El documento proporciona una introducción a las series de Fourier, explicando que cualquier señal periódica puede expresarse como una suma de exponenciales complejas. Describe el método para calcular los coeficientes de Fourier de una señal y representar su espectro de amplitud y fase. También presenta un ejemplo detallado de obtener la serie de Fourier de una onda cuadrada periódica.

1. Tutorial de series de Fourier
Conceptos clave
Identidad entre cualquier se˜nal peri´odica y una suma de exponenciales
complejas
M´etodo mec´anico para obtener la suma de exponenciales complejas
Espectro de amplitud y fase
La idea clave de las series de Fourier es que cualquier se˜nal peri´odica, cual-
quiera1
, es igual a una suma de exponenciales complejas, cada una de cierta
amplitud, fase y frecuencia. Como una exponencial compleja es un coseno m´as un
seno (de amplitud compleja, entonces toda se˜nal peri´odica es igual a una suma
de senos y cosenos, cada uno con una fase, frecuencia y amplitud particular.
El an´alisis de Fourier consiste en encontrar, para una se˜nal peri´odica x(t),
las exponenciales complejas que, sumadas, son iguales a x(t). Esto equivale
a encontrar la fase, frecuencia y amplitud de cada exponencial compleja. De
acuerdo a Fourier, cualquier se˜nal x(t) se puede escribir como
x(t) =
∞
k=−∞
ckejkω0
.
Analicemos esta ecuaci´on:
Es una sumatoria de un n´umero infinito de sumandos. La suma tiene un
´ındice, k, que es entero y toma todos los valores entre −∞ y ∞.
Cada sumando contiene un n´umero ck, que es un n´umero complejo. Estos
n´umeros se llaman coeficientes de Fourier.
Cada coeficiente multiplica a una exponencial compleja de frecuencia kω0,
donde ω0 es la frecuencia de x(t). Esto es, cada exponencial compleja tiene
una frecuencia igual a kω0, y tiene una amplitud y una fase determinadas
por ck (ver ´ultimo p´arrafo del tutorial de trigonometr´ıa).
El proceso para encontrar la serie de Fourier de x(t) es totalmente mec´anico.
Hay que seguir estos pasos:
1No todas las funciones matem´aticas peri´ocicas tienen serie de Fourier, pero s´ı todas las
se˜nales usadas en telecomunicaciones
1

2. Paso 1. Encontrar la frecuencia ω0 de x(t).
Paso 2. Encontrar el periodo de x(t) con la f´ormula T0 = 2π/ω0.
Paso 3. Encontrar los coeficientes complejos de Fourier ck con la siguiente
f´ormula:
ck =
1
T0 T0
x(t)e−jkω0t
dt.
Analicemos esta ecuaci´on:
Para resolver la integral, necesitamos los valores de ω0 y T0 encon-
trados en los pasos 1 y 2.
La integral se hace sobre un periodo de x(t); qu´e periodo particular
no importa. Lo m´as com´un es hacer la integral de 0 a T0, o de −T0/2
a T0/2.
La ecuaci´on que resulta de resolver la integral tiene un par´ametro
k. Para encontrar cada coeficiente de la serie de Fourier hay que
sustituir k por n´umeros enteros. Por ejemplo, sustituir k = 0 nos da
c0, k = 1 nos da c1, k = −1 nos da c−1, etc´etera. Los coeficientes ck
son n´umeros complejos.
Espectro de una se˜nal. La gr´afica de una se˜nal x(t) nos da cierta infor-
maci´on sobre la se˜nal: su forma, c´omo cambia en el tiempo, su amplitud, sus
cruces por cero. La serie de Fourier nos da otro tipo de informaci´on: qu´e com-
ponentes forman a la se˜nal, y qu´e amplitud y fase tiene cada componente. Los
componentes son las exponenciales complejas que, sumadas, son iguales a la
se˜nal x(t).
As´ı como se puede graficar la se˜nal x(t) de la forma convencional, sus
coeficientes complejos de Fourier tambi´en se pueden graficar. Esto nos permite
visualizar sus propiedades. Como los coeficientes son complejos, no se pueden
graficar en una s´ola gr´afica, se necesitan dos: una para su magnitud, y otra para
su fase. Si escribimos cada coeficiente ck en coordenadas polares,
ck = |ck|ej∠ck
,
entonces podemos graficar la magnitud y la fase por separado. Ver un ejemplo
m´as adelante.
Repitiendo: la gr´afica de una se˜nal en el tiempo y sus espectros de magnitud
y fase son dos representaciones de la misma se˜nal; cada representaci´on nos da
diferente informaci´on sobre la se˜nal. Es com´un decir que la gr´afica convencional
de x(t) est´a en el dominio del tiempo y que los espectros est´an en el dominio de
la frecuencia. Para el dise˜no y an´alisis de sistemas de comunicaciones, la visi´on
en el dominio de la frecuencia resulta muchas veces mucho m´as ´util que la del
dominio del tiempo.
As´ı como la gr´afica de x(t) en el tiempo tiene un eje horizontal que representa
el tiempo, y un eje vertical que representa la amplitud de la se˜nal en cada instan-
te, as´ı los espectros de amplitud y fase tienen la frecuencia ω en el eje horizontal y

