones sucesivas pod´ıan reducir el problema a la resoluci´on de una ecuaci´on algebraica, pero s´olo algunas veces merece la pena hacerlo. A´un cuando la transformada de Laplace es de empleo m´as com´un y es particular (conveniente para problemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducci´on de calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resoluci´on de problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica. En la resoluci´on de este tipo de problemas se han empleado con ´exito diferentes transformaciones integrales y no existe raz´on alguna para que el m´etodo no pueda extenderse mediante el uso de otros n´ucleos. 1
  2. 2. 2 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE En este tema no se har´a un estudio te´orico riguroso de la transformada de Laplace, sino su utilizaci´on pr´actica en la resoluci´on de E.D.O. con condiciones iniciales dadas. 8.1.1 Transformadas Integrales Definici´on 8.1 Gran n´umero de importantes funciones del An´alisis Matem´atico pueden expresarse como integrales de la forma g(y) = ∞ −∞ K(x, y) · f(x) · dx Una funci´on g definida por una ecuaci´on de este tipo (en la que la variable y puede ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f . La funci´on K se denomina N´ucleo de la Transformada. Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizan amplia- mente en las matem´aticas puras y aplicadas y son especialmente ´utiles en la resoluci´on de ciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de las transformadas m´as convenientemente usadas son: • Transformada exponencial de Fourier: ∞ −∞ e−ixy f(x)dx • Transformada coseno de Fourier: ∞ 0 cos(xy)f(x)dx • Transformada seno de Fourier: ∞ 0 sen(xy)f(x)dx • Transformada de Laplace: ∞ 0 e−xy f(x)dx • Transformada de Mellin: ∞ 0 xy−1 f(x)dx Como e−ixy = cos(xy) − i sen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la funci´on f se anula en el eje real negativo. Asimismo, la transformada de Laplace est´a relacionada con la transformada de Fourier: si consideramos un valor complejo de y, y = u + iv, u, v ∈ IR podemos escribir ∞ 0 e−xy f(x)dx = ∞ 0 e−ixv · e−xu f(x)dx = ∞ 0 e−ixv φu(x)dx donde φu(x) = e−xu f(x) . Luego la transformada de Laplace puede considerarse como un caso particular de la transformada exponencial de Fourier. Nota Una ecuaci´on del tipo g(y) = ∞ −∞ K(x, y) · f(x) · dx puede escribirse en la forma g = T(f) ´o g = Tf donde T representa el ”operador” que convierte f en g . Ya que la integraci´on est´a involucrada en esa ecuaci´on, el operador T se designa con el nombre de Operador Integral. Es evidente que T es lineal, es decir T(af1 + bf2) = aT(f1) + bT(f2), a, b ∈ IR De esta forma, el operador definido por la transformada de Fourier se representa por F y el definido por la transformada de Laplace por L.
  3. 3. 8.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 8.2 Transformada de Laplace Definici´on 8.2 Sea f(t) una funci´on definida en [0, +∞) . Se define la transformada de Laplace de f(t) a la funci´on F(s) o L{f(t)} definida por la integral F(s) = ∞ 0 e−st f(t)dt para aquellos valores de s ∈ IR ( o lC) para los que est´e definida la integral. N´otese que la integral que aparece es una integral impropia, que est´a definida por ∞ 0 e−st f(t)dt = lim A→∞ A 0 e−st f(t)dt siempre que el l´ımite exista. Antes de discutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta conveniente definir ciertos t´erminos. Definici´on 8.3 Se dice que una funci´on f(t) es continua por segmentos o seccional- mente continua en un intervalo cerrado [a,b] si f(t) es continua en todo punto de [a,b], excepto en un n´umero finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto. Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0, ∞) si lo es en cada intervalo de la forma [0,N] con N > 0. Definici´on 8.4 Se dice que una funci´on f(t) es de orden exponencial α si existen cons- tantes positivas T y M tales que | f(t) |≤ Meαt ∀t ≥ T. 8.2.1 Condiciones suficientes para la existencia de la transfor- mada de Laplace La forma m´as conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral impropia es por medio del siguiente teorema de comparaci´on, que es an´alogo a un teorema similar para series infinitas. Teorema 8.1 (Criterio de comparaci´on para integrales impropias) Si f es seccionalmente continua para t ≥ a, si | f(t) |≤ g(t) cuando t > M, para alguna constante M > 0 y si ∞ M g(t)dt converge, entonces ∞ a f(t)dt tambi´en converge. Por otra parte, si f(t) ≥ g(t) ≥ 0 para t ≥ M y si ∞ M g(t)dt diverge, entonces ∞ a f(t)dt tambi´en diverge. De acuerdo con este teorema, la funci´on f deber´a satisfacer ciertas condiciones para que su transformada de Laplace F exista.
