清华大学精品课程 量子力学

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清华大学精品课程 量子力学

  1. 1. Quantum Mechanics I L + D&E + S Lecture + Discussion&Exercise + Seminar Professor: 庄鹏飞 (High Energy Nuclear Physics) Doctor students: 何联毅 (High Energy Nuclear Physics) 屈真 (High Energy Nuclear Physics) 梅佳伟 (High Temperature Superconductivity) 清华大学精品课程, 北京市精品课程
  2. 2. 1.充分认识量子力学在科学研究中的重要性 量子力学(高等量子力学),量子场论: 原子分子物理,光学,凝聚态,核物理,粒子物理,…… 结论: 没有量子力学,几乎不能做任何物质科学研究! 2.充分认识学习量子力学的困难 1)经典物理在日常生活中有对应现象, 量子力学很难找到 日常生活对应 2)量子力学与经典物理的思想方法有本质不同 3)既难于理解,也难于处理,需要更多数学 3.有哪些要求 1) 分析力学,高等数学 2) 勤于思考,多做习题
  3. 3. 4.我们的教学模式 讲授(Lecture)+讨论与习题(Discussion & Exercise)+专题研究(Seminar) 世界一流大学理论物理教学的通用模式 4.1: L 大班上课: 强调基本概念,基本思想,例如 Hilbert空间表述, Dirac符号,测量理论, 对称性, 等等. 参考教材: Griffiths, Sakurai,苏汝铿,曾谨言,张永德,等 4.2: D&E 小班讨论 内容: 1)联系授课(L)内容,TA提示问题或学生提示问题,讨论; 2)难题解答 特点: 1)师生共同正确,深刻理解QM; 2)有机会使学生对问题提出自己的看法(L被动,D&E和S主动) 3)理论联系实际,解答困难习题; 4)规范,开放的讨论氛围.
  4. 4. 4.3: 量子力学网站: http://qm.phys.tsinghua.edu.cn 课程介绍,教师与TA联系方式,讲义,作业,答案,通知,其他 3个讨论区: 量子力学一般问题,量子力学高级论坛,量子力学教学建议 4.4: S 内容: 与科学研究相关的小课题 目的: 深入理解,应用知识,专深发展,学习科研方法,进行科研训练,培养科 学精神 方式: 教授出题,学生选题(也可以学生自己找题),教授指导,学生调研,解 决问题(?),最后报告 4.5: 时间分配 1) L,D&E在本学期,必修,4学分,共64学时,其中L为48学时,D&E为16学 时,L/D&E=3/1 2) S在下学期,选修,2学分
  5. 5. 4.6: 考试方式 60-70%期末考试 + 20-30%讨论课成绩 + 10%习题 4.7: TA 共4个TA, 3个讨论课TA, 1个on-line TA 讨论课TA: 何联毅 负责基科51,52,53 共24人 屈 真 负责基科54,55,56,物理41,42 共24人 梅佳伟 负责其它22人 1)每两周主持1次小班讨论课, 2)作业全改(每周一按小班交作业至物理系,同时取回上次作业,每人准备2 个作业本), 3)on-line答疑 4)经常性的联系 on-line TA: 郝学文 1)量子力学网站运行与维护 2)on-line答疑 3)协助改作业
  6. 6. 游戏规则 教师与TA: 必须认真负责 学生: L: 可来可不来,可早退,但不可影响别人。 S:下学期,可参加,可不参加,姜太公钓鱼,愿者上钩。 D&E: 必须参加。 作业: 必须交。 多看量子力学网站:http://qm.phys.tsinghua.edu.cn
  7. 7. 第一章 波函数 1.1 波粒二象性 什么是波粒二象性?是指几何形状,还是指运动形态? 1)光的波粒二象性 h ε = hν , p= λ 其中, ε 、 p 是粒子的物理量,ν 、 λ 是波动物理量。 波粒二象性是指物理量的取值既具有粒子性,也具有波动性。不是指几何形状,也不是指运动形 态。 2)原子的量子论描述 a. 电子具有确定的分离轨道。“确定”是经典的,“分离”是量子的。(经典轨道是连续的) b. 跃迁 hν = Em − En ,体系的性质与两条轨道的关联相关 → 矩阵力学。 “轨道”是经典的, “两条” 是量子的。矩阵 → 不对易。 c. 跃迁几率:量子论不能给出结果。 → 量子力学 问题:如何自洽地描述微观粒子的运动? 1.2 电子双缝衍射实验 1
  8. 8. 实验结果: 只开缝 1,强度分布为 I1 ( x ) = ψ 1 ( x ) ; 2 I 2 ( x ) = ψ 2 ( x) ; 2 只开缝 2, I = ψ 1 ( x) + ψ 2 ( x ) ≠ I1 + I 2 ,电子具有衍射特性,波动性。 2 同时开缝 1 和 2, 实验分析: 一次只发射一个电子,屏上开始出现随机的光斑分布,长时间后出现衍射条纹。 光斑说明粒子性,但随机说明统计性,故不是经典粒子,而是统计意义上的粒子; 衍射条纹说明波动性,但只有长时间才有统计性,故不是经典波动,而是统计意义上的波动; 合起来说明粒子的位置力学量具有统计意义上的波粒二象性。 一个电子说明波粒二象性是微观粒子的固有特性,不是多个粒子相互作用的结果。 总结: 1)观察物理量 (x ) 的取值时既观察到粒子性质,又观察到波动性。 粒子性:物理量的取值具有颗粒性,一份一份的; 波动性:物理量的取值不确定; 2)粒子性与波动性都是从力学量取值的统计意义来理解,不是指运动的空间位形。 注意: 此处的统计根源与经典统计不同。每次发射一个电子,即使初态完全相同,也仍具有统计意义上 的波粒二象性,而每一次丢一枚硬币,若初始条件完全相同,则每一次结果同。 1.3 Born 统计解释(将力学量 x 取值的粒子性与波动性统一起来) r 引入几率波函数ψ r,t), ( ⎧ 波幅的平方 ψ r,t) 2 ⎪ (r 波动性 衍射条纹强度 ∝ ⎨ , r ρ ⎪粒子出现的几率( r,t) 粒子性 ⎩ r 那么微观粒子在 t 时刻位于 r 的几率密度为 r r r r ρ r,t) ψ r,t) = ψ r,t)( r,t) ψ ∝( 2 ( ( * 注意波函数一般为复函数。 r 基本量是波函数ψ ,虽然本身不是可观察物理量,但它描述物理量 r 取值的几率。 2