3. la magnitud o la fase de cada coeficiente ck en el eje vertical. Como los coeficien-
tes s´olo existen para las frecuencias kω0, para k entero tal que −∞ < k < ∞,
entonces el espectro es discreto y s´olo se grafican las magnitudes y fases en las
frecuencias kω0.
Notas importantes. Otras cosas que hay que saber sobre la serie de Fourier
son:
Si x(t) es real, como suceder´a en la mayor parte del curso, entonces los
coeficientes de Fourier tienen la siguiente propiedad: la magnitud de ck es
igual a la de c−k, y la fase de ck es igual a −1 por la fase de c−k.
|c−k| = |ck|
∠c−k = −∠ck.
Lo importante aqu´ı es que no es necesario calcular todos los coeficientes,
s´olo aquellos para k ≥ 0. Una vez que se conocen ´estos se pueden deducir
aquellos para k < 0 usando la f´orumla de arriba.
La potencia de la se˜nal en un periodo puede calcularse tanto en el tiempo
como en la frecuencia, seg´un la relaci´on de Parseval:
Px =
1
T0 T0
|x(t)|2
dt =
∞
k=−∞
|ck|2
.
Dependiendo de cada caso, puede ser m´as f´acil calcular la potencia de la
se˜nal empleando su representaci´on en el tiempo o en la frecuencia.
Ejemplo. Vamos a resolver el ejercicio 5.5(a) del libro de texto, paso por
paso. Se trata de obtener la serie de Fourier de una forma de onda que se conoce
como onda cuadrada peri´odica (ver figura en el libro). Vamos a seguir los pasos
indicados arriba.
Paso 1. Identificar la frecuencia ω0 de la se˜nal. Viendo la gr´afica, podemos
encontrar que el periodo de la se˜nal es T0; por lo tanto, su frecuencia es
ω0 = 2π/T0.
Paso 2. La figura autom´aticamente nos proporciona el periodo de la se˜nal.
Podemos tambi´en ver que la se˜nal vale 0 durante la mitad del periodo.
Paso 3. Hacer la integral para obtener los coeficientes. La f´ormula es:
ck =
1
T0 T0
x(t)e−jkω0t
dt.
La integral la podemos hacer s´olo de 0 a T0/2 porque la se˜nal vale cero
entre T0/2 y T0. Podemos sustituir x(t) con A durante ese intervalo de