  4. 4. 4 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 8.2 Si f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden exponencial α, entonces L{f}(s) existe ∀s > α. Teorema 8.3 Supongamos que f(t) no est´a acotada cuando t → 0. Adem´as: f(t) es continua por segmentos en cualquier intervalo N1 ≤ t ≤ N con N1 > 0, limt→0 tn f(t) = 0 para cualquier n con 0 < n < 1 y f(t) es una funci´on de orden exponencial α. Entonces, existe L{f(t)} ∀s > α. Nota: Estas condiciones son suficientes, no necesarias. 8.3 Propiedades de la transformada de Laplace Siempre que no se diga lo contrario, supondremos en esta secci´on que f es seccionalmente continua y de orden exponencial. I. Linealidad Teorema 8.4 Si c1, c2 ∈ IR y f1(t), f2(t) son funciones cuyas transformadas respectivas son F1(s), F2(s), entonces L(c1f1(t) + c2f2(t)) = c1L(f1) + c2L(f2) = c1F1(s) + c2F2(s) II. Traslaci´on Teorema 8.5 Si L{f(t)} = F(s), entonces L{eat f(t)} = F(s − a). Teorema 8.6 Si L{f(t)} = F(s) y g(t) = f(t − a) t > a 0 t < a entonces L{g(t)} = e−as F(s). III. Cambio de Escala Teorema 8.7 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{f(at)} = 1 a F( s a ) IV. Transformada de la derivada Teorema 8.8 Supongamos que f y f’ son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden exponencial. Entonces existe L{f (t)} y L{f (t)} = sL{f(t)} − f(0)
  5. 5. 8.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 5 Teorema 8.9 Si en el teorema anterior f(t) no es continua en x = 0, pero en lim t→0+ f(t) = f(0+ ) entonces L{f (t)} = sF(s) − f(0+ ) Teorema 8.10 Si en las condiciones anteriores (teorema 11.8), f(t) no es continua en t=a, entonces L{f (t)} = sF(s) − f(0) − e−as [f(a+ ) − f(a− )] Teorema 8.11 Si f, f’ y f” son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden exponen- cial, entonces existe L{f (t)} y L{f (t)} = s2 L{f(t)} − sf(0) − f (0) Corolario 8.12 Si f, f , . . . , fn−1 son continuas y f(n) es seccionalmente continua en [0, ∞) y de orden exponencial, entonces existe L{f(n) (t)} y se verifica L{f(n) (t)} = sn L{f(t)} − sn−1 f(0) − sn−2 f (0) − . . . − sf(n−2) (0) − f(n−1) (0) V. Transformada de Laplace de una integral Teorema 8.13 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{ t 0 f(u)du} = F(s) s VI. Derivada de la transformada Teorema 8.14 Supongamos que f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden exponencial α. Entonces ∀s > α F (s) = L{−tf(t)}(s) Corolario 8.15 Supongamos que f(t) es continua por segmentos y de orden exponencial α. Entonces ∀s > α (−1)n dn F dsn = L{tn f(t)}(s) 8.4 Transformada inversa de Laplace Ahora nos planteamos el problema de encontrar una funci´on f(t) dado que conocemos su transformada de Laplace F(s).