  9. 9. 1.4 几率波的一般性质 1)几率归一化 粒子在全空间出现的几率为 1。 r r ∫ d r ψ (r,t ) 2 = A < ∞ ,波函数平方可积 a) 若 3 2 r1 r r r r2 1 1 ψ ( r , t ) = 1 ,称 ψ ( r , t ) 为归一化波函数, ρ (r , t ) = ψ ( r , t ) 。 则 ∫d r3 A A A b) 对于某些理想(非物理)情况,波函数不能归一,例如: r rr ψ (r ,t ) = e r i ( k ⋅r −ωt ) ,波矢 k ,频率ω 。 r r2 此时 ∫ d 3 r ψ ( r , t ) = ∞ ,波函数平方不可积。 但是不能归一并不影响相对几率 r ψ ( r1 , t ) 2 与归一化无关 r ψ ( r2 , t ) 2 以后要讨论它们的归一化问题,可以用箱归一化。 c) 注意: *) 在统计解释中,ψ 的意义是通过 ψ 来定义的,ψ 本身无意义。归一化后,ψ 仍有相位不确定 2 性 r r ψ ( r , t ) = eiαψ ( r , t ) 2 2 , 统计解释是否包含了波函数全部信息? *)经典波无归一化问题 ψ 和 Cψ 是完全不同的,后者能量密度是前者 C2 倍。 2)经典粒子:确定的力学量 q, p 。 r r2 量子粒子:力学量(例如位置)不确定,只有几率确定 ρ (r , t ) ∝ ψ ( r , t ) ,导致平均值确定 3r r r2 ∫ d r r ψ (r ,t ) 。 r r (t ) = 3r r2 ∫ d r ψ (r ,t ) ⇒ 经典力学中力学量 F 的规律应该对应于量子力学中<F>的规律 1
  10. 10. 例如 E = T + V → E =T +V r 3)力学量的几率分布确定 → ψ ( r , t ) 单值; r 力学量的几率分布有限 → ψ ( r , t ) 有限; r 几率分布连续 → ψ ( r , t ) 连续。 一般情况下, 但不排除存在个别孤立奇点,几率分布不连续(以 后详细讨论)。 总结: r 归一、单值、连续、有限是一般条件下几率解释对ψ ( r , t ) 的物理约束条件。 1.5 Schrödinger 方程 r 1)几率波ψ ( r , t ) 的时空演化 Schrödinger,1926: h2 r 2 ∂ r r r ih ψ ( r , t ) = ( − ∇ + V ( r, t ))ψ ( r , t ) ∂t 2m 对于自由粒子, h2 r 2 r ∂ r ψ (r,t ) = − ∇ ψ (r ,t ) ih ∂t 2m 可以证明平面波 i rr r rr ( p⋅r − Et ) r ψ ( r , t ) = Ae r i ( k ⋅r −ωt ) = Ae (由 De Brogile 关系 ε = hω , p = hk ) h 是自由 Schrödinger 方程的解。 注意: r a) 虽然一般情形时力学量取值不确定,但平面波具有确定动量 p 和能量 E。 b) S-方程是基本运动方程,地位如同经典力学中的牛顿方程,不可能推出,是量子力学基本假定 之一; r c) 方程包含因子 i,要求ψ ( r , t ) 为复函数,否则方程两边一边为虚函数,一边为实函数。所以平 rr rr i ( k ⋅r −ωt ) ,不能是 ACos(k ⋅ r − ωt ) 。 Ae 面几率波只能是 2)几率守恒 2
  11. 11. h2 r 2 ∂ ψ = (− ∇ + V )ψ ih ∂t 2m h2 r 2 ∂ ψ = (− ∇ + V )ψ ∗ , ∗ (V = V ∗ ) -i h ∂t 2m r r r r2 可以证明,几率密度 ρ r,t)= ψ(r , t ) = ψ r,t)( r,t) ψ 满足连续性方程 ( ( * rrr ∂ r ρ r,t)+∇ ⋅ j ( r ,t ) = 0 , ( ∂t rr −i h ∗ r r j ( r ,t ) = (ψ ∇ψ −ψ∇ψ ∗ ) 2m r j 的物理意义时什么? 对有限空间积分: rr r r r∂ r d 3 r ρ r,t)+ ∫ d 3 r∇ ⋅ j ( r ,t ) = 0 , ∫V ∂t ( V rrr rr d d 3 r ρ r,t)=- ∫r dS ⋅ j ( r ,t ) dt ∫V ( S r r 定域几率守恒:区域 V 内几率的变化=流出面积S 的几率,故称 j 为几率流密度。 r r rr r ∂ r ρ( r,t)+∇ ⋅ jm ( r ,t ) = 0 ρ m = mρ , jm = mj 定域质量守恒: ∂t m r r rrr ∂ r 定域电荷守恒: ρ e r,t)+∇ ⋅ je ( r ,t ) = 0 ρe = eρ , je = ej ( ∂t 位置的不确定,导致质量、电荷分布的不确定,按几率分布。 若对整个空间积分: rrr rr d d 3 r ρ r,t)=- ∫ dS ⋅ j ( r ,t ) , dt ∫∞ ( ∞ 由于 rrr dS ⋅ j ( r ,t ) = 0 ∫ ∞ 故 rr ∫ d 3 r ρ r,t) ( 与时间无关,是一常数。 ∞ 3
