PUNTO FIJO

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PUNTO FIJO

  1. 1. MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO<br />
  2. 2. Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).<br />
  3. 3. Definición<br />Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?<br />
  4. 4. Teorema de punto fijo:<br />Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:<br />xn=g(xn-1), n=1,2,3…..<br />
  5. 5. Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p. <br />
  6. 6. El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión <Xn> converge siempre y cuando |g’(x) <1|. <br />
  7. 7. Ejemplo<br />Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación<br />X3+4X2-10=0 dentro del intervalo [1,2]. <br />Lo primero es buscar una función g(x) adecuada <br />x3+4X2-10=0<br />x2(x+4)=10<br />x=<br />Y claramente elegimos como función iteradora a <br />g(x)=<br />además observe que<br /> <br />Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.<br />
  8. 8. Implementación Excel<br />En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2.<br />En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones:<br /> =raiz(10/(A5+4))<br />3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.<br />Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil.<br />
  9. 9. Algoritmo<br />
  10. 10. Ejemplo 1<br />Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x)=cosx-x f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%. <br />Solución<br />Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.<br />Aplicando la fórmula iterativa tenemos,<br />x1=g(x0)=cos 0=1<br />Con un error aproximado de 100%<br />
  11. 11. Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,<br />x1=g(x1 )=cos 1=0.540302305<br />Y un error aproximado de 85.08%.<br />
  12. 12. Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:<br />Con un error aproximado igual al 0.78%. <br />x13=0,907447<br />

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