  6. 6. 6 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Definici´on 8.5 La transformada inversa de Laplace de F(s) es aquella funci´on ´unica f(t) que es continua en [0, ∞) y satisface L{f(t)}(s) = F(s) (∗) La funci´on se denota L−1 {F}(t). Si todas las funciones que satisfagan (*) son discontinuas en [0, ∞), se elige a L−1 {F} como una funci´on continua por segmentos que satisfaga(*). Aclaremos la definici´on. Dos funciones distintas f(t) y g(t) pueden tener la misma transformada de Laplace Ejemplo: f(t) = 0 si t = kπ 1 si t = kπ L{f} = 0 g(t) = 0 si t = kπ 2 1 si t = kπ 2 L{g} = 0 g = f Luego L−1 {0} , para estar bien definida, tendr´ıa que tener un valor, es decir, una ´unica funci´on soluci´on. Dicha soluci´on ser´ıa h(t) = 0 ∀t, la ´unica funci´on continua que verifica que L{h} = 0. 8.5 Propiedades de la transformada inversa de Laplace I. Linealidad Teorema 8.16 Sean c1, c2 constantes arbitrarias y f1(t), f2(t) tales que L{f1(t)} = F1(s), L{f2(t)} = F2(s) entonces L−1 {c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t) II. Teoremas de Traslaci´on (a) Si L−1 {F(s)} = f(t) =⇒ L−1 {F(s − a)} = eat f(t) (b) Si L−1 {F(s)} = f(t) =⇒ L−1 {e−as F(s)} = f(t − a) t > a 0 t ≤ a III. Cambio de escala Teorema 8.17 Si L−1 {F(s)} = f(t) =⇒ L{F(ks)} = 1 k f( t k ) IV. Transformada inversa de Laplace de una derivada Teorema 8.18 Si L−1 {F(s)} = f(t) =⇒ L−1 {F(n) (s)} = L−1 { dn dsn F(s)} = (−1)n tn f(t) V. Transformada inversa de Laplace de una integral Teorema 8.19 Si L−1 {F(s)} = f(t) =⇒ L−1 { s 0 F(u)du} = − f(t) t
  7. 7. 8.5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 7 8.5.1 Transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones racionales algebraicas En la pr´actica, al aplicar transformada de Laplace, dado que sea posible, nos conduce a tener que aplicar transformadas inversas a funciones racionales algebraicas de la forma F(s) = p(s) q(s) con grado(q(s)) >grado(p(s)). Para calcular L−1 {F(s)}, descomponemos p(s) q(s) en fracciones simples. Los tipos de fracciones que pueden presentarse en la descomposici´on son: • (a) Raices reales simples: A s − a • (b) Raices reales m´ultiples: A (s − a)m , m ∈ N, m > 1 • (c) Raices complejas simples: Ms + N (s − a)2 + b2 • (d) Raices complejas m´ultiples: Ms + N ((s − a)2 + b2) m m ∈ N, m > 1 Calculemos la transformada de cada una de ellas. (a) A s − a L−1 { A s − a } = AL−1 { 1 s − a } = Aeat (b) A (s − a)n Sabemos que L{tn } = n! sn+1 , n ∈ N. Por la propiedad de traslaci´on L{eat f(t)} = F(s − a) =⇒ L{eat tn } = n! (s − a)n+1 =⇒ L{eat tm−1 } = (m − 1)! (s − a)m =⇒ L−1 { A (s − a)m } = A (m − 1)! eat tm−1 (c) Ms + N (s − a)2 + b2 Ms + N (s − a)2 + b2 = Ms (s − a)2 + b2 + N (s − a)2 + b2 = M(s − a) (s − a)2 + b2 + aM + N (s − a)2 + b2
  8. 8. 8 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Recordemos que L{cos bt} = s s2 + b2 y L{eat cos bt} = s − a (s − a)2 + b2 An´alogamente L{eat sen bt} = b (s − a)2 + b2 Luego: L−1 { Ms + N (s − a)2 + b2 } = ML−1 { s − a (s − a)2 + b2 } + aM + N b L−1 { b (s − a)2 + b2 } = Meat cos bt + aM + N b eat sen bt (d) Ms + N ((s − a)2 + b2)m S´olo vamos a considerar los tipos que aparecen con mucha frecuencia, que son: d.1) s (s2 + a2)2 d.2) s2 (s2 + a2)2 d.3) 1 (s2 + a2)2 Estos tres casos lo dejaremos para m´as adelante cuando veamos en qu´e consiste la Convoluci´on. 8.6 Resoluci´on de problemas de valor inicial Vamos a aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor incial sin tener que calcular previamente la integral general de sistema o ecuaci´on diferencial. 