  12. 12. 意味着 a)若几率波是可以归一的,则归一化与时间无关。S-方程保证了归一性不随时间而变。 b)总几率守恒,无粒子的产生与消灭,S-方程描述的是非相对论量子力学。 rrr r r c)由 j 的形式, ∫ dS ⋅ j ( r ,t ) = 0 意味ψ ( r → ∞, t ) → 0 。 ∞ r 3)若 V 中不含与波函数相关的量,S-方程是关于ψ ( r , t ) 的线性方程。若ψ 1 ,...ψ m 是方程的解,则 它们的任意线性迭加仍是方程的解。 1.6 态函数、测量与态叠加原理 1)态函数 r2 r 粒子的位置几率分布 ψ ( r , t ) ,其他力学量的取值几率?例如动量。如果几率波只能给出 r 的 几率分布,而不能给出其他力学量的几率分布,则几率波不能完全确定体系的状态。如果几率波 r r 能给出所有物理量的几率分布,则可称ψ ( r , t ) 为体系的态函数。知道了ψ ( r , t ) ,则知道了体系力 学量的所有性质。 对于平面几率波,动量有确定取值。对于任意的几率波,频率、波矢不确定,故动量、能量 不确定,但可以由平面波展开(付里叶展开): r i rr d 3p r r ∞ ( p ⋅r − E t ) ψ (r , t ) = ∫ (2π h ) ϕ p , t) e ( h 3 /2 −∞ r i rr d 3r r r ∞ − ( p ⋅r − E t ) ψ (r , t ) e ∫ (2π h ) ϕ p , t)= ( h 3/2 −∞ 此处引入因子 1/ ( 2π h ) 是考虑到平面波的 δ 函数归一化 3/ 2 irr r r p ⋅r 1 = δ ( p) ∫d r 3 h e ( 2π h ) 3/ 2 r r 问题:ψ ( r , t ) 是位置几率幅, ϕ p, t)的物理意义是什么? ( 由 r rr r2 ∞ r = ∫ d 3r r ψ ( r , t ) −∞ rr∂ dr r2 ∞ r = ∫ d 3r r ψ ( r , t ) ∂t −∞ dt 由 S-方程 4
  13. 13. r ih ∞ 3 r r r r r ( ) dr 2m ∫−∞ d r r ∇ ⋅ ψ ∗∇ψ −ψ∇ψ * = dt r 由分部积分,并考虑ψ ( r → ∞, t ) → 0 , r ih ∞ 3 r ∗ r r dr 2m ∫−∞ d r (ψ ∇ψ −ψ∇ψ * ) =− dt 再对括号中第二部分进行分部积分, r ih ∞ r r dr = − ∫ d 3 rψ ∗∇ψ m −∞ dt 由于平均值满足经典力学规律, r r r r r r dr ∞ dr = ∫ d 3 rψ ∗ (−ih∇)ψ p=m ⇒ p ≡m −∞ dt dt r 代入ψ ( r , t ) 的付里叶展开式 rr r r irr irr d 3rd 3 p1d 3 p2 ∗ r r r − (p1 ⋅r − Et ) (p 2 ⋅r − Et ) ϕ ( p1 , t ) e h (−ih∇)ϕ ( p 2 , t ) e h p =∫ (2π h) 3 r 3r 3r r i ( p2 − p1 )⋅rr rr d 3 rd p1d p2 ∗ r r ϕ ( p1 , t ) ϕ ( p 2 , t ) p2 e h =∫ (2π h)3 r r rr rrr = ∫ d 3 p1d 3 p2ϕ ∗ ( p1 , t ) ϕ ( p 2 , t ) p2δ (p2 − p1 ) r2 rr = ∫ d 3 p p ϕ ( p, t ) 与 r rr r2 ∞ r = ∫ d 3r r ψ ( r , t ) −∞ r r r2 r 进行比较,知 ϕ ( p, t ) 是动量取值为 p 的几率。由于ψ ( r , t ) 确定时, ϕ ( p, t ) 确定,并且以后可以 r r 即给定ψ ( r , t ) , 故称几率波ψ ( r , t ) 证明,其他力学量的取值几率也是确定的, 态的性质就确定了。 r r r 为态函数。由于给定 ϕ ( p, t ) 时,ψ ( r , t ) 亦确定,故 ϕ ( p, t ) 也可以称之为系统的态函数。 5
  14. 14. 2 ψ (r,t ) 2 ψ (r ) ψ ( r ) ∝ δ ( r − r0 ) r0 ψ (r ) δ ( r − r0 ) ψ (r ) open 3 ψ (r ) ψ (r ) ψ1 (r ) ψ 2 (r ) ψ1 (r ) ψ 2 (r ) … … ψ1 ψ 2 …ψ n ψ1 ψ 2 …ψ n Schrodinger 1
  15. 15. 1 S- 2 ψ (r,t ) ϕ ( p, t ) 3 2.1 Hilbert 1 3 en , n = 1, 2,3 3 A = ∑ an en n =1 A ⋅ B = ∑ anbm en ⋅ em n,m A⋅ A ≥ 0 en ⋅ em = δ nm ⎛ a1 ⎞ ⎜⎟ A ⋅ B = ∑ an bn = AB A = ⎜ a2 ⎟ , A = (a1 , a2 , a3 ) ⎜a ⎟ n ⎝ 3⎠ an = en ⋅ A 2 Hilbert 3 → 3 → 2
  16. 16. Dirac a a a a n f ⎧ ∑ an n ⎧ ∑ an n* ⎪ ⎪ a =⎨ n a =⎨ n ⎪ ∫ df a f f ⎪ ∫ df a* f ⎩ ⎩ f ⎧ ∑ anbm n m * ⎪ a b = ⎨ n,m ⎪ ∫ dfdf ' a* b f ' f f ' ⎩ f aa ≥ 0 n m = δ nm f f ' = δ ( f − f ') ⎛ a1 ⎞ ⎧ ∑ anbn = a +b * ⎜⎟ ⎪ a ↔ a + = ( a1 an ) a a ↔a=⎜ 2⎟ a b =⎨ n * * * a2 ⎜⎟ ⎪ ∫ dfa* b f = a +b ⎩ ⎜⎟ f ⎝ an ⎠ am = m a af = f a a = ∑ an n = ∑ n a n = ∑ n n a n n n ∑n n =1 a n ∑n n = n n+ 1 n 3D ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ 1 = ⎜0⎟, 2 = ⎜1⎟, 3 = ⎜ 0⎟, ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 1 = (1 0 0 ) , 2 = ( 0 1 0) , 3 = ( 0 0 1) 3