4. tiempo. La integral queda como sigue:
ck =
A
T0
T0/2
0
e−jkω0t
dt
=
A
jk2π
(1 − ejkπ
),
tomando en cuenta que:
El factor A sale de la integral
La integral se resuelve completando el diferencial
Tanto en el denominador como en el exponente de e se ha usado el
hecho de que T0ω0 = 2π. (Esto es cierto para toda se˜nal).
Se ha supuesto que k = 0; de otra forma la ecuaci´on queda indefinida.
Entonces queda pendiente lo siguiente: simplificar m´as la ecuaci´on, y
encontrar c0. La ecuaci´on se puede simplificar viendo que e−jkπ
= ej(−k)π
es siempre un n´umero real, que vale 1 cuando k es par y −1 cuando k es
impar. Por ejemplo, para k = 1 tenemos e−jπ
que vale -1, y para k = 2
tenemos e−j2π
que vale 1. Esto se puede simplificar como e−jkπ
= (−1)k
y entonces
ck =
A
jk2π
(1 − (−1)k
).
Por la resta, tenemos que si k es par, entonces ck vale cero, y si k es impar,
entonces ck = A
jkπ .
Queda pendiente encontrar c0. Se puede calcular directamente de la defi-
nici´on de los coeficientes, sustituyendo k por cero, es decir, sustituyendo
la exponencial por 1:
c0 =
A
T0
T0/2
0
dt
= A/2.
Note que el valor de los coeficientes no depende de T0.
Para encontrar los espectros hacemos lo siguiente. Para poder calcular valo-
res num´ericos supongamos que A = 1 y T0 = 1, es decir, ω0 = 2π. Calculemos
primero el espectro de magnitud. La magnitud de ck para k impar es igual a
|ck| =
1
kπ
,
Podemos calcular los primeros siete valores de |ck|:

5. 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Magnitud
Frecuencia (hertz)
Espectro de magnitud
Figura 1: Espectro de magnitud del ejemplo.
k |ck|
-3 1/(3π)
-2 0
-1 1/π
0 1/2
1 1/π
2 0
3 1/(3π)
El espectro de amplitud se muestra en la figura (1). La frecuencia en el eje
horizontal est´a convertida a hertz.
Para calcular el espectro de fase, vemos que s´olo hay tres fases posibles. Si
k < 0 e impar, entonces
ck =
1
jkπ
donde k es negativo. Tenemos entonces un n´umero de la forma −1/j = j,
cuya fase es π/2. Si k > 0 e impar, entonces tenemos un n´umero de la forma
1/j = −j, que tiene fase 3π/2. Si k es par o 0, entonces la fase es cero. El
espectro de fase se muestra en la figura (2). Los dos espectros fueron calculados
y graficados empleando c´odigo de Octave similar a la pr´actica 1. Se puede ver
que los espectros son discretos y que la fase y magnitud de ck se grafican en la
frecuencia ω = kω0.
Ejercicio 1. En los espectros mostrados arriba, verifique que la
conversi´on de hertz a radianes por segundo sea correcta.

6. -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Fase
Frecuencia (hertz)
Espectro de fase
Figura 2: Espectro de fase del ejemplo
Ejercicio 2. La serie de Fourier de una se˜nal x(t) tiene en general
un n´umero infinito de t´erminos (aunque algunas se˜nales s´olo necesitan
algunos pocos t´erminos). Cuando una se˜nal necesita un n´umero infinito
de t´erminos (como es el caso en el ejemplo mostrado arriba), pero s´olo
se toman unos cuantos, se tiene lo que se llama una suma truncada.
En este caso, la suma truncada es s´olo una aproximaci´on a x(t). Una
forma de evaluar qu´e tan buena aproximaci´on es la suma truncada es
comparar la potencia de x(t) con la de la suma truncada. Para la se˜nal
del ejemplo:
Calcular la potencia de un periodo de x(t).
Calcular la potencia de la suma truncada con 3, 7, y 15 t´erminos,
utilizando el teorema de Parseval.
Comparar (en porcentaje) la potencia de x(t) con la de cada suma
truncada.
Ejercicio 3. En todos los ejercicios de series de Fourier del libro de
texto, grafique los espectros de amplitud y fase para los primeros 11
t´erminos.
Ejercicio 4. Las se˜nales senoidales y cosenoidales son especialmente
sencillas de expresar como serie de Fourier, gracias a la identidad de
Euler. Por ejemplo, para el coseno,
cos(ω0t + φ) =
1
2
ej(ω0t+φ)
+ ej(−ω0t−φ)
,

7. que ya casi est´a expresado en forma de serie de Fourier. La serie va a
consistir s´olo de dos t´erminos, c1 y c−1, con
c1 = eφ
/2
c−1 = e−φ
/2.
Calcule la serie de Fourier de
2 sen(3πt + π)
cos(100πt + 3)
2 sen(5πt + π) + 3 cos(10πt − 3π/2).