8.6.1 M´etodo de la transformada de Laplace Para resolver un problema de valor inicial: • Tomar transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuaci´on. • Aplicar las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales para obtener una ecuaci´on de la transformada de Laplace de la soluci´on, y despejar la transformada en esta ecuaci´on. • Calcular la transformada inversa de Laplace de la soluci´on. Ejemplo: Resolver el problema de valor inicial ay + by + cy = f y(0) = y0 y (0) = y0
  9. 9. 8.7. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES 9 Sean Y (s) y F(s) las transformadas de laplace de y(t) y f(t) respectivamente. L{ay + by + cy} = L{f} = F(s) aL{y } + bL{y } + cL{y} = F(s) as2 Y (s) − asy0 − ay0 + bsY (s) − by0 + cY (s) = F(s) Despejando Y (s): Y (s) = (as + b)y0 as2 + bs + c + ay0 as2 + bs + c + F(s) as2 + bs + c y aplicar ahora la transformada inversa. El m´etodo se puede aplicar tambi´en a sistemas. Ejemplo: Resolver el problema de valor inicial ˙x = Ax + f(t) x(0) = ¯x0 Sea X(s) =     x1(s) ... xn(s)     = L{x(t)} =     L{x1(t)} ... L{xn(t)}     F(s) =     F1(s) ... Fn(s)     = L{f(t)} =     L{f1(t)} ... L{fn(t)}     Tomando transformadas L{ ˙x} = L{Ax + f} =⇒ sX(s) − X(0) = AX(s) − F(s) =⇒ (sI − A)X(s) = X(0) − F(s) =⇒ X(s) = (sI − A)−1 (X(0) − F(s)) 8.7 Transformada de Laplace y funciones especiales En la pr´actica, ocurre frecuentemente, aparecen ecuaciones diferenciales con t´ermino no homog´eneo con discontinuidades de salto. Estas discontinuidades aparecen de forma nat- ural en circuitos el´ectricos (apagar/encender el interruptor, etc). Para tratar este tipo de comportamientos, Heaviside introdujo la siguiente funci´on escal´on: Definici´on 8.6 La funci´on escal´on unitario u(t)(´o funci´on de Heaviside) se define me- diante u(t) = 0 si t < 0 1 si t > 0 Desplazando el argumento, se puede trasladar el salto a una posici´on diferente u(t − a) = 0 si t < a 1 si t > a
  10. 10. 10 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Muchas funciones discontinuas se pueden expresar en t´erminos de funciones escal´on unitario Teorema 8.20 L{u(t − a)} = e−as s a > 0 Propiedad de desplazamiento Teorema 8.21 Supongamos que para s > α ≥ 0, existe la transformada de Laplace de f(t) , F(s). Si ”a” es una constante positiva, entonces L{f(t − a)u(t − a)}(s) = e−as F(s) y si f(t) es continua en [0, ∞), entonces L−1 {e−as F(s)}(t) = f(t − a)u(t − a) En la pr´actica, aparece m´as el tener que calcular transformadas de funciones del tipo g(t)u(t − a). Dichas transformadas vienen dadas por la expresi´on L{g(t)u(t − a)} = e−as L{g(t + a)}(s) Funci´on Gamma La funci´on gamma Γ(t) se define mediante Γ(t) = ∞ 0 e−u ut−1 du t > 0 que converge ∀t > 0. La funci´on gamma goza de la propiedad Γ(t + 1) = tΓ(t) (basta integrar por partes en la expresi´on anterior) Es pues, una generalizaci´on del factorial de un n´umero. Si n ∈ IN, Γ(n) = (n − 1)! La funci´on gamma aparece al hallar la transformada de Laplace de la potencial tn , pues L{tn } = ∞ 0 e−st tn dt = (st = u) = 1 sn+1 ∞ 0 e−u un du L{tn−1 } = 1 sn ∞ 0 e−u un−1 du La integral ∞ 0 e−u un−1 du es una integral euleriana de segunda especie. Integrales del tipo ∞ 0 f(x) x dx Mediante transformadas de Laplace se pueden resolver integrales del tipo ∞ 0 f(t) t dt Supuesto que exista la transformada de Laplace de f(x), L{f(t)} = ∞ 0 e−st f(t)dt = F(s)