  17. 17. ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∑ n n = ⎜ 0 ⎟ (1 0 0 ) + ⎜ 1 ⎟ ( 0 1 0 ) + ⎜ 0 ⎟ ( 0 0 1) ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ n ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜0 0 0⎟ + ⎜ 0 1 0⎟ + ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜0 1 0⎟ = I ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ∫ df f =1 f 4
  18. 18. 2. Hilbert T (α a + β b ) = αT a + βT b ˆ ˆ ˆ ˆ T ˆ T a → T a = a' ˆ α ˆ n T n → n' = T n = ∑ m m T n ˆ ˆ m Tmn = m T n ˆ T n = ∑ Tmn m ˆ m Tmn = m T n ˆ ˆ Hilbert T a ⎛ ⎞ a → a ' = T a = ∑ m m T n n a = ∑ ⎜ ∑ Tmn an ⎟ m ˆ ˆ m⎝n ⎠ m,n a n an a = ∑ n n a = ∑ an n n n a' = ∑ a m m ' m a m = ∑ Tmn a n ' n ⎛ a1' ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ T11 . . T1N ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜.⎟ ⎜.⎟ ⎜. .. .⎟ a' = Ta a=⎜ ⎟ a' = ⎜ ⎟ T =⎜ .. .⎟ . . ⎜.⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜T . . TNN ⎟ ⎜ a' ⎟ ⎝ N⎠ ⎝ N1 ⎠ ⎝ N⎠ 1
  19. 19. 3. T a =λ a ˆ λ a Ta = λa (T − λI )a = 0 a≠0 det(T − λ I ) = 0 T11 − λ T12 T1 T22 − λ T21 T2 =0 TN 1 TN 2 TNN λ N (T − λI )a = 0 a ⎛1 0 ⎞ T=⎜ ⎟ ⎝ 0 -1⎠ 1λ 0 λ 2 −1 = 0 =0 -1-λ 0 λ ±1 ⎛a ⎞ a=⎜ 1⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎛1⎞ λ =1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎟ 0 ⎝ 0 −2 ⎠⎝ α 2 ⎠ ⎝0⎠ ⎛0⎞ λ1 ⎜⎟ ⎝1⎠ 4. ~ Tij+ = T ji , T + = T *, * T 2
  20. 20. (T ) T + =T , + =Tij ij T ∵ ( AB) + = B + A+ 1 () ( ) ( ) ( )b () + ∴ a T b ≡ a T b = a +Tb = T + a b = T + a b ≡ a T + b = a T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T =T+ ˆ ˆ ˆˆ T T ( ) ( )b a T b = aT ˆ ˆ ˆ aT b T i =λ i ˆ ˆ 2 T i T = i λ* ˆ i T i = i λ* i ˆ λ i i = λ* i i λ = λ* 3 T i =λi i T j =λ j j λi ≠ λ j ˆ ˆ i T j =λ j i j ˆ ∵ λi* i j =λ j i j (λ − λ ) i j =0 i j λi ≠ λ j i j =0 i j =δ ij f f ' δ ( f − f ') g T i, j =λi i, j j = 1,...g ˆ 3
  21. 21. a g g i, n = ∑ Cnj i, j n = 1, 2,...g j =1 g g ∵ T i, n = ∑ CnjT i, j =λi ∑ Cnj i, j =λi i, n ˆ ˆ j =1 j =1 λi ∴ i, n ˆ T C nj g i, m i, n = δ mn g ( g + 1) g2 − g g2 + = g Cnj 2 2 i, n Cnj i, m j , n δ ijδ mn δ mn δ ij b ˆ ˆ ˆ T' T T' T i, j =λi i, j ˆ T ' i, j =λij i, j ˆ {Tˆ , Tˆ '} {λ , λ } i, j i ij i, j i ', j ' δ ii 'δ jj ' , 4 4
  22. 22. ∑i i = 1, i ∫ df f =1 f ∑i i + ∫ df f f =1 i Hilbert 5
  23. 23. 5. 3 Hilbert I i M m 1 i =∑ m m i m S Smi = m i I M 2 a =∑ i i a I i I ia a i a a =∑ m m a M m M ma a m a m a = ∑ m i i a = ∑ Smi i a i i aM = S a I 3 ˆ I Tij = i T j Tmn = m T n = ∑ m i i T j j n = ∑ m i i T j n j = ∑ SmiTij Snj = ∑ SmiTij S + * ˆ ˆ ˆ * M jn i, j i, j i, j i, j TM = STI S + S 1
  24. 24. 4 (S S ) = ∑ S Smj = ∑ Smi Smj = ∑ m i m j =∑ i m m j = i j = δ ij + + * * im ij m m m m S +S = 1 SS + = 1 S + = S −1 S+ ≠ S S 5 = λI a ˆ TI a I I = S λI a = λI S a = λI a = STI S + S a = STI a ˆ ˆ ˆ TM a M I I I I M λI M 6. 1 Hilbert ψ ψ Hilbert 2 r = ∫ d 3 r r ψ ( r , t ) = ∫ d 3 rψ * ( r , t ) rψ ( r ,t ) 2 p = ∫ d 3 rψ ∗ ( r , t ) (−i ∇)ψ ( r , t ) r =r ˆ p = −i ∇ ˆ r = ∫ d 3 rψ * ( r , t ) r ψ ( r , t ) ˆ p = ∫ d 3 rψ ∗ ( r , t ) p ψ ( r , t ) ˆ O r p O(r , p ) 2
  25. 25. O = O(r , p) ˆˆ ˆ O = ∫ d 3rψ ∗ ( r , t ) O(r , p)ψ ( r , t ) ˆˆ ψ ˆ Hilbert F F =ψ Fψ ˆ 3 ψ Fψ =ψ Fψ , * ˆ ˆ ( ) = ⎡ ψ ( F ψ )⎤ = ( ψ ) * ψ Fψ F+ ψ ˆ ˆ ˆ ⎣ ⎦ ψ F + =F ˆˆ 4 ψ F ≡ψ Fψ ˆ F ( ) ( ∆F ) 2 ≡ ψ F− F ψ ≠0 2 ˆ δ φ ˆ F F ( ) 2 φ F− F φ =0 ˆ 3
  26. 26. ( )( F - F ) φ φ F- F =0 ˆ ˆ ˆ ∵F- F ) = (( F − F ) φ ) ( + ∴ φ F- F ˆ ˆ (F- F ) φ Fφ = F φ =0 ˆ ˆ ˆ ˆ F F F ψ ψ ˆ ˆ F F F ψ ψ F F n Fn ψ F 5 F n = Fn n ˆ F Hilbert F n m n = δ mn ψ F =ψ Fψ ˆ F = ∑ ψ n n F m m ψ = ∑ ψ n Fm n m m ψ ∑ n ψ Fn = ∑ Fn n ψ 2 nψ * ˆ m,n m ,n n n nψ ψ ψ F n ψ ψ 2 nψ F n Fn 2 nψ 4
  27. 27. 7. 1) x x =x x ˆ x x x ' = δ ( x − x ') ∫ dx x x =1 ψ = ∫ dx x x ψ ψ x ψ ≡ ψ ( x) ψ x = ψ x ψ = ∫ dxdx ' ψ x x x x ' x ' ψ ˆ ˆ ˆ x xxx ' ≡ x x x ' = x ' x x ' = δ ( x − x ') x ' = δ ( x − x ') x ˆ x = ∫ dxdx ' x ψ δ ( x − x ') x x ' ψ * = ∫ dx x ψ x xψ * = ∫ dxψ * ( x) xψ ( x) p = ψ p ψ = ∫ dxdx ' ψ x x p x ' x ' ψ ˆ ˆ ˆ p p xx ' ≡ x p x ' = ∫ dpdp ' x p p p p ' p ' x ' ˆ ˆ p p p ' = δ ( p − p ') p ˆ i 1 px xp= e xp 2π i i − p'x' 1 px pxx ' = ∫ dpdp ' δ (p − p ')pe e 2π i p ( x − x ') 1 = ∫ dp pe 2π ∂ ⎞ i p ( x − x ') 1⎛ = ∫ dp ⎜ −i ⎟e 2π ⎝ ∂x ⎠ ∂⎞ ⎛ 1 i p ( x − x ') ∂x ⎠ ∫ 2π = ⎜ −i ⎟ dp e ⎝ ∂ δ (x − x ') = −i ∂x 1
  28. 28. ∂⎞ ⎛ p = ∫ dxdx 'ψ * ( x) ⎜ −i ⎟ δ ( x − x ')ψ ( x ') ∂x ⎠ ⎝ lim ψ ( x ) = 0 x →±∞ ∂* p = ∫ dxdx ' δ ( x − x ')ψ ( x ') i ψ ( x) ∂x ∂* = ∫ dxψ ( x) i ψ ( x) ∂x ∂⎞ ⎛ p = ∫ dxψ * ( x) ⎜ i ψ ⎟ ( x) ∂x ⎠ ⎝ ∂⎞ ⎛ pxx ' = δ ( x − x ') ⎜ −i ⎟ ∂x ⎠ ⎝ xxx ' = δ ( x − x ') x ∂⎞ ⎛ pxx ' = δ ( x − x ') ⎜ −i ⎟ ∂x ⎠ ⎝ O ( x, p ) ˆˆ ∂⎞ ⎛ Oxx ' = x O x ' =δ (x − x ')O ⎜ x, −i ˆ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ 2) ⎛ ∂⎞ x pp ' = p x p ' = δ ( p − p ') ⎜ i ⎟, ˆ ⎝ ∂p ⎠ p pp ' = p p p ' = δ ( p − p ') p, ˆ ⎛∂ ⎞ O pp ' = p O p ' = δ ( p − p ')O ⎜ i ˆ , p⎟ ⎝ ∂p ⎠ 8. ˆ 1 ˆ x p xxx ' = δ ( x − x ') x xxx ' = ( xx ' x ) = (δ ( x '− x) x ') = δ ( x '− x) x ' = δ ( x − x ') x = xxx ' ∗ ∗ + ⎛ ⎞ ∂⎞ ∂ ⎛ pxx ' = δ ( x − x ') ⎜ −i ⎟ = δ ( x − x ') ⎜ −i ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ( x − x ') ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ⎝ 2