  11. 11. 8.8. LA FUNCI ´ON DELTA DE DIRAC 11 Integrando en el intervalo [0, ∞) se tiene ∞ 0 ( ∞ 0 e−st f(t)dt)ds = ∞ 0 F(s)ds =⇒ ∞ 0 ( ∞ 0 e−st ds)f(t)dt) = ∞ 0 F(s)ds Como ∞ 0 e−st ds = 1 t se tiene que ∞ 0 f(t) t dt = ∞ 0 F(s)ds que tiene sentido siempre que existan ambas integrales impropias. 8.8 La funci´on Delta de Dirac En muchas aplicaciones f´ısicas y biol´ogicas aparece a menudo el problema de valor inicial ay + by + cy = f(t) y(0) = y0 y (0) = y0 donde f(t) no se conoce expl´ıcitamente( aparece cuando se trabaja con fen´omenos de naturaleza impulsiva). La ´unica informaci´on que poseemos de f es que es nula excepto en un intervalo muy peque˜no de tiempo [t0, t1] y que su integral sobre dicho intervalo es no nula. Si el intervalo I0 es peque˜no, al ser la integral no nula, ha de ser f(t) muy grande. Estas funciones se conocen con el nombre de funciones impulso. Definici´on 8.7 La funci´on Delta de Dirac δ(t) se caracteriza por las dos propiedades siguientes: 1) δ(t) = 0 si t = 0 1 si t = 0 2) ∞ −∞ f(t)δ(t)dt = f(0) para cualquier f(t)continua en alg´un abierto que contenga al cero. An´alogamente a la funci´on de Heaviside se puede hacer una traslaci´on 1) δ(t − a) = 0 si t = a 1 si t = a 2) ∞ −∞ f(t)δ(t − a)dt = f(a) Nuestro objetivo es resolver ay + by + cy = f(t) por el m´etodo de la transformada de Laplace. Para ello hay que conocer L{δ(t − t0)}: L{δ(t − t0)} = ∞ 0 e−st δ(t − t0)dt = e−st0 t0 ≥ 0
  12. 12. 12 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE 8.9 La integral de convoluci´on Ya ve´ıamos anteriormente, que al resolver problemas de valor inicial, pod´ıamos encon- trarnos el tener que hallar transformadas inversas de funciones de la forma s (s2 + a2)2 ; 1 (s2 + a2)2 ; 1 s2 + a2 G(s) , etc. Ejemplo: Y (s) = 1 s2 + 1 G(s) con L−1 { 1 s2 + 1 } = sen t , L−1 {G(s)} = g(t) Nos preguntamos, ¿qu´e relaci´on existe entre L{Y (s)}, sen t y g(t)? Esta relaci´on nos la a resolver la siguiente Definici´on 8.8 Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en [0, ∞). El producto de con- voluci´on de f(t) y g(t) denotado por f ∗ g se define mediante (f ∗ g)(t) = t 0 f(t − τ)g(τ)dτ 8.9.1 Propiedades de la convoluci´on Teorema 8.22 Sean f(t), g(t) y h(t) seccionalmente continuas en [0, ∞). Entonces f ∗ g=g ∗ f f ∗ (g + h)=f ∗ g + f ∗ h (f ∗ g) ∗ h=f ∗ (g ∗ h) f ∗ 0=0 Nota: El operador convoluci´on difiere del operador producto en que f ∗ 1 = f y f ∗f = f2 . De hecho, la convoluci´on de una funci´on con ella misma puede no ser positiva. Teorema 8.23 (Teorema de convoluci´on) Supongamos que f(t) y g(t) son continuas por segmentos en [0, ∞) y de orden expo- nencial α. Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t) respectivamente. Entonces L{f ∗ g} = F(s)G(s) o, de forma equivalente, L−1 {F(s)G(s)}(t) = (f ∗ g)(t)

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