  29. 29. ∗ ⎛ ∂ ⎞⎞ ⎛ ∂⎞ ⎛ ∂⎞ ⎛ = ( px ' x ) ∗ = ⎜ δ ( x '− x) ⎜ −i ⎟ ⎟ = δ ( x '− x) ⎜ i ⎟ = δ ( x − x ') ⎜ i + ⎟ p ∂x ' ⎠ ⎠ ⎝ ∂x ' ⎠ ⎝ ∂x ' ⎠ xx ' ⎝ ⎝ ⎛ ⎞ ∂ = δ ( x − x ') ⎜ −i ⎟ = pxx ' ∂ ( x − x ') ⎠ ⎝ ˆ ˆ x p 2 F n = Fn n ˆ F Fmn ≡ m F n = Fn m n = Fnδ mn ˆ F F 3 Schrödinger Schrödinger ∂ ˆ2 ˆ p + V ( x) ψ =H ψ , H= ˆ ˆ i ∂t 2m ∂ x ψ = x H ψ = ∫ dx ' x H x ' x ' ψ ˆ ˆ i ∂t ∂⎞ ∂⎞ ˆ⎛ ˆ⎛ = ∫ dx ' δ ( x − x ' ) H ⎜ x, −i ⎟ x ' ψ = H ⎜ x , −i ⎟ xψ ∂x ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎞ ∂ ∂2 2 ψ ( x, t ) = ⎜ − + V(x) ⎟ψ ( x,t ) i ∂t ⎝ 2m ∂x 2 ⎠ ⎛ p2 ⎛ ∂ ⎞⎞ ∂ ϕ ( p, t ) = ⎜ ⎟ ⎟ ϕ ( p,t ) + V⎜i i ∂t ⎝ ∂p ⎠ ⎠ ⎝ 2m 1 rψ = e − r / a0 4 πa 3 0 rψ 2 pψ p p ψ = ∫ d 3r p r r ψ = ∫ d 3r r p rψ * ( 2a0 ) 3/ 2 i − pir 1 1 = ∫d r − r / a0 = 3 e e ( 2π ) π (a0 p 2 + π a0 3/ 2 22 ) 3 ∫ d pp 2 pψ 3 = p ∫d p 2 pψ 3 3
  30. 30. 5 p2 ˆ Hψ Eψ ˆ ˆ H 2m 2 d2 ψx Eψ x 2m dx 2 i 1 px ψx e p 2mE 2π p2 (p 2mE ) ϕ ( p ) 0 ϕ ( p ) Eϕ ( p ) 2 2m ϕ ( p ) δ ( p − 2mE ) p 2mE ⎧∞ x0 V ( x) = ⎨ 6 F>0 ⎩ Fx x >0 ˆ2 ˆ p + V ( x) H ψ =Eψ , H= ˆ ˆ 2m ⎧⎛ ⎞ 2 d2 + Fx ⎟ψ ( x ) = Eψ ( x ) ⎪⎜ x >0 2 ⎨⎝ 2m dx ⎠ ⎪ ψ ( x) x >0 ⎩ ⎛ p2 d⎞ ⎟ ϕ ( p ) = Eϕ ( p ) +i F ⎜ ⎝ 2m dp ⎠ i ⎛ p3 ⎞ − Ep ⎟ ⎜ F ⎜ 6m ⎟ ϕ ( p ) = Ae ⎝ ⎠ 4
  31. 31. i 1 ψ ( x ) = x ψ = ∫ dp x p p ψ = ∫ dp e ϕ ( p) px 2π i ⎛ p3 ⎛ E ⎞ ⎞ + x− ⎜ ⎜ 6mF ⎜ F ⎟ ⎟ ⎛ 1 ⎛ p3 ⎛ E ⎞ ⎞⎞ p ∞ ∞ ⎠⎟ ⎝ A A ⎝ ⎠ ∫ ∫ = = + ⎜ x − ⎟ p⎟⎟ dp cos ⎜ ⎜ dpe 2π 2π ⎝ ⎝ 6mF ⎝ F ⎠ ⎠⎠ −∞ −∞ 0 ψ ( 0) = 0 ∞ ⎛ p3 E⎞ ∫ − p⎟ = 0 → dp cos ⎜ En ⎝ 6mF ⎠ F −∞ 5
  32. 32. 9. ψ A (A− A ) ( ) ( ∆A) 2 2 ≡ψ ψ=ff f = A− A ψ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B ( ) ( )ψ () 2 2 ≡ ψ B− B ψ =gg ∆B g = B− B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ∆A) ( ∆B ) 2 2 ˆ ˆ AB ( ∆A) ( ∆B ) 2 2 =ff ˆ ˆ gg α β Schwarz 2 αα ββ ≥ αβ ( ∆A) ( ∆B ) 2 2 2 ≥ fg ˆ ˆ ∵ Z 2 ⎛1 ⎞ Z = ( Re Z ) + ( Im Z ) ≥ ( Im Z ) = ⎜ ( Z − Z * ) ⎟ 2 2 2 2 ⎝ 2i ⎠ 2 ()() ⎛1 )⎞ ≥⎜ ( f g − g f 2 2 ∆A ∆B ∴ ˆ ˆ ⎟ ⎝ 2i ⎠ ( A − A )( B − B ) ψ f g =ψ = ψ AB − A B − A B + A B ψ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∵ = AB − A B − A B + A B = AB − A B ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ g f = BA − B ˆˆ ˆ ˆ A ( ) 2 2 ()() ⎛1 ˆ ˆ ⎞ ⎛ 1 ⎡ A, B ⎤ ⎞ 2 2 ∆A ∆B ≥⎜ AB − BA ⎟ = ⎜ ∴ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ⎦⎟ ⎠ ⎝ 2i ⎣ ⎝ 2i ⎠ ⎡ A, B ⎤ = AB − BA ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ⎣ ⎦ 1
  33. 33. ψ ( ∆A) ( ∆B ) 1 ⎡ ˆ ˆ⎤ 2 ( ≥ 0) 2 2 ≥− ˆ ˆ A, B ⎦ 4⎣ ⎡ ˆ ˆ⎤ ⎣ A, B ⎦ ≠ 0 ( ∆A) ( ∆B ) 2 2 = =0 ˆ ˆ [ x, p ] ˆˆ 1 xp = ∫ dxdx ' x x x p x ' x ' ˆˆ ˆ ˆ ∂⎞ ⎛ = ∫ dxdx ' x x δ ( x − x ') ⎜ -i ⎟ x' ⎝ ∂x ⎠ ∂⎞ ⎛ = ∫ dxx x ⎜ -i ⎟x ⎝ ∂x ⎠ ∂ ⎡ ⎤ ∫ dx x ⎢ −i x −i x ˆˆ px =i x⎥ ∂x ⎦ ⎣ 2 [ x, p ] = i ( ∆x ) ( ∆p ) ≥ 2 2 ˆˆ , 4 i 1 px xψ = e 2π x 1 2 xψ = = 2π −∞ < x < ∞ =∞ 2 ( ∆x ) ( ∆p ) ≥ 2 2 4 2 F ⎡ AF , BF ⎤ = CF ˆˆ ˆ ⎣ ⎦ 2
  34. 34. G ⎡ AG , BG ⎤ = AG BG − BG AG ˆˆ ˆˆ ˆˆ ⎣ ⎦ = SAF S −1SBF S −1 − SBF S −1SAF S −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) = S AF BF − BF AF S −1 ˆˆ ˆˆ = SCF S −1 ˆ =Cˆ G 3 0<x < a ⎧0 V ( x)= ⎨ ⎩∞ 0< x<a Shrödinger (x − ) ( ∆x ) 2 = ≤ a2 2 x p2 ˆ E E =T +V 2m (p− ) ( ∆p ) 2 = = p2 − p 2 2 ∵ ˆ ˆ ˆ ˆ p ( ∆p ) p2 ≥ 2 ∴ ˆ ( ∆p ) ≤ 2mE 2 ( ∆x ) ( ∆p ) ≤ 2mEa 2 2 2 2 ( ∆x ) ( ∆p ) ≥ 2 2 4 3
  35. 35. 2 ( ∆x ) ( ∆p ) 2mEa ≥ ≥ 2 2 2 4 2 2mEa 2 ≥ 4 2 E≥ 8ma 2 2 Emin = 8ma 2 4 2 ⎛ 1 ⎡ ˆ ˆ⎤ ⎞ ( ∆A ) ( ∆B ) ≥⎜ 2 2 A, B ⎦ ⎟ ⎝ 2i ⎣ ⎠ 2 gg= f g 1 Schwarz ff Re f g = 0 2 g =c f 1 c Re ( c f f )=0 c = ia 2 a ff g = ia f ( ) (B − B ) ψ = ia A − A ψ ˆ ˆ ψ A= x B= p ˆˆ ˆˆ ⎛ ⎞ − p ⎟ψ ( x ) = ia ( x − x )ψ ( x ) d ⎜i ⎝ ⎠ dx ψ ( x ) = Ae ( ) 2 −a x− x /2 ei p x/ Gaussian 4
  36. 36. 10. 2 ( ∆x ) ( ∆p ) ≥ 2 2 4 ( ∆A ) ∆A ≡ 2 ∆ x ⋅ ∆p ≥ 2 (t, x ) ( E, p ) xµ pµ ∆x ⋅ ∆p ≥ → ∆t ⋅ ∆E ≥ 2 2 Schroedinger ⎛ ⎞ ∂ ∂2 2 ψ ( x, t ) = ⎜ − + V ( x ) ⎟ψ ( x,t ) i ∂t ⎝ 2m ∂x 2 ⎠ x x t t t x, p, E (H − E ) ( ∆t ) ( ∆E ) 2 ∆t =? 2 = 2 ˆ t ˆ O O (t ) = ψ (t ) O ψ (t ) ˆ ⎛∂ ∂O ˆ⎛∂ ˆ ⎞ˆ ⎞ d O = ⎜ ψ (t ) O ψ (t ) + ψ (t ) ψ (t ) + ψ (t ) O ⎜ ψ (t ) ⎟ ⎟ ⎝ ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ⎠ dt ∂ ψ (t ) = H ψ (t ) ˆ i ∂t ∂ ψ (t ) = ψ (t ) H −i ˆ ∂t ∂O ˆ d 1 1 O = − ψ ( t ) HO ψ ( t ) + ψ ( t ) ψ ( t ) + ψ ( t ) OH ψ ( t ) ˆˆ ˆˆ ∂t dt i i ∂O ˆ 1 ⎡ˆ ˆ⎤ O, H ⎦ + i⎣ ∂t ˆ O d 1 ⎡ˆ ˆ⎤ O O, H ⎦ i⎣ dt ˆˆ O, H 1
  37. 37. 2 2 ⎛ 1 ⎡ˆ ˆ⎤ ⎞ ⎛d ⎞ 2 ( ∆O ) ( ∆E ) ≥⎜ O, H ⎦ ⎟ = ⎜ 2 2 O⎟ ⎣ ⎝ 2i ⎠ 4 ⎝ dt ⎠ d ∆O ⋅ ∆ E ≥ O 2 dt ∆t ⋅ ∆ E ≥ 2 d ∆t =∆O/ O dt ∆t ∆O ∆t ˆ O O ψ (t ) H ψ ( t ) = E ψ (t ) ∆E = 0 ˆ ∂ ψ (t ) = H ψ (t ) = E ψ (t ) ˆ i ∂t i ψ (t ) = e ψ ( 0) - Et O (t ) = ψ (t ) O ψ (t ) ˆ ˆ O O ( t ) = ψ ( 0 ) O ψ ( 0 ) = O (0) ˆ d d ∆t =∆O/ O →∞ O =0 dt dt 11. ˆ ˆ ˆ ˆ A B A B n A n = an n B n = bn n ˆ ˆ 2
  38. 38. ψ =∑ n nψ Hilbert n n ( AB − BA) ψ ∑ ( AB − BA) n n ψ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ n = ∑ (b A − a B ) n n ψ ˆ ˆ n n n = ∑ ( bn an − an bn ) n n ψ n =0 ⎢ A, B ⎥ = 0 ψ ˆˆ ⎣ ⎦ ˆ ˆ ˆ ˆ A B A B ˆ A n an n ⎡ A, B ⎤ = 0 ˆˆ ⎣ ⎦ AB n = BA n = an B n ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n Bn an Bn A A ˆ B n =bn n ˆ ˆ ˆ n B A B ˆ A ˆ2 ˆp ⎡ p, H ⎤ = 0 H= ˆˆ ˆ ˆ p p H p ⎣ ⎦ 2m p2 p, E = ˆ ˆ H p 2m ⎢ A, B ⎥ = 0 ⎢ B, C ⎥ = 0 ˆˆ ˆˆ AB BC ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ L2 ,L ⎤ =0 ⎡ L2 ,L ⎤ =0 ˆˆ ˆˆ L=r×p A C ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x y ˆ ˆ ⎡ Lx , Ly ⎤ ≠ 0 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ L2 L2 Lx Lx Ly Ly ⎣ ⎦ ˆ Lz =0 3
  39. 39. Schrödinger Schrödinger ∂2 ∂ 2 ψ ( x, t ) = Hψ ( x, t ), H =− + V ( x, t ) ˆ ˆ i ∂t 2m ∂x 2 Schrödinger ∂ 2 ψ (r , t ) = Hψ (r , t ), H =− ∇ 2 + V (r , t ) ˆ ˆ i ∂t 2m 1. Schrödinger ˆ t H V (r ) ψ ( r , t ) = ϕ ( r ) f (t ) ∂ ϕ ( r ) f (t ) = Hϕ ( r ) f (t ) ˆ i ∂t ϕ ( r ) f (t ) 1 df 1 ˆ = Hϕ i dt ϕ f E t r df = Ef , H ϕ = Eϕ ˆ i dt Schrödinger i − Et ψ (r , t ) = ϕ (r ) f (t ), H ϕ ( r ) = Eϕ ( r ) , f ( t ) = Ce ˆ H ϕ ( r ) = Eϕ ( r ) ˆ E Schroedinger ˆ Schrödinger t H i − En t ψ ( r , t ) = ∑ Cnψ n ( r , t ) = ∑ Cnϕn ( r ) e n n 2. ρ ( r , t ) = ψ ( r , t ) = ϕ ( r ) = ρ ( r , 0) 2 2 1 4
  40. 40. j ( r , t ) = j ( r , 0) O t ∂⎞ ˆ⎛ O = ψ ( t ) O ψ ( t ) = ∫ dxψ * ( x, t ) O ⎜ x, −i ⎟ψ ( x,t ) ˆ ∂x ⎠ ⎝ ∂⎞ ˆ⎛ = ∫ dxϕ * ( x ) O ⎜ x, −i ⎟ϕ ( x ) ∂x ⎠ ⎝ V (r ) V ( −r ) = V ( r ) 2 ⎛ ⎞ 2 ∇ 2 + V ( r ) ⎟ ϕ ( r ) = Eϕ ( r ) , − ⎜ ⎝ 2m ⎠ ⎛ ⎞ 2 ∇ 2 + V ( r ) ⎟ ϕ ( − r ) = Eϕ ( − r ) ⎜− ⎝ 2m ⎠ ϕ (r ) ϕ ( −r ) E ϕ ( −r ) = Cϕ ( r ) r → −r ϕ ( r ) = Cϕ ( −r ) = C 2ϕ (r ) C = ±1 C2 =1 ϕ ( r ) = ϕ ( −r ) ϕ ( r ) = −ϕ ( −r ) V ( −r ) = V ( r ) 5
  41. 41. 3. limψ ( r , t ) → 0 ψ (r,t ) r →∞ ψ 1 ( x ) ,ψ 2 ( x ) 1 E ( E − V ( x ) )ψ 2m ψ 1′′ + = 0, 1 2 ( E − V ( x ) )ψ 2m ′′ ψ2 + =0 2 2 ψ 1ψ 2 −ψ 2ψ 1′′ = 0 ′′ (ψ 1ψ 2′ −ψ 2ψ 1′ ) = 0, ' ψ 1ψ 2 −ψ 2ψ 1′ = const , ′ ψ ( x → ∞) → 0 ψ 1ψ 2 −ψ 2ψ 1' = 0 ' ψ 1′ ψ 2 ′ ψ ( x) ≠ 0 = ψ1 ψ 2 ⎛ ψ 1 ⎞′ ⎟ =0 ⎜ ln ⎝ ψ2 ⎠ ψ1 = ln C ln ψ2 ψ 1 ( x ) = Cψ 2 ( x ) 1 V (−x) = V ( x) 2 2 ( E − V ( x ))ϕ ( x ) 2m ϕ ′′ ( x ) = − 2 V ( x) ϕ ′′, ϕ ′, ϕ a) V ( x) ϕ ′′ b) a a +ε ∫ε ( E − V ( x ) )ϕ ( x ) dx 2m ϕ′(a + ε ) − ϕ′(a − ε ) = − 2 a− ϕ′ ϕ ∆V →0 1
  42. 42. ϕ' ϕ ⎧ ∞, a +ε ⎪ ∫ε ( E − V ( x ) )ϕ ( x ) dx = ⎨ ϕ' ϕ ∆V → ∞ , ⎪ ϕ' ϕ a− ⎩ δ 3 V ( x ) = −γδ ( x ) = V ( − x ) ϕ x = 0 , V → −∞, ∆V → ∞, 2mE ϕ ′′ + ϕ =0 x≠0 Schroedinger 2 2mE E<0 k2 = − 2 ⎧ Aekx + A′e− kx x<0 ϕ ( x) = ⎨ . ⎩Ce + C ′e − kx x>0 kx ⎧ Ae kx x<0 ϕ ( x → ±∞ ) ϕ ( x ) = ⎨ − kx A ' = C = 0, ⎩C ′e x>0 ϕ ( x → ±∞ ) → 0 E<0 E>0 V (−x) = V ( x) ϕs ( − x ) = ϕs ( x ) , C ' = A, ⎧ Aekx x<0 ϕs ( x ) = ⎨ − kx x>0 ⎩ Ae ϕa ( − x ) = −ϕa ( x ) , C ' = − A, ⎧ Aekx x<0 ϕa ( x ) = ⎨ . − kx ⎩ − Ae x>0 A ϕa ( x ) x=0 2

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